四块分块矩阵的行列式值

分块矩阵行列式的两种算法一、分块矩阵行列式的定义分块矩阵行列式是指将一个矩阵按照某种规则进行划分，然后计算各个分块的行列式，最后组合起来得到的行列式。

分块矩阵行列式的计算有两种算法，分别是按行展开法和按列展开法。

二、按行展开法按行展开法是指将矩阵的行按照一定的顺序展开，然后计算每个展开式的行列式，最后求和得到整个矩阵的行列式。

按行展开法的算法步骤如下：1. 将矩阵按行划分为若干个分块，记作A1, A2, ..., An；2. 对每个分块Ai，计算其行列式|Ai|；3. 将每个分块的行列式与对应的代数余子式相乘，得到展开式；4. 将展开式中的所有项相加，得到矩阵的行列式。

按行展开法的优点是计算简单，只需要计算每个分块的行列式即可。

但缺点是分块的顺序会影响最终结果，因此需要选择合适的分块方式。

三、按列展开法按列展开法是指将矩阵的列按照一定的顺序展开，然后计算每个展开式的行列式，最后求和得到整个矩阵的行列式。

按列展开法的算法步骤如下：1. 将矩阵按列划分为若干个分块，记作B1, B2, ..., Bn；2. 对每个分块Bi，计算其行列式|Bi|；3. 将每个分块的行列式与对应的代数余子式相乘，得到展开式；4. 将展开式中的所有项相加，得到矩阵的行列式。

按列展开法的优点是分块的顺序不会影响最终结果，因此更加灵活。

但缺点是计算量较大，需要计算每个分块的行列式。

四、分块矩阵行列式的应用分块矩阵行列式在线性代数中有广泛的应用，特别是在矩阵的特征值和特征向量的计算中。

通过对矩阵进行适当的分块，可以简化计算过程，提高计算效率。

分块矩阵行列式还可以用于解决一些特定的问题，如线性方程组的求解、矩阵的相似变换等。

通过将矩阵按行或列进行分块，可以将复杂的计算问题转化为简单的计算步骤，从而得到更加简洁和直观的解决方法。

五、总结分块矩阵行列式是一种重要的行列式计算方法，通过将矩阵按行或列进行分块，可以简化计算过程，提高计算效率。

分块矩阵的行列式的计算公式分块矩阵这玩意儿，在数学的世界里可有着独特的地位。

咱今天就来聊聊分块矩阵的行列式的计算公式。

先给您说说啥是分块矩阵。

比如说，有一个大矩阵，咱把它分成几块小矩阵，这就成了分块矩阵。

就像一个大蛋糕，切成几块，每一块都有它自己的特点。

那分块矩阵的行列式咋算呢？这可有点讲究。

假设我们有一个分块矩阵，形如：\[\begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\]其中 A 是一个 k×k 的矩阵，D 是一个 (n - k)×(n - k) 的矩阵。

如果 A 可逆，那么这个分块矩阵的行列式就等于 |A|×|D - CA⁻¹B|。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这咋就得出这个公式了呢？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”我拿起粉笔，在黑板上一步一步地推导。

“你看啊，咱们先把这个分块矩阵变个形。

”我一边说一边写，“通过一系列的初等变换，把它变成一个上三角矩阵。

”学生们眼睛紧紧地盯着黑板，生怕错过一个步骤。

推导完了，我问那个提问的学生：“这回明白了不？”他挠挠头说：“好像有点明白了，老师您再给我讲讲实际应用呗。

”那咱就说实际应用。

比如说，在解决一些线性方程组的时候，分块矩阵的行列式计算公式就能派上大用场。

假设我们有一个线性方程组，通过一系列的变换，把它的系数矩阵变成了一个分块矩阵的形式。

然后利用这个公式计算行列式，如果行列式不为零，那就说明这个方程组有唯一解。

再比如，在研究矩阵的特征值和特征向量的时候，也可能会用到分块矩阵的行列式计算公式。

这能帮助我们更深入地理解矩阵的性质。

总之，分块矩阵的行列式计算公式虽然看起来有点复杂，但只要您多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现它其实挺有用的。

希望您通过我的讲解，对分块矩阵的行列式计算公式能有更清楚的认识，加油去探索数学的奇妙世界吧！。

分块矩阵的行列式公式
分块矩阵的行列式公式指的是处理具有分块结构的矩阵的行列式求值方式，是现代数学中被广泛使用的数学方法之一。

分块矩阵是指将矩阵分成多个同大小的小矩阵，也称为分块结构，即是将原来的矩阵按一定原则划分为不同的子矩阵块。

分块矩阵的行列式公式可以用来求解处理具有分块结构的矩阵的行列式值，公式如下所示：|A|=|A11 A12|=|A11| |A21 A22| |A21|，其中A为总矩阵，A11和A21分别为其分块的子矩阵。

由于分块矩阵行列式公式提供了一种简洁明了的数学方法，因此在多学科领域中得到了广泛应用。

在平面几何、博弈论、数值计算以及统计学等领域经常使用此公式。

另外，此公式还广泛用于日常生活。

比如，它可以用来分析及预测市场趋势、预测股票行情、估算宏观经济指标和进行其他类似分析，从而指导宏观经济发展，为社会提供有效的决策支持。

总的来说，分块矩阵的行列式公式以其易用性、高效性和可靠性占据着重要的地位，广泛应用于多学科以及日常生活中，为学术界和社会发展提供了强力支撑。

分块矩阵公式总结对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

例如将矩阵分成子块的分法很多，下面举出三种分块形式：分法（i）可记为其中即为的子块，而形式上成为以这些子块为元的分块矩阵。

证明公式时出现的矩阵正是分块矩阵，在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵，这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面。

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（i）设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中与的行数相同、列数相同，那么（ii）设为数，那么（iii）设为矩阵，为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中分块矩阵的乘法也不是很好理解的，看着和矩阵乘法很相似，但是初始做题时，还是有很多顾虑的。

要解决这些顾虑其实不难，我们可以举例说明一下。

和书上的例子一样，不过我们把过程拆开，并且多分析一下。

例设求首先按书上所说的，先把给分成4块我们把的列分成了的形式，这时候的应该怎么分块呢，我们只需要将的行分成的形式（这是因为这样可以使分块后的分块矩阵的列数也等于被乘分块矩阵的行数，从而符合矩阵的乘法），列分成多少段是无所谓的，即列的分法共有种可能。

我们找第1，3，5，8种来计算一下：第1种：则计算出结果得第3种：计算出结果得第5种：计算出结果得第8种：计算出结果得其实上面的过程也没有什么新鲜的东西，随着对分块矩阵越来越熟悉，很多都已经不是问题，只是简单总结出来：的列怎么分决定了的行怎么分；的行的分块决定了结果得行的分块，的列的分块决定了结果列的分块。

（iv）分块矩阵的转置和分块矩阵的乘法其实都是一样的，它们的运算都是整块分块矩阵的运算，其实和普通的矩阵的操作是一样的。

数学不在于第一眼是否能够想象出来，是否能看明白，很多问题光靠脑子是不够的，还得真正的拿起笔来，一步步的算，找规律。

行列式计算技巧行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它是由矩阵中的元素组成的一种数值。

行列式的计算是线性代数中的基本操作，也是求解线性方程组、矩阵的逆等问题的重要工具。

行列式的计算方法有很多种，以下将介绍几种行列式计算的技巧。

1. 按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中的基本方法之一。

该方法的原理是利用行列式的定义式，将行列式按其中一行（列）展开成若干个代数余子式与它们对应的代数余子式所组成的和式，从而得到行列式的值。

这种方法通常适用于行列式的规模比较小的情况。

2. 范德蒙德行列式范德蒙德行列式是一种特殊的行列式形式，它在概率论、数值计算等领域中有广泛的应用。

范德蒙德行列式的定义式是一个$n\times n$的行列式，其中第$i$行第$j$列的元素为$x_i^{j-1}$。

范德蒙德行列式的值是一个关于$x_1,x_2,\cdots,x_n$的多项式，其系数和指数分别与行列式中的代数余子式有关。

3. 对角行列式对角行列式是一种特殊的行列式形式，它的所有非零元素都在对角线上，其余元素都为零。

对角行列式的值等于对角线上元素的积。

对角行列式在计算矩阵的特征值和特征向量等问题中有广泛的应用。

4. 分块矩阵行列式分块矩阵行列式是一种将大型矩阵拆分成若干小矩阵的行列式形式，通过计算每个小矩阵的行列式以及它们的代数余子式之间的运算，最终得到整个大矩阵的行列式值。

这种方法通常适用于行列式的规模比较大、结构比较复杂的情况。

以上是几种行列式计算的技巧，每种方法都有其适用范围和注意事项。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以提高计算效率和准确度。

分块行列式的计算公式四个块
比较简单的行列式可以通过三角法快速求解，但当行列式的阶数
增大时，计算过程会变得非常繁琐。

分块行列式的概念装置了行列式
计算中的困难。

它可以将大阶行列式分割为若干个小阶子行列式，然
后利用子行列式的计算公式来求解原行列式。

当分块时，每个子块的行数和列数可以不相等，通常用大写字母A、B、C和D表示四个块，该行列式可以化简成以下计算公式：
|A B|
|C D|=det(A)*det(D)-det(B)*det(C)
其中det(A)、det(B)、det(C)以及det(D)分别表示子块A，B，C 和D的行列式值。

类似的，当分块行列式是 9 阶时，可以将其分为三块，用大写字母A、B和C表示，此时计算公式如下；
|A B|
|C D|=det(A)*det(D-CA^(-1)B)-det(B)*det(C-DA^(-1)A)
在分块行列式的计算方法中，A 子块是关键。

A 子块计算时可以
使用 LU 分解、菲薄分解、QR 分解或最小二乘的方法，也可以使用特
定的逆矩阵计算方法，只要A子块可逆。

若该矩阵不可逆，将会严重
影响求解过程，出现矩阵无法解，甚至是奇异矩阵。

因此，在求解过
程中，事先检查矩阵的可逆性是非常必要的。

分块行列式在实际的计算问题中有着极强的实用性，尤其当行列
式的阶数很大时，使用该方法大大提高了计算的效率。

与传统的三角
分解相比，分块行列式的计算公式可以用来避免计算量大的矩阵计算。

因此，它可以有效解决计算困难的矩阵问题，使得求解大型行列式变
得容易。

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

分块矩阵的行列式计算嘿，大家好，今天咱们来聊聊一个看似复杂，其实挺有意思的话题——分块矩阵的行列式计算。

听起来有点吓人，是吧？其实只要你稍微用点心，多试几道题，就能慢慢找到感觉。

好比学骑自行车，起初总是东倒西歪，过一段时间就能稳稳地骑上去。

行列式它就像一个魔法盒子，里面藏着很多奥秘，打开之后哗啦啦都是惊喜。

想象一下，一个矩阵就像成千上万的小方块拼在一起，真的是琳琅满目。

分块矩阵就是把这些小方块又分成了几组，分得那叫一个细致。

你看，就像一块蛋糕，切成了几片，每一片都有自己的味道，哇，听起来是不是就让人已流口水了？每块都有自己的特点，行列式的计算也可以分开来，没有必要一股脑地喧闹，所以咱们可以轻轻松松地把它们一个个捋清楚。

在计算行列式的时候，咱们有个神奇的工具，那就是所谓的“行列式的性质”。

听起来有点炫酷，其实就是一些小法则，简单实用。

比如，如果你把一个矩阵分成四个部分，一块一块地来处理，你就能发现每块的行列式都是相互关联的，就像看一部电视剧，得先了解主角是谁、情节怎么发展，才能看懂全剧。

举个简单的例子，一个大矩阵被分成四个小块，你可以分别计算每一块的行列式，然后把它们结合起来，结果就像拼图一样，瞬间就完整了。

有的朋友可能会问，行列式有什么用呢？别小看这个小家伙，它可是在数学和工程领域里扮演着超级英雄的角色。

无论是解决线性方程组，还是找特征值，它都能派上用场。

就像拿鱼竿钓鱼，等鱼儿上钩了，才知道这杆子是不是靠谱。

行列式就能帮你判断矩阵的可逆性，是否能用来解方程。

不过，咱们有个小提醒，行列式的计算可不能马虎。

就像下围棋，一步走错就可能满盘皆输。

尤其分块的时候，要格外小心，仔细检查每个小块，看看有没有漏掉。

就像船开得太快，难免会遇上暗礁，一不小心就会翻船。

没错，细节决定成败。

最有趣的部分来了！大家知道吗，计算行列式的时候，也可以用一些巧妙的方法来简化问题。

有些时候，你不需要大费周章地算出整个行列式，采取一些简单的变换就能让它变得简单得多。

一种新的四阶行列式计算方法四阶行列式是指由4行4列的方阵所构成的行列式。

传统计算四阶行列式的方法是应用拉普拉斯展开或对角线法则。

下面我将介绍一种新的四阶行列式计算方法。

这种方法是基于分块矩阵的思想，即将4阶行列式按照其中一种方式分割成较小的块矩阵，并利用这些块矩阵之间的关系来简化计算。

首先，将4阶行列式按照第一行或第一列进行分割，可以得到以下四个块矩阵:A=，a11a12a13a14a21a22a23a2a31a32a33a3a41a42a43a4B=，a21a22a23a24a31a32a33a3a41a42a43a4C=，a11a13a14a21a23a2a31a33a3a41a43a4D=，a11a12a14a21a22a2a31a32a3a41a42a4接下来，我们计算这四个块矩阵的行列式。

块矩阵A的行列式可以直接计算得到。

块矩阵B的行列式可以通过递归计算得到，因为B的形式与原来的行列式形式相同。

块矩阵C的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的4次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列、第二列和第三列，最后求和。

块矩阵D的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的3次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列和第二列，最后求和。

计算得到这四个块矩阵的行列式后，我们可以将它们组合成原来的4阶行列式的结果。

具体做法是，将块矩阵B的行列式乘以a11，块矩阵C的行列式乘以a12，块矩阵D的行列式乘以-a13，最后再加上块矩阵A的行列式乘以a14总而言之，这种新的四阶行列式计算方法利用了分块矩阵的思想，将原来的四阶行列式分割成多个较小的块矩阵，并通过递归和拉普拉斯展开的方法计算出这些块矩阵的行列式，最后再根据块矩阵之间的关系得到原来行列式的结果。

这种方法可以简化计算过程，提高计算效率。

利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值
陈怀琴;徐玉名
【期刊名称】《井冈山师范学院学报》
【年(卷),期】2004(025)006
【摘要】利用矩阵乘积的行列式公式计算行列式的值;将矩阵巧妙合理地分块后,利用分块矩阵的乘法计算行列式的值.
【总页数】3页(P72-74)
【作者】陈怀琴;徐玉名
【作者单位】井冈山师范学院,数学与应用数学系,江西,吉安,343009;井冈山师范学院,数学与应用数学系,江西,吉安,343009
【正文语种】中文
【中图分类】O151.22
【相关文献】
1.行列式值的矩阵分块计算方法 [J], 赵临龙
2.四分块矩阵的求逆公式和行列式值的计算 [J], 王连成
3.分块矩阵在计算行列式值中的应用 [J], 阿力非日; 张艳
4.利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值 [J], 陈怀琴;徐玉名
5.利用分块矩阵求行列式的值 [J], 张有绪;陈伟
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分块矩阵的行列式的计算说到分块矩阵的行列式计算，这可是个挺有意思的话题哦。

很多同学一听到矩阵，就开始头疼了，感觉数学又来找麻烦。

其实呢，分块矩阵就像我们生活中的一个大拼图，每一块都是独立又相关的，小块之间有联系，但整体又是个大样子。

行列式，这玩意儿其实是一个用来衡量这个矩阵“大小”的东西。

可以这么想，就像你家的院子，行列式告诉你，院子到底大不大，能不能种下很多花花草草。

想象一下，你在超市里买菜。

你一手拿着大白菜，另一手拎着西红柿，结果发现袋子里装不下了。

这时候你就会考虑，把它们分开，分成两个小袋子。

分块矩阵也是这个道理，把大矩阵分成几个小块，每个小块单独计算行列式，然后再合并，这样一来，问题就变得简单多了。

这里面的魔法就在于你可以利用这些小块之间的关系，有时候它们甚至能互相抵消。

就像你跟朋友一起吃饭，AA制，最后平摊下来，大家都心里有数，谁也不亏。

我们先来看看什么是行列式。

行列式可以说是一个数字，能告诉你很多关于这个矩阵的秘密。

比如说，行列式为零，哎呀，那就意味着这个矩阵是“瘫了”，也就是说行与列之间有些奇妙的关系，可能是线性相关的。

如果行列式不为零，那就说明这个矩阵健健康康的，能发挥作用。

就好比一个球队，队员们配合得当，最后能够打出精彩的比赛。

接下来咱们看看分块矩阵。

假设有个大矩阵，咱们把它分成四个小矩阵，像个Tetris游戏那样。

这里就涉及到行列式的乘法法则。

有个公式，听着高大上，其实很简单。

假设你的大矩阵可以分成A、B、C、D四个小块，行列式的计算可以这样搞：|A| * |D| |B| * |C|。

是不是一下子觉得清晰多了？这就像在厨房里做菜，先把每个食材准备好，最后再一锅炖，味道更浓厚。

实际计算的时候也有一些小技巧，比如说，如果你能通过行变换，把矩阵化成上三角形，行列式就好计算得多了。

就像你在清理房间，把东西都搬到一边，再慢慢打理，这样就一目了然。

反正你只要记住，行变换不会改变行列式的值，心里就不会慌了。

分块阵的行列式的计算
分块阵的行列式的计算可以通过利用分块矩阵的性质来简化计算。

假设我们有一个分块矩阵A，可以表示为：
A = [A11 A12]
[A21 A22]
其中A11, A12, A21, A22分别表示A的四个分块矩阵。

则A的行列式可以表示为：
det(A) = det([A11 A12])
[A21 A22]
根据分块矩阵的性质，我们可以得到以下等式：
det(A) = det([A11 A12])
[A21 A22]
= det(A11) * det(A22 - A21 * A12)
其中A22 - A21 * A12表示Schur补矩阵。

因此，计算分块矩阵的行列式可以先计算Schur补矩阵的行列式，然后将其乘以A11的行列式。

例如，假设我们有如下分块矩阵A：
A = [A11 A12]
[A21 A22]
如果A是一个2×2的矩阵，我们可以将其分块为如下形式：A = [a b]
[c d]
则A的行列式可以计算为：
det(A) = det([a b])
[c d]
= det(a) * det(d - c * b)
这个公式也可以扩展到更大的分块矩阵的情况。

总结起来，计算分块矩阵的行列式可以通过计算Schur补矩阵的行列式，然后将其乘以分块矩阵中一个分块的行列式。

这样可以简化计算，避免直接计算较大矩阵的行列式。

关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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矩用利绍介文本，法方多很有算计的式列行列行算计法乘的阵矩块分及式公式列行的积乘阵.值的式算计式公式列行的积乘阵矩用利l 值的式列行，阵方阶I 的上P 域数是都B 与A 设：理定则B A =AB .=I D 式列行求l 例!(s o c l l !-2!(s o c )l !-3!(s o c …)l !-I )!(s o c l !-2!(s o c l)2!-3!(s o c …)2!-I )!(s o c l !(s o c )3!-2!-3!(s o c …l)3!-I )……………!(s o c l !-I !(s o c )2!-I !(s o c )3!-I l…).值的=2D ：然显：解!(s o c l l !-2)!(s o c l !-2l)=!(2s o c -l l !-2!(2n i s =)l !-2.)得以可阵矩的应对式列行此察观，时2>I 当：到!(s o c ll !-2!(s o c )l !-3!(s o c …)l !-I )!(s o c l !-2!(s o c l )2!-3!(s o c …)2!-I )!(s o c l !-3!(s o c )2!-3!(s o c …l )3!-I )……………!(s o c l !-I !(s o c )2!-I !(s o c )3!-I l …)T II I II ILT II II II J=!n i s l !s o c l 0…0!n i s 2!s o c 20…0……………!s o c I !n i s I 0…0T I I I I LT I II I J !s o c l!s o c 2!s o c ...I !n i s l !n i s 2!n i s ...I 0...00............0 (00)TI II I I IL T II I I II J ：得I B I I A I =I B A I ：式公式列行的积乘阵矩由!(s o c ll !-2!(s o c )l !-3!(s o c …)l !-I )!(s o c l !-2!(s o c l)2!-3!(s o c …)2!-I )!(s o c l !-3!(s o c )2!-3!(s o c …l)3!-I )……………!(s o c l !-I !(s o c )2!-I !(s o c )3!-I l…)=!s o c l !n i s l 0…0!s o c 2!n i s 20…0……………!s o c I !n i s I 0…0!s o c l !s o c 2!s o c …I !n i s l !n i s 2!n i s …I 0…0……………000=的式列行算计法乘的阵矩块分用利2值：知理定）e c a I p a L （斯拉普拉由A l l 0A l 2A 22=.阵方是都22A ，l l A 中其，I 22A I I l l A I ：到广推易容很A l l 0…0A l 2A 220……………A l S A 2S A …SS IS S A I …I 22A I I l l A I =收稿日期：2003-04-09，修回日期：2004-05-09作者简介：陈怀琴（l948-），女，安徽蒙城人，副教授.第25卷第6期井冈山师范学院学报（自然科学）2004年l2月JournaI of Jinggangshan NormaI CoIIege （NaturaI Sciences ）VoI.25No.6Dec.2004值的式列行算计法乘的阵矩块分和阵矩用利名玉徐,琴怀陈）900343安吉西江,系学数用应与学数院学范师山冈井（算计法乘的阵矩块分用利，后块分地理合妙巧阵矩将；值的式列行算计式公式列行的积乘阵矩用利：要摘.值的式列行法乘;块分;式列行;阵矩：词键关30-2700-60)4002(579l -600l ：号编章文A：码识标献文22.l 5l 0：号类分图中第6期线角对主的它于等式列行的阵矩形角三下块分即.积乘的式列行的块小有所上阵矩形角三上块分到得可又置转的阵矩用利：式列行的A 11A 21A …s 1A 022A …s2………...A 0ss A l =11A l l 22ls s A l …l 角对主的它于等也式列行的阵矩形角三上块分即.积乘的式列行的块小有所上线时式列行算计在阵矩形角三）下（上块分此因.的便方较比是=E ：块分行进下如阵矩位单将E m 00E IH对它进行下述三种分块矩阵的初等变换：；换对）列（行块两把D 1不式列行个一）乘右或（乘左）列（行块一某D 2;P 阵方的0为D 阵矩(P 的）列（行块一另上加）列（行块一某D 3；倍：阵矩的型类下如到得0E I E m0;P 00E I ;E m 00 P ;E m P 0E I ;E m 0P E I分一任乘左阵矩些这用，阵矩等初块分是都些这阵矩块A B C D,只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：0E I E m 0A B C D =C DAB(1D P 00E IA B C D =PA PB C D(2D E m0P E IA B C D =A BPA+C PB+ D(3D在(3D 式中适当地选择P ,可使PA +C =0,从而使（3）式右端变成分块上三角形矩阵.例2设AB=BA 且l A l !0,证明：A BC D=l DA-CB l证明：由AB =BA 且l A l !0知：A 、B 为同阶方阵，设A 、B 为I 阶方阵，又由A B C D知，C ，D 也为I 阶方阵.由（3）式知：E I 0P E IA B C D =A BPA+C PB+ D 因为l A l !0，故A 可逆，于是可选择P =-CA -1，可得：PA+C =-CA -1A+C =-C+C =0于是E I0-CA-1E IA B C D =A B0-CA -1B+D,从而E I 0-CA-1E IA B C D=AB0-CA -1B+D由E I0-CA-1E I =1知：A B C D =A B 0-CA -1B+D=A-CA -1B+D =-CA -1B+DA =(-CA -1B+D D A =-CA -1BA+DAAB=BA-CA -1AB+DA =-CB+DA =DA-CB例3计算行列式D=0a 1+a 2…a 1+a I a 2+a 1…a 2+a I …………a I +a 1a I +a 2…,其中a i !0（i =1,2,…,I ）,I "2.解：D =-2a 10-2a 20-2a I+a 1+a 1a 1+a 2…a 1+a I a 2+a 1a 2+a 2…a 2+a I …………a I +a 1a I +a 2…a I +a I=-2a 10-2a 20-2a I+a 11a 21a I111…1a 1a 2…a IH令A =-2a 10-2a 20-2a I ,B 1=a 11a 21a I1,B 2=11…1a 1a 2…a IH则D =A+B 1B 2=A+B 1B 2E 2=A+B 1B 2B 10E 2一方面，AB 1-B 2E 2H E I 0B 2E 2H =A+B 1B 2B 1E 2H,而E I 0B 2E 2=E IE 2=1,这里E I 是I 阶单位矩阵，E 2·····················值的式列行算计法乘的阵矩块分和阵矩用利：名玉徐,琴怀陈73井冈山师范学院学报（自然科学）第25卷第6期Calculate the Value of determinant using matrixand the multiplication of diViding matrixCHEN Huai-gin,XU Yu-ming(department of Mathematics &Application Mathematics,Jinggangshan Normal College,Ji'an 343009,China)Abstract:Calculate the volue of determinant using determinant formula of matrix product.After dividing the matrix product.After dividing the matrixingen iously and reasonably,calculate the value of determinant utilizing the multiplication of dividing matrix.Key words:matrix;determinant;divide;multiplication是二阶单位矩阵.则D =A+B l B 2=A+B l B 2B lE 2=AB l-B 2E 2.另一方面，E n0B 2A-lE 2AB l-B 2E 2=AB l0E 2+B 2A -lB l,从而AB l-B 2E 2=A B l0E 2+B 2A -lB l=AE 2+B 2A -lB l因此D =A+B l B 2=AE 2+B 2A -lB l ,其中A =（-2）na l a 2…a n .A -l =-l 2a l 0-l 2a 20-l 2a n I I I I I I II I I I I I I,B 2A -l B l =l l …l a l a 2…a n-l 2a l 0-l 2a 20l 2a nI I I II I II I I I I I Ia l l a 2l a nI I II I I I Il =-n 2-l 2(l a l +l a 2+…+l a n )-l 2(a l +a 2+…+a n )-n 2 II I I II ,E 2+B 2A -l B l =l-n 2-l 2(l a l +l a 2+…+l a n )-l 2(a l +a 2+…+a n )l-n 2 II I I II,得到D =（-2）n -2a l a 2…a n(n -2)2-(a l +a 2+…+a n )(l a l +l a 2+…+la n)参考文献：〔l 〕北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第2版)〔M 〕.北京：高等教育出版社,l993.〔2〕四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第2版）〔M 〕.北京：高等教育出版社,l998.········· (74)。

§4 矩阵分块法本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。

一、分块矩阵的概念设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43⨯矩阵111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 我们可以把它分成如下的四块111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。

在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。

例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的111121a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1213122223a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 312141a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3233224243a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们可以把A 简单地写成11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。

二、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（1）分块矩阵的加法设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，采用同样的分块方法得1111r s sr A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r s sr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则11111111r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭（2）数乘分块矩阵设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，λ为实数，则1111r s sr A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）分块矩阵的乘法设()ij m l A a ⨯=，()ij l n B b ⨯=，分别分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则1111r s sr C C AB C A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1tij ik kj k C A B ==∑（1,2,,i s = ，1,2,,j r = ）例1 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求乘积AB解 为了求乘积AB ，我们可以对A 、B 进行如下的分块1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1E O A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭112122B E B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭按分块矩阵的乘法可得11111212211121122E O B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 11121121010111211A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2411-⎛⎫= ⎪-⎝⎭122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1010120124331131AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）分块矩阵的转置设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则1111T T s T T T r srA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（5）分块对角阵在n 阶方阵A 的分块矩阵中，如果只有在主对角线上有非零的小方阵，而其余子块均为零矩阵，即12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 称为分块对角阵。

计算行列式常用的7种方法行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有多种方法可供选择，下面将介绍行列式的常用计算方法。

1.代数余子式展开法代数余子式展开法是计算行列式的最常用方法之一、对于n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列展开。

选择一行展开时，可以使用代数余子式，即将每一元素乘以其代数余子式后再求和。

例如，对于3阶行列式\(\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h &i\end{bmatrix}\)选择第一行展开，计算行列式的值为\(aA_{11} - bA_{12} +cA_{13}\)，其中\(A_{ij}\)表示第i行第j列元素的代数余子式。

类似地，可以选择列展开，使用代数余子式计算行列式的值。

2.初等变换法初等变换法是计算行列式的另一种常用方法。

通过一系列的行变换或列变换，将行列式转化为三角形矩阵或对角矩阵。

对于三角形矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积；对于对角矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积。

初等变换包括行交换、行缩放和行加减，可以有效地简化行列式的计算过程。

3.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式的一种常用方法，适用于任意阶的行列式。

选择其中的一行或一列展开，将行列式拆解为一系列子行列式的乘积。

每个子行列式的阶数比原行列式小1，可以继续进行递归的计算。

拉普拉斯展开法可以使用代数余子式进行计算，也可以利用构造矩阵的方式计算。

4.三对角矩阵法三对角矩阵法适用于计算特殊形式的行列式，即矩阵中除了对角线和相邻对角线上的元素外，其他元素都为0的情况。

计算三对角矩阵的行列式可以通过逐步化简为二阶或一阶行列式进行计算。

这种方法可以加速计算过程，特别适用于较大阶数的行列式。

5.特殊行列式法对于特殊形式的行列式，例如范德蒙行列式、希尔伯特行列式等，可以利用其特殊性质进行计算。