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第8章非线性回归分析算例

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《非线性回归分析》课件

《非线性回归分析》课件
• 常用的过滤方法包括皮 尔逊相关系数、方差分 析和卡方检验等。
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。

回归分析非线性回归

回归分析非线性回归

回归分析非线性回归回归分析是用于探究自变量和因变量之间关系的一种统计方法，在实际应用中，所研究的问题往往并不是简单地呈线性关系。

为了更准确地描述变量之间的复杂关系，我们需要使用非线性回归模型。

非线性回归指的是自变量与因变量之间的关系不是简单的线性关系，而是可以用其他非线性函数更好地拟合的情况。

这样的非线性函数可以是多项式函数、指数函数、对数函数等等。

非线性回归可以更好地反映实际问题的实际情况，并且通常能够提供更准确的预测结果。

在非线性回归分析中，我们需要确定非线性函数的形式以及确定函数中的参数。

对于确定非线性函数的形式，一般来说，可以通过观察数据的散点图、经验和理论分析来选择。

根据选择的非线性函数形式，我们可以使用最小二乘法等方法来确定函数中的参数。

以一个简单的例子来说明非线性回归的具体步骤。

假设我们想要研究一个人的年龄和体重之间的关系，我们可以选择一个二次多项式模型来描述这个关系。

我们的非线性回归模型可以写作：体重=β₀+β₁×年龄+β₂×年龄²+ε其中，体重是因变量，年龄是自变量，ε是误差项。

我们的目标是确定模型中的参数β₀、β₁和β₂的值，使得模型最好地拟合观察到的数据。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来估计参数的值。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的离差平方和来确定参数的值。

通过最小二乘法估计出的参数值，可以用于建立非线性回归模型，从而对未来的数据进行预测。

除了使用最小二乘法估计参数值之外，我们还可以使用其他的优化算法如牛顿法或梯度下降法来估计参数的值。

这些方法的选择通常取决于模型形式的复杂程度、参数数量以及数据量等因素。

需要注意的是，非线性回归模型的参数估计和预测结果都受到初始值的选择和模型形式的选择的影响。

因此，在进行非线性回归分析时，我们需要注意选择合适的初始值和合适的模型形式，以获得更准确的结果。

在实际应用中，非线性回归可以用于多个领域，比如医学、经济学、工程学等。

非线性回归分析常见模型

非线性回归分析常见模型

非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。

第八讲非线性回归分析

第八讲非线性回归分析

线性对数回归函数
因为该模型中Y是对数形式而X不是， 所以有时称它为对数线性模型。
如何理解β1的含义
在线性对数模型中， β1 表示X变化1个 单位引起Y的变化为(100*β1)%。
推导：我们考察自变量X变化∆X的过程。
此时： f ( X X ) f ( X ) ln(Y Y ) ln(Y ) ( Y ) Y
对数形式
对数形式经常用于表示变量的百分率变 化。例如：
在消费者需求的经济分析中，通常假定 价格上涨1%导致需求量下降一定的 百 分率。称价格上涨1%引起的需求下降 百分率为价格弹性(elasticity)。
对数形式是经济学中最常用的形式，广泛地应用在 各个领域中：
例如：在宏观经济学中，我们如果想研究投资的增
但当回归函数为非线性时，由于Y的预期 变化依赖于自变量的取值，因此其计算 较复杂。
我们假定非线性总体回归的一般公式为
书中的两个例子
1。地区收入从10----11（单位是千美 元）
2。地区收入从40----41
Yˆ (607.3 3.8511 0.0423112 ) (607.3 3.8510 0.0423102 ) 2.96 Yˆ (607.3 3.85 41 0.0423 412 ) (607.3 3.85 40 0.0423 402 ) 0.42
可以看出，income对testscore的弹性 逐渐变小。
效应估计的标准误差
在上例中
利用多元回归建立非线性模型的 一般方法
(1)确定一种可能的非线性关系。最佳做法 是利用经济理论和你对实际应用的了解提出 一种可能的非线性关系。在看数据之前，问 自己联系Y和X的回归函数斜率是否依赖于X 或其他自变量的取值。
当d1=0(男性) 对Y的效应为β2 当d1=1(女性) 对Y的效应为β2+β3

数据建模—非线性回归

数据建模—非线性回归

数据建模—非线性回归
什么是非线性回归
一般线性回归假设因变量与自变量呈线性关系，但现实中有很
多问题并非是线性相关的。

而非线性回归可以用来拟合非线性关系。

非线性模型示例
下面以一些示例来介绍非线性回归：
1. 多项式回归
多项式回归就是一种非线性回归，它将线性模型中的自变量的
各次幂作为回归系数，即将 $y=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ 作为
模型进行回归。

这种方法适用于自变量$x$与因变量$y$之间的关系
大致呈多项式分布。

2. 对数函数回归
对数函数回归是一类将对数函数作为函数形式的非线性回归方法，它们适用于特定类型的数据。

如指数增长、充分增长、衰减等类型的数据。

3. Sigmoid函数回归
Sigmoid函数（S型函数）经常用于二分类问题，由于其形状为S型，经过合适的处理可以用来拟合非线性关系。

Sigmoid函数的形式为： $y=\frac{1}{1+e^{-ax+b}}$
非线性回归方法
与线性回归不同，非线性模型中的回归系数无法直接求解，需要使用非线性优化算法对其进行拟合。

非线性优化算法有很多种，常见的有：梯度下降法、拟牛顿法、Levenberg-Marquardt算法等。

总结
非线性回归适用于许多实际问题，可以通过多项式回归、对数函数回归、Sigmoid函数回归等方法进行建模。

然后，我们可以使用非线性优化算法对模型进行优化拟合以得到最优参数。

非线性回归分析

非线性回归分析

非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。

线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。

一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。

在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。

而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。

非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。

二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。

2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。

3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。

4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。

三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。

1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。

可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。

2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。

常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。

3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。

通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。

四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。

通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。

在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。

第8章非线性回归

第8章非线性回归

§8.2 多项式回归
一、几种常见的多项式回归模型
一元二次多项式模型yi=β 0+β 1xi+β 11+ε i 的回归函数yi=β 0+β 1xi+β 11是一条抛物线方程，通常称 为二项式回归函数。 回归系数β 1为线性效应系数，β 11为二次效应系数。
相应地，回归模型 yi=β 0+β 1xi+β 11+β 111+ε i 称为一元三次多项式模型。
形式有关，而且与误差项的形式有关。
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
在对非线性回归模型线性化时，总是假定误差项的形 式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便，常常省 去误差项，仅写出回归函数的形式。
例如把回归模型（8.3）式
y=aeb xeε
简写为
y=aeb x
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
Sig. .000
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
Model 1
(C onstant ) T
Coeffi ci ents
Unst andardized Coef f icients
B
Std. Error
8. 190
.043
.176
.004
Standardi zed
Coef f icie nt s Bet a
Beta .925284
T Sig T 9.758 .0000 -2.730 .0148
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
表 8.3
Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error
.99593 .99188 .99138 .08760

非线性回归分析(教案)

非线性回归分析(教案)

非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章小结第二章：非线性回归模型建立2.1 非线性回归模型的形式2.2 非线性回归模型的建立方法2.3 非线性回归模型的参数估计2.4 模型检验与优化2.5 本章小结第三章：非线性回归分析软件介绍3.1 非线性回归分析软件的选择3.2 非线性回归分析软件的操作步骤3.3 非线性回归分析软件的应用案例3.4 本章小结第四章：非线性回归在实际问题中的应用4.1 非线性回归在生物医学领域的应用4.2 非线性回归在经济学领域的应用4.3 非线性回归在环境科学领域的应用4.4 本章小结第五章：非线性回归分析的扩展与改进5.1 非线性回归模型的扩展5.2 非线性回归分析方法的改进5.3 非线性回归分析的发展趋势5.4 本章小结第六章：非线性回归模型的选择与评估6.1 模型选择的原则与方法6.2 模型评估指标6.3 模型选择的实际案例6.4 本章小结第七章：非线性回归分析的编程实现7.1 非线性回归分析的编程基础7.2 常见非线性回归模型的编程实现7.3 非线性回归分析的编程实践7.4 本章小结第八章：非线性回归分析在数据挖掘中的应用8.1 数据挖掘与非线性回归分析8.2 非线性回归分析在数据挖掘中的案例分析8.3 非线性回归分析在数据挖掘中的挑战与应对8.4 本章小结第九章：非线性回归分析在多变量分析中的应用9.1 多变量分析与非线性回归分析9.2 非线性回归分析在多变量数据分析中的方法与应用9.3 非线性回归分析在多变量分析中的案例研究9.4 本章小结第十章：非线性回归分析的未来展望10.1 非线性回归分析的发展趋势10.2 非线性回归分析在科学研究中的潜在应用10.3 非线性回归分析的教育与培训10.4 本章小结重点和难点解析一、非线性回归的定义与意义：理解非线性回归的基本概念，掌握非线性回归与线性回归的本质区别，以及非线性回归在实际问题中的应用场景。

8 非线性回归(1)

8 非线性回归(1)

Regres sion Res idual Total
Coefficients Standardi zed Coefficie nts Beta .996
Model 1
(Cons tant) T
Uns tandardized Coefficients B Std. Error 8.190 .043 .176 .004
ˆ y
4296.35 5123.04 6108.80 7284.24 8685.86 10357.16 12350.06 14726.42 17560.04 20938.89 24967.89 29772.14 35500.81 42331.77 50477.13 60189.80 71771.35 85581.38
i
交叉乘积项表示 x1 与 x2 的交互作用。
二、一个应用例子 例8.2 表8.5列出的数据是关于18个35岁～44岁经理的: 前两年平均年收入 x1（千美元） 风险反感度 x2 人寿保险额 y（千美元） 风险反感度是根据发给每个经理的标准调查表估算得到的； 它的数值越大，风险反感就越厉害。
Байду номын сангаас
研究人员想研究给定年龄组内的经理年平均收入，风 险反感度和人寿保险的关系。研究者预计，在经理的收入 和人寿保险额之间成立着二次关系，并有把握认为风险反 感度对人寿保险额只有线性效应，而没有二次效应。但是， 研究者对两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中 没底。因此，研究者拟合了一个二阶多项式回归模型
11xi
2+β
111xi
3+ε
i
称为一元三次多项式模型。
称回归模型 yi=β 0+β 1xi1+β 2xi2+β 11 x i21 +β 22 x i22 +β 12xi1xi2+ε 为二元二阶多项式回归模型。 它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β 1 和β 2， 二次项系数β

非线性回归分析（常见曲线及方程）

非线性回归分析（常见曲线及方程）

非线性回归分析（常见曲线及方程）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。

此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。

通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s2解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件volum.m如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。

非线性回归分析

非线性回归分析

非线性回归分析随着经济和社会的发展，数据分析和统计方法越来越受到重视。

在统计学中，回归分析是一种广泛应用的方法，它可以帮助我们研究两个或多个变量之间的关系，并用数学模型描述它们之间的关系。

线性回归是最基本的回归分析方法，但在实际应用中，很多现象并不是线性的，这时候就需要用到非线性回归分析。

什么是非线性回归分析？非线性回归分析是一种研究两个或多个变量之间关系的方法，但假设它们之间的关系不是线性的。

因此，在非线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以被描述为一个非线性函数，例如指数函数、对数函数、幂函数等。

非线性回归模型的公式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是待估计参数，f是非线性函数，ε是随机误差项。

非线性回归模型的目的就是估计参数β，找出最佳的拟合函数f，使预测值与实际值的误差最小。

常见的非线性回归模型包括：1. 指数模型：y = αeβx + ε2. 对数模型：y = α + βln(x) + ε3. 幂函数模型：y = αxβ + ε4. S型曲线模型：y = α / (1 + e^(βx)) + ε为何要使用非线性回归分析？非线性回归模型可以更好地描述真实世界中的现象。

例如，在生态学中，物种数量和资源的关系往往是非线性的，这时候就需要用到非线性回归分析来研究它们之间的关系。

再如，在经济学中，通货膨胀率和经济增长率之间的关系也是非线性的。

此外，非线性回归还可以应用于医学、生物学、工程学、地球科学等领域，用于研究复杂的现象和关系。

如何进行非线性回归分析？1. 数据准备首先需要收集相关数据，并进行数据清洗和处理。

确保数据的准确性和完整性。

2. 模型选择根据数据的特征和研究目的，选择适合的非线性回归模型。

如果不确定，可以尝试多种模型进行比较。

3. 参数估计使用统计方法估计模型中的参数值。

常用的方法包括最小二乘法、极大似然法等。

4. 模型诊断诊断模型的拟合程度和假设是否成立。

非线性回归分析(教案)

非线性回归分析(教案)

非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章概要第二章：非线性模型的选择2.1 常见非线性模型介绍2.2 模型选择的方法与原则2.3 利用软件选择非线性模型2.4 本章概要第三章：非线性回归的计算方法3.1 数值解法简介3.2 梯度下降法3.3 牛顿法3.4 拟牛顿法3.5 本章概要第四章：非线性回归的参数估计与检验4.1 参数估计的原理与方法4.2 参数估计的算法实现4.3 参数检验的方法与准则4.4 模型诊断与改进4.5 本章概要第五章：非线性回归在实际问题中的应用5.1 实例一：人口增长模型5.2 实例二：药物动力学模型5.3 实例三：经济预测模型5.4 实例四：生物医学信号处理模型5.5 本章概要第六章：非线性回归软件的使用6.1 常见非线性回归软件介绍6.2 非线性回归软件的使用方法6.3 利用软件进行非线性回归分析的步骤6.4 本章概要第七章：非线性回归在生物学中的应用7.1 生物学中常见非线性模型介绍7.2 非线性回归在生物学研究中的应用案例7.3 生物学数据处理与非线性回归分析7.4 本章概要第八章：非线性回归在经济与管理科学中的应用8.1 经济与管理科学中的非线性模型介绍8.2 非线性回归在经济预测中的应用案例8.3 非线性回归在管理决策中的应用案例8.4 本章概要第九章：非线性回归在工程与应用科学中的应用9.1 工程与应用科学中的非线性模型介绍9.2 非线性回归在工程设计中的应用案例9.3 非线性回归在应用科学研究中的应用案例9.4 本章概要第十章：非线性回归分析的扩展与前沿10.1 非线性回归分析的局限性与改进10.2 非线性回归分析的新方法与发展趋势10.3 非线性回归分析与其他统计方法的结合10.4 本章概要第十一章：非线性回归的优化策略11.1 优化算法概述11.2 常见优化算法介绍11.3 非线性回归的优化策略11.4 本章概要第十二章：非线性回归在医学中的应用12.1 医学中的非线性模型介绍12.2 非线性回归在医学诊断中的应用案例12.3 非线性回归在医学治疗方案设计中的应用案例12.4 本章概要第十三章：非线性回归在地球科学中的应用13.1 地球科学中的非线性模型介绍13.2 非线性回归在地球物理勘探中的应用案例13.3 非线性回归在气候学研究中的应用案例13.4 本章概要第十四章：非线性回归在化学与材料科学中的应用14.1 化学与材料科学中的非线性模型介绍14.2 非线性回归在化学反应动力学分析中的应用案例14.3 非线性回归在材料性能预测中的应用案例14.4 本章概要第十五章：非线性回归分析的实践与挑战15.1 非线性回归分析的实际操作技巧15.2 非线性回归分析面临的挑战与问题15.3 未来非线性回归分析的发展方向15.4 本章概要重点和难点解析第一章：非线性回归分析简介重点：非线性回归的定义与意义，非线性回归与线性回归的比较。

第8章 非线性回归与相关(新)

第8章 非线性回归与相关(新)

3Байду номын сангаас 配置直线化回归方程
表8-4 例8.2回归分析基础数据表
编号 1 2 x（min） 2.17 4.50 y（mg/l） 0.040 0.039 y′ -3.2189 -3.2442 xy′ -6.9850 -14.5989
…
9 ∑ 平均
…
81.33 305.67 33.9633
…
0.013 0.232
第八章 非线性回归
第一节 第二节 第三节 第四节 非线性回归 可化为直线的非线性回归 多项式回归 正交多项式回归
第一节 非线性回归
非线性回归的概念 非线性回归的作用 非线性回归方法的分类
一、非线性回归的概念
1 非线性相关
因变量随自变量的增加或减少，呈曲线变化趋势， 这类变量之间的关系为非线性相关。
直线:
ˆ a bx y
2）配置回归方程
函数类型 指数函数 幕函数 双曲线 直线 直线化方程 复原后的曲线回归方程
y 3.2432 0.0144 x
y 2.7952 0.3086 x y 0.0204 0.0535 x
ˆ 0.0390e 0.0144x y ˆ 0.0611x 0.3086 y
2.17
4.50 13.33 24.50 29.67
35.00 0.023
49.67 0.017
65.50 0.017
81.33 0.013
0.040 0.039 0.038 0.024 0.021
3）计算剩余平方和，选择最优方程
方程类型
指 数 回 归方程 幕函数回归方程 双曲线回归方程 直 线 回 归方程
x y y
②

非线性回归分析(教案)

非线性回归分析(教案)

非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章内容安排第二章：非线性模型的选择2.1 常见非线性模型介绍2.2 模型选择的依据与方法2.3 利用统计软件进行模型选择2.4 案例分析：选择合适的非线性模型第三章：非线性回归的参数估计3.1 非线性回归参数估计的基本方法3.2 初值的选择与影响3.3 参数估计的算法与优化3.4 案例分析：利用非线性回归估计参数第四章：非线性模型的检验与评估4.1 非线性模型的拟合度评估4.2 模型诊断与改进4.3 模型参数的显著性检验4.4 案例分析：评估非线性模型的性能第五章：非线性回归在实际应用中的案例分析5.1 非线性回归在生物学领域的应用5.2 非线性回归在经济学领域的应用5.3 非线性回归在环境科学领域的应用5.4 非线性回归在其他领域的应用第六章：多变量非线性回归分析6.1 多变量非线性回归的定义与特点6.2 多变量非线性回归模型的建立6.3 多变量非线性回归的参数估计与检验6.4 案例分析：多变量非线性回归在实际应用中的应用第七章：非线性回归的软件实现7.1 非线性回归软件的选择与使用7.2 常见非线性回归软件的比较与评价7.3 利用非线性回归软件进行数据分析实例7.4 案例分析：非线性回归软件在实际研究中的应用第八章：非线性回归分析的扩展与应用8.1 非线性回归分析在时间序列数据中的应用8.2 非线性回归分析在图像处理中的应用8.3 非线性回归分析在机器学习中的应用8.4 案例分析：非线性回归分析在交叉学科领域的应用第九章：非线性回归分析的局限性与改进9.1 非线性回归分析的局限性9.2 非线性回归分析的改进方法9.3 非线性回归分析的发展趋势9.4 案例分析：克服非线性回归分析局限性的实践方法第十章：非线性回归分析在科学研究中的应用案例精选10.1 非线性回归分析在物理学中的应用案例10.2 非线性回归分析在化学领域的应用案例10.3 非线性回归分析在生物学领域的应用案例10.4 非线性回归分析在其他科学领域中的应用案例第十一章：非线性回归分析在社会科学中的应用11.1 非线性回归分析在社会学中的应用11.2 非线性回归分析在心理学中的应用11.3 非线性回归分析在教育学中的应用11.4 案例分析：非线性回归分析在社会科学研究中的应用第十二章：非线性回归分析在医学与健康领域的应用12.1 非线性回归分析在医学研究中的应用12.2 非线性回归分析在公共卫生领域中的应用12.3 非线性回归分析在生物医学工程中的应用12.4 案例分析：非线性回归分析在医学与健康研究中的应用第十三章：非线性回归分析在工程领域的应用13.1 非线性回归分析在土木工程中的应用13.2 非线性回归分析在机械工程中的应用13.3 非线性回归分析在电子工程中的应用13.4 案例分析：非线性回归分析在工程领域的应用实例第十四章：非线性回归分析在金融与经济领域的应用14.1 非线性回归分析在金融市场预测中的应用14.2 非线性回归分析在宏观经济分析中的应用14.3 非线性回归分析在企业财务分析中的应用14.4 案例分析：非线性回归分析在金融与经济领域的应用第十五章：非线性回归分析的的未来与发展趋势15.1 非线性回归分析在数据科学中的应用与发展15.2 与非线性回归分析的结合与发展15.3 非线性回归分析在新兴领域的应用前景15.4 案例分析：非线性回归分析在未来发展趋势中的机遇与挑战重点和难点解析重点：1. 非线性回归的定义与意义，以及与线性回归的比较。

非线性回归PPT课件

非线性回归PPT课件

√
S
S形函数
y exp(b0 b1 / t)
Logistic
逻辑函数
y 1 ,u是预先给定的常数
1 u
b0b1t
Growth Exponent
增长函数 指数函数
y exp(b0 b1t)
y b0 exp(b1t)
第3页/共62页
√
√
3
对以上各种曲线回归，选用SPSS的Regression 命令下的Curve Estimation命令，即可直接拟合各种 曲线回归，不必作任何变量变换。
y x x x2 x2 x x
i
0
1 i1
2 i2
11 i1
22 i 2
12 i1 i 2
i
检验是否有交互效应，并检验风险反感度的二次效应。 26 第26页/共62页
序号 1
x1 66.29
x2
y
7
196
2
40.964
5
63
3
72.996 10 252
4
45.01
6
84
5
11
第11页/共62页
非线性回归 (例题分析)
1. 用双曲线模型：
y 1 , x 1 , 则有y x
y x 2. 按线性回归的方法求解 和 ，得
yˆ 0.038 0.026x
1 0.038 0.026 1
yˆ
x
12
第12页/共62页
非线性回归 (例题分析)
需求量
价格与需求量的散点图
9.23
1987
7
11962.5
12350.06
-387.56
9.39
1988

第8章非线性回归分析算例

第8章非线性回归分析算例

i y i ( x i ) min
2 i 1 m
n
I 0, k 1 : m c k
n i j ( x i ) k ( x i ) c j j 1 i 1

i 1
n
i
y i k ( x i ) , k 1 : m .
数据拟合的最小二乘法 问题的引入 先讨论两个变量x,y的情况。通过观测变量x,y积累了一组 资料（x(i),y(i)),i=1:n，一般来说n比较大。我们的任务是从这 批实验数据出发，寻求一近似函数φ(x)曲逼近y。 由于观测数据都带有观测误差，数目又较大，对于这类 问题运用插值函数取描述y往往是不适当的。现在，用开始 引入的例1来说明建立近似函数的一种方法，即最小二乘法。
令
j j ( x1 ), j ( x 2 ), , j ( x n ) ,
T
y y1 , y 2 , , y n ,
T
a kj ( k , j ) k
T
j

n

i i 1 i
n
j
( x i ) k ( x i ) ,
bk y , k y T k k, j 1: m a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 am2
x
1 , z ln , a ln , b . t
x , z 的数据对应：
根据已知数据得到
x 1 . 000 , 0 . 500 , 0 . 3333 , 0 . 2500 , 0 . 1667 , 0 . 1250 , 0 . 100 , 0 . 0833 , 0 . 0714 , 0 . 0625 ; z (1 . 3863 ,1 . 8579 , 2 . 0807 , 2 . 1736 , 2 . 2544 , 2 . 2885 , 2 . 3351 , 2 . 3437 , 2 . 3542 , 2 . 3618 );
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( t ) 11 . 3411 e 1 . 0579 / t
平方误差
2
0 . 1109
显然，比第一种模型要好得多！
下图显示出原始数据、
拟合模型 (1) 和（ 2）的分布。
正规方程 Ac b 为 10 2 . 6923 2 . 6923 a 21 . 4362 1 . 4930 b 4 . 9586
解出 a 2 . 4284 , b 1 . 0579 , 从而 e a 11 . 3411 , 1 . 0579 . 所求拟合函数为
解出 c ( 4 . 1490 ,1 . 1436 , 0 . 048320 ), 从而拟合函数为
( t ) 4 . 1490 1 . 1436 t 0 . 048320 t 2 .
平方误差：

2
3 . 9486
( 2 ) 采用 ( t ) e / t 解：转化为 z a bx , 其中
令
j j ( x1 ), j ( x 2 ), , j ( x n ) ,
T
y y1 , y 2 , , y n ,
T
a kj ( k , j ) k
T
j

n

i i 1 i
n
j
( x i ) k ( x i ) ,
bk y , k y T k k, j 1: m a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 am2
研究y与t的关系的最小二乘法，通常步骤如下：
1）先描t,y的草图
问题的提出 例一：在某化学反应里，侧的生成物的质量浓度y与时间 t(min)的关系入表。为了研究该化学反应的性质，如反映速 率等，欲求y与t之间的关系y=f(t)。
1 2 3 4 6 8 10 12 14 16
4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 0.53 10.61
c x , 则有
i i i 1 j
n
(y
j 1
m
( x j 1 , x j 2 , , x jn )) 2 min
数据拟合的最小二乘法
根据观测数据
x i , y i , i 1 : n , 确定试验模型：
n
(x)
c
j j 1
m
j
( x ),
按最小二乘优化准则
x
1 , z ln , a ln , b . t
x , z 的数据对应：
根据已知数据得到
x 1 . 000 , 0 . 500 , 0 . 3333 , 0 . 2500 , 0 . 1667 , 0 . 1250 , 0 . 100 , 0 . 0833 , 0 . 0714 , 0 . 0625 ; z (1 . 3863 ,1 . 8579 , 2 . 0807 , 2 . 1736 , 2 . 2544 , 2 . 2885 , 2 . 3351 , 2 . 3437 , 2 . 3542 , 2 . 3618 );
3）计算总误差
就试验模型 ( a ) 来说是
n
I ( c 0 , c1 , c 2 )

( y i ( t i )) 2
i 1
4）希望总误差最小
I ( c 0 , c1 , c 2 ) min
I ( c 0 , c 1 , c 2 ) min I 0 , j 0 ,1, 2 . c j
数据拟合的最小二乘法 问题的引入 先讨论两个变量x,y的情况。通过观测变量x,y积累了一组 资料（x(i),y(i)),i=1:n，一般来说n比较大。我们的任务是从这 批实验数据出发，寻求一近似函数φ(x)曲逼近y。 由于观测数据都带有观测误差，数目又较大，对于这类 问题运用插值函数取描述y往往是不适当的。现在，用开始 引入的例1来说明建立近似函数的一种方法，即最小二乘法。

i 1
y i k ( x i ) ,
则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 1 m c1 a2m c2 a mm c m
b1 b2 b m
对 称 矩 阵 方 程
例1的数据拟合结果
(1) 采用 ( t ) c 0 c 1 t c 2 t 2 正规方程 Ac b 为： 10 76 826 76 826 10396 c0 10396 c1 140434 c 2 826 88 . 49 757 . 59 8530 . 01
i y i ( x i ) min
2 i 1 m
n
I 0, k 1 : m c k
n i j ( x i ) k ( x i ) c j j 1 i 1

i 1
n
i
y i k ( x i ) , k 1 : m .
如果 y 与多个变量 x1 , x 2 , , x n 有关系，并通过 ( x j 1 , x j 2 , , x jn , y j ), j 1 : m 若选择模型 : ( x1 , x 2 , , x n ) I ( c1 , c 2 , , c n ) m 次观测得到观测值：
2）凭视觉猜想一数学模型
本例可用两种试验模型 ( a ) : ( t ) c 0 c1t c 2 t 2 (b ) : (t ) e / t ，即
ˆ ( t ) ln( ( t )) ln
1 ˆ ( t ) t
1 t
I
i y i ( x i ) min, 确定参数 c1 , c 2 , , c m .
2 i 1
当参数确定后，称 越小，模型越好。

i yi ( xi )
i 1
n
2
为均方误差。均方误差
确定参数 c1 , c 2 , , c m 采用： I