2012年上海理科数学高考试题(理科数学理科数学高考试题,word教师版【免费下载】)

2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： （ 为虚数单位）．．（ 上海）若集合 ＞ ， ﹣ ＜ ，则 ．．（ 上海）函数 （ ） 的值域是 ．．（ 上海）若 （﹣ ， ）是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．．（ 上海）在的二项展开式中，常数项等于．．（ 上海）有一列正方体，棱长组成以 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 ， ， ， ， ，则（ ）．．（ 上海）已知函数 （ ） ﹣ （ 为常数）．若 （ ）在区间 ， ）上是增函数，则 的取值范围是 ．．（ 上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 ．．（ 上海）已知 （ ） 是奇函数，且 （ ） ，若 （ ） （ ） ，则 （﹣ ） ．．（ 上海）如图，在极坐标系中，过点 （ ， ）的直线 与极轴的夹角 ，若将 的极坐标方程写成 （ ）的形式，则 （ ）．．（ 上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．．（ 上海）在平行四边形 中， ，边 、 的长分别为 、 ，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 ，则的取值范围是 ．．（ 上海）已知函数 （ ）的图象是折线段 ，其中 （ ， ）、 （， ）、 （ ， ），函数 （ ）（ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 ．．（ 上海）如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱，，若 ，且 ，其中 、 为常数，则四面体 的体积的最大值是 ．二、选择题（ 分）：．（ 上海）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（）． ， ． ﹣ ， ． ﹣ ， ﹣ ． ， ﹣．（ 上海）在 中，若 ＜ ，则的形状是（）．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．不能确定．（ 上海）设 ＜ ＜ ＜ ， ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量 取值、、、、的概率也均为 ，若记 、 分别为 、的方差，则（）． ＞．． ＜． 与 的大小关系与 、 、 、 的取值有关．（ 上海）设 ， ，在 ，， 中，正数的个数是（）． ． ． ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 上海）如图，在四棱锥 ﹣ 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，求：（ ）三角形 的面积；（ ）异面直线 与 所成的角的大小．．（ 上海）已知 （ ） （ ）（ ）若 ＜ （ ﹣ ）﹣ （ ）＜ ，求 的取值范围；（ ）若 （ ）是以 为周期的偶函数，且当 时， （ ） （ ），求函数 （ ）（ ， ）的反函数．．（ 上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系（以 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 海里 处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为（ ）当 时，写出失事船所在位置 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（ ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？．（ 上海）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ﹣．（ ）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；（ ）设斜率为 的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；（ ）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距离是定值．．（ 上海）对于数集 ﹣ ， ， ， ， ，其中 ＜ ＜ ＜ ＜ ， ，定义向量集 （ ， ）， ， ，若对任意，存在，使得，则称 具有性质 ．例如 ﹣ ， ， 具有性质 ．（ ）若 ＞ ，且 ﹣ ， ， ， 具有性质 ，求 的值；（ ）若 具有性质 ，求证： ，且当 ＞ 时， ；（ ）若 具有性质 ，且 、 （ 为常数），求有穷数列 ， ， ， 的通项公式．年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： ﹣ （ 为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。

2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= _________ （i为虚数单位）．2．（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=_________ ．3．（2012•上海）函数f（x）=的值域是_________ ．4．（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________ （结果用反三角函数值表示）．5．（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于_________ ．6．（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________ ．7．（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________ ．8．（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________ ．9．（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= _________ ．10．（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= _________ ．11．（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________ （结果用最简分数表示）．12．（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________ ．13．（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C （1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________ ．14．（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________ ．二、选择题（20分）：15．（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣116．（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ＞Dξ21B．Dξ=Dξ21C．Dξ＜Dξ21D．Dξ与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关118．（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100三、解答题（共5小题，满分74分）19．（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．23．（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= 1﹣2i （i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。

上海 数学(理工农医类)1.(2012上海,理1)计算:3i 1i-+= (i 为虚数单位).1-2i 3i 1i -+=(3i)(1i)(1i)(1i)--+-=233i i i 2--+=1-2i .2.(2012上海,理2)若集合A ={x |2x +1>0},B ={x ||x -1|<2},则A ∩B = .1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ A ={x |2x +1>0}=1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭,B ={x ||x -1|<2}={x |-1<x <3},∴A ∩B =1|x 32x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 3.(2012上海,理3)函数f (x )=2sin 1cosx x - 的值域是 .53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ f (x )=2×(-1)-sin x cos x =-2-sin22x ,∵sin 2x ∈[-1,1],∴f (x )∈53,-22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4.(2012上海,理4)若n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).arctan 2 ∵n =(-2,1)是直线l 的一个法向量,∴v =(1,2)是直线l 的一个方向向量,∴l 的斜率为2,即倾斜角的大小为arctan 2.5.(2012上海,理5)在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项等于 .-160 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-160. 6.(2012上海,理6)有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )= .87 棱长是以1为首项、12为公比的等比数列,则体积V 1,V 2,…,V n是以1为首项、18为公比的等比数列,所以V 1+V 2+…+V n =111818n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=87·118n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, ∴lim n →∞(V 1+V 2+…+V n )=87. 7.(2012上海,理7)已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数),若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .(-∞,1] f (x )=e ,x a,e ,x a,x a a x--⎧>⎨<⎩当x >a 时f (x )单调递增,当x <a 时,f (x )单调递减,又f (x )在[1,+∞)上是增函数,所以a ≤1. 8.(2012上海,理8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为.如图,由题意知12πl 2=2π, ∴l =2.又展开图为半圆,∴πl =2πr ,∴r =1,体积V =13πr 2h9.(2012上海,理9)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)= . -1 令H (x )=f (x )+x 2,则H (1)+H (-1)=f (-1)+1+f (1)+1=0,∴f (-1)=-3,∴g (-1)=f (-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如图,在极坐标系中,过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π6.若将l 的极坐标方程写成ρ=f (θ)的形式,则f (θ)=.1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 如图所示,根据正弦定理,有5πsin 6ρ=25πsin π6θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴ρ=1πsin θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭.11.(2012上海,理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).23若每人都选择两个项目,共有不同的选法222333C C C =27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A =18种,故填23.12.(2012上海,理12)在平行四边形ABCD 中,∠A =π3,边AB ,AD 的长分别为2,1.若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点,且满足||||BM BC =||||CN CD ,则AM ·AN 的取值范围是 . [2,5] 如图,设||||BM BC =||||CN CD =λ, 则λ∈[0,1],AM ·AN =(AB +BM )·(AD +DN )=(AB +λBC )·(AD +(λ-1)CD )=AB·AD +(λ-1)AB ·CD +λBC ·AD +λ(λ-1)BC ·CD=1×2×12+(λ-1)×(-4)+λ×1+λ(λ-1)×(-1)=1+4-4λ+λ-λ2+λ=-(λ+1)2+6.∵λ∈[0,1],∴AM ·AN∈[2,5].13.(2012上海,理13)已知函数y =f (x )的图像是折线段ABC ,其中A (0,0),B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为 .54由题意f (x )=110,0,211010,x 1,2x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )=22110,0x ,211010x,x 1.2x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为12⎰10x 2d x +112⎰(-10x 2+10x )d x =103x 3120|+23112105|3x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=103×18+1053⎛⎫- ⎪⎝⎭-5101438⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=54.14.(2012上海,理14)如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC =2.若AD =2c ,且AB +BD =AC +CD =2a ,其中a ,c 为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.23如图: 当AB =BD =AC =CD =a 时, 该棱锥的体积最大. 作AM ⊥BC ,连接DM ,则BC ⊥平面ADM ,AMDM 又AD =2c ,∴S△ADM =∴V D -ABC =V B -ADM +V C-ADM =2315.(2012上海,理15)若1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根,则( ). A .b =2,c =3 B .b =-2,c =3 C .b =-2,c =-1D .b =2,c =-1B 由题意知b 2-4c <0,则该方程的复数根为=1.∴b =-2,c =3.16.(2012上海,理16)在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是( ). A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定 C 由正弦定理可知a 2+b 2<c 2,从而cos C =2222a b c ab+-<0,∴C 为钝角,故该三角形为钝角三角形.17.(2012上海,理17)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值122x x +,232x x +,342x x +,452x x +,512x x +的概率也均为0.2.若记D ξ1,D ξ2分别为ξ1,ξ2的方差,则( ).A .D ξ1>D ξ2B .D ξ1=D ξ2C .D ξ1<D ξ2D .D ξ1与D ξ2的大小关系与x 1,x 2,x 3,x 4的取值有关A18.(2012上海,理18)设a n =1n sin π25n ,S n =a 1+a 2+…+a n .在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ). A .25B .50C .75D .100D ∵a n =1n sin 25n π,∴当n ≤24时,a n 均大于0,a 25=0, ∴可知S 1,S 2,…,S 25均大于0.又a 26=126sin 2625π=-126sin π25=-126a 1,∴S 26=2526a 1+a 2+…+a 25>0,而a 27=127sin 2725π=-127sin 225π=-227a 2,∴a 27+a 2>0.同理可得a 28+a 3>0,…,a 49+a 24>0,而a 51到a 74均为正项,a 75=0,a 76到a 99均为负项,且|a 76|<a 51,|a 77|<a 52,…,|a 99|<a 74,a 100=0, 故{S n }中前100项均为正数.19.(2012上海,理19)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB =2,AD =PA =2.求: (1)三角形PCD 的面积;(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 解:(1)因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD .又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD .从而CD ⊥PD .因为PDCD =2, 所以三角形PCD 的面积为12×2×(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (2,0),E (11). AE =(11),BC =(0,0). 设AE 与BC 的夹角为θ,则cos θ=·||||AE BC AE BCθ=π4.由此知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.解法二:取PB 中点F ,连接EF ,AF,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角. 在△AEF 中,由EFAFAE =2, 知△AEF 是等腰直角三角形. 所以∠AEF =π4.因此,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.20.(2012上海,理20)已知函数f (x )=lg (x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2])的反函数.解:(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得-1<x <1.由0<lg (2-2x )-lg (x +1)=lg 221x x -+<1,得1<221x x -+<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,-23<x <13.由11,21x 33x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得-23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x ). 由单调性可得y ∈[0,lg 2].因为x =3-10y ,所以所求反函数是y =3-10x ,x ∈[0,lg 2].21.(2012上海,理21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y =1249x 2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t =0.5时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t =0.5时,P 的横坐标x P =7t =72,代入抛物线方程y =1249x 2,得P 的纵坐标y P =3.由|AP/时.由tan ∠OAP =730,得∠OAP =arctan 730,故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度.(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为(7t ,12t 2). 由vt整理得v 2=144221t t ⎛⎫+⎪⎝⎭+337. 因为t 2+21t ≥2,当且仅当t =1时等号成立.所以v 2≥144×2+337=252,即v ≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,理22)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ,Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1.若M ,N 分别是C 1,C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.解:(1)双曲线C 1:22x -y 2=1,左顶点A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,渐近线方程:y.过点A 与渐近线y平行的直线方程为yx ⎭,即y+1.解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y(2)设直线PQ 的方程是y =x +b .因直线PQ 与已知圆相切,1,即b 2=2.由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则122122b,1.x x x x b +=⎧⎨=--⎩又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以OP ·OQ=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM则O 到直线MN当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx (显然|k则直线OM 的方程为y =-1kx .由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 所以|ON |2=2214k k ++.同理|OM |2=22121k k +-.设O 到直线MN 的距离为d ,因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2,所以21d =21||OM +21||ON =22331k k ++=3,即d综上,O 到直线MN 的距离是定值.23.(2012上海,理23)对于数集X ={-1,x 1,x 2,…,x n },其中0<x 1<x 2<…<x n ,n ≥2,定义向量集Y ={a |a =(s ,t ),s ∈X ,t ∈X }.若对任意a 1∈Y ,存在a 2∈Y ,使得a 1·a 2=0,则称X 具有性质P .例如{-1,1,2}具有性质P .(1)若x >2,且{-1,1,2,x }具有性质P ,求x 的值; (2)若X 具有性质P ,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(3)若X 具有性质P ,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列x 1,x 2,…,x n 的通项公式. 解:(1)选取a 1=(x ,2),Y 中与a 1垂直的元素必有形式(-1,b ).所以x =2b ,从而x =4.(2)证明:取a 1=(x 1,x 1)∈Y . 设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0. 由(s +t )x 1=0得s +t =0,所以s ,t 异号. 因为-1是X 中唯一的负数,所以s ,t 之中一为-1,另一为1,故1∈X . 假设x k =1,其中1<k <n ,则0<x 1<1<x n .选取a 1=(x 1,x n )∈Y ,并设a 2=(s ,t )∈Y 满足a 1·a 2=0,即sx 1+tx n =0, 则s ,t 异号,从而s ,t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则x 1=tx n >t ≥x 1,矛盾; 若t =-1,则x n =sx 1<s ≤x n ,矛盾. 所以x 1=1.(3)解法一:猜测x i =q i -1,i =1,2,…,n . 记A k ={-1,1,x 2,…,x k },k =2,3,…,n .先证明:若A k +1具有性质P ,则A k 也具有性质P .任取a 1=(s ,t ),s ,t ∈A k ,当s ,t 中出现-1时,显然有a 2满足a 1·a 2=0; 当s ≠-1且t ≠-1时,则s ,t ≥1.因为A k +1具有性质P ,所以有a 2=(s 1,t 1),s 1,t 1∈A k +1,使得a 1·a 2=0,从而s 1和t 1中有一个是-1,不妨设s 1=-1. 假设t 1∈A k +1且t 1∉A k ,则t 1=x k +1.由(s ,t )·(-1,x k +1)=0,得s =tx k +1≥x k +1,与s ∈A k 矛盾. 所以t 1∈A k ,从而A k 也具有性质P . 现用数学归纳法证明:x i =q i -1,i =1,2,…,n . 当n =2时,结论显然成立;假设n =k 时, A k ={-1,1,x 2,…,x k }有性质P , 则x i =q i -1,i =1,2,…,k ;当n =k +1时,若A k +1={-1,1,x 2,…,x k ,x k +1}有性质P ,则A k ={-1,1,x 2,…,x k }也有性质P , 所以A k +1={-1,1,q ,…,q k -1,x k +1}.取a 1=(x k +1,q ),并设a 2=(s ,t )满足a 1·a 2=0.由此可得s =-1或t =-1. 若t =-1,则x k +1=q s≤q ,不可能;所以s =-1,x k +1=qt ≤q k 且x k +1>q k -1, 所以x k +1=q k .综上所述,x i =q i -1,i =1,2,…,n . 解法二:设a 1=(s 1,t 1),a 2=(s 2,t 2), 则a 1·a 2=0等价于11s t =-22t s .记B =,,||||s s X t X s t t ⎧⎫∈∈>⎨⎬⎩⎭,则数集X 具有性质P ,当且仅当数集B 关于原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数,B ∩(-∞,0)={-x 2,-x 3,…,-x n }共有n -1个数,所以B ∩(0,+∞)也只有n -1个数. 由于1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x ,已有n -1个数,对以下三角数阵1n n x x -<2n n x x -<…<2n x x <1n x x 12n n x x --<13n n x x --<…<11n x x - ……21x x注意到1n x x >11n x x ->…>21x x ,所以1n n x x -=12n n x x --=…=21x x ,从而数列的通项为x k =x 1121k x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=q k -1,k =1,2,…,n .。

2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（4分）计算：=（i为虚数单位）．2．（4分）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．3．（4分）函数f（x）=的值域是．4．（4分）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．5．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．6．（4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．7．（4分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．（4分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．10．（4分）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．11．（4分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是．13．（4分）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．14．（4分）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．二、选择题（20分）：15．（5分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．（5分）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关18．（5分）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（14分）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．（14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP ⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．23．（18分）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为1﹣2i2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案【解答】解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x ＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．【解答】解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．【解答】解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan25．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣1606．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V 1+V2+…+v n）==故答案为：7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f （x）+2，则g（﹣1）=﹣1．【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．【分析】取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．【解答】解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5] ．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【分析】根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．【解答】解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．【分析】（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP ⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON 不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．【解答】解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．【分析】（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t 异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．【解答】解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n具有性质P，则A k也具有性质P．先证明若A k+1任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而因为A k+1s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若A k═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，+1x k}具有性质P，═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．所以A k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=取=（x k+1﹣1=，不可能若t=﹣1，则x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k所以s=﹣1，x k+1综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：311i-=+__________(i 为虚数单位)． 2．若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝__________. 3．函数 2 cos ()sin 1x f x x =-的值域是__________．4．若n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．5．在(x －2x)6的二项展开式中，常数项等于__________． 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim()n n V V V →∞+++=…__________.7．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________． 9．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝__________.10．如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角π6α=.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝__________.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．12．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是__________． 13．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是__________．二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．若1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－116．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定17．设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关18．设1πsin25n n a n =，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．25 B ．50 C ．75 D ．100A ．16B ．72C ．86D ．100三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD =P A ＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 20．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ，Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．23．对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{a|a ＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }．若对任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，使得a 1·a 2＝0，则称X 具有性质P .例如{－1,1,2}具有性质P .(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质P ，求x 的值；(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；(3)若X 具有性质P ，且x 1＝1，x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．1．答案：1－2i解析：＝23i (3i)(1i)33i i i 12i 1i (1i)(1i)2-----+===-++-. 2．答案：{x |12-＜x ＜3}解析：A ＝{x |2x ＋1＞0}＝{x |x ＞12-}，B ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |12-＜x ＜3}．3．答案：[52-，32-]解析：f (x )＝2×(－1)－sin x cos x ＝－2－sin22x，∵sin2x ∈[－1,1]，∴f (x )∈[52-，32-]4．答案：arctan2解析：∵n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，∴v ＝(1,2)是直线l 的一个方向向量，∴l 的斜率为2，即倾斜角的大小为arctan2.5．答案：－160解析：(x －2x )6的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·(－2x )3＝－160. 6．答案：87解析：棱长是以1为首项、12为公比的等比数列，则体积V 1，V 2，…，V n 是以1为首项、18为公比的等比数列，所以V 1＋V 2＋…＋V n ＝11[1()]818[1()]17818n n ⋅-=⋅--， ∴128lim ()7n n V V V →∞+++=…. 7．答案：(－∞，1]解析：e ()e x a a x x a f x x a --⎧>=⎨<⎩，，，，当x ＞a 时f (x )单调递增，当x ＜a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.8．答案：3解析：如图，由题意知21π2π2l =， ∴l=2.又展开图为半圆，∴πl =2πr ， ∴r =121π33V r h ==. 9．答案：－1解析：令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 10．答案：1πsin()6θ- 解析：如图所示，根据正弦定理，有25π5πsin sin(π)66ρθ=--，∴1πsin()6ρθ=-.11．答案：23解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法222333C C C 27＝种，而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A 18＝种，故填23. 12．答案：[2,5] 解析：如图，设||||||||BM CN BC CD λ==，则λ∈[0,1]，AM ·AN ＝(AB ＋BM )·(AD ＋DN )＝(AB ＋λBC )·(AD ＋(λ－1)CD )＝AB ·AD ＋(λ－1)AB ·CD ＋λBC ·AD ＋λ(λ－1)BC ·CD ＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM ·AN ∈[2,5]． 13．答案：54解析：由题意110,0,2()11010,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则22110,0,2()11010,1,2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为1122210210d (1010)d x x x x x +-+⎰⎰＝323111010(5)213302x x x +-＝1011051015(5)()3834384⨯+---⨯=. 14．答案：23解析：如图：当AB =BD =AC =CD =a 时， 该棱锥的体积最大．作AM ⊥BC ，连接DM ，则BC ⊥平面ADM ，AM ，DM =.又AD =2c ，∴ADM S ∆=∴V D －ABC =V B －ADM +V C －ADM =2315B 由x 1＝1i ，知x 2＝1i.则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1i)(1i)＝1－2i 2＝3＝c . 16． C 由正弦定理可知a 2＋b 2＜c 2，从而222cos 02a b c C ab+-=<， ∴C 为钝角，故该三角形为钝角三角形． 17． A Eξ1＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)233445511220.222222x x x x x x x x x xE ξ+++++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5) ∴Eξ1＝Eξ2，记Eξ1＝Eξ2＝a .则Dξ1＝0.2[(x 1－a )2＋(x 2－a )2＋(x 3－a )2＋(x 4－a )2＋(x 5－a )2] ＝0.2[x 12＋x 22＋x 32＋x 42＋x 52－2a (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5a 2] Dξ2＝0.2[(122x x +－a )2＋(232x x +－a )2＋(342x x +－a )2＋(452x x +－a )2＋(512x x +－a )2]＝0.2{14[(x 1＋x 2)2＋(x 2＋x 3)2＋(x 3＋x 4)2＋(x 4＋x 5)2＋(x 5＋x 1)2]－2a (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5a 2]}∴Dξ1－Dξ2＝0.2{x 12＋x 22＋x 32＋x 42＋x 52－14[(x 1＋x 2)2＋(x 2＋x 3)2＋(x 3＋x 4)2＋(x 4＋x 5)2＋(x 5＋x 1)2]}＝120[2x 12＋2x 22＋2x 32＋2x 42＋2x 52－(2x 1x 2＋2x 2x 3＋2x 3x 4＋2x 4x 5＋2x 5x 1] ∵10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ∴x 12＋x 22＞2x 1x 2 x 22＋x 32＞2x 2x 3 x 32＋x 42＞2x 3x 4 x 42＋x 52＞2x 4x 5 x 52＋x 12＞2x 5x 1∴2x 12＋2x 22＋2x 32＋2x 42＋2x 52＞2x 1x 2＋2x 2x 3＋2x 3x 4＋2x 4x 5＋2x 5x 1 ∴Dξ1－Dξ2＞0，即Dξ1＞Dξ2. 18． D ∵1sin π25n na n =，∴当n ≤24时，a n 均大于0，a 25＝0， ∴可知S 1，S 2，…，S 25均大于0.又2611261π1sin πsin 2625262526a a ==-=-， ∴S 26＝2526a 1＋a 2＋…＋a 25＞0，而272127122sin πsin π2725272527a a ==-=-，∴a 27＋a 2＞0.同理可得a 28＋a 3＞0，…，a 49＋a 24＞0，而a 51到a 74均为正项，a 75＝0，a 76到a 99均为负项，且|a 76|＜a 51，|a 77|＜a 52，…，|a 99|＜a 74，a 100＝0，故{S n }中前100项均为正数．19．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ． 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ． 从而CD ⊥PD ．因为PD ==CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为122⨯⨯=(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22,0)，E ,1)．AE ＝(1,2,1)，BC ＝(0,,0)．设AE 与BC 的夹角为θ，则cos 22AE BC AE BCθ⋅===⨯， π4θ=. 由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 解法二：取PB 中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角． 在△AEF中，由EF =AF =，AE ＝2，知△AEF 是等腰直角三角形． 所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 20．解：(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝22lg 1xx -+＜1，得1＜221x x -+＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，2133x -<<. 由11,2133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg 2]． 21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程21249y x =，得P 的纵坐标y P ＝3.由||AP =/时． 由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝7arctan 30，故救援船速度的方向为北偏东7arctan 30弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由vt = 整理得v 2＝144(t 2＋21t)＋337.因为t 2＋21t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立． 所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．22．解： (1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为)2y x =+，即1y =+.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得41.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||||28S OA y == (2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因直线PQ 与已知圆相切，1=，即b 2＝2. 由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则122122,1.x x b x x b +=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2， 则O 到直线MN的距离为3. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx (显然|k |＞2)， 则直线OM 的方程为1y x k =-. 由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以2221||4k ON k +=+. 同理2221||21k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以22222111333||||1k d OM ON k +=+==+，即3d =. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．23．解：(1)选取a 1＝(x,2)，Y 中与a 1垂直的元素必有形式(－1，b )． 所以x ＝2b ，从而x ＝4. (2)证明：取a 1＝(x 1，x 1)∈Y . 设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0.由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号． 因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一为－1，另一为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ≥x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.(3)解法一：猜测x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n . 记A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }，k ＝2,3，…，n . 先证明：若A k ＋1具有性质P ，则A k 也具有性质P .任取a 1＝(s ，t )，s ，t ∈A k ，当s ，t 中出现－1时，显然有a 2满足a 1·a 2＝0； 当s ≠－1且t ≠－1时，则s ，t ≥1.因为A k ＋1具有性质P ，所以有a 2＝(s 1，t 1)，s 1，t 1∈A k ＋1，使得a 1·a 2＝0，从而s 1和t 1中有一个是－1，不妨设s 1＝－1.假设t 1∈A k ＋1且t 1∉A k ，则t 1＝x k ＋1.由(s ，t )·(－1，x k ＋1)＝0，得s ＝tx k ＋1≥x k ＋1，与s ∈A k 矛盾． 所以t 1∈A k ，从而A k 也具有性质P .现用数学归纳法证明：x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n . 当n ＝2时，结论显然成立；假设n ＝k 时， A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }有性质P ， 则x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，k ；当n ＝k ＋1时，若A k ＋1＝{－1,1，x 2，…，x k ，x k ＋1}有性质P ，则A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }也有性质P ，所以A k ＋1＝{－1,1，q ，…，q k －1，x k ＋1}．取a 1＝(x k ＋1，q )，并设a 2＝(s ，t )满足a 1·a 2＝0.由此可得s ＝－1或t ＝－1.若t ＝－1，则x k ＋1＝q s≤q ，不可能； 所以s ＝－1，x k ＋1＝qt ≤q k 且x k ＋1＞q k －1，所以x k ＋1＝q k .综上所述，x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n .解法二：设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于1212s t t s =-. 记),,||||s B s X t X s t t ={∈∈>}，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数． 由于1221n n n n n n x x x x x x x x --<<<<…，已有n －1个数，对以下三角数阵 1221n n n n n n x x x x x x x x --<<<< (111231)n n n n n x x x x x x -----<<<… ……21x x 注意到12111n n x x x x x x ->>>…，所以12121n n n n x x x x x x ---===…，从而数列的通项为x k ＝x 1(21x x )k －1＝q k －1，k ＝1，2，…，n .。

2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．解答：解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：计算题．分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．解答：解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan2点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题．分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围解答：解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及正弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题．11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点：函数的图象．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．解答：解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE 都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．解答：解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．解答：解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n先证明若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种()B 10种 ()C 9种()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C ∆21F P F 是底角为30的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7()B 5 ()C -5()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56 分）：1．（4 分）（2012?上海）计算：= 1﹣2i（i为虚数单位）．【剖析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为 1﹣2i2．（4 分）（2012?上海）若会集 A={ x| 2x+1＞0} ，B={ x|| x﹣1| ＜2} ，则 A∩B= （﹣，3）．【剖析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个会集的交集即可获得答案【解答】解：由题意A={ x| 2x+1＞0} ={ x| x＞﹣} ， B={ x|| x﹣1| ＜2} ={ x| ﹣1＜x ＜3} ，所以 A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）3．（4 分）（2012?上海）函数 f （x）=的值域是，．【剖析】先依据二阶队列式的运算法例求出函数的分析式，而后化简整理，依据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．【解答】解： f（x） ==﹣2﹣sinxcosx=﹣ 2﹣ sin2x∵﹣ 1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣ sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数 f（x）=的值域是，故答案为：，4．（4 分）（2012?上海）若=（ 2， 1）是直 l 的一个法向量，l 的斜角的大小arctan2（果用反三角函数表示）．【剖析】依据直的法向量求出直的一个方向向量，进而获得直的斜率，根据 k=tan α可求出斜角．【解答】解：∵=（ 2，1）是直 l 的一个法向量∴可知直 l 的一个方向向量（ 1， 2），直 l 的斜角α得， tan α=2∴α=arctan2故答案： arctan25．（4 分）（ 2012?上海）在的二睁开式中，常数等于160 ．【剖析】研究常数只要研究二式的睁开式的通，使得x 的指数 0，获得相的 r ，进而可求出常数．【解答】解：睁开式的通 T r+1=x6﹣r（）r=（ 2）r x6﹣ 2r令 6 2r=0 可得 r=3常数（ 2）3= 160故答案： 1606．（4 分）（2012?上海）有一列正方体，棱成以 1 首、公比的等比数列，体分 V1， V2，⋯，V n，⋯，（ V1+V2+⋯+V n）═．【剖析】由意可得，正方体的体=是以 1 首，以公比的等比数，由等不数列的乞降公式可求【解答】解：由意可得，正方体的棱足的通a n∴=是以1首，以公比的等比数列（V1+V2+⋯+v n） ==故答案：7．（ 4 分）（2012?上海）已知函数 f（x）=e|x﹣a|（a 常数）．若 f（x）在区 [ 1，+∞）上是增函数，则 a 的取值范围是（﹣∞，1]．【剖析】由题意，复合函数 f （x）在区间 [ 1， +∞）上是增函数可得出内层函数t=| x﹣ a| 在区间 [ 1， +∞）上是增函数，又绝对值函数 t=| x﹣a| 在区间 [ a， + ∞）上是增函数，可得出 [ 1，+∞）? [ a，+∞），比较区间端点即可得出 a 的取值范围【解答】解：因为函数f（ x）=e|x﹣a|（a 为常数）．若 f（ x）在区间 [ 1，+∞）上是增函数由复合函数的单一性知，必有t=| x﹣a| 在区间 [ 1，+∞）上是增函数又t=| x﹣a| 在区间[ a，+∞）上是增函数所以 [ 1， +∞） ? [ a， +∞），故有 a≤ 1故答案为（﹣∞， 1]8．（4 分）（2012?上海）若一个圆锥的侧面睁开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【剖析】经过侧面睁开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面睁开图是面积为2π的半圆面，2因为 4π=πl，所以 l=2，半圆的弧长为 2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．9．（4 分）（2012?上海）已知 y=f（ x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若 g（ x） =f （x）+2，则 g（﹣ 1） =﹣1．【剖析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣ 1）=﹣3，再将其代入 g（﹣ 1）求值即可获得答案【解答】解：由题意， y=f（x）+x2是奇函数，且 f （1）=1，所以 f （1）+1+f（﹣ 1）+（﹣ 1）2=0 解得 f（﹣ 1）=﹣3所以 g（﹣ 1）=f（﹣ 1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣ 1．10．（ 4 分）（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M （2，0）的直线轴的夹角 a= ，若将 l 的极坐标方程写成ρ（=fθ）的形式，则（fθ）=l 与极．【剖析】取直线 l 上随意一点 P（ρ，θ），连结 OP，则 OP=ρ，∠ POM=θ，在三角形 POM 中，利用正弦定理成立等式关系，进而求出所求．【解答】解：取直线 l 上随意一点 P（ρ，θ），连结 OP，则 OP=ρ，∠ POM=θ在三角形 POM 中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：11．（ 4 分）（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人都选择此中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是（结果用最简分数表示）．【剖析】先求出三个同学选择的所求种数，而后求出有且仅有两人选择的项目完全同样的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有 3×3×3=27 种有且仅有两人选择的项目完整同样有××=18 种此中表示 3 个同学中选 2 个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 中选择故有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是=故答案为：12．（ 4 分）（2012?上海）在平行四边形ABCD中，∠ A= ，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若M、N 分别是边BC、CD 上的点，且知足=，则的取值范围是[ 2，5]．M ，N 的坐标，而后【剖析】画出图形，成立直角坐标系，利用比率关系，求出经过二次函数求出数目积的范围．【解答】解：成立如下图的直角坐标系，则B（2，0），A（ 0， 0），D（，），设==λ，λ∈[ 0，1] ，M（2+，），N（，），所以=（2+ ，）?（，）2=﹣λ﹣ 2λ+5，因为λ∈[ 0，1] ，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，2所以λ∈[ 0， 1] 时，﹣λ﹣2λ+5∈[ 2，5] ．故答案为： [ 2， 5] ．13．（4 分）（2012?上海）已知函数 y=f（x）的图象是折线段 ABC，此中 A（0，0）、B（，5）、 C（ 1， 0），函数 y=xf（ x）（0≤x≤1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为．，【剖析】依据题意求得 f （ x ） =，从而y=xf（x），，=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（ 0≤ x≤ 1），的图象与 x 轴围成的图形的面积．【解答】解：由题意可得， f（ x） =，，，∴ y=xf（x）=，，，设函数 y=xf（x）（ 0≤ x≤1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为S，则 S=10x2dx+（﹣ 10x2+10x）dx=10×+（﹣ 10）×+10×=﹣ +5﹣==．故答案为：．14．（4 分）（2012?上海）如图，AD 与 BC是四周体 ABCD中相互垂直的棱， BC=2，若 AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，此中 a、c 为常数，则四周体 ABCD的体积的最大值是．【剖析】作 BE⊥AD 于 E，连结 CE，说明 B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球上，且 BE、CE都垂直于焦距 AD，BE=CE．取 BC中点 F，推出四周体 ABCD的体积的最大值，当△ ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．【解答】解：作 BE⊥AD 于 E，连结 CE，则 AD⊥平面 BEC，所以 CE⊥AD，由题设， B 与 C 都是在以 AD 为焦点的椭球上，且 BE、CE都垂直于焦距 AD，AB+BD=AC+CD=2a，明显△ ABD≌△ ACD，所以 BE=CE．取 BC中点 F，∴ EF⊥ BC，EF⊥ AD，要求四周体 ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只要三角形 EBC的面积最大，因为 BC是定值，所以只要 EF 最大即可，当△ ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵∴ AB=a，所以 EB=，EF=，AB+BD=AC+CD=2a，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．二、选择题（ 20 分）：15．（ 5 分）（ 2012?上海）若 1+i 是对于根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣ 2，c=3x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2， c=﹣1【剖析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0 整理后依据得数相等的充要条件获得对于实数a，b 的方程组，解方程得出a，b 的值即可选出正确选项【解答】解：由题意 1+ i 是对于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0∴1+2 i﹣ 2+b+ bi+c=0∴，解得 b=﹣2，c=3故： B．16．（ 5 分）（ 2012?上海）在△ ABC中，若 sin2A+sin2B＜sin2C，△ ABC的形状是（）A．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立【剖析】由 sin2A+sin2B＜sin2C，合正弦定理可得， a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断 C 的取范【解答】解：∵ sin2A+sin2B＜ sin2C，由正弦定理可得， a2+b2＜c2由余弦定理可得 cosC=＜∴＜＜∴△ ABC是角三角形故： C．17．（5分）（上海）＜ x ＜x ＜x ≤ 104， x5，随机量ξ取2012?10≤x1 2 3 45=101、x 、x 、x 、x 的概率均 0.2，随机量ξ取、、、x123452、的概率也均0.2，若 Dξ1、Dξ2分ξ1、ξ2的方差，（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2．ξ与 Dξ的大小关系与 x 、x 、 x 、x 的取相关DD121234【剖析】依据随机量ξ1、ξ2的取状况，算它的均匀数，依据随机量ξ1、ξ2的取的概率都 0.2，即可求得．【解答】解：由随机量ξ1、ξ2的取状况，它的均匀数分：= （ x1+x2+x3+x4+x5），= （++++） =且随机量ξ1、ξ2的取的概率都0.2，所以有 Dξ1＞Dξ2，故： A．．（分）（上海）a n= sin ，S+a +⋯+a ，在 S ，S ，⋯S 中，正18 52012?n=a1 2n12100数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【剖析】因为 f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性可知，a1，a2，⋯，a24＞0，a26，a27，⋯，a49＜0，f（n）= 减， a25=0， a26⋯a50都数，但是| a26| ＜a1，| a27| ＜a2，⋯， | a49| ＜ a24，进而可判断【解答】解：因为 f （n）=sin的周期T=50由正弦函数性可知， a1， a2，⋯，a24＞0，a25=0，a26，a27，⋯，a49＜0，a50=0且 sin， sin⋯可是（）=减f na26⋯a49都数，可是 | a26| ＜ a1，| a27| ＜a2，⋯，| a49| ＜a24∴ S1，S2，⋯， S25中都正，而 S26，S27，⋯，S50都正同理 S1， S2，⋯，s75都正， S1，S2，⋯，s75，⋯，s100都正，故： D．三、解答（共 5 小，分 74 分）19．（ 12 分）（2012?上海）如，在四棱P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA ⊥底面ABCD， E 是 PC的中点，已知 AB=2，AD=2 ， PA=2，求：（1）三角形 PCD的面；（2）异面直 BC与 AE所成的角的大小．【剖析】（1）能够利用面垂直的判断与性，明出三角形PCD是以 D 直角点的直角三角形，而后在 Rt△ PAD中，利用勾股定理获得 PD=2，最后获得三角形 PCD的面 S；（ 2） [ 解法一 ] 成立如空直角坐系，可得 B、 C、 E 各点的坐，进而=（1，，1），=（0，2，），利用空向量数目的公式，获得与角θ0知足： cosθ=，由此可得异面直线BC与 AE 所成的角的大小为；[ 解法二 ] 取 PB 的中点 F，连结 AF、 EF，△ PBC中，利用中位线定理，获得EF∥ BC，进而∠ AEF或其补角就是异面直线 BC与 AE 所成的角，而后能够经过计算证明出：△ AEF是以 F 为直角极点的等腰直角三角形，所以∠ AEF= ，可得异面直线 BC与 AE所成的角的大小为．【解答】解：（1）∵ PA⊥底面 ABCD，CD? 底面 ABCD，∴ CD⊥PA．∵矩形 ABCD中， CD⊥AD，而 PA、AD 是平面 PAD的交线．∴ CD⊥平面 PDA，∵PD? 平面 PDA，∴ CD⊥PD，三角形 PCD是以 D 为直角极点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2 ，PA=2，∴ PD==2 ．∴三角形 PCD的面积 S= ×PD× DC=2．（2）[ 解法一 ]如下图，成立空间直角坐标系，可得 B（ 2，0，0），C（ 2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1）， =（0，2 ，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与 AE所成的角的大小为．[解法二]取 PB 的中点 F，连结 AF、EF、AC，∵△ PBC中， E、F 分别是 PC、 PB的中点，∴ EF∥BC，∠ AEF或其补角就是异面直线 BC与 AE 所成的角．∵ Rt△PAC中， PC==4．∴AE= PC=2，∵在△ AEF中， EF= BC=，AF= PB=222F 为直角极点的等腰直角三角形，∴ AF +EF =AE，△ AEF是以∴∠ AEF= ，可得异面直线BC与 AE所成的角的大小为．20．（ 14 分）（ 2012?上海）已知 f（x）=lg（x+1）（1）若 0＜f （1﹣2x）﹣ f（x）＜ 1，求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0≤ x≤ 1 时， g（x）=f（ x），求函数 y=g（ x）（x∈ [ 1，2] ）的反函数．【剖析】（1）应用对数函数联合对数的运算法例进行求解即可；（ 2）联合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（ 1）f（1﹣2x）﹣ f（x）=lg（1﹣ 2x+1）﹣ lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数存心义，则＞由解得：﹣ 1＜x＜1．＞由 0＜lg（2﹣2x）﹣ lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞ 0，∴x+1＜ 2﹣ 2x＜10x+10，∴＜＜．＜＜由，得：＜＜．＜＜（2）当 x∈[ 1， 2] 时， 2﹣ x∈ [ 0，1] ，∴y=g（ x） =g（x﹣2）=g（ 2﹣ x） =f（2﹣x） =lg（ 3﹣ x），由单一性可知 y∈[ 0，lg2] ，又∵ x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[ 0， lg2] ．21．（ 14 分）（2012?上海）海事营救船对一艘出事船进行定位：以出事船的目前地点为原点，以正北方向为 y 轴正方向成立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则营救船恰幸亏出事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假定：①出事船的挪动路径可视为抛物线；②定位后营救船马上沿直线匀速前去营救；③营救船出发 t 小时后，出事船所在地点的横坐标为7t（ 1）当 t=0.5 时，写出出事船所在地点P 的纵坐标，若此时两船恰巧会集，求营救船速度的大小和方向．（ 2）问营救船的时速起码是多少海里才能追上出事船？【剖析】（1）t=0.5的纵坐标，利用时，确立|AP|=P 的横坐标，代入抛物线方程，即可确立营救船速度的大小和方向；中，可得P（2）设营救船的时速为v 海里，经过 t 小时追上出事船，此时地点为（ 7t，12t 2），进而可得 vt=，整理得，利用基本不等式，即可获得．【解答】解：（1）t=0.5 ， P 的横坐 x P=7t= ，代入抛物方程中，得 P 的坐 y P=3．⋯2分由 | AP| =，获营救船速度的大小海里/．⋯4分由 tan∠OAP= ，得∠ OAP=arctan ，故营救船速度的方向北偏 arctan 弧度．⋯6分（ 2）营救船的速v 海里， t 小追上出事船，此地点（7t ，12t 2）．由 vt=，整理得．⋯分10因，当且当 t=1 等成立，所以 v2≥ 144×2+337=252，即 v≥ 25．所以，营救船的速起码是25 海里才能追上出事船．⋯14分22．（16 分）（ 2012?上海）在平面直角坐系 xOy 中，已知双曲 C1：2x2 y2=1．（ 1） C1的左点引 C1的一条近的平行，求直与另一条近及 x成的三角形的面；（2）斜率 1 的直 l 交 C1于 P、Q 两点，若 l 与 x2+y2=1 相切，求： OP ⊥OQ；（3） C2：4x2+y2=1，若 M 、N 分是 C1、C2上的点，且 OM⊥ON，求： O 到直 MN 的距离是定．【剖析】（1）求出双曲的近方程，求出直与另一条近的交点，而后求出三角形的面．（ 2）直 PQ 的方程 y=kx+b，通直PQ 与已知相切，获得b2=2，通求解=0．明 PO⊥ OQ．（ 3）当直 ON 垂直 x ，直接求出O 到直 MN 的距离．当直ON 不垂直 x ，直ON 的方程： y=kx，（然 | k| ＞），推出直OM 的方程 y=，利用，求出，，设 O 到直线 MN 的距离为 d，经过（ | OM| 2+| ON| 2） d2=| OM| 2| ON| 2，求出d= ．推出 O 到直线 MN 的距离是定值．【解答】解：（1）双曲线 C1：左极点A（﹣，），渐近线方程为： y=±x．过 A 与渐近线 y= x 平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线 PQ 的方程为 y=kx+b，因直线 PQ与已知圆相切，故，即 b2=2，由，得 x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设 P（x1，y1），Q（x2， y2），则，又 y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（ x1 +x2） +b2=2（﹣ 1﹣b2） +2b2+b2=b2﹣2=0．故 PO⊥ OQ．（ 3）当直线 ON 垂直 x 轴时，| ON| =1，| OM| =，则 O 到直线 MN 的距离为．当直线 ON 不垂直 x 轴时，设直线 ON 的方程为： y=kx，（明显 | k| ＞），则直线 OM 的方程为 y=，由得，所以．同理，O 到直 MN 的距离 d，因（ | OM| 2+| ON| 2）d2=| OM| 2| ON| 2，所以==3，即 d= ．上， O 到直 MN 的距离是定．23．（ 18 分）（2012?上海）于数集X={ 1，x1， x2，⋯，x n} ，此中 0＜x1＜ x2＜⋯＜xn ，n≥2，定向量集 Y={（，），∈ ，∈X}，若随意，存在= s t s X t，使得，称 X 拥有性 P．比如 { 1， 1， 2} 拥有性 P．（1）若 x＞2，且 { 1，1，2，x} 拥有性 P，求 x 的；（2）若 X 拥有性 P，求： 1∈ X，且当 x n＞1 ， x1=1；（3）若 X 拥有性 P，且 x1=1、x2=q（ q 常数），求有数列 x1，x2，⋯，x n的通公式．【剖析】（1）在 Y 中取（，），依据数目的坐公式，可得Y 中与垂直= x 2的元素必有形式（1， b），所以 x=2b，合 x＞2，可得 x 的．（ 2）取，x1），（，）依据，化可得s+t=0，所以、=（x1= s t s t 异．而 1 是数集 X 中独一的数，所以s、t 中的数必 1，另一个数是1，进而出 1∈ X，最后通反法，能够明出当x n＞ 1 ， x1=1．（ 3）[ 解法一 ] 先猜想： x i=q i﹣1，i=1，2，3，⋯，n． A k═{ 1，x1，x2，⋯，x k} ，k=2，3，⋯，n，通反法明出引理：若A k+1拥有性 P， A k也具有性 P．最后用数学法，可明出i﹣ 1x i=q，i=1，2，3，⋯，n；[ 解法二 ]=（s1，t 1）， =（ s2， t2），等价于，获得一正一的特点，再B={ | s∈X，t ∈X 且 | s| ＞ | t|} ，可得：数集X 具有性 P，当且当数集 B 对于原点称．又注意到 1 是会集 X 中独一的数， B∩（∞， 0）={ x2， x3， x4，⋯， x n} ，共有 n 1 个数，所以 B∩（ 0．+∞）也有 n 1个数．最后合不等式的性，合三角形数加以明，可得⋯= ，最获得数列的通公式是x k 1（k ﹣1 k=）=q ==x ?﹣1，k=1， 2， 3，⋯， n．【解答】解：（ 1）取 =（x，2）， Y 中与垂直的元素必有形式（1，b），所以 x=2b，又∵ x＞ 2，∴只有 b=2，进而 x=4．（2）取=（x1，x ）∈Y，（，）∈ ，足，1= s tY，可得（s+t ）x1=0s+t=0，所以 s、t 异．因 1 是数集 X 中独一的数，所以s、 t 中的数必 1，另一个数是1，所以 1∈X，假 x k=1，此中 1＜ k＜ n， 0＜x1＜ 1＜ x n．再取，x）∈ Y，（，）∈ ，足，可得 sx1+tx，=（x1 n= s t Y n=0所以 s、t 异，此中一个 1①若 s= 1， x1=tx n＞ t≥ x1，矛盾；②若 t= 1， x n=sx1＜ s≤ x n，矛盾；明假不行立，由此可适当x n＞1 ， x1=1．（ 3） [ 解法一 ] 猜想： x i =q i﹣1， i=1，2，3，⋯，nA k═{ 1，x1， x2，⋯，x k} ，k=2，3，⋯， n先明若A k+1拥有性P，A k也拥有性P．任取=（s，t），s、t ∈A k，当s、t中出 1 ，然有足当 s、 t中都不是 1 ，足s≥1 且t ≥1．因A k+1拥有性P，所以有=（s1， t1）， s1、t1∈A k+1，使得，进而s1、t 1此中有一个 1不如 s1= 1，假 t 1∈ A k+1，且 t1?A k， t 1=x k+1．由（ s，t ）（ 1，x k+1）=0，得 s=tx k+1≥x k+1，与 s∈A k矛盾．所以 t 1∈A k，进而 A k也拥有性 P．再用数学法，明 x i =q i﹣1，i=1，2，3，⋯， n 当 n=2 ，然成立；假当 n=k ， A k═{ 1，x1，x2，⋯， x k} 拥有性 P， x i=q i﹣1，i=1，2，⋯，k当 n=k+1 ，若 A k+1═ { 1，x1，x2，⋯，x k+1} 拥有性 P， A k═{ 1，x1，x2，⋯，x k} 拥有性 P，所以 A k+1═{ 1，q，q2，⋯，q k﹣1， x k+1} ．取（ k+1，q），并（，）∈，足，由此可得或= x= s t Y s= 1t= 1若 t= 1， x k+1 = ＜，不行能所以 s= 1， x k+1=qt=q j≤q k且 x k+1＞q k﹣1，所以 x k+1=q k上所述， x i =q i﹣1， i=1， 2，3，⋯， n[解法二]=（s1， t 1），=（s2， t2），等价于B={ | s∈X，t∈ X 且| s| ＞| t|} ，数集 X 拥有性 P，当且当数集 B 对于原点称注意到 1 是会集 X 中独一的数， B∩（∞， 0）={ x2， x3， x4，⋯，x n} ，共有 n 1 个数．所以 B∩（ 0， +∞）也有 n 1 个数．因为＜＜＜⋯＜＜，已有 n 1 个数以下三角形数：＜＜＜⋯＜＜，＜＜＜⋯＜⋯注意到＞＞＞⋯＞，所以==⋯=进而数列的通公式是x k=x1?（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，⋯，n．。

2012年上海高考理科数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ）（A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分） （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）ABCDAB CPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1． 1-2i . 2．)3,(21- . 3．],[2325-- . 4． arctan2 . 5． -160 . 6．78 . 7． (-∞, 1] . 8．π33. 9． -1 .10．)sin(16θπ- .11．32. 12． [2, 5] . 13．45. 14．12232--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．（ B ）16．（ C ）17．（ A ）18．（ D ） 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19. [解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . 因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯.（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与BC 的夹角为θ，则222224cos ===⨯⋅BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π20．[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. 由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x .21．[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3.由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向yAB CD P EF为北偏东arctan 307弧度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v . 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 22．[解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S .（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b .由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ .（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. 23．[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. 所以x =2b ，从而x =4. （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1.（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数， 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n .。