河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．3．（5分）给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）设函数f（x）=cos（φ），其中常数φ满足﹣π＜φ＜0．若函数g （x）=f（x）+f′（x）（其中f′（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（）A．﹣B．C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A．n＜k B．n≥k C．n＜k+1 D．n≥k+17．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．018．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a≥110．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25 B．32 C．60 D．10011．（5分）已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B．C．3 D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③；④．其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．14．（5分）若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．15．（5分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称函数f （x）是“柯西函数”．给出下列函数：①f（x）=lnx（0＜x＜3）；②f（x）=x+（x＞0）；③f（x）=；④f（x）=．其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：≤T n．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．（12分）设抛物线y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为E（）；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若λ∈[），求|PQ|的取值范围．21．（12分）已知函数，f'（x）为其导函数．（1）设，求函数g（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上不同的两点，且满足f（x1）+f（x2）=1，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：ax0＞1．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}={x|﹣2＜x＜3，x∈N}={0，1，2}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）=（4m+2n）+（4n﹣2m）i=3i+5，得，解得m=，n=．∴m+n=．故选：A．3．（5分）给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取，==，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故选：C．4．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选：C．5．（5分）设函数f（x）=cos（φ），其中常数φ满足﹣π＜φ＜0．若函数g （x）=f（x）+f′（x）（其中f′（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（）A．﹣B．C．D．【解答】解：函数f（x）=cos（φ），则f′（x）=﹣sin（φ），那么函数g（x）=f（x）+f′（x）=cos（φ）﹣sin（φ）=2cos（+φ+），∵g（x）是偶函数，∴φ+=kπ，k∈Z即φ=∵﹣π＜φ＜0．∴当k=0时，可得φ=，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A．n＜k B．n≥k C．n＜k+1 D．n≥k+1【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，k=3，n=1满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=2，b=，n=2满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=3满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=4由题意，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出，判断框中应填入的条件为n＜k+1？故选：C．7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．8．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a≥1【解答】解：作出不等式，可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，∴直线x+ay+2=0与可行域有交点，解方程组得B（0，2）．∴点B在直线x+ay+2=0下方．可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．故选：A．10．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25 B．32 C．60 D．100【解答】解：根据题意，要“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”，则除6、15、24号之外的另外一组三人的编号必须都大于25或都小于6号，则分2种情况讨论选出的情况：①、如果另外三人的编号都大于等于25，则需要在编号为25、26、27、28、29、30的6人中，任取3人即可，有C63=20种情况，②、如果另外三人的编号都小于6，则需要在编号为1、2、3、4、5的5人中，任取3人即可，有C53=10种情况，选出剩下3人有20+10=30种情况，再将选出的2组进行全排列，对应江西厅、广电厅，有A22=2种情况，则“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”的选取种数为30×2=60种；故选：C．11．（5分）已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B．C．3 D．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则=．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③；④．其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，f（x）=lnx（e2≤x≤e3），对于∀a，b，c∈[e2，e3]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故①是“三角形函数”；在②中，f（x）=4﹣cosx，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故②是“三角形函数”；在③中，，对于∀a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），∴f（a），f（b），f（c）为某个三角形的边长，故③是“三角形函数”；在④中，，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈（0，1），∴f（a），f（b），f（c）不一定是某个三角形的边长，故④不是“三角形函数”．故选：C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是2．=C5r（ax）5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r a5﹣r C5r x5﹣r 【解答】解：二项展开式的通项T r+1令5﹣r=3可得r=2∴a3C52=80∴a=2故答案为：215．（5分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为4+2．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面是正方形，对角线长为2，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．∴正方形底面边长为，PB=PD=，PC=．正方形ABCD的面积为4；；在△PBC中，∵PB=，BC=，PC=2，∴PB2+BC2=PC2，可得BC⊥PB，则．∴该几何体的表面积为．故答案为：．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称函数f （x）是“柯西函数”．给出下列函数：①f（x）=lnx（0＜x＜3）；②f（x）=x+（x＞0）；③f（x）=；④f（x）=．其中是“柯西函数”的为①④（填上所有正确答案的序号）．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线．对于①，f（x）=lnx（0＜x＜3）存在；对于②，f（x）=x+（x＞0）不存在；对于③，f（x）=不存在；对于④，f（x）=存在．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：≤T n．【解答】解：（I）当n=1时，有，解得a1=4，=（a n﹣1﹣1），当n≥2时，有S n﹣1则，整理得a n=4a n﹣1，则数列{a n}是以q=4为公比，以4为首项的等比数列，∴；（II）证明：由（I）有，则，可得前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），易知数列{T n}为递增数列，∴，即≤T n．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）设抛物线y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为E（）；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若λ∈[），求|PQ|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得：+=1，=，a2=b2+c2．解得a=2，b2=3，c=1．椭圆的方程为：=1．由抛物线的准线：x=﹣1．∴抛物线的方程是：y2=4x．（Ⅱ）记P（x1，y1），Q（x2，y2），=λy2．①=．得：y设直线PQ的方程为：y=k（x+1），与抛物线的方程联立，得：ky2﹣4y+4k=0（*）y1y2=4，②y1+y2=，③由①②③消去y1，y2，得：k2=，∴|PQ|=•=•，∴|PQ|2==﹣16=﹣16=﹣16，∵λ∈[），∴＞2，同时，令f（x）=x+，则f′（x）=1﹣=，当λ∈[）时，f′（x）＜0，∴f（x）≤=，因此≤，于是：0＜|PQ|2≤，那么：|PQ|∈．21．（12分）已知函数，f'（x）为其导函数．（1）设，求函数g（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上不同的两点，且满足f（x1）+f（x2）=1，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：ax0＞1．【解答】（1）解：，，①a＞0时，g（x）定义域为（0，+∞），在上g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减；在上g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增．②a＜0时，g（x）定义域为（﹣∞，0），在上g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增；在上g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减．（2）证明：法一：，故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．只需证：，即证（*）注意到，不妨设．令，则，，从而F（x）在上单减，故，即得（*）式．法而二：故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．注意到且．设，则h（x）单调递增且图象关于中心对称．构造函数，，当时，g'（x）＞0，g（x）单增；当时，g'（x）＜0，g（x）单减，故，且等号仅在处取到．所以h（x）与f（x）图象关系如下：取h（x3）=f（x1），h（x4）=f（x2），则显然有x1＞x3，x2＞x4，从而x1+x2＞x3+x4，另外由三次函数h（x）的中心对称性可知，则有．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，，，则|=．（Ⅱ）当时，B，C两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为，．C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，所以m=2，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，则f（x）=，由f（x）≥3解得x≤﹣1或x≥1，即原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；…（5分）（2）由，即，又x∈[m，2m]且，所以，且x＞0所以，即m≤x+2﹣|2x﹣1|；令t（x）=x+2﹣|2x﹣1|，则t（x）=，所以x∈[m，2m]时，t（x）min=t（m）=3m+1，所以m≤3m+1，解得，所以实数m 的取值范围是．…（10分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

河北武邑中学2018届高三年级第二学期第一次质量检测考试数学试题（理）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则A B 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2.设复数z 满足()13i z i -=+，则z = （ ）A ．2 C ．3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．215π B ．320π C ．2115π- D ．3120π- 4. 执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值是（ ）A ． 7B ． 6 C. 5 D ．35. 已知直线l 的方程为230ax y a +-+=，则“直线l 平分圆()()22231x y -++=的周长”是“1a =”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC的中点，16,2AB AC AE ED === ，则AE E B等于 （ ）A ． -14B ．-9 C. 9 D ．14 7. 已知12ea dx x=⎰，则()()4x y x a ++展开式中3x 的系数为（ ） A ．24 B ． 32 C. 44 D ．56 8.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数()()sin 0cos xf x xωωω=>的图象向左平移23π个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 （ ） A ．14 B ．34 C. 74 D ．549. 设,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数3z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．()6,3-B ．()6,3-- C. ()0,3 D ．(]6,0-10. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且,OM MF O ⊥为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为（ ） A．11. 某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．412.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()2f x f x -=--，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，且()14f =，则不等式()18xf x -<的解集为 （ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞ C. ()2,2- D ．()(),22,-∞-+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos ,4,sin 2sin 4B b AC ===，则ABC ∆的面积 为 ．14.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253s s s s --的值为 ．15.已知140,0,1x y x y>>+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是 ．（答案写成集合或区间格式）16.在四面体ABCD 中，02,60,90AB AD BAD BCD ==∠=∠=，二面角A BD C --的大小为150°，则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的公比2310,8q a a a >=，且46,36,2a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n nnb a =，求数列{}n b 的前{}n b 的前n 项和n T . 18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成，其中,,2AD AF PA PB PC PD AE AD AB ⊥======. （1）证明：AD ⊥平面ABFE ；（2）若四棱锥P ABCD -的高2，求二面角C AF P --的余弦值.19. 2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望. 20.已知()2,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 关于y 轴的对称点为F '，曲线W 上任意一点Q 满足；直线FQ 和直线F Q '的斜率之积为34-. （1）求曲线W 的方程；（2）过()2,0F 且斜率为正数的直线l 与抛物线交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方，与曲线W 交于点C ，若F BF '∆的面积为1,S F CF '∆的面积为2S ，当时1779S S =，求直线l 的方程.21. 已知函数()()ln 11xx f x e ++=．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()21ln 12ln 120x x x x x ke ++++++-≤在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，求正整数k 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5:6OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4. （1）求实数m 的值； （2）若0,02m m x ><<求222x x +-的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BDCBB 6-10: CADAA 11、12：AD二、填空题()1,9-三、解答题17.解：（1）∵2318a a a =，∴1418a a a =，∴48a =，又46,36,2a a 成等差数列，∴46272a a +=，∴266432,4,0a a q q a ===>，∴2q =，∴41822n n n a --== ； （2）2122122n n n n n n b n a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1013211111123122222n n n T n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()012211111111231222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②① -②：1121111111222222n n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112121112212n n n T n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭- ，∴()21822n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ . 18.（1）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥， 又,AD AF AB AF A ⊥= ，所以AD ⊥平面ABFE ； （2）由（1）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示），2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,2,1P -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,2,1AP =-，设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则1111220220m AF x y m AC x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- . 设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z = ，则2222222020n AF x y n AP x y z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取21x =，则221,12y z =-=--.所以()1,1,3n =--，所以cos ,33m n m n m n===， 因为二面角C AF P --的平面角是锐角，所以所求二面角C AF P --的余弦值为33. 19.（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920； （2）随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，因为()()22121114111310,15480545448P X P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()221241313334392,354454803420P X C P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯===⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为所以()0123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由题意可知：()2,0F '-，设曲线W 上任意一点坐标(),Q x y ，则：(),222FQ F Q y y k k x x x '==≠±-+，又34FQ F Q k k '=- ，∴3224y y x x =--+ ， 整理得：22143x y +=，所以曲线W 的方程为：()221243x y x +=≠±； （2）()2,0F 是抛物线22y px =的焦点，∴2,42pp ==，则抛物线的方程为28y x =， 设直线l 的方程为()()()()2,0,,,,B B C C y k x k B x y C x y =->，将直线l 的方程代入曲线W 方程，整理得：()2222431616120k x k x k +-+-=，∴2216243C k x k +=+，∴228643C k x k -=+，∴()212243C C k y k x k =-=-+，又因为1279S S =，可得：79FB FC = ，∴222241084,1293627k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又因为B 在抛物线28y x =上，222284241083627129k k k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得：()()22951690kk +-=，又0k >，∴34k =，∴直线l 的方程为：3342y x =-， 注：如果设l 的方程为2x ty =+，计算量小21.解：（1）函数()f x 的定义域为()()()11ln 111,,xx x f x e--++'-+∞=， 由于()()100,y 1ln 11f x x '==--++在()1,-+∞上是减函数， 所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞. （2）由()()21ln 12ln 120x x x x x ke++++++-≤在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，整理得：()()212ln 11x x x k e ++++⎡⎤⎣⎦≥在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立即可， 令()()()()()2112ln 112ln 11x x xx x x x h x e e e ++++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==，当1x >-时，12x ex +>+，以及在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上()0h x >，得()()()ln 11x x h x f x e ++<=在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 由（1）知()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.所以有()()max 01f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1.22.解：（1）∵ 圆C 的参数方程为3cos 33sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程得6sin ρθ=，设()11,P ρθ，则由6sin 56ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==，∴211PQ ρρ=-= 23.解：（1）由11112222x x m x x m m ⎛⎫--≤--= ⎪⎝⎭， 当且仅当11022x x m ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭且当1122x x m ≥-时取等号，此时()f x 取最大值4m =，即4m =±；（2）由（1）及0m >可知4m =，∴02x <<， 则()2211111122222222222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=+=+=++-=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（当且仅当2x x -=，即1x =时，取“=”） ∴222x x +-的最小值为4.。

lar>x-r\M中正确命题的个数是()A.OB. 1C.2D. 3开始/输入gb,k /输出M /结束a=6b=二M r河北武邑中学2017-2017学年下学期高三期中考试数学(理)试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2. 回答选择砂选出每d题答案后用钳笔把答碗卜对应题目的答棠剧涂黑.如需改动，m3・考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一. 选抒题：本题共12小题，每小题5分・共60分.在每小题给出的四个选项中•只有一项是符合题目要冑的•.空八T.- (I)1. 己知集= {x|-x2 + x + 6 > 09XE N]9B = {-l,0,1,2}.贝=A・{1, 2}・ B・{0, L 2) C・(0, 1} D・{-1» 0, 1> 2}2. 己知实数加,办满A(m + n/)(4-2r) = 3/ + 5 •萸1加+丹=()9 “11厂9 f 11A. —B. —C. —D・—5 5 4 43. 给出下列命题:①已知a,b w /? M > 1且b>V^ab > 1 •啲充分条件;②已知平面向*a,b r\a\> 1悶> 1H是*+Q| > 1 ”的必要不充分条件;③己知a9b e R ra2 + F 21"是••制+同21 ”的充分不必要条件；④命題P: “丸wR ,使且lnx0<x0-l-的否定为一p: ••匕虫心都有e”<x + l且M = a + 丄b髙三(理〉数学期中考试试题36.执行石面的程序框图，如果输入的a, b.斤分别为1, 2, 3,输出的M= — 9那么，判断榷中应填・ 8入的条件为A ・ n<kB ・ n^kC ・ n<k^\ y ］：D ・ n<A + l7•总体由編号为01,02,・・・,・19,20的20个个体ST ・.：成，利用下面的晞机数表选取5个个体.•选 取方法是从建机数表笫1行的第5列和第6列数字开始 由左到右依次选取两个数字•【则选出来的第5个个体編号为 「•・『78166572Q862 63J4 0702 4369' 9728 01981 .解— 2234 ___49 35二 8200 3623 —4869.69387481A.03B. 07C. 02D.01•♦c • • • ••• • ••J ■ ■& ◎知w /? •点P(a,b)是直线x+y = 2k 与圆+ +护=疋-2R + 3的公共点,则ab 的最大值为()AA5 ' R 9 :CU ・1 : D.~ -・ .亠• •： 3 •• p-> + 2>01 ・•「'： ：9、若不等我如—5》+ 10S0；所农示的平面区域存在点(£,%)•,使心+a 儿+2M0成立，则实数・• ； : K x + y-8<0 ・・• ・ .a 的取值范国足()：•；••、二A. a <-1B. a <-\C. a >1D. a i 110. 北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志足者(编号分别杲1. 2.….30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作••其中三个編号较小的人在一组.三个編号较大 的在另一组.那么确保6号.15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数杲()D・A. 25B. 32 D. 1006311. RtLABC .两直角边SB = 1,/1C = 2 • D 定 MBC内一点，且ZDJB = 60° ,设'AD^XAB^R).则△=A.—B.—C.3D.2 历3 3】2.己知毬数/⑴的定义域为£>•若对于Va,^c€D,/(a)./(feX/(c)分别为某个三角形的边长，则称/(x)为^三角形函数：给出下列四个函数：①/⑴=lnx(e2 SxSK)；②/(x) = 4-cosx；③/(x)=込(1 vx v4)$④/⑴=-^―•其中为“三e +1角形前数"的个数是A.lB.2C.3D.4高三(理)数学期中考试试題・2・二. 填空题(每小题5分.共20分.把答案填写在答题纸的相应位置上)x>0x + 2 八313.若x・y满足约束条件〔2如川3,则z F-y的最小值是__________________ .14 •若(血・厅的展开式中『的系数一是80.則实数“的值是________________ ・15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，則该儿何体的表面积为 ____________________ ・16. 若函数/(x)的图歩上存在不同的两点A(x l9y｛) > 〃(勺必"其中X P/P X2»-V2使得I片不+y』2|・ Jx； + y：・+y：大值为0,贝IJ称函数/(x)是"柯西函数"・给出下列函数：(D/(x) = lnx(0<x<3)； ®/(x) = x + -(x>0)：③ /(x) = V2x1 2 3+8；④ /(x) = 72x2-8 ・x其中足“柯西因数”的为_____________________ (填上所冇正确答秦的序号)•9三. 解答题(本大题共70分列0分+12x5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤417. (本小题12分〉已知数列｛碍｝的前n项和为S,且满足S fl=^(a…-l),nG?r・(I)求数列｛*｝的通项公式；(U)令^=iog2a n.记数列打_［； +］)的前”项和为证明：18・(本小题12分)离二某班共有20名男生，在一次体脸中这20名男生被平均分成两个小组.第一组和第一•组男生的身高(单位：cm )的茎叶图如下:1根裾茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；2 从该班身高超过18(kvn的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；3在两纽身高位于［170,180)(单位cm)的男生中各随机选出2人.设这4人中身高位于［175,180)(单位：cm )的人数为% .求随机变"X的分布列和数学期虫.19. (木小题12分〉菱形ABCD的对角线/C与交于点O,AB = 5.AC^6 ,点E,F 分别在AD.CD上.亦三〈理)数学期中考试试题/1£ = CF = -, EF 交 BD 予AH ・将ADEF 沿 EF 析到 ADEF 位置.0D f = VlO ・4(】)证明：D77丄平面ABCDx (II)求二面角BW-C的正弦值.20. (本小题12分)设抛物线/=4mx(m>0)的准线与x轴交于你抛物线的焦点为巧.以你坊为魚点，离心率e = *的桶圆与拋物线的一个交点为E扌,芈)；自厅引宜线交抛物线于P、0两个不同的点.设丽二久屜・(1)求拋物线的方程和桶圆的方程；(J)若久€ £,1}求|PQ［的取值范围.21・(本小懸12分)已知函数/(x) = a2x-丄一2aln(axH丄・x 2(1)设g(x) = /(x)+丄.求的数g(x)的单调区间；(2)若a>09设A(x l J(x})). B(x29f(x2))为函数/(x)图娥上不同的两点.且满足/U)^/U) = >-设线段肋中点的横坐标为心证明，<^>1.四、请考生在第22. 23题中任选一题做答.如果多做.则按所做的第一题记分.做答时.用2B«5g在答题卡上把所选題目对应的題号涂黑.22•［选修44：坐标系与參数方程］(10分〉己知宜线/的参数方程^r Sm+rC°Sa(/为参数.OSav/r).以坐标原点为极点.x轴的正y-tsina半紬为极艳建立极坐标系•曲线C的极坐标方程为p = 48S0•射线0 = © (-兰v卩v兰)，0 =+兰.4 4 4 ・B 十丄分别与曲线C交于/!、B. C三点(不包括极点O).4(I)求证:\OB\^\OC\^42\OA\, (II)当0二誇时・若从C两点在直统/上，求加与a的值.23・(本小题10分)选修4・5：不竽式选讲己知函数/(x) = |x +加l+|2x-l|・(1)当加=1时.解不等式/(x)^3：⑵若mV*,且当xwpn,2初时.不零式”(x)s|x + l血成立，•求实数加的取值范围.拓三(理〉数学期中考试试理= 174,高三(理〉数学期中考试试JS试题解析：＜1)第一组学生身胚的中位数为172 + 176~2~ ■高三数学(理)试卷参考答案I. B 2. A 3.C4.B5. A6. C7. D &B 9. A 10.CII. A 12. C 13. -314.2.15. 4迈+ 2@+2、“・①④417.解：(I)当/i = 1时，有⑷・1),解得a 严4.4当几22时，有S-严亍,贝!J4 4碍=S. - S-i =亍(％-I)-j (a,, _ 1)昶得•厶=4a...数列｛%｝是以＜7 = 4为公比，以。

河北武邑中学 2018 届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A x x1 0 ， Bx ln x 1 ，则 A IB （）A ．,1 B．,eC ．0,1D． 0,e2．若 z z 2 ，其中 z 为复数 z 的共轭复数， 且 z 在复平面上对应的点在射线y x x 0 上，则 z（）A ． 1 i B． 1 i 或 1 i C ． 1 i D ． 1 i 或 1 i3．甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙 ，标准差分别为甲、乙 ，则（）A ． x 甲 x 乙 ， 甲 乙C ． x 甲x 乙 ，甲 乙B ． x 甲 x 乙 ， 甲 乙D． x 甲x 乙 ，甲 乙x 2 y 04．设不等式组x y 2 0 表示的平面区域为，则（）x 0A ．原点 O 在内B． 的面积是 1C ． 内的点到 y 轴的距离有最大值 D．若点 P x 0 , y 0，则 x 0 y 0 05．设 Ax, y 0 x m,0 y1 ， s 为 e ne 为自然对数的底1 的展开式的第一项（数）， m n s ，若任取 a, bA ，则满足 ab 1 的概率是（）A．2B．1C．1 2 D．1 1 e e e e6．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．12 2 B．12 3C．62 D ． 6 37．已知函数 f x2 sin x ，其中f x 为函数 f x 的导数，求1e xf 2018 f 2018 f 2019 f 2019 （）A．2B ． 2019 C ． 2018 D ．08．执行如图的程序框图，当输入的n 351 时，输出的k（）A． 355 B ． 354 C ． 353 D ．3529．过抛物线C : y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于A x1, y1 、 B x2 , y2 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为O1，半径为 r .点 O1到C的准线l的距离与 r 之积为25，则r x1 x2 （）A． 40 B ． 30 C ． 25 D ． 2010．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1~9 的方法的一种 .例如： 163 可表示为“ ”， 27 可表示为“ ” . 问现有 8 根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ） A ． 48B ．60C．96D ．12011．偶函数 f x 定义域为,0 U 0,，其导函数是 f x ，当 0 x时，有222fx cosx f x sin x0 ，则关于 x 的不等式 fx2 fcos x 的解集为（）4A ．4 , B．,U 4 ,22 42C ．,0U0,44D ．,0 U , 44 212．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . D 、 E 是线段 AB 上满足条件uuur 1 uur uuruur 1 uur uuuruuur uur2，则当角 C 为钝角时，CD2CB CE ，CE CA CD的点，若 CD CEc2的取值范围是（）A ．12B．12C ．1 1D ．1 136 ,,9 36 ,18 ,91899第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知随机变量:N1,2，若P30.2 ，则 P1．3 n14．若x展开式的各项系数绝对值之和为1024 ，则展开式中 x 项的系数x为．ur ur ur ur ur ur ur15．若平面向量 e 1 ,e 2 满足 e 1 3e 1 e 2 2，则e 1 在 e 2 方向上投影的最大值是．16．在四面体 SABC 中， SA平面 ABC ， BAC 120 ， SA AC AB 2 ，若动点在该四面体的外接球内运动，则此点落在四面体SABC 内部的概率为．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知等差数列a n 中，公差 d 0 ， S 7 35 ，且 a 2 , a 5 , a 11成等比数列 .（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）若 T n 为数列1的前 n 项和，且存在 n N * ，使得 T na n 1 0 成立，求实数a nan 1的取值范围 .18． 据统计， 2017 年国庆中秋假日期间，石家庄动、植物园共接待游客 590.23 万人次，实现旅游收入 48.67 亿元，同比分别增长 44.57%、55.22%. 旅游公司规定： 若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元） ，则称为优秀导游 . 经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高. 已知甲、乙两家旅游公司各有导游100 名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（ 1）求 a,b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?2y （单位：万元） ，与其一年内旅游总收入 x（单位：百万元）之间的关（ ）若导游的奖金1, x20 系为 y2, 20x 40 ，求甲公司导游的年平均奖金；3, x40（ 3）从甲、乙两家公司旅游收入在50,60 的总人数中，随机的抽取 3 人进行表彰，设来自乙公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望.19．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB 平面ABCD ， AB BC ，AD ∥ BC ，AD 3， PA BC 2 AB 2，PB 3 .（ 1）求证：BC PB ；（ 2）求二面角P CD A 的余弦值；（ 3）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长 .20．已知椭圆C :x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, F2， B 为椭圆的上顶点，a2 b2BF1 F2为等边三角形，且其面积为 3 ，A为椭圆的右顶点.（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 M , N 两点（ M , N 不是左、右顶点），且满足MA NA ，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.21．已知函数 f x2e x3x22x 1 b ，x R 的图象在x0 处的切线方程为y ax 2 .（ 1）求函数 f x 的单调区间与极值；（ 2）若存在实数x ，使得 f x2x23x 2 2k 0 成立，求整数k 的最小值.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOyx 1 2 cos为参数），以该直角坐标中，曲线 C 的参数方程是（y 2 sin系的原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3 sin cos m 0 .（ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）设点P m,0 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，且PA PB 1 ，求实数 m 的值. 23．选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x 3x 1 3x k ， g x x 4 .（ 1）当k 3 时，求不等式 f x 4 的解集；21 ，且当xk,时，都有f xg x，求 k 的取值范围.（）设 k 13 3。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

岛三下学期期中考试数学（文〉河北武邑中学2017-2018学年下学期高三期中考试数学（文）试卷考试说明*本试卷分第I 卷（选择题〉和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.（1） 答題前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写消楚；（2） 送择趣必须使用2B 钳笔填涂，非选择题必须使用0.5送米JS 色字迹的签字笔书写，字体工整， 字迹清楚； （3） 谓在各题日的答题区域内作答・超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效：第I 卷（选择题共60分）r 选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目 要求的.1-己知集合"片H-3},则AHB 的子集个数共有（ ）A. •个B.2个C.3个D.4个2.若复敛z 满足（3 + 4力=5 •则下列说法不正确的是 （）A.复数z 的虚部为-芻B.复数z-2为纯煽数5、•C.员数z 在复平面内对应的点位于第四歩限D.复数z 的模为】3 •己知份题P ：命题“若a>0,则Vxe/?,都冇/（工）>1”的否定是“若Ww 凡都有/（x ）Sh 则aMOS命题9：在厶ABC 中・角A 、B 、C 的对边分别为a,6,c,则是的充更条件，則下 列伤题为真命题的是A.（呦“4•在A/1BC 中. 初丄 /lfi,5C = 35D.|^D|=],则 AC AD=（）A 」 B.2 C.3D.45.我国南來数学家秦九韶给出了求"次多项式a.T ++…+ qx + 4。

当x = x o 时的值的一种简捷算法.该算法披后人命名为••秦九部算法”.例如.可将3次多.项式改写为: +■a 2x 2 +a （x + a 0 = （（a ）x + 勺）x + 4 J x + 绻然后进行求值.运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（）（） D （切人（T ）X [MM ]c. p 、qA. X 4+/ + 2X 2+3X + 4B. x 4 +2x 3 i3x 2 +4x^5氏三下学期期中考试数学〈文〉10.记西数/（X ）= V2 + X-X 2的定义域为A,在区间卜3,6）上随机取一个数X,则）cwA 的槪率是I21 B. - C -D. _39 9話=1（。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N xxx x A ，}2,1,0,1{B，则B A （）A ．}2,1{ B．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{2．已知实数n m,满足53)24)((ii ni m ，则nm （）A ．59 B ．511 C．49 D．4113．给出下列命题：①已知R ba,，“1a 且1b ”是“1ab ”的充分条件；②已知平面向量b a,，“1||,1||b a ”是“1||b a ”的必要不充分条件；③已知R b a,，“122ba”是“1||||b a ”的充分不必要条件；④命题p ：“R x 0，使10x ex 且1ln 0x x ”的否定为p ：“R x ，都有1x ex且1ln x ”.其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1 C．2 D．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f ，且当]1,0[x时，x x f )(，则函数||log )(3x x f y 的零点个数是（）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个5．设函数)3cos()(x x f ，其中常数满足0.若函数)(')()(x f x f x g （其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则等于（）A ．3B．65 C ．6D ．326．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815M，那么判断框中应填入的条件为（）A ．k n B ．k n C ．1k n D．1k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ，点),(b a P 是直线k yx2与圆32222kkyx的公共点，则ab 的最大值为（）A.15B.9C.1D.359．若不等式组8010502y xy x y x所表示的平面区域存在点),(00y x ，使020ay x 成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1a B ．1a C ．1a D ．1a 10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A ．25 B ．32 C．60 D．10011．已知在ABC Rt 中，两直角边1AB ，2AC，D 是ABC 内一点，且60DAB ，设),(R AC AB AD，则（）A ．332 B ．33 C ．3 D．3212．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a 分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e xe x xf ；②x x f cos 4)(；③)41()(21x x x f ；④1)(x xee xf .其中为“三角形函数”的个数是（）A ．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x,满足约束条件32320yxy x x，则y x z 的最小值是 .14．若5)1(ax的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y xyxy y x x 的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(x x x f ；②)0(1)(x xxx f ；③82)(2xx f ；④82)(2xx f .其中是“柯西函数”的为.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令n na b 2log ，记数列})1)(1(1{nnb b 的前n 项和为n T ，证明：2131nT .18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2ACAB，点F E,分别在CD AD,上，45CFAE ，EF 交BD 于点H ，将D E F 沿EF 折到EFD'位置，10'OD .（1）证明：H D '平面ABCD ；（2）求二面角C A D B'的正弦值.20．设抛物线)0(42mmx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21e的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P,两个不同的点，设Q F P F 11.（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2）若)1,21[，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2ax a xx a x f .（1）设xx f x g 1)()(，求函数)(x g 的单调区间；（2）若0a，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10ax .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为sincos t yt m x （t 为参数，），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 4，射线)44(，4，4分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）.（1）求证：||2||||OA OC OB ；（2）当12时，若C B,两点在直线l 上，求m 与的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(x m x x f .（1）当1m ，解不等式3)(x f ；（2）若41m ，且当]2,[m m x时，不等式|1|)(21x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACBACDBACAC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．314．215．2322416．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(1)当1n 时，有)1(34111a S a ，解得41a ，当2n时，有)1(3411n na S ，则)1(34)1(3411nn nnn a a S S a 整理得41nn a a ∴数列}{n a 是以4q 为公比，以41a 为首项的等比数列∴)(444*1N na nn n.（2）由（1）有n a b nn n 24log log 22，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1nnn n b b nn∴)12)(12(1531311n n T n)121121()5131()311[(21nn )1211(21n易知数列}{n T 为递增数列，∴211nT T ，即2131nT .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172，第二组学生身高的中位数为5.1742175174；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723CC A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76；（3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223C C C C X P ，52)1(23251223221213C C CC C C C X P ，3013)2(23251213122222CC C C C CC X P ，151)3(23251222CC C C X P X 的分布列为X123P1015230131511522151330132521)(X E .19．解：(1)∵45CFAE ，∴CDCF ADAE ，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC，∴BD EF ，∴DH EF，∴HD EF'∵6AC ，∴3AO ；又5AB，OB AO，∴4OB，∴1ODAOAE OH ，∴3'H D DH，∴222|'||||'|H D OH OD ，∴H D OH '，又∵H EFOH，∴HD'平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(ACAD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n ，由'011AD n AB n 得33034zyx yx ，取543zy x，∴)5,4,3(1n ，同理可得平面C AD'的法向量为)1,0,3(2n ，∴25571025|59||||||||cos|2121n n n n ，∴25952sin.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222baby ax ，由题意得211924942222a baac b a ，解得3422ba ∴椭圆的方程为13422yx∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1m ，∴抛物线的方程是xy42(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(kxk y，由xyx k y 4)1(2消去x 整理得0442k y ky（）∵直线PQ 与抛物线交于两点，∴016162k，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421y y ①，ky y 421②，∵Q F PF 11，)0,1(1F ∴),1(),1(2211y x y x ∴21y y ，③由①②③消去21,y y 得22)1(4k.∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(kk ky y y y ky y k441616kk，即2||PQ 441616kk，将22)1(4k代入上式得，2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224，∵1)(f 在)1,21[上单调递减，∴)21()()1(f f f ，即2512，∴41716)21(2，∴217||0PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(.21．解：(1) 21)ln(2)(2ax a xa x g ,xaxa xa ax g )2(2)('2①0a 时，)(x g 定义域为),0(当)2,0(a x时，0)('x g ，故)(x g 在)2,0(a 上单调递减；当),2(a x 时，0)('x g ，故)(x g 在),2(a上单调递增；②0a 时，)(x g 定义域为)0,(当)2,(ax 时，0)('x g ，故)(x g 在)2,(a 上单调递增；当)0,2(ax时，0)('x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）1ax 2121212x ax ax x 0)1(21)('222a xxa xa x f ，故)(x f 在定义域),0(上单调递增，只需证：1)()1(2x f x f ，21)1(af ，不妨设2110x a x axa xxa ax xax aa x f x af x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22则)2()1(4222)2(1)('2232222ax x ax ax ax aax a xx F ax 1，从而)(x F 在),1[a上单调递减，故0)1()(2aF x F ，即（）式.22.解：(1)证明：依题意，cos4||OA ，)4cos(4||OB ，)4cos(4||OC ，则||||OC OB )4cos(4||2cos 24)4cos(4OA （2）当12时，C B,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(C ，经过点C B,的直线方程为)2(3x y，又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为，故2m ，32.23.解：(1) 当1m 时，|12||1|)(x x x f ，则)21(3)211(2)1(3)(x xx x xx x f 由3)(x f 解得1x 或1x ，即原不等式的解集为),1[]1,(.（2）|1|)(21xx f ，即|1||12|21||21x x m x ，又]2,[m m x 且41m所以410m ，且x所以|12|21|1|221x xm x即|12|2x xm令|12|2)(x x x t ，则)21(3)210(13)(xx x x x t ，所以]2,[m m x 时，13)()(minm m t x t ，所以13m m ，解得21m，所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2230,ln 2A x x x B x y x =--<==-，则A B ⋂=（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<< C.{}3x x -<<2D ．{}12x x <<2.若复数z 满足()211z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．2y x =- C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin y x =4.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若4520,10S a ==，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C. 16 D ．325. 已知向量()()1,1,24,2a a b =+=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ） A．D． 6.在平面区域(),02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率（ ） A ．8π B ．4π C. 2π D ．34π7.设34:02x x p x-≤，()22:210q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1- C.[)(]2,00,1-⋃ D ．[)(]2,10,1--⋃ 8.已知曲线()322f x x x x =--在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则α的值为（ ）A ．85B ．45- C.43 D ．23-9.已知偶函数2f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()13s i n f x x x =+，设()()()1,2,3a f b f c f ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a << C.c b a << D ．c a b <<10.已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3 C.[]2,3 D ．[]1,2 11.已知函数()()()sin 0,0,xx f x a R a ωϕωϕππ+=><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取（ ）A ．2πB ．π C.2π D ．4π 12.已知()()22l o g 1,131235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围为（ ）A ．()0,10B ．[]0,10 C. ()0,4 D ．[]0,4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ= ． 14.已知实数,x y 满足02,04,2,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩则2x y -的最大值为 ．15.若函数()f x 具备以下两个条件：（1）至少有一条对称轴或一个对称中心；（2）至少有两个零点，则称这样的函数为“多元素”函数，下列函数中为“多元素”函数的是 ． ①223y x x =--；②210x x y e e -=+-；③3232y x x =-+；④121x y =+.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cos ac B a b =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足0,30OA OB OC BAO ++=∠=︒，则OA = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了 20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,DA DP BA BP ==.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠=︒===，求二面角D PC B --的正弦值.20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 为右顶点，若2AF AB =，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F .（1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是,P Q 和,M N ，使得12OPQ OMN S S ∆∆=？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由. 21.已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数，0a >).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2210f x x a x a =-++>，()2g x x =+ （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCDDC 6-10: BBDAB 11、12：CD 二、填空题 13.4314. 3 15. ①②③ 16. 3 三、解答题17. 解：（1）当2n ≥时，()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，113a S ==适合上式， ∴52n a n =-. （2）令17122n n n n a n b --+==， 所以23213451222222n n n n n T --+=++++++， 23112341222222n n nn n T -+=+++++， 两式相减得：211111222222n n nn n T -+=+++++111211212nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- 332nn +=-故362n nn T +=-. 18.（1）()100535301020-+++=，10.050.20.30.10.35----=. 频率分布表为:频率分布直方图为:平均成绩为1050.051150. 21250. 351350. 31450.1127++++=分.（2）成绩低于120分的人数为()200.050. 25+=人，不低于120分的人数为15人， ∴ξ的所有可能取值为0，1，2, 3，且()315320910228C P C ξ===，()1251532035176C C P C ξ===，()215153205238C C P C ξ===()3532013114C P C ξ===. ∴ξ的分布列为：∴9135513012322876281144E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）设AB 中点为O ,连接,DO BO ,因为, DA DP BA BP ==, 所以,PA DO PA BO ⊥⊥,所以PA ⊥面BDO ,所以PA BD ⊥. （2）1,2BO DO BD ==， 222OB OD BD += OB OD ⊥,又由（1）,PA DO PA BO ⊥⊥以O 为原点,,OP OB OD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系()()()()1,0,0,,0,0,1,1,0,1P B D BC AD ==平面PDC 法向量(),,m x y z =，(3,0n DP n n DC ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩平面PBC 法向量(),,n x y z =，(3,1,0n PB n n BC ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩1cos ,7m nm n m n⋅==-，二面角大小正弦值为α=. 20.解：（12AF AB =，即=，由右顶点为()2,0B得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=.（2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为1x ky =-，()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ， 联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得12122269,3434k y y y y k k -+==++，则12y y -=， 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=，由韦达定理得34344,4y y k y y +=-=-，所以34y y -=若12OPQOMN S S ∆∆=，则123412y y y y -=-=k=， 所以存在符合题意的直线方程为10x y ++=或10x y +=.21.（1）()22ln f x x x mx =+-在()0,+∞增函数， 则()220f x x m x=+-≥在()0,+∞恒成立， 即()0,x ∀∈+∞，22m x x≤+ 因为224x x+≥得4m ≤ （2）()()222220x mx f x x m x x x -+=+-=>在1752m <<时，()f x 有两极值点()1212,x x x x <，则1212,12mx x x x +==，1201x x <<<且1112m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解得11142x << 由于211x x =则()()()()22121112222ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+2112114ln x x x =-+令()21112114ln h x x x x =-+，()()221121210x h x x --'=<()()221121210x h x x --'=<，()1h x '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭减函数()11115255,4ln 2,8ln 242416h x h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，m a x d ==故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴,cos 2sin 40t R a t t ∀∈-+>恒成立，即()4t ϕ+-(其中2tan aϕ=)4，又0a >，解得0a <<a的取值范围为(0,.23.解:（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≤即，21212x x x -++≤+等价于1242x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤+⎩①或112222x x ⎧-<<⎪⎨⎪≤+⎩ ②，或1242x x x ⎧≥⎪⎨⎪≤+⎩③. 解①求得x 无解，解②求得102x ≤<，解③求得1223x ≤≤ 综上，不等式的解集为203x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）由题意可得2212x a x x -++≥+恒成立,转化为22120x a x x -++--≥恒成立. 令()153,2122121,2231,2x a x a h x x a x x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-++--=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，()0a >，易得()h x 的最小值为12a -，令102a-≥，求得2a ≥.。