思想3.4+等价转换思想(测试卷02)-备战2019高考高三二轮文数一本过精品(新课标版)+Word版含解析

测试卷总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题1．关于x 的不等式在R 上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.()1,+∞B.(],1-∞C.()3,+∞D.(],3-∞ 【答案】D 【解析】,由绝对值的几何意义可知表示数轴上的点到1和2-的距离之和，其最小值为3，所以3m ≤，即实数m 的取值范围为(],3-∞，故选D. 2.【2018届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）】若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B3．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】4．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中】定义在上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因f（x）满足：对任意的x1, x2（x1≠x2）, 有（x1-x2）[f（x2）-f（x1）]>0,可得函数f（x）在单调递减，又f（x）是偶函数，可得f（x）在单调递增，当时，有，则，即，故选B.可得：或，解得：或，即故选：C．8．【2018届云南省昆明市第一中学高三第六次】已知函数，若两个正数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C则可看作区域内点与定点的斜率.直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，故选C．9.【2018届山西省晋中市高三1月】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式在上恒成立，令,，10.已知椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若，则椭圆的离心率为（ ）A BC D 【答案】A 【解析】二、填空题（4*5=20分）11. 【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为_______，其体积为____．【答案】【解析】三视图对应的几何体如图所示：等价于，即在时恒成立，因为，所以，实数的取值范围为．故答案为．16．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】17.【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】若不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是___.【答案】【解析】因为不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立；三、解答题（共6道小题，共70分）18.【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末】如图，已知三棱锥，，，平面平面，是中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由得由平面平面得：平面，所以又因为，所以平面过PQ的直线为，恒过(8,4)点．21. 【江苏省扬州市2019届高三第一次模拟】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，线段的长为4.点在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作，，直线，交于点.（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；（2）直线与椭圆的另一交点为，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】所以，，直线的方程为.因为，所以，所以直线的方程为.联立，解得，即.因为，所以.将代入可得，点的坐标为.（2）设，，又直线的方程为.联立消去，整理得，所以，解得.因为，所以. 因为，∴当时，函数取得极大值即最大值，.因此两个函数无交点.即函数无零点.。

专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5的最大值为()A.9B.12C.D.33.在等比数列{a n}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)二、填空题9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.11.函数y=的最小值为.12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).专题对点练3答案1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3.当且仅当5,即x=时等号成立.3.C解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,=21,解得q=- (q=1舍去).综上可知,q=1或q=-.4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.5.C解析当焦点在x轴上时,,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,,此时离心率e=.故选C.6.C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,则a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,则a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f' (x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.B解析方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.9.- 解析当a>1时,函数f(x)= a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.(-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+ 1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].11.解析原函数等价于y=,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=.12.(3,)解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,).13.解 (1)由于a≥3,则当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1), g(a)},即m(a)=②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=。

思想方法训练 4 转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=?,则实数a的取值范围是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<22.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.[-1,0]C.[0,1]D.4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.45.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=ax3+b sin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=()A.-5B.-1C.3D.47.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.10.已知函数f(x)= x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()A.B.C.D.12.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为()A.+1B.C.D.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.15.已知函数f(x)=eln x,g(x)= f(x)-(x+1)(e=2.718……）.(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.C解析M∩N=?等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0, ①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.D解析由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-b3.A解析设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤２x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选 A.4.C解析设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+当m=0时,d max=3.5.A解析设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.C解析因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+b sin t+4=5,所以at3+b sin t=1,所以f(-t)=-at3-b sin t+4=-1+4=3.7.(-13,13)解析若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d=,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.(-2,6)解析f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0?f(x2-ax+a)>-f(3)?f(x2-ax+a)>f(-3)?x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0?-2<a<6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥０在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤０在区间(t,3)内恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,则m+4-9,即m≤-故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.10.解 (1)由题意知当a=0时,f(x)= x3-3x,所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,故实数a的取值范围为二、思维提升训练11.B解析显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y',解得C(1,2),|AC|=2∴sin∠BAC=,的最小值为故应选 B.12.A解析如图,取F2P的中点M,则=2又由已知得2=0,即=0,又OM为△F2F1P的中位线,在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,由勾股定理,得2c=2||.∴e=+1.13.[3,+∞)解析由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在区间[0,1]上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤１可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥３.14.(-4,0)解析将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.15.(1)解∵g(x)= f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),∴g'(x)=-1(x>0).令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2?ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则>ln=ln,∴1>ln 2,>ln>ln,…，>ln,叠加得1++…+>ln=ln(n+1).。

技法强化训练(四) 转化与化归思想题组1 正与反的相互转化1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2C 命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.]2．(2016·开封模拟)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.15B.35C.710D.910D 甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]3．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 如果在－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.] 4．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．由⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈1,3]，∴92≤a 2≤412. 又a ＞0，∴322≤a ≤822.故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.] 5．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称．解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b 2＝1.2分 把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1.4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.6分 (2)反证法：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分 此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |.10分从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立.12分题组2 主与次的相互转化6．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________.【导学号：85952008】(－∞，－1]∪0，＋∞) ∵f (x )是R 上的增函数，∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1. 即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪0，＋∞)．]7．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)＜0，φ(－1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 8．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.] 9．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分 所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在1,2]上的最小值为f (2－a )＝a 6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .6分 因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分当25＜a ＜1时，23a ＞13－a 6，8分由对任意x 1，x 2，x 3∈1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈1,2])．所以当0＜a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2＞13－a 6，10分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25； 当25＜a ＜1时，必有2×a 6(2－a )2＞23a ， 结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－ 2.12分。

高中数学思想四 等价转换思想 专题练习2一．选择题1.已知函数()2x xe ef x --=，若2233a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3322b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cosCcosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．C ．D3.已知a ，b 为任意实数，则“a b ≥”是“lg lg a b ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数()ln(1)f x x =+的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数图象的一条对称轴为,记函数的两个极值点分别为，则的最小值为（ ）A ．B ． C. D ． 6.己知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在区间[0,1]上恰有1个纵坐标是最高点，则ω的取值范围为（） A ．5[,)44ππB ．5[,)22ππC ．9[,)44ππD ．3[,2)2ππ ()sin cos f x x a x =-34x π=()f x 12,x x 12x x +34π2π4π7.关于函数()()()33111f x x x =---，下面4个判断错误．．的有（ ） ①函数()f x 的图象是中心对称图形； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 在()1,x ∈+∞单调递增； ④函数()f x 在()1,0x ∈-单调递减； A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④8.已知()y f x =的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=-恒成立，当10x -≤<时，()2xf x =，则()2021f =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．19.已知,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1cos 2sin 212a a =+，则cos a =（ ）A ．B ．-C ．10- D ． 10.已知函数()xf x xe =，()2ln 2g x x x =，若()()12f x g x t ==，0t >，则12ln tx x 的最大值为（ ） A ．21eB ．24eC ．1eD ．2e二、填空题11.设点G 是ABC 的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cosC ______________。

一．选择题1.若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C2. 【广东省珠海市2018届3月质量检测】定义在上的连续函数，其导函数为奇函数，且，；当时，恒成立，则满足不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为其导函数为奇函数，所以原函数是偶函数，因为当时，恒成立，所以，所以函数在x>0时，是减函数，在x<0时，是增函数.因为，所以，所以,，故选D.3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是( ) A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞ D ．[)2,-+∞ 【答案】A【解析】∵22()2()20f x x f x x -+--=，设2()()2g x f x x =-，则()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函数，又1'()'()42g x f x x =-<-，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又(1)()42f m f m m +≤-++等价于22(1)2(1)()2()f m m f m m +-+≤---，即(1)()g m g m +≤-， ∴1m m +≥-，解得12m ≥-． 4. 【东北三省三校2018届高三第一次模拟】底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )A.B.C.D.【答案】D5.如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可知函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，，恒过定点()1 1，，将点()1 1，代入7ax by +=，可得7a b +=，由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤，由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点() a b ，在以()3 4，和()4 3，为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.选A.6. 【东北三省三校2018届高三第一次模拟】在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】A7. 【山东省烟台市2018届期末】已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.1 B. 1 C.D. 【答案】B8.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是( )A【答案】A【解析】222222sin 2sin cos 0,2cos 020202a b c A B C a b C a ba b c ab+-+=∴+=∴+=∴+-= ；由于221tan 1cos A A =-．又222223cos 244b c a b c A bc bc bc+-+==≥=c =时，等号成立．即cos A 故2tan A tan A A ． 9.已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤；②()()010g g ⋅≥；③23a b -有最小值. 正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3【答案】C10.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】B二、填空题11. 【辽宁省朝阳市2018届一模】抛物线：（）的准线与轴的交点为，过点作的两条切线，切点分别为，，则__________．【答案】 【解析】由题意得,设过点切线方程为,代入得,即,因此12.已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC 的面积等于 ．【答案】4【解析】设最小边为m ，则由余弦定理得222(4)(2)2(2)cos120m m m m m +=++-+o ，解得3m =，所以△ABC 的面积等于135sin12024⨯⨯⨯=o13. 【山东省菏泽市2018届一模】已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________. 【答案】【解析】不妨设，由，得，则，所以，令，则），易得数列在时单调递减；在n ＞5时单调递增. 令，有，，. 若满足题意的正整数n 只有3个，则n 只能为4，5，6，故实数的取值范围为.14.函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是 ．【答案】23,ln 2ln 3e e ⎛⎫⎪⎝⎭.三、解答题15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.【解析】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+.又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34c a =.由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫∴+=+=++=++⎤ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin cos 226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.由203A π<<，得5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55625S a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围.17. 【江西省2018届六校联考】已知分别是椭圆C:的左、右焦点，其中右焦点为抛物线的焦点，点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线过与椭圆C 交于A 、B 两点，过点且平行直线的直线交椭圆C 于另一点N ，若四边形MNBA 为平行四边形，试问直线是否存在？若存在，请求出的斜率；若不存在，请说明理由.。

思想3.4 等价转换思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1.转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．2．转化与化归的原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．3．常见的转化与化归的方法：转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 4． 转化与化归的指导思想：(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心. 【热点分类突破】类型一 特殊与一般的转化例1.设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y+=+，且当0x >时，()0f x <，则()f x 在区间[],a b 上（ ）A ．有最小值()f aB ．有最大值()f aC ．有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭ D ．有最小值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭分析：此题可根据题意，构造一个特殊函数()f x x =-，即可得出答案。

高考专题17等价转化思想专题点拨1.等价转化思想的原则：①熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．②简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．③具体原则：转化方向应由抽象到具体．④和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．⑤正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．2.等价转化思想常用到的方法：①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．②换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．③数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．④构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．⑤坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．⑥类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．⑦特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．⑧等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．⑨加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．⑩补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题得以解决．例题剖析【例1】已知函数，求证中至少有一个数不小于12．(2)若对满足题设条件的任意b c、，不等式恒成立，求实数M的最小值.(2)若b c =，则R M ∈.若b c ≠，.此时0b =，则1M ≥.0b >时，.又，即.故32M ≥. 综上，所求取值范围是32M ≥.巩固训练一、填空题1．已知y ＝f (x )是定义在(－2，2)上的增函数，若f (m －1)＜f (1－2m )，则m 的取值范围是________． 【答案】(－12，23)【解析】依题意，原不等式等价于⎩⎨⎧－2<m －1<2，－2<1－2m <2m －1<1－2m ，，解得－12<m <23.2．若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝43x ＋ay ＝6无解，则实数a ＝________．【答案】6【解析】 (代入法)若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝43x ＋ay ＝6无解，则两直线x ＋2y －4＝0与3x ＋ay －6＝0无交点．则⎩⎨⎧1×a －3×2＝01×（－6）－3×（－4）≠0，解得a ＝6.3．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是________．【答案】14．在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________. 【答案】54【解析】 顶点B 取椭圆短轴端点，即B (0，3)，得sin A ＋sin C sin B ＝54.5.若等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________.【答案】1316【解析】 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列转化为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.6．若函数f (x )＝log m (x ＋1)，且m ＞1，a ＞b ＞c ＞0，则f （a ）a 、f （b ）b 、f （c ）c的大小关系是__________________．【答案】f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c【解析】 f （x ）x 可以转化成f (x )上的点与原点连线的斜率，如图， 由函数y＝log m (x ＋1)的图像，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))，显然，k OA <k OB <k OC ， ∴f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c.二、选择题7．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．23 【答案】C【解析】 m 2＋n 2为原点(0，0)到直线4x ＋3y －10＝0上一点的距离的平方，d 2min＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－10|42＋322＝4.8．已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋m ＋1在x ∈(0，＋∞)上的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－22＜m ＜2＋2 2B ．m ＜2C ．m ＜2＋2 2D ．m ≥2＋2 2 【答案】C【解析】令3x ＝t ，t ∈(1，＋∞)，则问题转化为函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在(1，＋∞)上的图像恒在x 轴上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2＜1，1－m ＋1＋m ＞0，解得m ＜2＋2 2.9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4【答案】B【解析】 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC ＝1，AB ＝12，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.三、解答题10.定义在上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0)时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )，求f (x )在(0，1]上的最大值．11.已知函数的图像过点A （2，1）和B （5，2）(1)求函数f （x ）的解析式；(2)记()n f na ，n ∈N *，是否存在正数k ，使得（１＋)11a （１＋)12a ……（１＋)1n a ≥k 12+n 对一切n ∈N *均成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．学-科网【解析】(1)由已知得, 解得⎩⎨⎧-==12b a ，∴f(x)=.(2)由(1)得n a =)12(log 33-n =2n －1, n ∈N * 设存在正数k ，使得（１＋)a 11（１＋)a 12……（１＋)a 1n≥k 1n 2+对一切n ∈N *均成立，则k ≤121+n （１＋)11a （１＋)12a ……（１＋)1n a . 记F （n)=121+n （１＋)11a （１＋)12a ……（１＋)1n a 则F （n+1)=321+n （１＋)11a （１＋)12a ……（１＋)1n a （１＋)11+n a ∵＞)1(2)1(2++n n =1，∴F(n+1) ＞F(n)，∴F （n ）是随n 的增大而增大. ∵n ∈N *，∴当n=1时，F （n ）min =F(1)=332，∴ k ≤332，即k 的最大值为332.。

思想四 等价转换思想 强化训练3一．选择题1.若函数在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】因为函数在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，当且仅当3x =时，，所以.2.定义在上的连续函数，其导函数为奇函数，且，；当时，恒成立，则满足不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为其导函数为奇函数，所以原函数是偶函数，因为当时，恒成立，所以，所以函数在x>0时，是减函数，在x<0时，是增函数.因为，所以，所以,，故选D.3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有，当(),0x ∈-∞时，.若，则实数m 的取值范围是( )A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞ D ．[)2,-+∞ 【答案】A 【解析】∵，设，则，∴()g x 为奇函数，又，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又等价于，即，∴1m m +≥-，解得12m ≥-． 4.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )A. B. C.D.【答案】D【解析】由题意知，设半球的半径为，正方形的边长为，顶点在底面的身影是半球的球心，取的中点，连接，如图所示，则，所以四棱锥的侧面积为，，所以该半球的体积为.故选D.5.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可知函数恒过定点()1 1，，将点()1 1，代入7ax by +=，可得7a b +=，由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤，由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点() a b ，在以()3 4，和()4 3，为端点的线段上运动，所以ba 的取值范围是34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.选A. 6.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )A.B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.7.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.31+ B. 21+ C.512+ D. 212+ 【答案】B【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN |=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴1PNm PA=，设PA 的倾斜角为α，则1sin m α=，当m 取得最大值时， sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1），即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1， ∴P （2，1），∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2（2﹣1）， ∴双曲线的离心率为．故选B ．8.已知ABC ∆中，，则tan A 的最大值是( )A ．33B ．233 C.3 D ．433【答案】A【解析】；由于．又，当且仅当3b c =时，等号成立．即cos A 的最小值为32． 故2tan A 的最大值为33，故tan A 的最大值为33．故选：A ． 9.已知函数，（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①；②；③23a b -有最小值.正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3 【答案】C 【解析】由题意，得，若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩，即，所以，故②正确；不妨设，则，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令23z a b =-，则2133z b a =-，①当33z ->-，即9z <时，抛物线2133zb a =-与直线有公共点，联立两个方程消去b 得，，所以09z ≤<；当33z-≤-，即9z ≥时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，0z ≥，所以23z a b =-有最小值，故③正确，故选C ．10.若方程有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且，则的取值范围是（ ）A ．(8,62)B ．(8,45] C. (62,45) D ．(62,45] 【答案】B 【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数()g x t =的图象如下图所示，所以14,x x 是方程的两根，23,x x 是方程的两根，由求根公式得，且02t <<，所以，令，由得65t =，函数()f t 在区间6(0,]5递增，在区间6[,2)5递减，又，所以所求函数的取值范围是(8,45]，故选B.二、填空题11.抛物线：（）的准线与轴的交点为，过点作的两条切线，切点分别为，，则__________．【答案】【解析】由题意得 ,设过点切线方程为 ,代入得,即 ,因此12.已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC 的面积等于 ． 【答案】1534【解析】设最小边为m ，则由余弦定理得，解得3m =，所以△ABC 的面积等于13.已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】不妨设，由，得，则，所以，令，则），易得数列在时单调递减；在n ＞5时单调递增. 令，有，，.若满足题意的正整数n 只有3个，则n 只能为4，5，6，故实数的取值范围为.14.函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是 ．【答案】23,ln 2ln 3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】在为()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，所以函数()g x 是由函数()f x 的图象经过上下平移得到的，即，又，所以0c h +=，即，得，则()g x 在区间(2,3)上有唯一零点等价于函数()y h x =与函数y a =有唯一交点，，当2x >时，()0h x '>，函数()h x 在区间(2,3)上单调递增，所以函数()y h x =与函数y a =有唯一交点等价于，即，即a 的取值范围是23,ln 2ln 3e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 三、解答题15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =. （1）若，求c 的值；（2）求a c +的最大值.【解析】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+.又.由正弦定理，得34c a =,即34ca =.由余弦定理，得,即，解得4c =.(2) 由正弦定理，得.由203A π<<，得.所以当62A ππ+=，即3A π=时，.16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若不等式对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）设公差为d ，则，∴.∴{}n a 的通项公式为34n a n =-.（2），，43n a n +=；，当n 为奇数时，；当n 为偶数时，91k n n <++，∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号，∴当n 为奇数时，91n n ++的最小值为7，当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294，∴2974k -<<. 17.已知分别是椭圆C:的左、右焦点，其中右焦点为抛物线的焦点，点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线过与椭圆C 交于A 、B 两点，过点且平行直线的直线交椭圆C于另一点N ，若四边形MNBA 为平行四边形，试问直线是否存在？若存在，请求出的斜率；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由的焦点为（1,0）可知椭圆C 的焦点为又点在椭圆上，得， 椭圆C 的标准方程为（2）由题意可设直线的方程为，由得，所以.所以|AB|==.又可设直线MN的方程为，由得，因为，所以可得。