例谈数列有界性证明的几种方法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

例谈数列有界性证明的几种方法数列有界性是数学分析中一个重要的概念，指的是数列的所有项都在一些范围内，不会无限地递增或递减。

证明数列有界性的方法有很多，下面将介绍其中几种常用的方法。

一、数列的定义法利用数列的定义进行证明是最直接的方法。

数列的定义是一个对于所有自然数n，都存在一个实数an对应的命题。

因此，可以通过确定一个合适的数M，使得对于所有的n，都有，an，≤M，从而证明数列有界性。

二、数列的收敛性如果一个数列收敛，那么它一定有界。

这可以通过数列的极限定义来证明。

假设数列(an)收敛于a，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n≥N时，有，an - a，<ε。

那么对于任意的n，有，an， = ，an - a + a，≤ ，an - a， + ，a，< ε + ，a。

所以可以选择M = max{ε + ，a，, ，a1，, ..., ，aN-1，}，则对于所有n，都有，an，≤M，证明数列有界性。

三、数列的单调有界性如果一个数列是单调递增且有上界，或者是单调递减且有下界，那么它一定有界。

这可以通过数列的单调性和上（下）界定义来证明。

假设数列(an)是单调递增且有上界M，即对于任意的n，都有an ≤ an+1和an≤ M。

那么对于任意的n，有an ≤ M，证明数列有界性。

四、Cauchy准则如果一个数列满足Cauchy准则，那么它一定有界。

Cauchy准则是指对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m, n≥N时，有，am - an，<ε。

可以通过构造一个递增有界数列和递减有界数列，利用数列的极限定义和Cauchy准则来证明数列的有界性。

五、数列的最值如果一个数列的一部分有界，并且剩余部分趋于∞或者-∞，那么整个数列必定有界。

可以通过找到数列的最大值和最小值，并与∞和-∞进行比较来证明数列的有界性。

以上是数列有界性证明的几种常用方法，通过不同的方法来判断数列是否有界，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。

例谈数列有界性证明的几种方法数列有界性是数学中常见的概念，是指数列当中的数值都有一定的上限或下限。

以做到证明一个数列的有界性为例，其证明方法可以有以下几种：（1）直接法。

直接法是最基本的证明方法，也是最常用的方法之一，是指从具体的数列的每一项开始，逐个推导出数列的有界性。

具体的做法是：首先，假定a1，a2，a3，…，an是一个数列，证明它是有界数列；下一步，找出该数列最大项a1，即有a1≥a2，a1≥a3，…，a1≥an；接着，取a1的上界为M，即M≥a1，M≥a2，M≥a3，…，M≥an，从而得出a1，a2，a3，…，an都不超过M，也就是说，数列a1，a2，a3，…，an具有上界M，因此是有界数列。

（2）反证法。

反证法和直接法恰恰相反，即从定理的否定情况出发，对可能导致此种否定情况发生的因素进行研究，从而证明定理本身。

具体来说，反证法也是用来证明数列有界性的，就是从首先假设有一个极限数列不具有上界或下界，然后把它分解为普通数列，再利用反证法来推导出是否有上界或下界，从而达到证明极限数列的有界性的目的。

（3）利用数的性质证明。

该证明方法指的是利用数的性质去证明数列有界性，如极限性、有界性等，通过把一个未知数列分解成等差数列或等比数列，再利用这些性质推导出最终结果。

特别是，当数列满足等差条件时，利用极限性可以快速得出数列有界性的结论。

（4）利用对偶原理进行证明。

对偶原理是指如果某一证明不能被推导出结论，那么可以反过来推导出反面结论，从而使其成为可能的结果。

举个例子，如果要证明数列a1，a2，a3，…，an是有界的，就可以反过来推导出它不是有界的，然后把它分解为普通数列，再利用对偶原理来推导出有界性结论。

以上就是有关数列有界性证明的几种方法。

针对不同的情况，我们可以根据自身需求来选择适合的方法，来证明一个数列是否有界。

综上所述，我们可以看出，在数学领域中，证明一个数列的有界性是很重要的，了解和掌握以上几种方法都是数学学习的必要部分，有助于深入探索数学的奥秘。

数列极限证明题型及解题方法
数列极限证明题型主要包括单调有界数列的极限证明、递推数列的极限证明、函数极限与数列极限的关系证明等。

下面介绍一些常见的数列极限证明题型及解题方法。

1. 单调有界数列的极限证明：
设数列{an}为单调递增数列且有上界，要证明序列{an}收敛。

一般可采用以下两种方法之一：
- 利用单调有界原理：由于数列{an}为单调递增且有上边界，根据单调有界原理，该数列必定存在极限。

- 找到上确界和下确界：由于该数列有上界，可设上界为M，同时查找下确界，证明数列{an}的极限存在。

2. 递推数列的极限证明：
设数列{an}满足递推关系an+1 = f(an)，其中f(x)为已知函数。

一般可采用以下两种方法之一：
- 显式计算法：若递推关系能够推导出显式的解析表达式an = g(n)，则可通过计算g(n)的极限来证明数列{an}的极限存在。

- 极限迭代法：设数列{an}的极限为L，对递推关系an+1 =
f(an)两边同时取极限，得到L = f(L)，进而求得L的值。

3. 函数极限与数列极限的关系证明：
对于给定的函数f(x)，要证明该函数在某点c处存在极限L，可以采用以下方法之一：
- 利用数列极限定义：构造数列{an}，使得函数f(x)在点c附近的取值与数列{an}之间存在关系，然后利用数列的极限来证明函数的极限存在。

- 利用函数极限定义：对于给定的极限L，构造函数f(x)，使得当x趋近于c时，函数f(x)的极限趋近于L。

例谈数列有界性证明的几种方法本文旨在介绍数列有界性证明的几种方法。

首先，本文将从数列的定义出发，来解释什么是数列有界性；接着，将简要介绍三种证明数列有界性的方法，分别是极大值法、极小值法和凸性法；最后，本文将通过一个实例，来阐述这三种证明数列有界性的方法的应用。

首先，让我们来理解数列的定义。

数列可以定义为由无穷多个有限的确定的数字组成的有序集合。

它可以用一个公式来表示，即an= xn+ a，其中a是常数，xn是正整数。

据此，我们可以定义数列有界性，即数列的任意一个元素都在有界的范围内。

其次，本文将介绍三种证明数列有界性的方法，分别是极大值法、极小值法和凸性法。

极大值法是指假设数列中存在极大值或极小值，将其等于极大值或极小值，从而证明数列有界性。

极小值法的思路与极大值法类似，也是指假设数列中存在极大值或极小值，将其等于极小值，从而证明数列有界性。

凸性法是指假设图像的凸性，即根据凸性证明数列有界性。

最后，为了使读者更好地理解本文所讲的三种证明数列有界性的方法，本文将以下面这个例子来论证：设有数列{ a1，a2，a3，a4，…，an，an+1，… }，其中 an= xn+ a，a是常数，xn是正整数。

以极大值法为例，假设数列{ a1，a2，a3，a4，…，an，an+1，… }中存在极大值为A，即存在一个自然数N（N>A），使an≤A，n≥N，同时也有an＞A，n<N。

则有a1，a2，a3，a4，…，an，an+1，n≥N，同时也有an＞A，n<N，故数列是有界的。

类似地，极小值法也是假设数列中存在极小值，将其等于极小值，从而证明数列有界性；而凸性法则是假设图像的凸性，从而证明数列有界性。

综上所述，本文介绍了三种证明数列有界性的方法：极大值法、极小值法和凸性法。

本文还以实例分析说明了这三种证明数列有界性的方法的应用。

数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。

理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。

一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。

如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。

二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。

如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。

三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。

解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。

当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。

令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。

所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。

例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。

解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。

证明极限存在的方法
证明极限存在的方法不要标题
为了证明一个数列或函数的极限存在，可以采用以下几种方法：
1. ε-δ定义法：对于函数的极限存在，可以使用ε-δ定义法。

首先假设ε是一个任意小的正数，然后找到一个与ε相关的正
数δ，使得当自变量趋于某个特定值时，函数值与极限之间的
差距小于δ。

这样就证明了函数极限的存在。

2. Cauchy收敛准则：对于数列的极限存在，可以使用Cauchy
收敛准则。

根据该准则，如果一个数列对于任意正数ε，存在
一个正整数N，当n和m都大于N时，数列的前n个和前m
个之差的绝对值小于ε。

这样就证明了数列的极限存在。

3. 单调有界准则：对于数列的极限存在，还可以使用单调有界准则。

根据该准则，如果一个数列是单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则该数列的极限存在。

4. 极限的代数运算性质：当已知两个数列或函数的极限存在时，可以利用极限的代数运算性质来证明其他数列或函数的极限存在。

这些性质包括四则运算、复合函数、乘法法则、比值法则等。

通过以上方法，可以证明一个数列或函数的极限存在。

需要注意的是，在证明过程中不能出现与题目要求相同的标题文字，以保证论证的逻辑严谨和清晰。

极限的线性性质例题一、关于证明数列极限的习题们例1.证明limn→∞sin⁡nπ2n=0证明：根据数列极限的定义，对于任意给定的ε>0 ，为使|sin⁡nπ2n−0|=|sin⁡nπ2n|≤1n≤ε，只需n≥1ε 。

取N=[1ε] ，当 n>N 时，以后的所有项总能满足|xn−0|=|sin⁡nπ2n−0|≤1n<ε。

所以limn→∞sin⁡nπ2n=0 。

例2.证明limn→∞4n+35n+4=45证明：根据数列极限的定义，对于任意给定的ε>0 ，为使|4n+35n+4−45|=|−15(5n+4)|=125n+20≤125n<ε n="">125ε，取N=[125ε] ，当 n>N 时，有|xn−45|=|4n+35n+4−45|<125n<ε。

所以，limn→∞4n+35n+4=45 。

例3.证明limn→∞(n2+1−n2)=0证明：根据数列极限的定义，对于任意给定的ε>0 ，为使|n2+1−n2−0|=n2+1−n2=1n2+1+n2<1n2+1<1n2=1n<εn="">1ε ，取N=[1ε] ，则当 n>N 时，以后的所有项总能满足|xn−0|=|n2+1−n2−0|<ε。

所以limn→∞(n2+1−n2)=0 。

二、数列极限的性质1.极限唯一性：数列 {xn} 如果有极限，那么极限是唯一的。

证明（反证法）：若不然，我们假设数列有两个极限，即{limn→∞xn=alimn→∞xn=b ,且a≠b 。

不妨设 a0 。

根据极限的定义：因为limn→∞xn=a ，对ε0=b−a2>0，总能找到一个正数 N1 ，使当 n>N1 时，|xn−a|<ε0 恒成立，所以进一步得到xn0，总能找到一个正数 N2 ，使当 n>N2 时，|xn−b|<ε0 恒成立，所以进一步得到xn>b−ε0=a+b2(2)取 N=max{N1,N2} ，则当 n>N 时，和(1)和(2) 都成立，即 {xna+b2 ，矛盾！所以如果数列有极限，那么极限不可能有多个，极限一定是唯一的！2.收敛数列的有界性：如果 {xn} 收敛，则{xn}有界。

证明极限的方法总结思路一：利用数列的定义证明一般来说，如果已知数列的表达式，欲证明数列的极限是给定的实数，那么我们通常采用定义法来证明数列收敛。

首先，我们再来回顾一下数列极限的概念。

如果对于任意ϵ>0，都存在N，使得对任意n≥N都有|a n−A|<ϵ，就称数列{a n}收敛于A，或者称A是数列{a n}的极限。

所以如果不知道数列到底收敛到何值，或者难以得到数列的具体表达式，我们很难利用定义证明数列收敛。

而用定义法证明数列收敛的思路是显而易见的，就是对于任意给定的ϵ，设法寻找相应的N，使得n≥N时候数列的每一项与A的差值小于给定的ϵ。

N一般来说是可以用ϵ表示的。

这里要注意，我们要做的事情并不一定是解不等式|a n−A|<ϵ（如果这个不等式比较容易解，当然解不等式就可以找到需要的N），一般来说这个不等式并不是很好解。

想办法利用表达式的特征找到N就好了。

首先，我们暂时还不知道对给定的ϵ，要取的N为何值。

我们并没有直接获知需要的N的“特异功能”，所以先要进行分析，看看表达式的特征，通过分析发现合适的取值。

如果直接解不等式很容易，那么只需要解这个不等式就行了。

如果并不容易，我们要看能否作合适的放缩。

倘若我们找到了一个表达式g(n)，满足|a n−A|≤g(n)，而g(n)<ϵ这个不等式很好解，比如说现在找到了一个N，n≥N的时候g(n)<ϵ那么自然|a n−A|≤g(n)<ϵ。

虽然这个N并不一定是“最好的”，但是我们并不在乎这一点，只要找到就行了。

至于具体怎么放缩还是要看式子的特征，难以统一归纳了。

下面我们来看一些例子。

例1：证明lim n→∞1n2=0分析：对于给定的ϵ>0，需要找到使得∣∣1n2−0∣∣<ε成立的n的阈值。

这里这个不等式并不难解，所以可以解出来n>1ε√，所以取N=[1ε√]+ 1就可以了（方括号表示取整数部分）。

因为经过了这样的分析，接下的证明我们径直如是取N的值。

证明函数有界的方法要证明一个函数是有界的，我们需要找到一对常数M和N，使得函数的值永远都在这个区间内。

下面将介绍几种常见的方法来证明函数的有界性：1.利用数列的极限性质：对于序列{an}，如果能证明其极限为L，则可以得出函数的有界性。

具体而言，如果对于任意正实数ε，存在对应的整数N，使得当n>N时，an−L，<ε，那么函数f(x)在定义域上是有界的。

证明思路是找到足够大的N，使得函数在N之后的值都在一个有界的范围内。

2.用导数证明：如果一个函数在定义域上是单调递增（或单调递减）的，并且存在一个实数M，使得在其定义域上的导数，f'(x)，≤M，那么函数f(x)是有界的。

证明思路是通过导数的性质，证明f'(x)≤M，进而得出f(x)在定义域上是有界的。

3.利用中值定理：如果一个函数f(x)在一个闭区间[a,b]上是连续的，并且在开区间(a,b)上可导，如果存在一个实数M，使得，f'(x)，≤M，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上是有界的。

证明思路是使用中值定理将函数变形，并结合导数的性质，证明，f(x)，≤M。

4.利用有界闭区间上的连续函数的性质：如果一个函数在一个有界闭区间上是连续的，则它在这个区间上是有界的。

这是因为有界闭区间上的连续函数的值不会无限制地逼近无穷大或无穷小，而是在一定范围内浮动。

5.利用函数的周期性：如果一个函数是周期函数，并且在一个周期内是有界的，那么函数在整个定义域上也是有界的。

证明思路是通过周期性，将函数的定义域分解为多个周期，每个周期内都是有界的。

以上是一些常见的证明函数有界性的方法，具体的证明需要根据具体的函数和题目情况来选择合适的方法。

需要注意，在证明过程中需要合理运用数学定义和性质，严密推理，确保证明的正确性。

考研判别有界的四大方法在数学中，有界性是一个重要的概念。

在考研数学中，判别一个函数或者数列是否有界是一个常见的问题。

本文将介绍四种常用的方法来判别函数或者数列的有界性。

一、数列的判别方法1. 有界性的定义：一个数列是有界的，即存在一个正数M，对于数列中的任意一项，都有|a_n|≤M成立。

2. 判别方法一：使用数列极限如果一个数列的极限存在且有限，那么这个数列是有界的。

即lim(n→∞) a_n = L (L为有限数)时，数列{a_n}是有界的。

3. 判别方法二：使用收敛数列的性质如果一个数列是一个收敛数列，那么它是有界的。

即数列{a_n}收敛于a时，数列{a_n}是有界的。

4. 判别方法三：使用单调有界数列的性质如果一个数列是一个单调有界数列，那么它是有界的。

即若数列{a_n}单调递增且有上界，或者数列{a_n}单调递减且有下界，则数列{a_n}是有界的。

二、函数的判别方法1. 有界性的定义：函数f(x)在区间[a, b]上有界，即存在一个正数M，对于区间[a, b]上的任意一个x，都有|f(x)|≤M成立。

2. 判别方法一：使用函数的极限如果函数f(x)在区间[a, b]上的极限存在且有限，那么函数f(x)在区间[a, b]上是有界的。

即lim(x→a+) f(x) = L1，lim(x→b-) f(x) = L2，L1和L2都是有限数时，函数f(x)在区间[a, b]上是有界的。

3. 判别方法二：使用函数的连续性如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则函数f(x)在区间[a, b]上是有界的。

4. 判别方法三：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a, b]上单调且有界，则函数f(x)在区间[a, b]上是有界的。

判别数列和函数的有界性有多种方法，包括使用数列或函数的极限、收敛性、单调性和连续性等。

在考研数学中，需要灵活运用这些方法来判别给定数列或函数的有界性。

此外，还需要注意在判别过程中避免歧义或错误信息的出现，确保准确性和严谨性。

数列极限判断方法数列是数学中的重要概念之一，它在许多数学领域中都有着广泛的应用。

而对于数列的极限问题也是数学分析中的重要内容之一。

数列极限判断是指通过一些特定的方法和理论判定一个数列是否存在极限，以及确定该极限的值。

在本文中，我们将介绍一些常见的数列极限判断方法。

首先，我们来介绍数列极限的定义：设有一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N 时，不等式|an-a|<ε成立，那么我们就称a是数列{an}的极限，记作lim （n->∞）an=a。

其中，an称为数列的通项。

以下是一些常见的数列极限判断方法：一、有界性及无穷小数列判定法：如果数列{an}既有上确界又有下确界，并且当n趋于无穷大时，an趋于零，那么称该数列为无穷小数列。

如果数列{an}是无穷小数列，那么它的极限必定为零。

另外，如果数列{an}有界，并且数列{bn}也有界，且lim（n->∞）bn=0，那么数列{an}的极限等于数列{an}与{bn}的乘积的极限值。

二、夹逼定理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足an ≤ bn ≤ cn（n为自然数），且lim （n->∞）an=lim（n->∞）cn=a，那么数列{bn}的极限也等于a。

三、单调有界性定理：如果数列{an}单调递增且有上界（即存在M，使得对于任意的n，有an ≤ M），那么数列{an}必定收敛，且其极限为sup{an}，即上确界。

同样地，如果数列{an}单调递减且有下界，那么数列{an}必定收敛，且其极限为inf{an}，即下确界。

四、等比数列的收敛性：对于等比数列{an}，如果0 < |q| < 1，那么数列{an}收敛且极限为0。

当|q| ≥ 1时，数列{an}发散。

五、数列的柯西准则：设数列{an}满足对于任意给定的正实数ε，存在自然数N，使得当m, n > N时，有|am-an|<ε。

数列极限的证明方法介绍数列极限的证明方法介绍数列极限是数学中的知识，拿这个知识是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的数列极限的证明内容，希望大家喜欢。

数列极限的证明方法一X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|<|Xn-A|/A以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

数列极限的证明方法二证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为0数列极限的证明方法三根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题：n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1 =0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1 /n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/( 1/n)=0*1=0数列的极限知识点归纳一、间断点求极限1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

数列有界和无界的定义
一、数列有界的定义
1. 定义
- 对于数列{a_{n}}，如果存在正数M，使得对于所有的n∈ N^+（N^+表示正整数集），都有| a_{n}|≤ M，则称数列{a_{n}}是有界数列。

- 例如数列a_{n}=(1)/(n)，对于任意的n∈ N^+，| a_{n}|=(1)/(n)≤1，这里M = 1，所以数列{a_{n}}是有界数列。

2. 等价表述
- 存在数m和M，使得对于所有的n∈ N^+，有m≤ a_{n}≤ M。

也就是说数列{a_{n}}的所有项都介于m和M之间（包括m和M）。

例如数列a_{n}=sin n，因为- 1≤sin n≤1，这里m=-1，M = 1，所以数列{a_{n}}是有界数列。

二、数列无界的定义
1. 定义
- 如果对于任意给定的正数M（无论M多么大），总存在正整数n_{0}，使得| a_{n_{0}}|>M，那么就称数列{a_{n}}是无界数列。

- 例如数列a_{n}=n，对于任意给定的正数M，取n_{0}=lceil Mrceil+ 1（lceil Mrceil表示不小于M的最小整数），则a_{n_{0}}=n_{0}>lceil Mrceil≥ M，所以数列{a_{n}}是无界数列。

数列极限的证明方法
数列极限的证明方法有多种，以下列举几种基本的证明方法：
1. 利用定义：首先根据数列极限的定义，证明数列满足定义的条件，即对于任意给定的正实数，都存在一个正整数N，使得当n大于N时，数列的前N项与该实数之差的绝对值小于该实数。

然后根据定义的条件，利用数学运算等方法，对给定的实数和数列的项进行推导，最终得到数列的极限。

2. 利用夹逼定理：对于一个数列，如果它的所有项都被夹在两个极限不同的数列之间，那么该数列的极限与这两个数列的极限相同。

因此，可以利用夹逼定理来证明数列的极限。

3. 利用单调有界原理：如果一个数列单调递增或单调递减，并且有界，那么该数列一定收敛。

因此，可以利用单调有界原理来证明数列的极限。

4. 利用递推公式：如果一个数列能够用递推公式来表示，那么可以通过递推公式的性质来推导出该数列的极限。

5. 利用Cauchy准则：对于一个数列，如果满足Cauchy准则，即对于任意给定的正实数，都存在一个正整数N，使得当n,m大于N时，数列的第n项与第m项之差的绝对值小于该实数。

那么该数列一定收敛。

因此，可以利用Cauchy
准则来证明数列的极限。

证明数列极限存在的方法大总结最近几年证明数列极限存在已经成为考研数学的压轴大题了，而且有的题目确实挺操蛋的，关于证明数列极限存在的问题确实有一定的难度，这里唐老师给大家进行详细的总结这类问题的方法：一、利用夹逼准则夹逼准则利用夹逼准则关键是进行不等式放缩，这里是有一定技巧的。

1.比如在求数列n项和极限利用夹逼准则时，往往对分母进行统一化放缩，分母都取最大的，整体就放小了；分母都取最小的，整体就放大了，然后再计算两边的极限即可，这里举一道例题2.关于数列非n项和（不妨称为m项和），其计算方法也是利用夹逼准则，但是我们可以将其总结为固定的答题公式，关于公式怎么来的，我们不在这里详述（主要是因为不太方便打字，哈哈哈哈哈哈），其经典模式及公式为数列m项和极限计算公式照猫画虎，我们举例说明本题也是2023年数学四考研真题稍加改变再给出一道经典例题，改题的出法就明显高于上面的考研真题了，请同学们好好琢磨：4.有的考研真题需要综合利用定积分定义和夹逼准则方可解决，如何1998年数学一的真题二、利用单调有界准则当然，以上还没有涉及到证明数列极限存在的难题。

考研中，证明数列极限存在的题目十之八九考查单调有界准则，而单调有界准则是大多数同学们比较困难的地方，因为既要证明单调性，又要证明有界性，往往这两个并不是容易证明的。

单调性的证明往往有两种手段：若某_{n+1}-某_{n}>0 ，则数列 {某_n} 单调增加，否则单调减少；若 \frac{某_{n+1}}{某_n}>1 ，则数列 {某_n} 单调增加，否则单调减少。

利用单调有界证明数列极限存在的题目往往都是已知递推式的特点，我们来看2002年数学二的一道真题2002年数学二，解析出自《考研数学核心考点1200题》这个题目的有界性证明利用了数学归纳法，这也是很多题目证明有界性的常见方法。

有的题目的有界性及单调性的证明除了利用归纳法外，还需要根据题目条件及常见的不等式来处理，比如2023年考研数学真题，这个题目成了当然的压轴题：2023年真题，解析来自《考研数学核心考点1200题》《考研数学核心考点1200题》当然，可能会出现比较操蛋的题目，就是数列不具备单调性，我们应该如何处理，这是再利用单调有界就属于重在参与了，如同学们可以观察发现数列某_n 不具备单调性（当然可能有点为难大家了，因为你们可能观察不出来），我们可以令某_{n+1}=y,某_n=某，得到函数 y=f(某) ，如果 f'(某)>0 ，可以得出数列 {某_{n}} 具备单调性。

数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。

故可从最原始的定义出发计算数列极限。

例1、用ε-N 方法求n n n 1lim +∞→解：令nn 1+=t+1 则 t>0∴ n+1=nt )1(+2)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ε∀>0 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有∴ n n n 1lim +∞→=1二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其内容如下： 在实数系中，有界的单调数列必有极限。

证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。

由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。

以下证明a 就是{n a }的极限。

事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有 这就证得a a n n =∞→lim 。

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。

例2、证明数列收敛，并求其极限。

证：222 ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。

现用数学归纳法来证明{n a }有上界。

显然 221<=a 。

假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,即{n a }有上界。

由单调有界定理，数列{n a }有极限，记为a 。

由于 对上式两边取极限得 a a +=22，即有（a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2 由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{n a }，}{n b 都以a 为极限，数列}{n c 满足：存在正数0N 当0N n >时有n n n c b a ≤≤ （1） 则数列}{n c 收敛且a c n n =∞→lim证：0>∀ε 由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim 分别存在正数1N 与2N 使得当1N n >时有n a a <-ε （2） 当2N n >时有ε+<a b n （3） 取},,m ax {210N N N N = 则当N n >时不等式（1），（2），（3）同时成立即有从而有 ε<-a c n 即证所得结果。