D
A
B
C
E
F
解直角三角形在实际问题中的运用
要点一：锐角三角函数的基本概念
1。(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ,直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ,且CD = 24 m,OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12
13
． (1)求半径OD ;
（2）根据需要，水面要以每小时0。5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？
2.（綦江中考）如图,在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点,AE BC =，DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE ．
（1）求证：ABE △DFA ≌△;
(2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．
3、（宁夏中考）如图,在△ABC 中，∠C =90°，sin A =
5
4
,AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．
O
E
C
D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中,∠C = 90°,a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值。
5、(·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠,
(1) 求证：AC=BD ； (2）若12
sin 13
C =
，BC =12,求AD 的长．
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.(·钦州中考）sin30°的值为（ ）
A 3
B 2
C ．
12
D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所
示,452AOC OC ∠==°
，B 的坐标为（ ）
A ．(21)，
B ．2)，
C ．211)
， D ．(121)，
3.（定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43
3
米 4。宿迁中考）已知α为锐角,且2
3
)10sin(=
︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5。（毕节中考） A （cos60°,－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ )
A ．1323⎛- ⎝⎭，
B ．3323⎛- ⎝⎭，
C ．1323⎛-- ⎝
⎭， D ．1322⎛- ⎝⎭， 6。（襄樊中考）计算：2
cos 45tan 60cos30+等于（ )
（A)1 （B 2 (C ）2 （3三、解答题
11。（·黄石中考)计算：3－
1+(2π－1）0－
3
3
tan30°－tan45°
12.(崇左中考)计算:0
200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭
°°．
13.33602cos 458-+
要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB =45°， ∠OAB =30°,OA =60cm ，求点B 到OA 边的距离．3 1.7,结果精确到整数)
2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度,测角仪AB的高度为1.5米，测
得仰角α为30，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米?(取2=1。414，3=1.732,结果保留两位小数）
3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小
时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。
4、（常德中考）如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡
≈，结果保留整数）．度为i=1∶0。5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73
5、（广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1)改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是
===）
否可行？说明理由。（参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449
6。（广东中考）17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现
P
A
B
Q
24.5
49°
41°
北
东
南 西
新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m. 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0。1m;参考数据：414.12≈,732.13≈）。
7。（安徽中考）19。如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长。
8.（连云港市中考）24．(本题满分10分）如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧,现要在A ，B 间铺设一
知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ,B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向,B 位于南偏东24.5°方向，前行1200m,到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向． （1）线段BQ 与PQ 是否相等?请说明理由； （2）求A ,B 间的距离．（参考数据cos41°＝0。75）
9.（苏州市中考）25．（本题满分5分)如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测,测得山坡上A 处的俯角为15°,山脚B 处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1）山坡坡角（即∠ABC)的度数等于 ▲ 度;
（2）求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．
第6题图
B
C l
D
东北600
A
B
C
10。(宿迁市中考）23．（本题满分10分）如图,为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到1m ）
11.（成都市中考）16．（本小题满分6分）
如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时,发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向。求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）
12。（金华市中考）19。(本题6分）
生活经验表明，靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB , 试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC . (结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0。77， cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)
13、（盐城市中考)24．(本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？
（结果精确到0.1cm ，参考数据：错误!≈1.732)
（第23
E D C
B
A
1.5
45︒
30︒100
第19题图
A
B
α 梯子
C
E
60°
30°
A
B
C
D
参考答案
1、【解析】（1)∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24（m ）， ∴ED =1
2
CD =12(m ）．
在Rt △DOE 中,∵sin ∠DOE =ED OD =12
13
， ∴OD =13（m ）．
(2)OE 5(m) ∴将水排干需：5÷0。5=10（小时）． 2、【解析】（1）在矩形ABCD 中，
90BC AD AD BC B =∠=，∥，°
DAF AEB ∴∠=∠ DF AE AE BC ⊥=， 90AFD B ∴∠=∠°=
AE AD =
ABE DFA ∴△≌△．
（2）由(1）知ABE DFA △≌△
6AB DF ∴==
在直角ADF △中，
8AF ===
2EF AE AF AD AF ∴=-=-=
在直角DFE △中，
DE ===
sin
EF EDF DE ∴∠=
==
3、【解析】在Rt △ABC 中， ∠C =90°, AB =15
A sin =
AB BC =5
4
, ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC
∴周长为36，BC 124
tan A .AC 93
=
==
4、【解析】在Rt △ABC 中，c =5，a =3． ∴ 22a c b -=
2235-=4=
∴ 53
sin ==
c a A 4
3
tan ==b a A ．
5、【解析】（1）∵AD 是BC 上的高,∴AD ⊥BC ． ∴∠ADB =90°,∠ADC =90°． 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中， ∵tan B =
AD BD ,cos DAC ∠=AD
AC
又已知tan cos B DAC =∠
∴
AD BD =AD AC
．∴AC=BD ． (2)在Rt △ADC 中， 12
sin 13
C =，故可设A
D =12k ，AC =13k ．
DC 5k
AD AD BD 13k
tan B cos DAC BC 13k 5k 12
2
k ,AD 8.
3
∴=====∠∴=+=∴==
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题
1、答案：C
2、答案：C
3、答案：C
4、答案：Ｃ
5、答案：A
6、答案：C 三、解答题
11、【解析】3－
1+(2π－1）0－
3
3
tan30°－tan45° 11
11330
=
+--= 12、【解析】原式
=2311--=0． 13、
3602cos45
8-+
=222
-+ =2。5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
1、【解析】如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C
∵ ∠AOB =45°，∴∠CBO =45°，BC =OC ． 设BC =OC =x ，∵∠OAB =30°， ∴ AC =BC ×tan60°=3x ．
∵ OC +CA =OA ，∴x +3x =60， ∴ x =3160+≈22（cm ）．
即点B 到OA 边的距离是22 cm ．
2、【解析】在直角三角形MPA 中，30α∠=°,10AP 米
MP=10·tan300 =10×3
3
≈5。773米 因为 1.5AB
米
所以MN=1.5+5。77=7.27米 答：路灯的高度为7。27米
3、【解析】如图，过B 点作BD ⊥AC 于D
∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45° 设BD ＝x ，在Rt △ABD 中,AD ＝x ⋅tan30°3x 在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝x BC 2x
又AC ＝5×2＝10 310+=x x ， 得5(31)x =， ∴231)62)BC =
=(海里）
答:灯塔B 距C 处5(62)海里 4、【解析】设山高BC =x ，则AB =
1
2
x , tan 3012002
BC x BD x =
=
+，得 (231)400x =，
解得400(231)
16211231
x =
=-≈米
5、【解析】（1）在Rt ABC △中,
5
sin 452(m)2
AC AB ==
5
cos 452(m)2
BC AB ==
Rt ADC △中
52(m)sin 30AC
AD =
=
5
6(m)tan 302AC CD ==
2.07(m)AD AB ∴-≈
改善后的滑滑板会加长2。07m ． （2）这样改造能行．
因为 2.59(m)CD BC -≈，而63 2.59-> 6、 略解:AD=25（3+1)≈68。3m 7. 简答：∵OA 35003
3
150030tan 1500=⨯
=⨯=
， OB=OC=1500， ∴AB=635865150035001500=-≈-（m). 答：隧道AB 的长约为635m 。 8、解：（1）相等
由图易知,∠QPB ＝65.5°，∠PQB ＝49°，∠AQP ＝41°，
∴∠PBQ ＝180°－65。5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ ＝∠BPQ ． ∴BQ ＝PQ
(2）由(1)得,BQ ＝PQ ＝1200 m ．
在Rt △APQ 中，AQ ＝错误!＝错误!＝1600（m ）． 又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，
∴Rt △AQB 中，AB ＝错误!＝错误!＝2000（m)． 答：A ，B 间的距离是2000 m ．
9、
10。 解：设CE ＝x m ，则由题意可知BE ＝x m,AE ＝(x ＋100)m ．
11/11 在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝
AE CE ，即tan30°＝100+x x ∴3
3100=+x x ，3x ＝3（x ＋100) 解得x ＝50＋503＝136.6
∴CD ＝CE ＋ED ＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m ． 11. 由题意得∠A=60°，
∴BC=AB×tan60°=500× =500 m ．
答:该军舰行驶的路程为500 m ．
12、 当α=70°时，梯子顶端达到最大高度， ……1分
∵sin α=AB AC
, ……2分
∴ AC = sin70°×6=0。94×6=5.64 ……2分
≈5.6(米）
答:人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5。6米．……1分
13、。解：过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G 。
在Rt △BCF 中,∠CBF =30°,∴CF =BC·sin 30°= 30×错误! =15。 在Rt △ABG 中，∠BAG =60°，∴BG =AB·sin 60°= 40×错误! = 20错误!. ∴CE =CF +FD +DE =15+20错误!+2=17+20错误!≈51。64≈51。6（cm ）cm. 答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是51.6cm 。
（第10题）
2018年九年级数学中考专题复习--解直角三角形实际问题 培优练习卷 1.如图,在△ABC中,∠C=60°,AC=2,BC=3.求tanB的值． 2.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的 俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数） （参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93） 3.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B=cos ∠DAC． (1)求证；AC=BD；(2)若sin C=，BC=12，求AD的长．
4.如图，长方形广告牌加载楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长.(参考数据：tan37°≈0.75，,1.732，结果精确到0.1m) 5.某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为 8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°． （1）求建筑物CD的高度； （2）求建筑物AB的高度． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75）
6.如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗 户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光． （1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号） （2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算） 7.如图,天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米,小军和小明同时分别从A处和 B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°,东端的坡角是30°,小军的行走速度为 米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处,则小明的行走速度是多少？
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
解直角三角形的应用练习题 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（） A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m 考点：解直角三角形的应用． 分析： 根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长． 解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°， ∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°， ∴tan30°==， 解得CK=4（米）， 即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米． 故选：A． 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键． 2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得 ∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C． 米 D．50米 考点：解直角三角形的应用． 专题：几何图形问题． 分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD， ∵∠BAD=30°，∠BCD=60°， ∴∠ABC=30°， ∴AC=CB=100米， ∵BM⊥AD， ∴∠BMC=90°， ∴∠CBM=30°， ∴CM=BC=50米， ∴BM=CM=50米， 故选：B． 点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半． 3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（） A．26米B．28米C．30米D．46米
2018年数学全国中考真题 解直角三角形及其应用（试题二） 解析版 三、解答题 1. （2018四川泸州，22题，8分）如图8，甲建筑物AD, 乙建筑物BC 的水平距离AB 为90m ，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A ，E, B 在同一水平线上)点测得D 点的仰角为30°，测得C 点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C 、D 间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值). 第22题图 【思路分析】利用三角函数，将AB 的长度转化为AD 和BC 的长度，过点D 作BC 的垂线，进而构建直角三角形，利用勾股定理，求得CD 的长度 【解题过程】因为乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，所以设AD=x ，CB=6x ，因为DA ⊥AB ，CB ⊥AB ， 所以在Rt △DAE 中，tan ∠DAE=AE DA ，∠DAE=30°，所以AE=x 3，在Rt △CBE 中，tan ∠CEB=BE CB ， ∠CEB=60°，所以AE=x 32，因为AB=90m ，即x 3+x 32=90，x=103，过点D 作DF ⊥CB 于点F ，则四边形DABF 为矩形，所以DF=AB=90，CF=CB-BF=CB-AD=5x=350，在Rt △CDF 中，由勾股 定理得，CD=2 2CF DF =3910 第22题解图 【知识点】三角函数的应用，勾股定理 60°30° D C B 60°30° D C B F
夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D、E两处测得路灯B的仰 角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝3 4 ．求灯杆AB的长度． 【知识点】锐角三角函数；矩形的性质；30°角的直角三角形的性质 3.（2018浙江衢州，第20题，8分）“五・一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道L步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示。 E
第35课时 解直角三角形 (70分) 一、选择题(每题6分，共30分) 1．[2017·益阳]如图35－1，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上) ( B ) 图35－1 A.h sin α B.h cos α C.h tan α D ．h ·cos α 【解析】 ∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠CAD ＝ ∠BCD ，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD ＝CD BC ，∴BC ＝CD cos ∠BCD ＝h cos α . 2．[2017·南宁]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为 ( B ) A ．603海里 B ．602海里 C ．303海里 D ．302海里 图35－2 第2题答图 【解析】 如答图，作PE ⊥AB 于E . 在Rt △P AE 中，∵∠P AE ＝45°，P A ＝60海里，∴PE ＝AE ＝ 22×60＝30 2 (海里)，在Rt △PBE 中，∵∠B ＝30°，∴PB ＝2PE ＝602(海里)．
3．[2017·烟台]如图35－3，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20 m 到达A ′处，测得点D 的仰角为67.5°，已知测倾器AB 的高度为1.6 m ，则楼房CD 的高度约为(结果精确到0.1 m ，2≈1.414，tan67.5°＝1＋2) ( C ) A ．34.14 m B ．34.1 m C ．35.7 m D ．35.74 m 图35－3 第3题答图 【解析】 如答图，过B 作BF ⊥CD 于F ，∴AB ＝A ′B ′＝CF ＝1.6 m ，在 Rt △DFB ′中，B ′F ＝ DF tan67.5° ，在Rt △DFB 中，BF ＝DF ，∵BB ′＝AA ′＝20 m ，∴BF －B ′F ＝DF －DF tan67.5° ＝20，∴DF ≈34.1 m ，∴CD ＝DF ＋CF ≈35.7 m ，即楼房CD 的高度约为35.7 m. 4．[2017·百色]如图35－4，在距离铁轨200 m 的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10 s 后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是 ( A ) 图35－4 A ．20(3＋1)m/s B ．20(3－1)m/s C ．200 m/s D ．300 m/s 【解析】 如答图，作BD ⊥AC 于点D .
中考指导：解直角三角形的实际应用是中考数学必考的内容之一，解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化为数学模型，通过构建直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的边角关系来解决问题。解直角三角形的应用可解决的问题有： 1.测量物体的高度； 2.测量河的宽度； 3.解决航海航空问题； 4.解决坡度问题； 5.解决实际生活中其它问题. 解直角三角形的实际应用题在中考数学试题中所占的分值大约在8-10分. 典型例题解析 【例1】（河南省商丘市柘城县2018年中考数学一模）如图，山顶建有一座铁塔，塔高BC=80米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C点的仰角为60°．已测得小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米．求山的高度AB（精确到1米）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732） 【答案】山高AB约为129米．
点睛：本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【例2】（四川省青神县2017届九年级教学质量监测）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？ 【答案】即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了 106 102+ 3 海里． 试题解析： 过B作BD⊥AC，
∵∠BAC=75°﹣30°=45°， ∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°， 由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里）， 在△ABC中, ∠BAC=45°，∠ABC=75°，可得∠C=60° ∴在Rt△CBD中， ∴tan∠BCD =，即tan60°=，即CD= 则AC=AD+DC=10+ 答：即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．#网 【例3】（广东省梅州市梅江区实验中学2017届九年级下学期第一次月考）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号） （1）求点P到海岸线l的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点
2018年九年级中考数学 《解直角三角形实际问题》专项复习试卷及解析 1.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan α=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰 角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）． 2.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F， 交BA延长线于G，且DF⊥BC． （1）求证：BA=BC； （2）若AG=2，cos B=0.6，求DE的长． 3.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图，一测量船在A 岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛,在B岛测得C 岛在北偏东45°,求B，C两岛及A，C两岛的距离.(结果保留到整数,≈1.41,≈2.45)
4.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF； （2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米） 5.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为多少？ 6.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶 端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
解直角三角形实际问题专题复习 1.为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30°，从点A向山的方向前进140米到达点B，在B处测得山 顶D的仰角为60°（如图①）. （1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C（保留作图痕迹）； （2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？ 2.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度.如果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离. 3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向.求该船航行的速度.
4.某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的 南偏西60 1.414， 1.732） 5.如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪 DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米） 【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】 6.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15° 方向距离125米的C点处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶.试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由. 。取1.732)
中考专题训练——解直角三角形的应用 1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈ 1.73，≈1.41）． 2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠P AB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动． （1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离； （2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数． 4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸
人教版九年级数学中考解直角三角形及其应用专项练习1．(2017·日照中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为( ) A.5 13 B. 12 13 C. 5 12 D. 12 5 2．(2018·金华中考)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB 与AD的长度之比为( ) A.tan α tan β B. sin β sin α C.sin α sin β D. cos β cos α 3．(2018·日照中考)如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于( ) A.25 5 B. 5 5 C．2 D. 1 2 4．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为 m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)
5．(2018·潍坊中考)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．(结果保留根号) 6．(2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C，测得PC＝30米．∠APC＝71°，∠BPC＝35°，上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)
（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离； ②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ． 【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米． ②设BC ⊥HQ 于C ． 在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ = tan 30BC ︒ =1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米， ∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米． 答：这架无人机的长度AB 为5米．. 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角 030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7. 求（1）单摆的长度（7.13≈）； （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.
【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 则在 Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=1 2 x， 在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ= 3 2 x， 由PQ=OQ﹣OP 3 ﹣ 1 2 x=7， 解得：x3（cm），. 答：单摆的长度约为18.9cm； （2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题 知识解读 在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。 解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。 培优学案 典例示范 例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m . （1）求FM 的长； （2）连接AF ，若sin ∠F AM =1 3 ，求AM 的长. 【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解； （2）有sin ∠F AM =1 3 可以求AF ，再求AM . 图3-14-1 A B C D E F M 跟踪训练 如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）. 【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题. D C B 30° A 图3-14-1 l 1 l 2 例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图3-14-3，小明站在B 点测得旗杆顶端E 点的仰角为45°，小军站在点D 测得旗杆顶端E 点的仰角为30°.已知小明和小军相距（BD ）6米，小明的身高（AB ）1.5米，小军的身高（CD ）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.1 1.41≈ 1.73≈）
中考数学解直角三角形及直角三角形中实际应用问题 一、解直角三角形： 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的常用关系： (1)三边之间的关系：a^2＋b^2＝c^2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA = cosB = a/c，cosA＝sinB= b/c，tanA＝a/b 。 3、解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5。 二、解直角三角形的应用： 1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角： (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所
夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 图（1） 2、解直角三角形实际应用的一般步骤： (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。 三、典型例题： 1、与视角有关的应用： 例题1、 例题1图（2）
解直角三角形在实际生活中的应用 在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考． 一、航空问题 例1． 抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结 1.414 1.732==） 分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB. 解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以 APB A ∠=∠，所以AB =PB . 在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以 PB =450sin 60==︒. 所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题 例2. 如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处， 用测角仪测得旗杆 图1
顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ． 分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长. 解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE = DE AE . ∵DE =10，∠ADE =40︒. ∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=. 答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题 例4. 如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.
利用解直角三角形测量物体高度或宽度专题练习卷 1.如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB 的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）． A ．5.1米 B ．6.3米 C ．7.1米 D ．9.2米 【答案】A. 2.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC ==米，,,A B C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG =米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3CG =米，小明身高 1.6EF =米，则凉亭的高度AB 约为( ) A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米 【答案】A. 3.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平底面A 处安置侧倾器得楼房CD 顶部点D 的仰角为045，向前走20米到达'A 处，测得点D 的仰角为05.67.已知侧倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为（ ） （结果精确到0.1米，414.12 ）
A ．14.34米 B ．1.34米 C.7.35米 D ．74.35米 【答案】C ． 4.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4m ，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm ，则旗杆DE 的高度等于（ ） A ．10m B ．12m C ．12.4m D ．12.32m 【答案】B ． 5.如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米（点C 与点B 在同一水平面上），某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1：2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ） A ．29.1米 B ．31.9米 C ．45.9米 D ．95.9米 【答案】A ． 6.如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB ，其中一名小组成员站在距离树10米的点E 处，测得树顶A 的仰角为54°．已知测角仪的架高CE =1.5米，则这颗树的高度为 米（结果保留一位小数．参考数据： sin 540.8090=o ，cos540.5878=o ，tan 54 1.3764=o ） ． 【答案】15.3． 7.如图，线段AB 、CD 分别表示甲乙两建筑物的高，BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，垂足分别为A 、D ．从D 点测到B 点的仰角α为60°，从C 点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB =30米
D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底 线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形 中，是 边上的点， ， ，垂足为 ，连接． （1）求证：； （2）如果 ，求 的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ 中，∠ =90°，sin =， =15，求△ABC 的周长和 tan A 的值． O E C D
4、（肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A和tan A的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，， (1) 求证：AC=BD； (2)若，BC=12，求AD的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（） A．B．C．D． 2.（长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，， 则点的坐标为（） A． B． C．D．
3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大 于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A．8米B．米 C．米 D．米 4.宿迁中考）已知为锐角，且，则 等于（） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5.（毕节中考） A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（） A． B． C．D． 6.（襄樊中考）计算：等于（） （A）（B）（C）（D） 三、解答题 11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45° 12.（崇左中考）计算：． 13.（义乌中考）计算：
九年级中考数学解直角三角形的实际应用专练 类型一母子型 1. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．(参考数据：3≈1.73) 第1题图 2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达．(结果保留根号) 第2题图 3.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造，如图②所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶3，将斜坡
AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4，求斜坡CD的长．(结果保留根号) 第3题图 4.天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A－B－C路段对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°. 求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？(结果精确到1米，参考数据：3≈1.732) 第4题图
5.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长)．为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(参考数据：2≈1.414，3≈1.732) (1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数； (2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由． 第5题图
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD是直径， ∴∠OAD=90°，
一、计算题 1、如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路，已知点周围 200 米范围内为原始森林保 护区，在上的点处测得在的北偏东 45°方向上，从A向东走 600 米到达处，测得在点的北 偏西 60 °方向上． （ 1）是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：） （ 2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完 成这项工程需要多少天？ 2、小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽 度为 12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知 =36 °， 求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这 道题．（精确到1mm）（参考数据：s in36 °≈ ，0.6c0os36 °≈ ， 0.8ta0n36 °≈ ）0.75
3、如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1: ， AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆 顶端 B 点与 A 点有一条彩带AB 相连，AB＝ 14 米． 试求旗杆BC 的高度． 楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）
4、又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆 下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为 乙：我站在此处看塔顶仰角为 甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m 请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1 米）． 5、如图，AC 是某市环城路的一段，AE， BF ， CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A， B， C ．经测量花卉世界 D 位于点 A 的北偏东 45°方向、点B 的北偏东30 °方向上，AB＝ 2km，∠ DAC＝ 15°． 1）求B， D 之间的距离； 2）求C， D 之间的距 楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）