实验3 随机过程的特征估计
实验报告
1、产生一组均值为1，方差为4 的正态分布的随机序列（1000 个样本），估计该序列的均值与方差。
解：MATLAB代码：
R=NORMRND(1,2,1,1000) %产生均值为1方差为4的正态分布的1000个随机序列
mean(R) %返回序列R的均值
V AR(R) %返回序列R的方差
figure(1);
subplot(2,1,1)
stem(R); %绘制离散R序列
title('序列R')
subplot(2,1,2)
hist(R,15); %绘制R序列的分布
title('序列R的分布')
输出结果：
均值：ans = 1.0911
方差：ans =4.2540
从输出结果中可以看到，输出的均值和方差接近所给值，R序列的分布图可接近正态分布。
2、按如下模型产生一组随机序列：
x(n)=0.8x(n-1)+w(n)
其中w(n)为均值为1，方差为4 的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数与功率谱。
解：MATLAB代码：
Fs=1; %采样频率
n=0:1/Fs:1000;
%生成均值为1方差为4的正态分布白噪声序列
w=randn(1,1000);
w=w/std(w);
w=w-mean(w);
a=1; %均值为1
b=4; %方差为4
w=a+sqrt(b)*w;
x=zeros(1,1000);
x(1)=w(1);
for n=2:1000
x(n)=0.8*x(n-1)+w(n);
end
nfft=1000;
cxn=xcorr(x,'unbiased'); %计算x(n)的自相关函数figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(cxn); %绘制自相关函数图
title('信号x的自相关函数')
%自相关法功率谱估计
CXk=fft(cxn,1000);
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
subplot(3,1,2)
plot(k,plot_Pxx);
title('信号x的功率谱');
%周期图法功率谱估计
window=boxcar(length(x));%矩形窗
[Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,Fs);%直接法
Subplot(3,1,3)
plot(f,10*log10(Pxx))
title('周期图法得到的功率谱')
3、设信号为x(n)=sin(2πf1n)+2cos(2πf2n)+w(n)，n=1,2,....,N，其中f1=0.05，f2=0.12，w(n)为正态白噪声，试在N=356 和1024 点时，分别产生随机序列x(n)、画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。
解：当N=356时,
MATLAB代码：
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
xn=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+randn(size(n)); %产生xn的随机序列
nfft=356;
subplot(3,1,1)
plot(n,abs(xn)) %绘制xn的波形
title('x(n)=sin(2πf1n)+2cos(2πf2n)+w(n)的信号')
%自相关法功率谱估计
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算自相关函数
CXk=fft(cxn,nfft); %傅立叶变换
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
subplot(3,1,2)
plot(k,plot_Pxx) %绘制功率谱图
title('自相关法得到的功率谱')
%周期图法功率谱估计
window=boxcar(length(xn));%矩形窗
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);
Subplot(3,1,3)
plot(f,10*log10(Pxx))
title('周期图法得到的功率谱')
结果输出：
当N＝1024时，
MATLAB代码：
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+randn(size(n)); nfft=1024;
subplot(3,1,1)
plot(n,abs(xn))
title('x(n)=sin(2πf1n)+2cos(2πf2n)+w(n)的信号') cxn=xcorr(xn,'unbiased');
CXk=fft(cxn,nfft);
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
subplot(3,1,2)
plot(k,plot_Pxx)
title('自相关法得到的功率谱')
window=boxcar(length(xn));%矩形窗
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法Subplot(3,1,3)
plot(f,10*log10(Pxx))
title('周期图法得到的功率谱')
系统辨识方学习总结 一．系统辨识的定义 关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观 测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。L.Ljung也给 “辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。出了一个定义： 二．系统描述的数学模型 按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。经典控制理论中微 分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程 和离散状态空间方程也如此。一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控 制论中则采用时域状态空间方程建模。 三．系统辨识的步骤与内容 (1)先验知识与明确辨识目的 这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。首先从各个方面尽量的了解待辨识的 系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。 对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。 (2)试验设计 试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度 的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。主要涉及以下两个问 题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔 (3)模型结构的确定 模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的， 对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。为了讨论模型和类型和结构的选择，引 入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。所谓模型结 构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。在单输入单 输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。当具有一定阶次的模型的所有参 数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。 (4)模型参数的估计 参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶 段就称为模型参数估计。
第二讲辨识三要素 一、数据 本节介绍辨识数据的特点及获得适宜辨识的数据的方法。 随机过程x(t):在每一个时间点t=t0上，x(t)都是一个随机变量，其概率密度函数p(x,t)随时间变化。 平稳随机过程：在所有时间点上，概率分布都相同的随机过程，其概率密度函数p(x)不随时间变化。 各态遍历平稳随机过程：从整个时间轴上看，每个随机事件都会发生的平稳随机过程。其谱密度函数与概率密度函数类似。时间平均等于集合平均。 数字特征
说明：离散计算时假设采样时间间隔为T 0，则时延τ=l * T 0。 相关函数的性质 1 )0(2x x R =ψ ≥0 2 )()(ττ-=x x R R 3 |)(|)0(τx x R R ≥ 4 若x (t )是周期为T 的信号，则其自相关函数也是周期为T 的信号。即： )()()()(T R R T t x t x x x +=?+=ττ 5 若x (t )=y (t )+z (t )，且y (t )与z (t )互不相关(0)(≡τyz R )，则 )()()(τττz y x R R R += 6若x (t )=y (t )+z ，其中0=y ，z 是一个常数，则 )()(z R R y x +=ττ
7若x (t )均值为零，且不含有周期性成分，则当τ很大时，x (t )与x (t +τ)必然是互相独立的(不相关)，因此，0)(=τx R ，τ充分大。 8 若x (t )均值为零，则)()(ττx x R C =。这是因为在通常情况下，)(τx C 等于)(τx R 向下平移2 x μ，因此，当2 x μ=0时，两者相等。 9 对于线性系统y (k )=G (z )u (k )，有)()()(ττu yu R z G R = 10 虽然x (t )是个随机过程，但)(τx R 却不是随机过程，而是一个确定性的时间函数。 帕萨瓦尔(Parseval)定理与功率谱 Parseval 定理：确定性信号x (t )的总能量为：? ?∞ ∞ -∞ ∞-= ωωπ d j X dt t x 2 2 ||)(||21)( 确定性信号x (t )的平均功率： 2 2 111lim ()lim ||()||222T T T T T x t dt X j d T T ωωπ ∞ --∞→∞ →∞ = ? ? 确定性信号x (t)的平均谱密度： 2 1 ()l i m ||( )|| 2x T T S X j T ωω→∞ = 随机性信号x (t )的平均谱密度： 2 1 ()l i m {||( )||} 2x T T S E X j T ωω→∞ = 维纳—肯塔金(Wiener-Khintchine)关系式： 随机过程x (t )的谱密度)(ωx S 与自相关函数)(τx R 构成一组傅立叶变换对： ω ωπ ττ τωωτ ωτ d e S R d e R S j x x j x x ?? ∞ ∞ -∞ ∞ --= = )(21)()()( 定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换： ω ωπ ττ τωωτ ωτ d e S R d e R j S j xy xy j xy xy ? ? ∞ ∞ -∞∞ --= = )(21)()()( 应用维纳—肯塔金关系式，可以证明，对于频率响应为)(ωj G 的线性系统，在随机输入下的输出谱密度和互谱密度分别为：
实验3 随机过程的特征估计 实验报告 1、产生一组均值为1，方差为4 的正态分布的随机序列（1000 个样本），估计该序列的均值与方差。 解：MATLAB代码： R=NORMRND(1,2,1,1000) %产生均值为1方差为4的正态分布的1000个随机序列 mean(R) %返回序列R的均值 V AR(R) %返回序列R的方差 figure(1); subplot(2,1,1) stem(R); %绘制离散R序列 title('序列R') subplot(2,1,2) hist(R,15); %绘制R序列的分布 title('序列R的分布') 输出结果： 均值：ans = 1.0911 方差：ans =4.2540
从输出结果中可以看到，输出的均值和方差接近所给值，R序列的分布图可接近正态分布。 2、按如下模型产生一组随机序列： x(n)=0.8x(n-1)+w(n) 其中w(n)为均值为1，方差为4 的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数与功率谱。 解：MATLAB代码： Fs=1; %采样频率 n=0:1/Fs:1000; %生成均值为1方差为4的正态分布白噪声序列 w=randn(1,1000); w=w/std(w); w=w-mean(w); a=1; %均值为1 b=4; %方差为4 w=a+sqrt(b)*w; x=zeros(1,1000);
x(1)=w(1); for n=2:1000 x(n)=0.8*x(n-1)+w(n); end nfft=1000; cxn=xcorr(x,'unbiased'); %计算x(n)的自相关函数figure(1); subplot(3,1,1); plot(cxn); %绘制自相关函数图 title('信号x的自相关函数') %自相关法功率谱估计 CXk=fft(cxn,1000); Pxx=abs(CXk); index=0:round(nfft/2-1); k=index*Fs/nfft; plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1)); subplot(3,1,2) plot(k,plot_Pxx); title('信号x的功率谱'); %周期图法功率谱估计 window=boxcar(length(x));%矩形窗 [Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,Fs);%直接法 Subplot(3,1,3) plot(f,10*log10(Pxx)) title('周期图法得到的功率谱')
实验一：随机过程的模拟与特征估计 一、实验目的 了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB 软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。 二、实验原理 （1）高斯白噪声的产生 利用MATLAB 函数randn 产生 （2）自相关函数的估计 1 1 1 ()()?()1?()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=?+??=??=?-? ∑∑对有偏估计 对无偏估计 MATLAB 自带的函数为xcorr()，阐述xcorr 的用法 R=xcorr(x,y)或R=xcorr(x,y,’option ’) 用来求序列x(n)与y(n)的互相关函数 R=xcorr(x)或R=xcorr(x,’option ’) 用来求序列x(n)的自相关函数 option 选项是: ‘biased ’有偏估计， ‘unbiased ’无偏估计， ‘coeff ’ m=0 的相关函数值归一化为1 ‘none ’不作归一化处理 （3）功率谱的估计 利用周期图方法估计功率谱，2 1?()()x G X N =ωω 提示：MATLAB 自带的函数为periodogram()，阐述periodogram()的用法; 阐述其它谱估计方法的用法。 [Pxx,w]=periodgram(x) Pxx 为对应频率w 的功率谱密度值。 [Pxx,w]=periodgram(x,window) window =boxcar(n)矩形窗（Rectangle Window ）
Matlab的系统辨识和参数估计方法 一、引言 Matlab是一种强大的计算机软件，被广泛应用于各个领域的科学研究和工程实践。在信号处理、控制系统设计等领域，系统的辨识和参数估计是一项重要的任务。本文将介绍Matlab中常用的系统辨识和参数估计方法，包括参数辨识、频域辨识、时域辨识等方面。同时，还将探讨这些方法的优势和局限性。 二、参数辨识 参数辨识是一种推断系统输入和输出之间关系的方法。Matlab提供了多种参数 辨识工具箱，例如System Identification Toolbox。其中，最常用的方法包括最小二 乘法、极大似然法、递归最小二乘法等。 最小二乘法是一种经典的参数估计方法，通过最小化测量值与预测值之间的差 异来估计参数。Matlab中的lsqcurvefit函数可以用于最小二乘拟合曲线。例如，通 过拟合一组数据点得到一个最优的曲线，可以估计曲线的参数。 极大似然法是一种基于概率统计的参数估计方法，通过最大化观测数据出现的 似然函数来估计参数。Matlab中的mle函数可以用于极大似然估计。例如，在某个信号的概率密度函数已知的情况下，可以通过观测到的样本来估计概率密度函数的参数。 递归最小二乘法是一种递归更新参数的方法，可以在随时间变化的系统中实时 地进行参数估计。Matlab中的rls函数可以用于递归最小二乘估计。例如，在自适 应滤波中，可以通过递归最小二乘法来实时估计信号的参数。 三、频域辨识 频域辨识是一种基于频谱分析的参数估计方法，可以在频率域中确定系统的特性。Matlab提供了多种频域辨识工具箱，例如System Identification Toolbox和
设计题目一：随机过程的模拟与特征估计 一、实验目的 随机过程的特征估计是信号处理最基本的内容，希望大家通过本实验熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。 二、实验内容 按照如下模型产生一组随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n)，其中w(n)为均值为0，方差为4的高斯白噪声序列。 （1）模拟产生X(n)序列的500 观测样本函数，绘出波形图。 （2）用观测点估计信号的均值和方差。 （3）估计该过程的自相关函数和功率谱密度，并画出图形。 【分析】给定AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。或者按照一个白噪声通过 线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为： ,这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。 三、实验过程 （1）产生样本函数，并画出波形 题目中的 AR 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。 clear all; b=[1]; a=[1 -0.8]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数 h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0 randn('state',0); w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2 x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的AR 过程 plot(x,'r'); ylabel('X(n)');
title('产生的X(n) 随机序列'); grid; 得到的输出序列波行为： (2)估计信号的均值和方差。 x_mean=mean(x);% 进行时间平均，求均值subplot(121); stem(x_mean); x_var=var(x); % 求序列的方差 subplot(122); stem(x_var);
实验二 随机过程的模拟与数字特征 实验目的 1. 学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn 。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从),(2σμN 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果 )1,0(~N X ，则),(~σμσμN X +。 2.相关函数估计 MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition') 功能：xcorr(x,y)计算)(n X 与)(n Y 的互相关，xcorr(x)计算)(n X 的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列)(n X ，如果它的相关函数满足
∞<∑+∞ -∞ =m X m R )( （2.1） 那么它的功率谱定义为自相关函数)(m R X 的傅里叶变换： ∑+∞ -∞ =-= m jm X X e m R S ωω)()( （2.2） 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 先求自相关函数的估计)(ˆm R X ，然后对自相关函数做傅里叶变换 ∑---=-=1 ) 1()(ˆ)(ˆN N m jm X X e m R S ω ω （2.3） 其中N 表示用于估计样本序列的样本个数。 （2）周期图法 先对样本序列)(n x 做傅里叶变换 ∑-=-=1 )()(N n n j e n x X ωω （2.4） 其中10-≤≤N n ，则功率谱估计为 2)(1)(ˆωωX N S = （2.5） MATLAB 函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram 用法：[Pxx,w] = periodogram(x) [Pxx,w] = periodogram(x,window) [Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft) [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...) 功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx 为输出的功率谱估计值； f 为频率向量； w 为归一化的频率向量；
频域系统辨识与模型参数估计 频域系统辨识与模型参数估计是一种用于解决信号处理和系统建模问题的方法。它基于频域分析技术，可以从信号的频域特性中提取系统的动态特征和参数信息。频域系统辨识与模型参数估计在许多领域中广泛应用，包括通信系统、控制系统、信号处理等。 在频域系统辨识与模型参数估计中，我们首先需要收集系统的输入输出数据。 这些数据可以是时域样本序列，也可以是频域样本序列。接下来，我们可以使用傅里叶变换等频域分析技术将时域信号转换为频域信号，得到系统的频域特性。 在频域中，我们可以利用频率响应函数来描述系统的动态特性。频率响应函数 是系统的输入输出频谱之间的关系，可以通过系统辨识方法来估计。常见的系统辨识方法包括传递函数法、频域多项式法等。这些方法通过拟合实验数据和系统模型之间的误差，来获得系统的参数估计结果。 传递函数法是一种常用的频域系统辨识方法。它假设系统是线性、时不变的， 并且可以用传递函数来描述。在利用传递函数法进行频域系统辨识时，我们需要选择一个适当的模型结构。常见的模型结构包括有限阶的自回归（AR）模型、滑动 平均（MA）模型、自回归滑动平均（ARMA）模型等。 频域多项式法是另一种常用的频域系统辨识方法。它假设系统可以用多项式函 数来描述，并且可以通过多项式系数来估计系统的参数。频域多项式法一般需要进行谱分解，将输入输出数据分解为一系列频率对应的分量，然后通过拟合分量之间的关系来估计系统的参数。 除了传递函数法和频域多项式法，还有其他一些方法可以用于频域系统辨识与 模型参数估计。例如，最小二乘法可以用于参数估计，最大似然估计可以用于模型参数的统计推断，系统辨识的正则化方法可以用于处理过拟合问题等。
系统辨识理论及应用教学设计 引言 系统辨识是现代自动控制系统和信号处理系统的重要理论和方法之一，主要用于处理信号和系统特性的测量和建模。在工程实践中，系统辨识可以应用于航空、航天、船舶、机械、电力、核能、自动化等领域。 本文将介绍系统辨识的原理和应用，以及在教学中如何进行有效的教学设计。 系统辨识的原理 定义 系统辨识是指通过对系统输入和输出数据进行分析，建立符合系统特性的数学模型的过程。 系统辨识分类 根据系统模型的不同，系统辨识可以分为线性模型、非线性模型、时变模型、多变量模型等。其中，线性辨识是最常用的方法，最基本的思想是建立一个线性方程来描述系统的特性。 线性系统模型 线性系统辨识的基本概念和方法包括输入和输出信号的采集和处理、系统模型的结构和参数的选择等。 例如，在控制系统中，通过测量输入和输出信号，可以建立线性模型，如一阶模型、二阶模型、三阶模型等，以描述系统的特性和行为。
非线性系统模型 非线性系统模型的辨识过程涉及到非线性方程的求解，通常需要使用优化算法和迭代算法来计算模型参数。 非线性辨识的典型应用包括非线性系统建模、数据分析和预测等。例如，在金融领域，可以使用非线性模型来描述和预测股市、汇率等变量。 系统辨识工具 现代系统辨识工具包括MATLAB、Simulink、LabVIEW等软件，它们提供了一系列的函数、工具箱和模块，方便用户进行数据预处理、模型结构选择、参数估计和模型检验等操作。 系统辨识的应用 系统辨识在各种工程领域都有广泛的应用，主要包括： 控制系统和自动化 在控制系统和自动化领域，系统辨识可以帮助人们建立自适应控制、模型预测控制和优化控制等系统模型，从而提高系统的鲁棒性和控制性能。 通信和信号处理 在通信和信号处理领域，系统辨识可以用于建立通信信道模型、数字滤波器模型、语音识别和音频处理等系统模型，从而提高信号质量和语音识别率。 金融和经济学 在金融和经济学领域，系统辨识可以应用于金融市场预测、财务风险评估、经济预测和金融投资等方面。
随机过程在系统识别中的应用随机过程是研究随机现象随时间变化的数学模型。它在系统识别领域中具有重要的应用。本文将探讨随机过程在系统识别中的应用，并介绍相关的方法和技术。 一、系统识别概述 系统识别是通过观测系统的输入输出数据，利用数学模型去描述、分析和预测系统的行为。通过系统识别，我们可以从实际观测数据中获取有关系统的知识，包括系统的结构、参数和动态性能等。 二、随机过程在系统识别中的基本概念 1. 马尔可夫模型 马尔可夫模型是一种重要的随机过程模型，它假设未来状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。在系统识别中，可以利用马尔可夫模型对系统进行建模，推测未来的状态，进行预测和控制。 2. 自回归模型 自回归模型是一种常用的线性随机过程模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值存在线性关系。在系统识别中，自回归模型可以用于分析系统的输入输出数据，估计系统的参数和预测未来的行为。 三、随机过程在系统识别中的方法和技术 1. 参数估计
参数估计是系统识别中的一个重要步骤，其目标是通过观测数据估 计系统的参数。在随机过程中，可以利用最大似然估计等方法，对马 尔可夫模型和自回归模型等进行参数估计。 2. 系统辨识 系统辨识是通过观测数据确定系统的结构和参数。在随机过程中， 可以利用频率域分析、自相关函数和互相关函数等方法，对系统进行 辨识，得到系统的数学模型。 3. 预测和控制 利用随机过程模型，可以进行系统的预测和控制。通过预测，可以 对未来的系统行为进行估计和预测，以便做出相应的决策。通过控制，可以优化系统的性能，使系统达到预期的目标。 四、随机过程在系统识别中的实际应用 1. 金融行业 在金融行业中，随机过程可以应用于股票价格的预测和风险管理等 领域。通过对股票价格的建模和分析，可以为投资者提供决策依据， 为企业和机构提供风险管理策略。 2. 通信领域 在通信领域中，随机过程可以应用于信号处理和通信网络的建模与 优化。通过对信号的分析和处理，可以提高通信系统的性能和可靠性，优化通信网络的布局和资源分配。
系统辨识算法 一、引言 系统辨识是指通过对系统输入输出数据进行观测和分析，从而建立数学模型以描述和预测系统行为的过程。系统辨识算法是在给定输入输出数据的基础上，利用数学方法和计算机模拟技术，对系统的结构和参数进行估计和辨识的算法。系统辨识算法在控制工程、信号处理、机器学习等领域具有广泛的应用。 二、系统辨识方法 系统辨识方法可以分为参数辨识和非参数辨识两类。 1. 参数辨识 参数辨识是指通过对系统模型中的参数进行估计，来描述和预测系统的行为。常用的参数辨识方法有最小二乘法、最大似然估计法、递推最小二乘法等。最小二乘法是一种基于最小化误差平方和的优化方法，通过优化目标函数来估计参数值。最大似然估计法是一种基于概率统计理论的方法，通过似然函数最大化来估计参数值。递推最小二乘法是一种基于递推迭代的方法，通过更新参数估计值来逼近真实参数值。 2. 非参数辨识 非参数辨识是指通过对系统的输入输出数据进行分析，来估计系统的结构和参数。常用的非参数辨识方法有频域分析法、时域分析法、
小波分析法等。频域分析法是一种基于信号频谱特性的方法，通过对输入输出信号的频谱进行分析，来估计系统的频率响应。时域分析法是一种基于信号时域特性的方法，通过对输入输出信号的时序关系进行分析，来估计系统的时域特性。小波分析法是一种基于小波变换的方法，通过对输入输出信号的小波变换系数进行分析，来估计系统的时频特性。 三、系统辨识应用 系统辨识算法在实际工程中有着广泛的应用。 1. 控制工程 系统辨识算法在控制系统设计中起到关键作用。通过对控制对象进行辨识，可以建立准确的数学模型，从而设计出性能优良的控制器。例如，在自适应控制中，可以利用系统辨识算法来实时辨识系统模型，从而根据实际系统特性调整控制器参数。 2. 信号处理 系统辨识算法在信号处理领域有重要应用。通过对信号进行辨识，可以提取信号的特征和结构，从而实现信号去噪、信号分析、信号识别等目标。例如，在语音信号处理中，可以利用系统辨识算法来建立语音模型，进而实现语音识别和语音合成。 3. 机器学习 系统辨识算法在机器学习中也有广泛应用。通过对大量数据进行辨
使用MATLAB进行系统辨识的步骤与技巧 引言： 近年来，随着科学技术的不断进步和社会的快速发展，各行各业对于系统辨识的需求越来越迫切。系统辨识是指在实际系统工作的基础上，通过对系统进行观测和试验，利用数学模型和计算机技术，对系统进行参数估计和结构辨识的过程。而MATLAB作为一款重要的科学计算软件，为系统辨识提供了强有力的支持。本文将详细介绍使用MATLAB进行系统辨识的步骤与技巧。 一、系统辨识的基本概念 在使用MATLAB进行系统辨识之前，首先需要了解系统辨识的基本概念。系统辨识主要涉及到两个方面的内容：参数估计和结构辨识。参数估计是指通过对系统进行实验观测，利用数学方法对系统的参数进行估计；而结构辨识则是指通过试验数据和专业知识，确定系统的结构。系统辨识的目的是建立一个能够准确描述实际系统行为的数学模型。 二、MATLAB中的系统辨识工具 在使用MATLAB进行系统辨识时，我们可以使用其内置的系统辨识工具箱。该工具箱包含了一系列强大的函数和算法，可以实现系统辨识中的参数估计、模型建立和分析等功能。通过这些工具，我们可以高效、准确地进行系统辨识。 三、系统辨识的步骤 1. 数据采集与预处理 在进行系统辨识之前，首先需要采集系统的试验数据。这些数据可以通过合适的传感器进行观测和记录。为了获得高质量的数据，我们需要注意选择合适的采样频率和采样时长，并对数据进行预处理，去除噪声和异常值。
2. 建立初始模型 在参数估计之前，需要建立一个初始模型，用于参考和优化。这个初始模型可 以基于已有的专业知识或经验，也可以通过MATLAB提供的模型库进行选择。初 始模型的建立可以提高辨识的准确度和效率。 3. 参数估计 参数估计是系统辨识的核心过程，包括了参数选择、参数估计和不确定度分析 等步骤。在MATLAB中，我们可以使用各种参数估计方法，如最小二乘法、极大 似然估计法等。通过这些方法，我们可以获得最优的参数估计结果，并对估计结果的可靠性进行评估。 4. 模型检验和验证 在完成参数估计之后，需要对得到的模型进行检验和验证。这个过程可以通过 与实际系统进行对比，或者使用验证数据进行模型验证。MATLAB中提供了一系 列模型检验和验证的函数，可以帮助我们评估模型的准确性和可靠性。 5. 模型分析和优化 最后，通过对模型进行分析和优化，我们可以进一步提高模型的准确度和精度。在MATLAB中，我们可以使用模型分析工具箱进行模型的频域、时域和状态空间 分析，以及模型的参数优化和调整。 四、系统辨识的技巧 1. 数据质量的重要性 良好的数据质量是系统辨识的前提和基础。因此，在进行系统辨识之前，我们 需要重视数据采集和预处理的工作。合理选择采样频率和时长，对数据进行准确的预处理，可以有效提高系统辨识的准确性和可靠性。 2. 模型选择的灵活性
系统辨识辨识方法性能分析 引言 系统辨识是指通过观测系统的输入和输出，利用数学模型对系统的动态行为进 行建模和预测的过程。辨识方法的性能分析是评估辨识方法的优劣和适用范围的过程，对于选择合适的辨识方法和优化辨识结果具有重要意义。本文将对系统辨识中常用的几种方法进行性能分析，包括参数辨识方法、非参数辨识方法和半参数辨识方法。 参数辨识方法 参数辨识方法是指通过估计系统的参数来建立系统模型。常见的参数辨识方法 包括最小二乘法、极大似然法和支持向量回归等。这些方法通过寻找最优参数来拟合系统的输入和输出数据，从而得到系统的数学模型。 对于参数辨识方法的性能分析，可以从以下几个方面进行评估： 1.拟合优度：拟合优度是指辨识方法得到的模型与实际系统之间的拟合 程度。可以通过计算模型的残差平方和或R方值来评估拟合优度，拟合优度 越高，模型与实际系统的拟合程度越好。 2.参数估计误差：参数估计误差反映了辨识方法对系统参数的估计准确 程度。可以通过计算参数估计误差的均方根误差或标准偏差来评估辨识方法的参数估计精度，参数估计误差越小，辨识方法的性能越好。 3.参数可辨识性：参数可辨识性指的是辨识方法是否能够准确地估计系 统的参数。对于具有多个参数的系统，如果某些参数之间存在相关性或冗余性，辨识方法可能无法准确地估计这些参数。因此，参数可辨识性是评估辨识方法是否适用于系统辨识的重要指标。 非参数辨识方法 非参数辨识方法是指通过不对系统模型做任何假设，直接从输入和输出数据中 提取系统的特征来进行辨识。常见的非参数辨识方法包括频域方法、时域方法和小波分析等。这些方法不需要对系统进行具体的数学建模，对系统的特征进行直接提取和分析。 对于非参数辨识方法的性能分析，可以从以下几个方面进行评估： 1.频谱分辨能力：频谱分辨能力是指辨识方法对系统频域特征的提取能 力。通过计算频谱分辨能力指标，可以评估辨识方法在不同频率下对系统信息的提取精度，频谱分辨能力越高，辨识方法对系统频域特征的分析能力越强。
最优状态估计和系统辨识 最优状态估计和系统辨识是现代控制理论中的两个重要概念。最优状态估计是指利用系统的输入和输出数据，通过数学模型对系统状态进行估计的过程。系统辨识则是指通过对系统的输入和输出数据进行分析，建立系统的数学模型的过程。这两个概念在现代控制理论中具有重要的应用价值。 最优状态估计的目的是通过对系统状态的估计，实现对系统的控制。最优状态估计的方法有很多种，其中最常用的是卡尔曼滤波器。卡尔曼滤波器是一种基于贝叶斯定理的滤波器，它可以通过对系统的输入和输出数据进行分析，对系统状态进行估计。卡尔曼滤波器的优点是可以对系统的状态进行实时估计，并且可以适应系统的非线性和非高斯性。 系统辨识的目的是建立系统的数学模型，以便对系统进行控制。系统辨识的方法有很多种，其中最常用的是参数辨识方法。参数辨识方法是通过对系统的输入和输出数据进行分析，建立系统的数学模型。参数辨识方法的优点是可以建立系统的精确数学模型，并且可以适应系统的非线性和非高斯性。 最优状态估计和系统辨识在现代控制理论中具有广泛的应用。它们可
以应用于机器人控制、航空航天控制、自动驾驶汽车控制等领域。在机器人控制中，最优状态估计和系统辨识可以用于对机器人的位置和姿态进行估计和控制。在航空航天控制中，最优状态估计和系统辨识可以用于对飞行器的位置和速度进行估计和控制。在自动驾驶汽车控制中，最优状态估计和系统辨识可以用于对汽车的位置和速度进行估计和控制。 总之，最优状态估计和系统辨识是现代控制理论中的两个重要概念。它们可以应用于机器人控制、航空航天控制、自动驾驶汽车控制等领域。通过对系统的输入和输出数据进行分析，可以实现对系统状态的估计和建立系统的数学模型，从而实现对系统的控制。
系统辨识旳常用措施 系统辨识是根据系统旳输入输出时间函数来拟定描述系统行为旳数学模型，是现代控制理论中旳一种分支。对系统进行分析旳重要问题是根据输入时间函数和系统旳特性来拟定输出信号。 老式旳系统辨识措施 （1）脉冲响应 脉冲响应一般是指系统在输入为单位冲激函数时旳输出（响应）。对于持续时间系统来说，冲激响应一般用函数h(t)来表达。对于无随机噪声旳拟定性线性系统，当输入信号为一脉冲函数δ（t）时，系统旳输出响应 h（t）称为脉冲响应函数。辨识脉冲响应函数旳措施分为直接法、有关法和间接法。①直接法：将波形较抱负旳脉冲信号输入系统，准时域旳响应方式记录下系统旳输出响应，可以是响应曲线或离散值。②有关法：由出名旳维纳-霍夫方程得知:如果输入信号u(t)旳自有关函数R(t)是一种脉冲函数kδ(t), 则脉冲响应函数在忽视一种常数因子意义下等于输入输出旳互有关函数,即 h(t)=(1/k)Ruy(t)。实际使用有关法辨识系统旳脉冲响应时，常用伪随机信号作为输入信号，由有关仪或数字计算机可获得输入输出旳互有关函数Ruy(t),由于伪随机信号旳自有关函数R(t)近似为一种脉冲函数，于是h(t)=(1/k)Ruy(t)。这是比较通用旳措施。也可以输入一种带宽足够宽旳近似白噪声信号，得到h(t)旳近似表达。③间接法：可以运用功率谱分析措施，先估计出频率响应函数H（ω）, 然后运用傅里叶逆变换将它变换届时域上，于是便得到脉冲响应h(t)。 （2）最小二乘法 最小二乘法(LS)是一种典型旳数据解决措施, 但由于最小二乘估计是非一致旳、有偏差旳, 因而为了克服它旳局限性, 形成了某些以最小二乘法为基础旳辨识措施:广义最小二乘法(GLS)、辅助变量法(IVA)和增广矩阵法(EM), 以及将一般旳最小二乘法与其他措施相结合旳措施,有有关分析———最小二乘两步法(COR -LS)和随机逼近算法。 （3）极大似然法 极大似然法(ML)对特殊旳噪声模型有较好旳性能, 具有较好旳理论保证;但计算耗费大, 也许得到旳是损失函数旳局部极小值。 新型旳系统辨识措施 （1）基于神经网络旳系统辨识 由于神经网络具有良好旳非线性映射能力、自学习适应能力和并行信息解决能力, 为解决未知不拟定非线性系统旳辨识问题提供了一条新旳思路。在辨
系统辨识方法概述 1 系统辨识概述 辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个互相渗透的领域。辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。系统辨识正是适应这一需要而形成的，他是现代控制理论中一个很活跃的分支。社会科学和自然科学领域已经投入相当多的人力和物力去观察、研究有关的系统辨识问题。 系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统（或将要构造的系统）本质特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。当然也可以有另外的描述，辨识有三个要素：数据，候选数学模型集和辨识准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。 通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。通常，预先给定一个模型类µ＝｛M｝（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J＝L（y，yM）（一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函）；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。 2 经典的系统辨识 经典的系统辨识方法的发展已经比较成熟和完善，他包括阶跃响应法、脉冲
系统辨识与模型预测控制 系统辨识与模型预测控制是现代控制理论中的关键概念，它们在工 程领域中被广泛应用于系统建模及控制设计中。本文将详细介绍系统 辨识与模型预测控制的基本概念、原理、方法和应用。 一、系统辨识 系统辨识是指通过实验数据对系统的动态行为进行建模和估计的过程。它可以帮助我们了解系统的性质和结构，并在控制系统设计中提 供准确的数学模型。系统辨识的主要任务是确定系统的参数和结构， 并评估模型的质量。 1.1 参数辨识 参数辨识是系统辨识的主要内容之一，它通过收集系统的输入和输 出数据，并根据建模方法对参数进行估计。常用的参数辨识方法包括 最小二乘法、极大似然法、频域法等。参数辨识的结果对建模和控制 设计具有重要的指导意义。 1.2 结构辨识 结构辨识是指确定系统的数学结构，即选择合适的模型形式和结构。常用的结构辨识方法有ARX模型、ARMA模型、ARMAX模型等。结 构辨识的关键是根据系统的性质和实际需求选择适当的模型结构，以 保证模型的准确性和有效性。 二、模型预测控制
模型预测控制是一种基于系统动态模型的控制方法，它通过在线求解最优控制问题实现对系统的控制。模型预测控制通过对系统未来动态行为的预测，结合控制目标和约束条件，求解优化问题得到最优控制输入。它具有优良的鲁棒性和适应性，并且能够处理多变量、非线性以及时变系统的控制问题。 2.1 模型建立 模型预测控制的第一步是建立系统的数学模型，通常采用系统辨识的方法得到。模型可以是线性的或非线性的，根据实际需求选择适当的模型结构和参数。 2.2 控制器设计 模型预测控制的核心是设计控制器，控制器的目标是使系统输出跟踪参考轨迹，并满足约束条件。控制器设计通常通过求解一个离散时间最优控制问题来实现，常用的方法有二次规划、线性规划、动态规划等。 2.3 优化求解 模型预测控制的关键是求解最优控制问题，将系统的模型和控制目标转化为一个优化问题，并通过数值优化方法求解得到最优解。常用的优化算法包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。 三、应用领域 系统辨识与模型预测控制广泛应用于工业过程控制、自动化系统、机器人控制、交通管理等领域。
系统辨识根底 复习资料 知识点汇总： 1.所谓系统，按通常的意义去理解，就是按某种相互依赖关系联系在一起的客体的集合。 2.所谓系统辨识，利用对未知系统的试验数据或在线运行数据〔输入/输出数据〕以及原理和原则建立系统的〔数学〕模型的科学。 3.系统辨识的步骤：〔1〕先验知识和建模目的的依据；〔2〕实验设计；〔3〕结构辨识；〔4〕参数估量；〔5〕模型适用性检验。 4.系统的数学模型，描述系统输入与输出之间数量关系的数学表达式称为系统的数学模型。 5. 目前最流行的操纵系统辅助工具是Matlab。 6.机理分析和系统辨识相结合建模方法也称为“灰箱问题〞。 7.机理建模这种建模方法也称为“白箱问题〞。 8.频谱覆盖宽、能量均匀分布是白噪声信号的特点。 9.最小二乘法辨识方法不属于系统辨识的经典方法。 10.关于多阶最小二乘法，描述错误的选项是计算简单，计算量小，只用五步根本的最小二乘法可获得较好的结果。 11.渐消记忆法是指对旧数据加上遗忘因子，按指数加权来使得旧数据的作用衰减。 12.脉冲响应数学模型属于非参数型。 13.检验模型的标准是模型的实际效果，检验应从不同的侧面检验其可靠性。 14.与周期测试信号相比，阶跃响应法不能够比拟精确地反映对象的动态特性。 15.闭环系统前向通道的阶次不是可辨识的。 16.使辨识系统可被辨识的X要求是辨识时间内系统的动态必须被输入信号延续鼓励。 17.观测数据内容不属于系统辨识的根本内容。 18.输入数据不属于系统辨识过程中的3大要素。 19.棕箱不属于按提供的实验信息分类的建模方法。 20.数学建模不属于现代操纵论的三大支柱。
21.不属于传递函数辨识的时域方法的是时间图索法。 22.关于递推算法收敛性的结论错误的选项是递推辅助变量法收敛于非真值。 23.设A为n×n矩阵，B为n×m矩阵，C为m×n矩阵，并且A，A+BC和I+CA-1B 都是非奇异矩阵，则以下等式横成立的是A+BC-1=A-1-A-1BI+CA-1B]-1CA-1。 24.相关法测定被识对象的脉冲响应时一般采纳伪随机信号作为辨识用的输入测试信号。 25.对于任何信号，将其分解成假设干个不同频率的正弦信号重量，这些正弦波重量的功率谱与其频率对应关系为信号的功率谱。 26.产生M序列的多项式F〔x〕必为不可约多项式。 27.严格意义上的白噪声过程，其方差和平均功率为∞。 28.相关最小二乘法是一种用两步法估量出参数模型的辨识方法。 29.通过图解和计算的方法，可以由阶跃响应求出系统的传递函数。 30.SISO系统的结构辨识可归结为确定阶次和时滞。 31.最小二乘法是极大似然法和预报误差法的特别情形。 32.渐消记忆的最小二乘递推算法的最小二乘递推算法和限定记忆的最小二乘递推算法的最小二乘递推算法都称为实时辨识算法。 33.频率响应模型不属于参数型。 34.将研究对象模型化，是对系统进行定量分析的前提和根底 35.系统辨识的三大要素是指：数据，模型类，准则。 36.经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频域法。 37.系统的阶次对传递函数模型而言指极点个数。 38.极大似然法需要构造一个以数据和未知参数为自变量的似然函数。 39.多阶段最小二乘法的三个阶段分别是：确定原系统脉冲响应序列，估量系统参数和估量噪声模型参数。 40.广义最小二乘法的根本思想在于对数据线进行一次白化滤波处理，然后利用根本的最小二乘法对滤波的数据进行辨识。 41.最小二乘法是1795年高斯在预测行星和彗星运动的归到时提出并实际使用的。 42.DDS方法的实质是把时间序列看成随机系统对不相关白噪声输入的响应。 43.通过系统的动态特性，可以分析系统的稳定性和可逆性，以及对系统的模型进行识别。 44.对事物的未来状态进行估量称为预报，预报采纳的方法随着问题的性质、条件和已知信息而定。 45.在化工系统操纵中，大局部仍采纳PID操纵，提高操纵水平的重要途径就是优化设计PID参数，对于复杂回路一般采纳实验方法建立过程模型。 46.通过分析系统的运动规律，运用一些已知的定律、定理和原理的建模方法称
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰ ∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑= k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞ ∞ -=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ⋅= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立⇒不相关⇔0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = n p q DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ=EX λ=DX 均匀分布略