2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考试题数学（理科）答案及评分标准一、选择题：BCADB BCACD 二、填空题：112 1221 132 14321051523 16 []6,3- 17 30三、解答题c18（Ⅰ）)2cos 1()34sin2sin 34cos2(cos cos2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x (3))(x f 的最大值为2……………………4分要使)(x f 取最大值， )(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ……………………6分 注：未写“Z k ∈”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.（Ⅱ）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ……………………8分 ()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A …………………10分在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π……………12分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，当1==c b 时a 取最小值.1……………14分注：不讨论角的范围扣1分.19（Ⅰ）在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又，31=a ，故.52=a 同样取3=n 可得.73=a ……………………2分由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减可得：411=--+n n a a ，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a ，故{}n a 是公差为2的等差数列，∴.12+=n a n ……………………5分注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分. （Ⅱ）在1122+2n n n b b b na -++=L 中令1=n 得.311==a b ……………………6分又121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ，与11222n n n b b b na -+++=L 两式相减可得：34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n，nn n b 2341+=+，即当2≥n 时，1214--=n n n b经检验，31=b 也符合该式，所以，{}n b 的通项公式为1214--=n n n b ………………9分11137(41)()22n n S n -=+⋅++-⋅L . 2121111137()(45)()(41)().2222n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅L相减可得：211111134[()()](41)()22222n nn S n -=++++--⋅L利用等比数列求和公式并化简得：127414-+-=n n n S ……………………11分可见，+∈∀N n ，14<n S ……………………12分 经计算，13323114,1316271465>-=<-=S S ，注意到{}nb 的各项为正，故nS 单调递增，所以满足1413<<n S 的n 的集合为{}.,6N n n n ∈≥……………………14分20（Ⅰ）因为AB ∥DE ，AB 在平面FDE 外，所以AB ∥平面FDE ；…………2分MN 是平面PAB 与平面FDE 的交线，所以AB ∥MN ，故MN ∥DE ；…………4分而MN 在平面CDE 外，所以MN ∥平面.CDE ……6分注：不写“AB 在平面FDE 外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分. （Ⅱ）解法一：取AB 中点G 、DE 中点H 则由GH ∥PC 知H G C P ,,,在同一平面上，并且由PB PA =知.AB PG ⊥而与（Ⅰ）同理可证AB 平行于平面PAB 与平面CDE 的交线，因此，PG 也垂直于该交线，但平面⊥PAB 平面CDE ，所以⊥PG 平面CDE ，∴CH PG ⊥…………10分于是，CGH ∆∽PCG ∆∴GHCG CGPC =…………12分即.2,1331==+t t …………14分注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理. （Ⅱ）解法二：如图，取AB 中点G 、DE 中点H .以G 为原点，GB 为x 轴、GC 为y 轴、GH 为z 轴建立空间直角坐标系.则在平面PAB 中,)1,3,0(),0,0,1(t P B +，向量).1,3,0(),0,0,1(t GP GB +== 设平面PAB 的法向量),,(111,z y x n =，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011GP n GB n 即⎩⎨⎧=++⋅=⋅0)1(301111t z y x 得)3,1,0(1-+=t n ……………………9分在平面CDE 中,)0,3,0(),1,0,0(C H ，向量).0,0,1(),1,3,0(==-=GB HE CH 设平面CDE 的法向量),,(2222z y x n =，由⎩⎨⎧=⋅=+-⋅010)3(222x z y得)3,1,0(2=n ……………………12分平面⊥PAB 平面CDE ，021=⋅∴n n ，即.2,031=∴=-+t t ……………………14分注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分.21、（I ）由题意，6||||||||=+=+QB QP QB QA ，∴Q 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且2,3==c a ,∴曲线C 的轨迹方程是15922=+yx.………………5分（II ）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线l ：m kx y +=，则由l 与⊙O 相切得r km =+21|| 即)1(222k r m +=①……………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15922yx mkx y ，消去y 得，0)5(918)95(222=-+++m kmx x k , 设),(11y x M ，),(22y x N ，则由韦达定理得2219518kkm x x +-=+，222195)5(9km x x +-=……………………9分))((21212121m kx m kx x x y y x x ON OM +++=+=⋅221212)()1(m x x km x x k ++++=2222222951895)5)(1(9m km k km k ++-+-+=22295)1(4514kk m ++-=②……………………10分由于其中一条切线满足090>∠MON ，对此ON OM ⋅095)1(4514222<++-=kk m结合①式)1(222k r m +=可得14452>r …………………………………………12分图1图2于是，对于任意一条切线l ，总有)1(144522k m +>，进而ON OM ⋅095)1(4514222<++-=kk m故总有090>∠MON . …………………………………………14分 最后考虑两种特殊情况：（1）当满足090>∠MON 的那条切线斜率不存在时，切线方程为.r x ±=代入椭圆方程可得交点的纵坐标9552r y -±=，因090>∠MON ，故9552r r -<，得到14452>r ，同上可得：任意一条切线l 均满足090>∠MON ；（2）当满足090>∠MON 的那条切线斜率存在时，14452>r ，9552r r -<，对于斜率不存在的切线r x ±=也有90>∠MON .综上所述，命题成立. …………………………………………15分22、（I ）)(x f 的定义域为),0(+∞xa x x a x xa x f )2)(1()1(2)('+-=---=…………………………..………..…….2分①0≥a 时，)(x f 的增区间为)1,0(，减区间为），（∞+1 ②02<<-a 时，)(x f 的增区间为），（12a -，减区间为），（∞+-1),2,0(a③2-=a 时，)(x f 减区间为），（∞+0 ④2-<a 时，)(x f 的增区间为），（21a -，减区间为），（∞+-2),1,0(a …………6分（II ）由题意ax x x x x x a x x ax x x a ax x x a x x x f x f k x f P P --+--=--------=--==)2(ln])1(ln [])1(ln [)()()(211212121211222212120'21又：a x x x x a x x f --+-+=+)2(2)2(212121'…………………………..…………….9分a x xa x f ---=)1(2)('（0>a ）在），（∞+0上为减函数 要证2210x x x +<,只要证)2()(21'0'x x f x f +>即2112122lnx x a x x x x a +>-, 即证211212)(2lnx x x x x x +->……………....…….13分令1)1(2ln )(,112+--=>=t t t t g x x t ，0)1()1()1(41)(222'>+-=+-=t t t t tt g)(t g ∴在),1(+∞为增函数 0)1()(=>∴g t g 1)1(2ln +->∴t t t ，即121ln +>-t t t即211212)(2lnx x x x x x +->2210x x x +<∴得证………………………..………15分。

绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2012.2本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥，直线a c ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则t a n ()αβ+=A ．73-B ．73C ．57D ．1 4．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：x x f 3)(=xx x f 1)(+=，那么输出的函数()f x 为 A ．3xB ．sin xC ．3xD ．1x x+5．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．16．已知变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2+∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012”含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集” C ．若21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集”12,S S ，若12,S S ≠≠R R ，则12S S =R图1图3N ABCDM 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．π40cos xdx =⎰．10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在)90,60[内的学生人数为 ．11．已知抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，则双曲线C 的离心率e = ．12．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ．13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，已知2=AB ，3==BE AE ，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左（侧）视图的面积为22．若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则NB MN AM ++的最小值为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π:cos(4l ρθ+=上的点的最短距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，,A B 是圆O 上的两点，且OA OB ⊥，2OA =，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ．图2图4DC OA B三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：图5如图6，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD =BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？ （2）当AD BC ⊥时，求α的大小．19．（本小题满分14分） 如图7，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>以椭圆C 的左顶点T为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M N ，的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点R S ，，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．DCOABCD图6已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值； （3）设()l n ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n nS n ， 2e n n T ->．2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9．10． 90； 11 12．259；13．3； 14． 15 三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求 sin MNP ∠的值．解：（1）由图可知，1A = ， ………………………………………………………1分最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<< 所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== (5)分所以π()sin (1)4f x x =+． ……………………6分(2) 解法一: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分MN MP PN ===从而3cos 5MNP ∠==-， (10)分由[]0,πMNP ∠∈，得4sin 5MNP ∠==. …………………12分解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=-,NM NP ===则3cos 5NM NP MNP NM NP⋅∠===-⋅ . ………………………10分由[]0,πMNP ∠∈，得4si n 5M N P ∠=. ……………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．解：（休闲方式的概率为56p =． (2)分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ， 7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． (8)分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． (6)分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2)提出假设0H ：休闲方式与性别无关系． 根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分13分）如图，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD =沿BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ． （1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当AD BC ⊥时，求α的大小．解：（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影，∵BD CD ⊥，CO ⊥平面ABD ，∴BD OD ⊥，∴ODC α∠=， ………………………2分111332C AOD AOD V S OC OD BD OC -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅sin cos 66OD OC CD CD αα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ………………4分sin 2α=……………………5分 DCO ABC D当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O ACD -的体积最大，最大值为． …………6分(2)(法一)连接OB ， ……………………7分 ∵CO ⊥平面ABD ，AD BC ⊥， ∴AD ⊥平面BOC ，∴AD OB ⊥， ………………………9分 ∴90OBD ADB ∠+∠=︒， 故OBD DAB ∠=∠，∴Rt ABD Rt BDO ∆∆∽， ………………11分 ∴OD BDBD AB=，∴21BD OD AB ===， (12)分在Rt COD ∆中，1cos 2OD CD α==，得60α=︒(法二) 过O 作OE AB ⊥于E ，则OEBD 为矩形， 以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ， ………9分于是)0,2,2(-=AD ，)sin 2,cos 2,2(αα--=BC ， ……………10分 由AD BC ⊥，得0=⋅，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， ……………………12分 得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． ………………………………13分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．ABCO19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅解：（1）依题意，得2a =，c e a ==1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． ………………………………………3分（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （*） (4)分由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． ……………………………………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =． 故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． (8)分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3c o s 8c o s 5s i n )2c o s 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． (6)分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． (8)分(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， (10)分 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） (11)分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………………12分代入（**）式，得：4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， (12)分故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）2()2f x x bx c '=++， (1)分)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．……2分 直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)， ∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． …………………………………………4分则321()33f x x x x =-+-． …………………………………………5分 （2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩ ………………………………………7分 其图像如图所示． 当214x x -=时，12x ±= （ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当1122m <≤时，()g x 最大值为14；（ⅲ）当12m +>时，()g x 最大值为2m m -．10分（3）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-，(1)2ln h x t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+， 当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<， (12)分又 当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ， ∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<， …………………………………12分 又 当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分方法三：2()ln(1)h x x =- ， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ..................① (12)分由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+， 即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立， 令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23tx +=-， 则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0t ϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ………………②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2e n n T ->． 解：（1）1e enn nn a a a +=+ ， 11e e n n n a a +∴=+，即11111e e n n n na a -+=+． …………………………………3分 令11e n n nb a -=，则11+=+n n b b ，2111==a b ，因此，数列}{n b 是首项为2，公差为1的等差数列．11)1(2+=⋅-+=n n b n ， …………………………………5分1111e (1)e n n n n a b n --∴==+． …………………………………6分 （2）（方法一）先证明当*n ∈N 时，1e n n -≥． 设1()e ,[1,)x f x x x -=-∈+∞，则1()e 1x f x -'=-，当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),1(+∞上是增函数，则当1≥x 时，01)(=≥）（f x f ，即1e x x -≥． (8)分因此，当*n ∈N 时，1en n -≥，11111(1)e (1)1n n a n n n n n -=≤=-+++， …………9分 当*n ∈N 时，1e n n +<，(21)1111e (1)e e e n n n n n a n ----=>=+⋅． …………………10分 1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-≤+++=∴n nn n n a a a S n n ． (12)分2135(21)[13521)]123e e e e e e n n n n n T a a a a ----+-++++--∴=⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅== （． (14)分（方法二）数学归纳法证明 （1）2111==a S ，211=+n n ，∴当1=n 时，1+≤n n S n成立；2111==a T ，21e e n -=， 又e 2> ，112e∴>， ∴当1=n 时，2e n n T ->成立． ……………………………………………8分（2）设k n =时命题成立，即1+≤k k S k ，2e k k T ->， 当1+=k n 时，1111(2)e k k k kk S S a k k ++=+≤+++，要证211++≤+k k S k ， 即证111(2)e 2k k k k k k ++≤+++，化简，即证e 1kk ≥+． …………………………9分 设()e 1,0,)x f x x x =--∈+∞（，则()e 1x f x '=-， 当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数，则当0≥x 时，00)(=≥）（f x f ，即e 1x x ≥+．因此，不等式e 1kk ≥+成立，即当1+=k n 时1+≤n n S n 成立． …………………11分当1+=k n 时，22111e e(2)e 2k kkk k k k T T a k k ---++=⋅>⋅=++， 要证2(1)1e k k T -++>， 即证22(1)e e 2k k k k ---+>+，化简，即证1e 2k k +>+．根据前面的证明，不等式1e 2k k +>+成立，则1+=k n 时2e n n T ->成立．由数学归纳法可知，当*n ∈N 时，不等式1+≤n n S n ，2e n n T ->成立．……………14分【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．。

2012年东北三省三校高考数学一模试卷（理科）（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A={x|﹣x2﹣3x＞0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩B=（）A．x{|﹣3＜x＜﹣1}B．x{|﹣3＜x＜0}C．x{|x＜﹣1}D．x{|x＞0}2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（5分）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A．B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}中，a5+a6=4，则log2（•…）=（）A．10B．20C．40D．2+log257．（5分）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．88．（5分）盒子中放有编号为1，2，3，4，5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．10．（5分）设α、β都是锐角，且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=（）A．B．C．或D．或11．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（8，+∞）C．（1，8）D．（1，4）12．（5分）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为．14．（5分）如图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为．15．（5分）存在两条直线x=±m与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为．16．（5分）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是．三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：①将y=sinx的图象整体向左平移个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．（1）求f（x）的周期和对称轴；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．18．（12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）单位：元）（1）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）的居民数X的分布和数学期望．19．（12分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．（Ⅰ）求证：DF⊥CE；（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．20．（12分）设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．24．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|（1）解不等式f（x）≥4；（2）求函数y=f（x）的最小值．2012年东北三省三校高考数学一模试卷（理科）（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A={x|﹣x2﹣3x＞0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩B=（）A．x{|﹣3＜x＜﹣1}B．x{|﹣3＜x＜0}C．x{|x＜﹣1}D．x{|x＞0}【解答】解：∵集合A={x|﹣x2﹣3x＞0}=}{x|﹣3＜x＜0}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：A．2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．故选：D．3．（5分）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：∵直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，∴1×（a+1）+a×（﹣2）=0，解得a=1．故选：C．4．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“λ＜1”可得a n﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点为（，0），∵P为椭圆上一点，其横坐标为，∴P到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4﹣=故选：D．6．（5分）等差数列{a n}中，a5+a6=4，则log2（•…）=（）A．10B．20C．40D．2+log25【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a6=4，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（•…）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20．故选：B．7．（5分）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为7故选：C．8．（5分）盒子中放有编号为1，2，3，4，5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，盒子中共有10个球，从中任意取出3个，有C103=120种取法，若取出的3个球编号互不相同，可先从5个编号中选取3个编号，有C53种选法．对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，共有23种选法，取出的球的编号互不相同的取法有C53•23=80种，则取出球的编号互不相同的概率P==；故选：D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=，＜法2＞由直线向量参数方程可得=+，=+即为=（||2+||2）+|AB|AC|cos60°=×（4+1）+×2×1×=．故选：A．10．（5分）设α、β都是锐角，且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα=＜，∴＜α＜，又sin（α+β）=＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，sinα==，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=．故选：A．11．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（8，+∞）C．（1，8）D．（1，4）【解答】解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=log a（x+2），即f（x）=h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，∴0＜log a（6+2）＜1，∴a＞8．故选：B．12．（5分）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S ﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS，∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，所以体积V=Sh==二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为．【解答】解：由方程组解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx=﹣（﹣4）=故答案为：14．（5分）如图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为4+．【解答】解：根据长对正，宽相等，高平齐，可得侧视图的上底长为2，下底长为（2+），高为2的梯形∴侧视图的面积为=4+故答案为：4+15．（5分）存在两条直线x=±m与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（，+∞）．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC、BD所在直线是各象限的角平分线因此，直线y=±x与双曲线﹣=1有四个交点∴双曲线的渐近线y=±x，满足＞1，即b＞a，平方得：b2＞a2，c2﹣a2＞a2，可得c2＞2a2，两边都除以a2，得＞2，即e2＞2，∴e＞，即双曲线的离心率的取值范围是（，+∞）故答案为：（，+∞）16．（5分）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是．【解答】解：由题意可得，，∴=（x+1，y）∴=，其几何意义是可行域内的任意一点与点E（﹣1，0）的距离结合图形可知，过E（﹣1，0）作EM⊥直线：x+y=2，垂足为M，则ME即为所求的最小值由点到直线的距离公式可得，ME==故答案为：三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：①将y=sinx的图象整体向左平移个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．（1）求f（x）的周期和对称轴；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）由变换得：f（x）=2sin（2x+），∵ω=2，∴T==π；由2x+=kπ+，k∈Z，得对称轴为x=+，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=2得：2sin（2C+）=2，即sin（2C+）=1，又C为三角形内角，∴2C+=，即C=，∴cosC=，又c=1，ab=2，在△ABC中，根据余弦定理，有c2=1=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2×2×，整理得：a2+b2=7，与ab=2联立，且a＞b，解得：a=2，b=．18．（12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）单位：元）（1）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）的居民数X的分布和数学期望．【解答】解：（1）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500，2000）的概率约为0.0004×500=0.2．…（2分）（2）频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），设中位数为x，则0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x﹣2000）=0.5，解得x=2400 …（6分）（3）居民月收入在[2500，3500）的概率为（0.0005+0.0003）×500=0.4．由题意知，X～B（3，0.4），…（8分）因此P（X=0）==0.216，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，故随机变量X的分布列为…（10分）X的数学期望为EX=0×0.216+1×0.432+2×0.0288+3×0.064=1.2．…（12分）19．（12分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．（Ⅰ）求证：DF⊥CE；（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=AE，∠DAE=60°∴△DAE为等边三角形，设AD=1，则，∴∠DEC=90°，即CE⊥DE．…（3分）∵DD'⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴CE⊥DD′．∵DE∩DD′=D∴CE⊥平面DD′E∵DF⊂平面DD′E∴CE⊥DF．…（6分）（Ⅱ）解：取AE中点H，则，又∠DAE=60°，所以△DAE为等边三角形，则DH⊥AB，DH⊥CD．分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则．．设平面AEF的法向量为，则，取．…（10分）平面CEF的法向量为，则，取．…（12分）∴．∵二面角A﹣EF﹣C为钝二面角∴二面角A﹣EF﹣C的余弦值为．…（15分）20．（12分）设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．∴1+=，解得p=．所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1，则点M（1﹣，0）联立方程组，消去y得x2﹣kx+k﹣1=0解得Q（k﹣1，（k﹣1）2）．…（6分）所以得直线QN的方程为y﹣（k﹣1）2）=．代入曲线x2=y，得．解得N（，）．…（8分）所以直线MN的斜率k MN==﹣．…（10分）∵过点N的切线的斜率．∴由题意有﹣=．∴解得．故存在实数使命题成立．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1，f（x）=lnx，定义域为（0，1）∪（1，+∞）．=．…（2分）设g（x）=2lnx+，则．因为x＞0，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，又g（1）=0，于是x∈（0，1），g（x）＞0，f′（x）＞0；x∈（1，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．…（6分）（Ⅱ）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以＜0．（1）当a＜0时，f（x）＞0．不合题意．…（8分）（2）当a＞0时，x∈（0，1），由f（x）＜﹣2，得lnx+．设h（x）=lnx+，则x∈（0，1），h（x）＜0．．设m（x）=x2+（2﹣4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a﹣1）．若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=ln1+=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1﹣a）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0，对任意x∈（x0，1），m（x）＜0，（x）＜0，h（x）在（x0，1）上是减函数，又因为h（1）=0，所以x∈（x0，1），h（x）＞0．不合题意．综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）∵C的参数方程为为参数），利用sin2θ+cos2θ=1，消去参数可得x2+y2=16．由于l经过点P（2，2），倾斜角，可得直线l的参数方程．（2）把l的参数方程代入圆的方程x2+y2=16 可得t2+2（+1）t﹣8=0，∴t1•t2=﹣8，∴|PA|•|PB|=8．24．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|（1）解不等式f（x）≥4；（2）求函数y=f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=，…（3分）不等式f（x）≥4 等价于：，或，或．解得：x≤﹣8，或x≥2，故不等式的解集为{x|x≤﹣8 或x≥2 }．…（6分）（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数y=f（x）的最小值在x=﹣处取得，此时f min（x）=﹣．…（10分）。

安徽省省城名校2012届高三段考第一次联考数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()1,22,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(2,)+∞ 2．若集合2{|9},{|310}A x x B y y =<=+>，则集合{|}M x N x AB =∈∈子集的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．163．若函数()f x 在R 上单调，且对任意,x y R ∈，有()()()f x y f x f y +=，则(0)f =（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．不确定4．若函数23(0)()(0)x x y f x x ->⎧=⎨<⎩为奇函数，则()f x 的解析式为（ ） A ．()23f x x =-+ B ．()32f x x =-+C ．()23f x x =+D ．()32f x x =+5．函数y =（ ）A ．1BCD ．26．函数2()2x f x x =-的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若函数3()log (2)(1)x x f x a a -=->在[)1,+∞上大于1恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(3,)+∞ D ．[)3,+∞8．若函数32()31f x x x ax =-+-的两个极值点为1212,,0x x x x <<且，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,4)-∞C ．(1,5)D ．（2，4）9．函数()1xe f x x=+的图象大致是（ ）10．若函数()f x 在R 上可导，且满足()'()f x xf x >，则（ ）A ．3(1)(3)f f <B ．3(1)(3)f f >C ．3(1)(3)f f =D ．(1)(3)f f =第II 卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

宁夏回族自治区石嘴山市2012届高三第一次联考数学试题（理科）全 解 全 析一、选择题1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，M ={2，3，5}，N ={4，5}，则集合{1，6}=（ ）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(U C M ∪)ND ．(U C M ∩)N【解析】此题是送给同学们的见面礼，一定要收下哟！M ∪N ={2，3，4，5}，所以{1，6}=(U C M ∪)N ，选择C ，“地球人都知道”。

2．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，复数a bi += （ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -【解析】此题考察两个复数相等的条件，即a bi +=di c +c a =⇔且d b =，但不要忘了d c b a ,,,都为实数这个条件。

由(2)a i i b i -=-，得i b ai -=+2，从而1-=a ，2=b ，故选择B 。

3．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是（ ） A ．16B ．24C ．36D ．48【解析】解法一：（推理法）从6所高校中任选3所高校总共有2036=C 种方法，最多有20种方法，B 、C 、D 必错，走投无路了，只能选A 了。

解法二：（直接法）分两类：（1）先从考试时间相同的两所高校中任选一所，有2种方法，再从其它4所高校中任选两所学校，有624=C 种方法，根据乘法原理，共有1262=⨯种方法；（2）考试时间相同的两所高校不选，直接从其它4所高校中任选三所高校，有434=C 种方法。

最后，根据分类加法原理，得该学生不同的报考方法共有16412=+种。

故选择A 。

解法三：（间接法）从6所高校中任选3所高校，共有2036=C 种方法，再减去不符合题意的选法，即考试时间相同的两所高校都选，再从其余4所高校中任选一所，有41422=⋅C C 种， 综上所述，该学生不同的报考方法种数是20－4=16种，故选择A 。

2012届年安徽省示范高中高三第一次联考数学试题（理科）考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容：集合与函数概念、基本初等函数、函数运用、常用逻辑用语、导数及其应用。

第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数lg(1)y x =-的定义域是（A ）(0,2] （B ）(1,2] （C ）(1,)+∞ （D ）[]1,22：集合{}1|,02x A y y x ==≤（），{|ln ||1,}B x x x Z =<∈则下列结论正确的是A ．}{2,1AB =-- B ．()(,0)R A B =-∞ð C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R A B =--ð 3. 设函数1()ln (0)5f x x x x =->，则函数()f x(A) 在区间(0,1)(1,)+∞，　内均有零点 (B) 在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点 (C) 在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点(D) 在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点4．已知,,a b ∈R 则“22log log a b >”是“11()()33a b <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5：定义在R 上的偶函数()f x 满足1()(3)f x f x =-+且(4)1f =，则(2012)f 的值为（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）136. 若0.5a π=，log b e π=，log sine c e π=，则 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >> 7：由直线,,033x x y ππ=-==与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12 B ．1 CD8：若21()ln(2)2f x x b x =-+∞在(-1,+)上是增函数，则实数b 的取值范围是A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-9：函数x xx x e e y e e ---=+的图像大致为10：设a R ∈，若函数()x y e ax x R -=+∈的极值点小于零，则（ ） A 、1a >- B 、10a -<< C 、01a << D 、1a >第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)·答案)(1)A 由图中的关系可知，阴影部分所表示的面积是，且集合(U A B ==y x A |{ }0|{}≥=x x x ，，所以阴影部分表示的集合为}5|{≥=y y B }5<0|{≤x x ， 故选A(2)C 依题意可设l 的方程为b x y +-=2，所以5225||±=⇒=-b b . (3)B 作出x y 2log =与x y 1=的图象知，两图象只有一个交点，故选B (4)C 易求得长方体的体积为abc V =，而棱锥11DD A C -的底面积为ac 21，高为b ，故三棱锥的为11DD A C -abc Sh V DD A C 613111==-，余下体积为：abc abc abc 6561=-． (5)A 设是上任一点，按规则移动后，),(y x P l P 点移到了)2,1(++y x Q ，由题意可知也在上，所以Q l 2)1(()2=-+-+xx y y =k .(6)B 如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，N (2，1，0)，M (1，3，2)，.3||=MN (7)D 若，则0=m 34)(-=x x f ，定义域为R ； 若，则，得0≠m 034)4(2<⨯-=m m Δ430<<m . 综上诉述，430<≤m ，选D. (8)D ;1600)1018(200)18(200)18(=-⨯==f k ，300)21(=k ，.3300)1021(300)21(=-⨯=f （元）170016003300)18()21(=-=-f f (9)B 根据斜二测画法画水平放置的的平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积'之间的关系是S S S 42'=，本题中直观图的面积为，所以原平面四边形的面积等于2a 2224a 2=.故选B. (10)B由三视图可知这两个正四棱锥的底面边长和侧棱长都是1，故四棱锥一个侧面的面积为1122⨯⨯=4，所以该几何体的表面积为8 4⨯=(11)A 过P 点作圆C 的切线，设切点为D ，则1625)04()14(||||22222=--+--=-=r PC PD ，又由切割线定理知，已知||||||2PB PA PD ∙=2||=PA ，6||,8||=∴=∴AB PB 设C 到l 的距离为d ，则4||2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB r d ，选A. (12)D 依题意知1,(0)(),(0)xx x f x a a x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩，在同一坐标系中画出y ()f x =及y=a 的图像，依题意可得()k f x 的图像.由图并通过计算可知y =()k f x 在(1,)+∞上单调递减，故选D.(13)13依题意知，，则11m -=2m=，12n =，则n =2-，()3121213log )5(log 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛231log 2=+n m 0∴(14)24 3x y -+=ACB ∠最小，即圆心C 到l 的距离最大，即直线l 与直线CP 垂直，102CP 1/21k -==- -，1l k 2∴=，∴l 的方程为11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2430x y -+=.(15)① ②不满足三角形不等式；③不满足对称性.(16)255+依题意可知，110AB ==,由图可知，当取得最大值时，必有四点在同一个平面内.画出简图，过作1OC 11,,,A O B C 1C 11C D OB ⊥于D .设1AB O α∠=,则110cos 5sin C D D 5cos ,O ααα==+22OC OD 211(10cos 5si DC 2n )(5c ))754275os παααα∴=+=+++≤+=+当且仅当8πα=时等号成立.1OC 5∴≤+.(17)解：(Ⅰ)由011>+-xx 得11<<-x ，所以的定义域为)(x f )11(，-． 又),()11log (11log )()(22x f x x x xx x x f -=+-+--=-++--=- 所以为奇函数，所以)(x f 0)20121(20121(=-+f f .…………………………(5分) (Ⅱ)在上有最小值．……………………………………………………(6分) )(x f ],(a a -设，1121<<<-x x 则)1)(1()(2111121122211x x x x x x x x ++-=+--+-，因为1121<<<-x x ，所以， 012>-x x 又，所以0)1)(1(21>++x x 22111111x x x x +->+-.所以函数xx y +-=11在上是减函数．…………………………………………(9分) )11(，-从而得xx x x f +-+-=11log )(2在)11(，-上也是减函数．又)1,1(-∈a ， 所以当时，有最小值，且最小值为],(a a x -∈)(x f a a a a f +-+-=11log )(2.…(12分) (18)解：(Ⅰ)由题意可知，当10==x m 时，123,2,31+-=∴=-=∴m x k k 即……………………………………………….(3分) 每件产品的销售价格为xx 1685.1+⨯元， )168()1685.1(m x xx x y ++-+⨯= )0)(116(28)123(8484≥++-=-+-⨯+=-+=m m m m m m x .……………(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，29)1(116)116(28+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=++-=m m m m y ，…………………(8分) 212988162)1(1160=+-≤∴=≥+++∴≥y m m m ，， . 当且仅当1116+=+m m ，即3=m 时，21max =y . 所以该企业2012年投入的广告费用为3万元时，企业的年利润最大，最大利润为21万元．…………………………………………………………………………………………(12分)(19)解：(Ⅰ)方程可化为，当m y x 55)1()2(22-=++-055>-m 即时，此方程表示圆．……………………………………………………………………………………(4分) 1<m (Ⅱ)当m ＝0时，曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0.①当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，可求得A (0,0)，B (0，－2)，|P A |＝|AB |，满足题意．…………………………………(6分) ②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为)()(2B B A A y x B y x A kx y ，，，，+=， 联立得，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －4)x ＋8＝0， ⎩⎨⎧=+-++=024 222y x y x kx y ∵|P A |＝|AB |，∴A 为PB 的中点，A B x x 2=， 由⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+2218164k x x k k x x B A B A ，可得⎪⎪⎩⎪⎨⎧+=+-= 14)1(364222k x k k x A A ， 可得k ＝－512，此时Δ＝4(k 2－12k －4)>0，故满足题意，∴直线l 的方程为5x ＋12y －24＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或5x ＋12y －24＝0.………………………………(12分)(20)解：(Ⅰ)设AC 交BD 于O ，由已知得Rt △ABC ≌Rt △ADC ，所以AC ⊥BD ，而P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD ，………………………………………………………(2分)又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面P AC ⊥平面PBD (4)) (Ⅱ)由P A ⊥底面ABCD 得P A ⊥CD ，又DC ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD ，………………………………………(6分)过A 作AH ⊥PD 于H ，∴AH ⊥平面PCD ，∴AH 为点A 到平面PCD 的距离．……………………………………………………(8分) 故AH ＝3，∴∠ADP ＝60°，∠APD ＝30°，所以P A ＝23，过B 作BM ⊥PC 于M ，连接DM ，易证Rt △PBC ≌Rt △PDC ，∴DM ⊥PC ，∴∠BMD 为二面角B －PC －D 的平面角，(10分)可得PB ＝4，BC ＝23，BD ＝23，PC ＝27，BM ＝4217＝DM .∴cos ∠BMD ＝812222=∙-+MD BM BD MD BM ，即二面角B －PC －D 的余弦值为18.…(12分) (21)解：(Ⅰ)易知y ＝－x 3是R 上的单调递减函数．依题意可得，则a ＋b ＝－(a 3＋b 3)，∴(a ＋b )[a 2－ab ＋b 2＋1]＝0， ⎩⎨⎧*-=-=)(33ba ab 00143)2(12222=+∴>++-=++-b a b b a b ab a ，， 由(*)式得b ＝－a 3＝－(－b 3)3＝b 9，解之得b ＝－1或b ＝0或b ＝1.又b >a ，∴a ＝－1，b ＝1，所求区间为[－1,1]．……………………………………(4分) (Ⅱ)因为x >0，x x x f 143)(+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛3320，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，332上单调递增，(证明略)所以，函数x x x f 143)(+=在(0，＋∞)上不是单调函数，从而该函数不是闭函数．(7分)(Ⅲ)易知y ＝k ＋x 是[0，＋∞)上的增函数，符合条件①.设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则⎩⎨⎧+=+=b k b a k a ，故a ，b 是x ＝k ＋x 的两个不等实则， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=>+=+>-+=0 0 01204)12(2212122k k x x k x x k k ∆解得－14<k <0，∴k 的取值范围为)041(，-………………………………………….(12分) (22)解：(Ⅰ)连接PB ，依题意知PB ⊥CF ，取PF 的中点M ，连接BM ，则BM ＝12PF ，∴以PF 为直径的圆过点B (5)) (Ⅱ)∵BC 切⊙P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22，∴由切割线定理CB 2＝CD ·CE ，得CE ＝4，∴DE ＝2，BP ＝1.………………… (7分) 又易证Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴EF ∶PB ＝CE ∶CB , 得EF ＝ 2.在Rt △FEP 中，PF=.………………………………………(10分) (23)解：(Ⅰ)π2cos 4ρ⎛θθ⎫=+=- ⎪⎝⎭θ2cos sin ρθθ∴=,…………………………………………………(2分) ∴圆C的直角坐标方程为22x y 0+-=0，…………………………(3分) 即1222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ………………………………………………(5分) (Ⅱ)方法1：直线上的点向圆C 引切线，切线长为6224)4(408124222222222222≥++=++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t ……………………… (8分) ∴切线长的最小值是2 6.…………………………………………………………(10分) 方法2：直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0，……………………………………(8分) 圆心C 到直线l 的距离为⎪⎪⎪⎪22＋2＋422＝5，∴切线长的最小值是52－12＝2 6.……………………………………………(10分)(24)解：(Ⅰ)当a ＝6时，x 应满足|x －1|＋|x －5|－6>0，即|x －1|＋|x －5|>6，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，⇔⇔则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝……………………………………(3分) ⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<≥- .1 2651 4 5 62x x x x x ，，，，，≤<所以|x －1|＋|x －5|>6或或x <0或x >6.⎩⎨⎧>-626 1x x ⎩⎨⎧>< 6451x ⎩⎨⎧>-≥662 5x x ………………………………………………………………………………………(5分) (Ⅱ)函数f (x )的定义域为R 等价于|x －1|＋|x －5|－a >0对任意x ∈R 恒成立， 由(Ⅰ)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，……………………………………(8分) ∴|x －1|＋|x －5|－a >0恒成立(| x －1|＋|x －5|)min >a ，∴a <4.……………………(10分)。

江西省重点中学盟校2012届高三第一次联考 数 学 试 题(理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii +-11的虚部是（ ）A ．－1B ．－iC ．1D ．i2．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个,从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个,然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个。

则 （ ）A ．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，开始 输出n 结束输入整数P n=1，s=0S ＜Ps=s+2n －1n=n+1否是 ②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同3．把函数y=sin （x+6π）图像上各点的横坐标缩短为原来的21倍（纵那么所坐标不变），再将图像向右平移3π个单位,得图像的一条对称轴方程为 ( ） B ．x =A ．x=－2π－4πC ．x =8πD ．x =4π4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数P 的最小值是（ ） A ．7 B ．8C ．15D ．165．函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则函数y ＝12log f （x ）的图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数f （x)=a x +x －b 的零点x 0∈（n, n+1） （n ∈Z ），其中常数a, b 满足2a =3，3b =2,则n 的值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．17．若一个正三棱柱的主视图如图所示,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．316πB ．319π．1219πD ．34π8．给出以下四个命题:①“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件 ②若命题p :“x R ∃∈,使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210xx ++≥”③如果实数y x ,满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨--≤⎪⎩，则|42|-+=y x z 的最大值为21④在ABC ∆中,若321AB BC BC CA CA AB⋅⋅⋅==,则tan :tan :tan A B C =3：2:1 其中真命题的个数为 ( ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知抛物线x2=2py(p ＞0）与双曲线22ay －22x b=1（a ＞0， b ＞0）有相同的焦点F ，点B 是两曲线的一个交点，且BF ⊥y 轴,若L 为双曲线的一条渐近线,则L 的倾斜角所在的区间可能是 （ ）A ．（6π，4π）B ．（4π，3π） C ．（2π,32π） D ．(56π,π）10．若2012=12222n a a a +++…，其中12,,,n a a a …为两两不等的非负整数，令x =sin 1n i i a =∑，y =cos 1ni i a =∑，z =tan 1nii a =∑,则,,x y z 的大小关系是( ）A ．x y z <<B ．z x y << C．x z y <<D ．y z x <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若341129S S-=，则公差为 .12．设a=⎰0π（sin x +cos x ） d x ，则二项式（ax －x1）6展示式中含2x项的系数是 .13．一只昆虫在边长分别为6，8，10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的的概率为 。