2014年上海高考理科数学试题及答案

2014高考真题理科数学（上海卷）函数【答案解析】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.【答案解析】 6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案解析】x=-2设若，则a的取值范围为_____________.【答案解析】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.【答案解析】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

【答案解析】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是。

【答案解析】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。

【答案解析】【答案解析】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）。

【答案解析】已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则a+b= 。

【答案解析】-1设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则。

【答案解析】某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。

若=4.2，则小白得5分的概率至少为。

【答案解析】已知曲线C：，直线l：x=6。

若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q 使得，则m的取值范围为。

【答案解析】设,则“”是“”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【答案解析】 B如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案解析】 A已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）（C）存在k，，使之恰有两解（D）存在k，，使之有无穷多解【答案解析】 B若是的最小值，则的取值范围为（）。

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)0，2]【答案解析】 D底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案解析】4,4,4；设常数，函数（1）若=4，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案解析】(1)(1)(2)如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？【答案解析】(1) (2)(1)(2)在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若0，则称点被直线分隔。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z+= .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围； （Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）【提示】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连33π⎛⎫【解析】解：设小白得5分的概率至少为x ，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1x -，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，() 4.2E ξξ=，4(1)5 4.2x x -+=.，又因为0AP AQ +=，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明23568(0,0,1)(0,1,1)(0,2,1)(1,0,1)(1,1,1)(1,2,1)(2,0,1)(2,2,1)B P P P P P ，，，，，，，，，，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =(1,1,1)AP =5(1,2,1)AP =，(2,0,1)AP =7(2,1,1)AP =8(2,2,1)AP =i(i 1,2,,8)AB AP =的值均为1，故选A.根据向量数量积的几何意义，i AB AP 等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而AP 在AB 方向上的投影是定值，||AB 也是定值，∴i AB AP 为定值【提示】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）223ABC PQ =【提示】利用侧面展开图三点共线，判断,0)(0,),+∞2)(log ,)a +∞关于原点不对称，）根据反函数的定义，即可求出cos BC BD β，【提示】（1）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭2(2)||1y x +-=，即2]1x =)不是上述方程的解，即1,2)(1,2)-和2]10x -=得2]10x -=，21-，2(0)(2)(1)[16(1)15]0f k =--+<，所以方程与曲线E 有公共点，故直线综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是【提示】（1）把A.B 两点的坐标代入η，再根据0η<，得出结论. （2）联立直线y kx =与曲线2241x y -=可解.2]1x =数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）131nq q-- ,,k a 的公差为(1)]1,2,,1n d k -≤-.1,2,,1k -2,3,,1k -时，由1(1)221k k ka k -=+-，即12,,,k a a a 的公差为的范围（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差.【考点】等比数列的性质，数列的求和。

第1页，总16页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014年高考理数真题试卷（上海卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共4题)1. （2014•上海）设f （x ）= ，若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为（ ）A . [﹣1，2]B . [﹣1，0]C . [1，2]D . [0，2]2. （2014•上海）设a ，b∈R ，则“a+b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的（ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件3. （2014•上海）已知P 1（a 1 ， b 1）与P 2（a 2 ， b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组 的解的情况是（ ）A . 无论k ，P 1 ， P 2如何，总是无解B . 无论k ，P 1 ， P 2如何，总有唯一解C . 存在k ，P 1 ， P 2 ， 使之恰有两解D . 存在k ，P 1 ， P 2 ， 使之有无穷多解4. （2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i （i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）答案第2页，总16页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 1B . 2C . 3D . 4第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共14题)1. （2014•上海）已知互异的复数a ，b 满足ab≠0，集合{a ，b}={a 2 ， b 2}，则a+b= ．2. （2014•上海）设f （x ）= ，若f （2）=4，则a 的取值范围为 ．3. （2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．4. （2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．5. （2014•上海）设常数a 使方程sinx+ cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1 ， x 2 ， x 3 ， 则x 1+x 2+x 3= ．6. （2014•上海）函数y=1﹣2cos 2（2x ）的最小正周期是 ．7. （2014•上海）若f （x ）=﹣，则满足f （x ）＜0的x 的取值范围是 ．8. （2014•上海）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为 ． 9. （2014•上海）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆 +=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．10. （2014•上海）若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则（z+ ）• = ．11. （2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 ．12. （2014•上海）已知曲线C 的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C 与极轴的交点到极点的距离是 ．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期 2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.【答案】6【解析】61)41(11(∴21=++=+=•++=z z z zz i z 3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为 4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】]2,∞-(【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f += 5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=xx x x x xy 6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

2014高考数学【上海卷（理）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数()212cos2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___.4. 设()()[)2,,,,,,x x a f x x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()24f =，则a 的取值范围为_________________.5. 若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为_________________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_____________.（结果用反三角函数值表示）7. 已知曲线C 的极坐标方程为()3cos 4sin 1ρθθ-=，则C与极轴的交点到极点的距离是_______________.8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim ,n n a a a a →∞=+++则__________q =.9. 若()2132f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则________a b +=.12. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123________x x x ++=.13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____________.14.已知曲线:C x =直线:6l x =. 若对于点(),0,A m 存在C 上的点P 和l 上的点Q使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 817. 已知()111,P a b 与()222,Pa b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是 （ ）.A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总有唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解18. 设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. A. []1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. []0,2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .B1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12α=，18.45β=，求CD 的长（结果精确到0.01米）.A22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y Px y ，记()()1122a x b y c a x b y c η=++++. 若0η<，则称点12P P 、被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. (1) 求证：点()()1,21,0A B -，被直线10x y +-=分隔；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+≤≤∈=N . （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++，若1133n n n S S S +≤≤，n *∈N ，求q的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.参考答案一、选择题1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 4．2a ≤【解析】由()24f =，可得224=，所以[)2,a ∈+∞得2a ≤，【考点】对分段函数概念的理解5．【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值6．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成角为θ.由已知得：233rl r l r ππ=⇒=，则1cos 3r l θ==，所以1arccos 3θ=. 【考点】直线与平面所成角、反余弦函数、解三角形 7．13【解析】10313θρρ=⇒=⇒= 【考点】极坐标的基本概念 8．【解析】由题意得231111a a q a q q ==--且01q <<，则q = 【考点】无穷递缩等比数列的各项和 9．()0,1【解析】首先注意定义域：()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1【考点】幂函数与数形结合10．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 11．-1【解析】由已知可得()()()()()()()()()()222222,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,,,,a a a ba b or a b w w w w b b b a⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩由0ab ≠且互异，21a b w w +=+=-，其中12w =- 【考点】集合相等的含义、复数的运算 12．7π3【解析】三角方程sin x x a =在一个周期(]0,2π内的解至多有两个，所以原方程在闭区间[]0,2π恰有三个解可知，sin 0a =，即a =[]sin 0,2x x x π=∈，可得12312370,,233x x x x x x πππ===⇒++=【考点】三角函数的图像和性质、三角方程13．0.2【解析】设小白得1,2,3,5分的概率分别为[][]12351235,,,0,1,0,1p p p p p p p p ∈+++∈则()12312355512323415 4.20.2320.2p p p p p p p p p p p p +++----+=⇒=+++≥当1230p p p ===时等号成立. 【考点】数学期望另解：注意到()()4.24,5E ξ=∈.要使得得5分的概率最少，则小白得1,2,3分的概率为0，设小白得5分的概率为x ，则()415 4.20.2x x x -+=⇒= 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆. A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --. 因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．A【解析】()1,2,i AP i =在AB 上的投影为AB ，所以()21,2,1i AB AP i AB ⋅===, 值只有一个.【考点】平面向量的数量积、向量的投影17．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上，故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元、三元线性方程组解的讨论 18．D【解析】当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，()20f a =，所以[]221,2a a a +≥⇒∈-， 当0x ≤时，()()2f x x a =-，二次函数对称轴为x a =，要使得0x =时有最小值，则0a ≥， 综上[]0,2a ∈【考点】分段函数，二次函数的对称轴、单调性、最值，基本不等式19．在△123P P P 中，13PA P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线， 故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =. 所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ =. ……9分从而，13ABC V S PQ =⋅=△. ……12分【考点】椎体体积的计算解析二：解析：（1）因为三棱锥P A B C -为正三棱锥，所以13,,3BAC ABC CBA P AB P AC π∠=∠=∠=∠=∠又因为13133BA C PA B P ππ∠+∠+∠=，11,P A PB =故三角形1P AB 为等边三角形，同理可证三角形23,P BC P AC 为等边三角形，故1233P P P π∠=∠=∠=,所以123PP P ∆的各边长12231324PP P P PP AB ====（2）、由（1）易得该三棱锥是棱长为2的正四面体，如右图所示，过点P 作PO ABC ⊥面交平面ABC 于点O ，联结AO 并延长交BC 于H ，因为O 为底面正三角形的中心，所以22633AO AH AB PO ====所以三棱锥P ABC-的体积为1112332V sh ==⋅⋅=20．(1) 因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log 1x f x x -+=-，1x <-或1x >. ……6分 (2) 当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论解析二：解析：（1）若4a =，则2424x x y +=-，()()2244441242421442log log 2111xx x x y y y y y y x y y y +++-=+⇒-=+⇒=⇒==+---所以()y f x =的反函数为()()()()121log 2,11,1x f x x x -+=+∈-∞-+∞-（2）、当0a =时，()()212xx f x x R ==∈，()f x 是偶函数当0a ≠时，则0a >，()22x x af x a+=-，因为220log x a x a -≠⇒≠，所以函数()f x 定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞，当()()0,11,a ∈+∞时，2log 0a ≠，函数()f x 定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，当1a =时，()()21021x x f x x +=≠-，因为()()()()()()()()()()21212121212100212121212121x x x xx x x x x x x xf x f x ------+-+-+++-+=+===------所以函数()f x 为奇函数。

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （2014）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【解析】：原式＝cos 4x -，242T ππ== 2. （2014）若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 【解析】：原式＝211516z z z ⋅+=+=+=3. （2014）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =- 4. （2014）设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为 .【解析】：根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤5. （2014）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 .【解析】：2222x y x +≥⋅=6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】：设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S =侧底，∴23r R r ππ⋅⋅=⋅，即3R r =，∴1cos 3θ=，即母线与底面夹角大小为1arccos 37. （2014）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .【解析】：曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为138. （2014）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i m n n a a a a →∞=+++，则q = .【解析】：223111011a a q a q q q q q ==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q =9. （2014）若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 .【解析】：2132()0f x x x -<⇒<，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 【解析】：3108115P C == 11. （2014）已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b=，则a b += .【解析】：第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符； 第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-；12. （2014）设常数a 使方程s i n c o s x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .【解析】：化简得2sin()3x a π+=，根据下图，当且仅当a =即12370233x x x πππ++=++=P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA13. （2014）某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为 .【解析】：设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：1235320.2p p p p ---+=，∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥14. （2014）已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【解析】：根据题意，A 是PQ 中点，即622P QP x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. （2014）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）(A) 充分条件.(B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.【解析】：B16. （2014）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 （ ） (A) 1.(B) 2.(C) 4.(D) 8.【解析】：根据向量数量积的几何意义，i AB AP ⋅等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ⋅为定值1，∴选A17. （2014）已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 （ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解.【解析】：由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11122122a b D a b a b a b ==-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，选B 18. （2014）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ）(A) [1,2]-.(B) [1,0]-.(C) [1,2].(D) [0,2].【解析】：先分析0x ≤的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除AB 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项；∴选D ；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （2014）(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .【解析】：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=︒，∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠=︒，∴160P ∠=︒，同理2360P P ∠=∠=︒，P 12AβCBαD∴△123PP P 是等边三角形，P ABC -是正四面体，所以△123PP P 边长为4；∴3V AB ==20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y fx x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x a aa a--++=--，整理得(22)0x x a --=，∴0a =，此时为偶函数若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a aa a--++=---， 整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数 当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=︒，18.45β=︒，求CD的长（结果精确到0.01米）.【解析】：（1）设CD 的长为x 米，则tan ,tan 3580x x αβ==，∵202παβ>≥>，∴tan tan 2αβ≥，∴22tan tan 1tan βαβ≥-，∴2221608035640016400xx x x x ≥=--，解得028.28x <≤≈，∴CD 的长至多为28.28米（2）设,,DB a DA b DC m ===，180123.43ADB αβ∠=︒--=︒， 则sin sin a AB ADB α=∠，解得115sin 38.1285.06sin123.43a ︒=≈︒，∴26.93m ≈，∴CD 的长为26.93米22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线.(1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【解析】：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-⨯--=-< ∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割（2）联立2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解，∴2140k -≤，∴12k ≤-或12k ≥ （3）设(,)M x y1=，∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ①当斜率不存在时，直线0x =，显然与方程①联立无解， 又12(1,2),(1,2)P P -为E 上两点，且代入0x =，有10η=-<， ∴0x =是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2432(1)4410k x kx x +-+-=，令2432()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【解析】：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤；（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤ 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---， ∴111331n n q q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >， ∴132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->，对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤， 又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立， ∴12q <≤当113q ≤<时，11nn q S q-=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n nq q q q q q+---≤≤---， 即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-< ∵132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->∴113q ≤<时，不等式恒成立 综上，q 的取值范围为123q ≤≤（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---， ∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=， ∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯。

2014年上海市高考数学试卷（理科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【答案】2π 【解析】由题意cos 4y x =-，242T ππ== 2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z +z ⋅=___________.【答案】6 【解析】由题意21()1(12)(12)11(2)16z z z z i i i z +⋅=⋅+=+-+=-+= 3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】22 【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为8112015P ==． 11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .【答案】1-13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】0.2【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2PP P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，解得50.2P ≥．14. 已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --， 26m x -=，解得23m ≤≤．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ．16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直， cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．17. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） （A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解【解析】由于当0x >时，1()f x x a x =++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的， 22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类))(12)6i-= 3. 若抛物线22y px=的焦点与椭圆22195x y+=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________.数学（理）2014 第1页（共4页）分析215y+=的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程1=得222222x y xx+=+≥。

得x=答案是数学（理）2014 第2页（共4页）数学（理）2014 第3页（共4页）6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.分析：由已知条件推导出11111a a a a q q=---由此能求出q 的值．数学（理）2014 第4页（共4页）11111112(1)lim 111011n x a q aa a a q a a qq qq q →∞⎛⎫-=--=-- ⎪--⎝⎭∴+-=--（舍）115= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=__________.数学（理）2014 第5页（共4页）}{}22,,a b a b=22⎨⎨⎨或得：12373x x x π++=13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，数学（理）2014 第6页（共4页）则小白得5分的概率至少为____________.此能求出结果．:4x y =--，直线使得0AP AQ +=，则m 线方程判断曲线特征0AP AQ +=说明A 点为圆心，2 为半对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6，[]62,32xpm +=∈ 故答案为：[2，3]数学（理）2014 第7页（共4页）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]（ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.,,8) 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)AB AP i ⋅=的不同值的个(B) 则A （2，0，0），B （2，0，1），P 1（1，0，1），P 2（0，0，1），P 3（2，1，1），P 4（1，1，1），P 5（0，1，1），P 6（2，2，1），P 7（1，2，1），数学（理）2014 第8页（共4页）P 8（0，2，1），11(1,2,,8)AB AP i ==故选择A()()11121得：（a 2b x ⎩(A) [1,2]-.(B) [1,0]-.(C) [1,2].(D) [0,2].a 2-a-2≤0，得-1≤a ≤2，问题解决．数学（理）2014 第9页（共4页）解答：解；当a ＜0时，显然f （0）不是f （x ）的最小值， 当a ≥0时，f （0）=a 2， 由题意得：212a x a a x≤++≤+ 解不等式：a 2-a-2≤0，得-1≤a ≤2，112233又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=数学（理）2014 第10页（共4页）∴1122332PA PB P B PC PC P A ======∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC (1,)+∞ (1,)+∞2x a-∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数数学（理）2014 第11页（共4页）②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈， （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论 1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥数学（理）2014 第12页（共4页）即2403516400CDCD CD≥-，解得，CD ≤28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=，2（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。

实用文档文案大全2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_________4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是_________8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_________13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_________二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）第2页共 9 页 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件要条件非充分又必要条16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 417．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A． [﹣1，2] B． [﹣1，0] C． [1，2] D． [0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）（2014?上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．第3页共 9 页21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．第4页共 9 页2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=63．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣24．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为26．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣112．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.214．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非第5页共 9 页必要条件解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，，则必a+，即必要性成立故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）解答解：如图建立空间直角坐标系2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），易得?=1（i=1，2，…，8），∴?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选A．17．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a≤2+a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，第6页共 9 页故选：D．点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC 是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==20（14分）（2014?上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．解答：解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，第7页共 9 页此时f（x）=，满足条件；综上所述a=时）是偶函数a=时）是奇函数点评本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．解答解）C的长米，tatataαtanta解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．分析：（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．第8页共 9 页（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．解答）证明：把点（）分别代x+1可得1+（∴点（）被直x+1=分隔（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或 k≥．（3）证明：设点M（x，y），则?|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，）=有实数解，y=k有公共点y=k不的分隔线∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线的分隔线23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．分析：（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．解答：解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6 （2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，第9页共 9 页∴不等，3n+2=3）2对于不等n+3+，n=3q+解，又n+3+2=++2成立时n+3，∴此不等式33n+2=3）2n+3+2=++2）0时，不等式恒成立上的取值范围）的公差．，=n=时，n=时，，所所1000=，2000k+1001999所的最大值199k=199时的公差。

2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________. 【答案】 6【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

【答案】 22arctan 【解析】22arctan 22arctan θ,22θtan 83ππ∴3,π221,,2222222222所以，是，即解得，化简得则底面半径设圆锥高底侧底侧=====+=+•==+••=rhh r r h r r h r r S S r S h r r S r h π7. 已知曲线C 的极坐标方程为)sin 4cos 3(θθρ-=1，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________.3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__ 4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。

9. 若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 。

10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。

11.已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a+b= 。

12.设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= 。

13.某游戏的得分为1,2,3,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分。

若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 。

14.已知曲线C ：x =l ：x=6。

2014年上海高考理科数学试题解析（完美WOR版）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.（2014）函数y 12COS2（2X）的最小正周期是 _________ .【解析】：原式=cos4x，T —4 2z【解析】：原式=Z z 1 z21 5 1 62 23.(2014)若抛物线y22px的焦点与椭圆x七1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程x 24.(2014)设f(x)x2 x ( ,a),若f(2) 4，则 a 的取x , x [a, ).值范围为____________ .【解析】:根据题意，2 [a, )，•. a 25.( 2014)若实数x,y满足xy 1，则x22y2的最小值2 （2014）若复数z 1 2i，其中i是虚数单位，则为 _________ .【解析】:x2 2y2 2 x V2y 2逅6.(2014)若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为______________ (结果用反三角函数值表示).【解析】：设圆锥母线长为R，底面圆半径为「，T S侧3S 底，・°・r R 3 r 2，即R 3r ,・°・cos ^ ,即母3线与底面夹角大小为arcco 百7. ( 2014)已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin ) 1，则C 与极轴的交点到极点的距离是 _________ .【解析】：曲线C 的直角坐标方程为3x 4y 1，与x 轴 的交点为(1,0)，到原点距离为£33范围是图，可得X 的取值范围是(0,1)8. (2014) 设无穷等比数列a n的公比为q ，若lim a 3 a 4na n,则 q【解析】:a 12a ?a 〔q 1 q1 qq 宁，10 q 1,9. (2014)若 f(x)2 x 31X^，则满足f(x) 0的X 的取值【解析】:2 -3 XO\7 X1X?，结合幂函数图像，如下10.(2014)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示)•【解析】：P各丄Go 1511.( 2014)已知互异的复数a,b满足ab 0，集合a ,b a2, b2，贝a b ________________________ .【解析】:第一种情况:a a2,b b2, ■/ ab 0 , /. a b 1 , 与已知条件矛盾，不符；第——种情况：a b2,b a2,「・ a a4 a3 1 ,「・a2 a 1 0 , 即 a b 1 ；12.( 2014)设常数a使方程sinx T3cosx a在闭区间[0,2 ]上恰有三个解X1,X2,X3 ,贝【解析】：化简得2sin(x -) a，根据下图，当且仅3当a -.3时，恰有三个交点，艮卩X i X2 X3 0 23 313.( 2014)某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分•若E( ) 4.2，则小白得5分的概率至少为_____________ •【解析】：设得i分的概率为P i ,•••Pl 2p2 3p3 4p4 5p s 4.2 ,且P i P2 P3 P4 P5 1 ,・• 4 P i 4P2 4P3 4P4 4p§4，与前式相减得：T P i 0 ,・•3p 2P2 P3 P5 P5 ,即3p1 2P2 P3 P5 0.2 ,P5 0.214.(2014)已知曲线c：x 447，直线i：x 6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的Q使得AP牘0，则m的取值范围为_____________________ .【解析】：根据题意, A是PQ中点，即m x P 62二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每 题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分•15. ( 2014)设 a,b R ，则 “ b 4 ”是 “ 2 且 b 2”勺( ) (A)充分条件. (C)充分必要条件. 又非必要条件• 【解析】:B16. (2014)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正 四棱柱，AB 是一条侧棱，(B)必要条件•(D)既非充分2 x p 0 ,.•. m [2,3]AP(i 1,2丄，8)是上底面上其余的八个点，则AB Ap (i 1, 2, K , 8)的不同值的个数为 ( )(A) 1. (B) 2.(C) 4. (D) 8.【解析】：根据向量数量积的几何意义，ABAP等于|A B乘以AP在AB方向上的投影，而AP在A B方向上的投影是定值，AB也是定值，••• AB AP为定值1, •••选A17. (2014)已知P i(a i,b i)与P2(a2,b2)是直线y kx 1 ( k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1Xb^y 1,的解的情况是()a2x Ry 1(A)无论k,R,P2如何，总是无解.(B) 无论k,R,P2如何，总有唯一解.(C)存在k,P,B，使之恰有两解.(D)存在k,P1,P2，使之有无穷多解•【解析】：由已知条件b1 ka1 1，b2 ka2 1，a ib 2 a ?b i a i (ka 2 1) a 2(ka i 1) a i a 2 0解，选B2、..(X a) , X 0,「 r 亠 jtf尸( t18. (2014)设 f (x ) i若 f (o )是 f (x )的最小x — a, x 0.x值，则a 的取值范围为()(A) [ 1, 2]. (B) [ 1,0].(C) [1,2].(D) [0,2].【解析】：先分析x 0的情况，是一个对称轴为x a 的二次函数，当a 0时，f(x)min f(a) f(0)，不符合题意，排除AB 选项；当a 0 时，根据图像f(x)minf(0)，即a 0符合题意，排除C 选项；.•.选D ;三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解 答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.19. (2014)(本题满分12分)a ibi a 2b2底面边长为2的正三棱锥P-ABC ,其表面展开图是三角形PP2P3，如图.求厶p i p2p3 的各边长及此三棱锥的体积V.【解析】：根据题意可得P,B,P2共线，，•* ABR BAR CBP2，ABC 60ABR BAR CBP2 60 ，P I 60，同理P2 P3 60 ,「.△ PP2P3是等边三角P ABC是正四面形，体，所以△ PP2P3边长为4;・・・V丄AB3口12 320. (2014)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.2x a(1)若 a 4,求函数y f(x)的反函数y f 1(x);⑵根据a的不同取值，讨论函数y f(x)的奇偶性，并说明理由._ _ X【解析】：(I)： a 4，二f(x) 2__4 y，二2X,X log2 4y 4 ,y 1•彳4x 4・・ y f 1(x) log2 -------------------------- , x ( , 1) (1,)x 1(2) 若f(x)为偶函数，则f(x) f( X),・2X a 2 x a• • 2^，整理得a(2X 2X) 0 J. a 0，此时为偶函数若f(x)为奇函数，则f (x) f( X),・2X a 2 x a• • --------- -------------s X ?2 a 2 a整理得a2 1 0，: a 0 a 1，此时为奇函数当a (0,1) (1,)时，此时f(x)既非奇函数也非偶函数21. (2014)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米.设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.(1)设计中CD是铅垂方向.若要求2，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差•现在实测得38.12 , 18.45 ,求CD的长(结果精确到0.01米).【解析】：(1)设CD的长为x米，则tan宕® 80 ,tan tan 2 tan 2 tan 1 tan226.93米题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第 3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax by c 0则称点只卫被直线l 分割.若曲线C 与直线l 没有公 共点，且曲线C 上存在点R,P 2被直线I 分割，则称 直线l 为曲线C 的一条分割线.(1)求证：点A(1,2), B( 1,0)被直线x y 1 0分割;的取值范围;⑶ 动点M 到点Q （0,2）的距离与到y 轴的距离之积ADB 180(2) 设 DB a, DA b, DC m123.43,则汙任，解得85.06，sin 123.43‘115sin 38.12 a・・ m . 802 a 2 160acos18.4526.93, /. CD 的长为22. (2014)(本题满分16分)本题共有3个小和点 R （X 1, %）,巳区，y 2）， 记(ax 1by 1c)(ax 2by ?c). 若0， ⑵若直线y kx是曲线x 24y 21的分割线，求实数k为1,设点M的轨迹为曲线E.求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线•【解析】:(1)将A(1,2),B( 1,0)分别代入x y 1，得(1 2 1) ( 1 1) 4 0・••点A(1,2), B( 1,0)被直线x y 1 0分割2 2(2)联立％4y k 1，得(1 4k2)x21，依题\ / y kx 7意，方程无解，• 1 4k2 0，二k 丄或k 1‘ 2 2(3)设M(x,y)，贝V Jx2(y 2)2|x 1，•曲线E的方程为[x2 (y 2)2]x2 1①当斜率不存在时，直线x 0，显然与方程①联立无解，又P(1,2),F2( 1,2)为E上两点，且代入x 0，有 1 0，•x 0是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx，代入方程得 : (k2 1)x4 4kx3 4x2 1 0，令f(x) (k2 1)x4 4kx3 4x2 1，贝y f(o) 1 ,2 2f(1) k 1 4k 3 (k 2) ,2 2f( 1) k 1 4k 3 (k 2),当k 2时，f(1) 0 , f (0) f (1) 0，即f(x) 0在(0,1)之间存在实根，••• y kx与曲线E有公共点当k 2时，f(0)f( 1) 0，即f(x) 0在(1,0)之间存在实根，•y kx与曲线E有公共点•直线y kx与曲线E始终有公共点，• 不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线x 0是E的分割线23. ( 2014)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列a”满足；a n a”’3a”, n N*，a, 1.3(1)若a2 2,a3 x,a4 9，求x的取值范围;⑵设a n是公比为q的等比数列，s n a1 a2 L a n . ^若1 * yS n S n 1 3S n，nN， 3求q的取值范围;(3)若…丄，a k成等差数列，且正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列【解析】：a1 a2 L a k 1000，(1)依题意， 1 —a2 a33 2 33a的公差.・236，又a4 3a…3 x 27,综上可得3 x(2)由已知得a n，又“1a2 3a1 ,当q 1时，S n n S, 3S n，即£3n,成立当1 q 3时，3S n ,n3^，q 1n 1-1 q ______ 1 3n3 q 1 此不等式即3q n n 1qq n23q n2二3q n 1 q n 2 q n(3q 1) 2 2q n 2 0 ,对于不等式q n1 3q n 2 0 ,令n 1 ,得2 c cq 3q 20，解得1q 2,又当1q 2时,q 3 0,•n 1… q3q n 2q n(q3) 2 q(q 3) 2 (q 1)(q 2) 0成立，• I 1 q2比1当1 q1时，S n1 q 1S1 q 3S 1 3S n,即1 1 q n 1n 1 . n q31 q,3 1 q 1 q 1 q即n 13qn 1 q n q3q n2 02 0 ‘3q10,q30• ••3q n1nq 2 q n(3q1)22q n20n 1q3q n2q n(q 3)2q(q3)2(q 1)(q 2) 0・•・J q 1时，不等式恒成立综上，q的取值范围为1 q 23(3)设公差为d，显然，当k 1000，d 0时, 是一组符合题意的解，二k max 1000 ,贝U由已知得1 (k 2)d31 (k 1)d 3[1 (k 2)d],整理人 谭峰2 x 80160x 35 , x 26400 x 2，6400 解得0 x 20、、2 28.28 ,・•・ CD 的长至多为28.28 米（爲d 2，当k 1000时，不等式即 「・d 2 ， a 〔 a ?・・・a ,k(k 1)d “c k ' ) 1000， 2 ? 二 k 1000 时，d 2000 2k 2 解得 k(k 1) 2k 1 ? 1000 J999000 k 1000 J999000，•-・ k 1999 , 二k 的最大值为1999 ,此时公差 ,2000 2k 1998 1d k(k 1) 1999 19981999。

学习方法报社 全新课标理念 优质课程资源2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（本大题共14小题,每小题4分,共56分.把答案填在题中横线上）1.函数y ＝1－2cos2（2x ）的最小正周期是_________.2.若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z z z ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+1＝_________. 3.若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆92x ＋52y ＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_________. 4.设f （x ）＝⎩⎨⎧+∞∈-∞∈).,[,),,(,2a x x a x x 若f （2）＝4，则a 的取值范围为_________. 5.若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为_________.6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为_________.（结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为ρ（3cos θ－4sin θ）＝1，则C 与极轴的交点到极点的距离是_________.8.设无穷等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＝∞→n lim （a 3＋a 4＋…＋a n ），则q ＝_________. 9.若f （x ）＝32x －21-x ，则满足f （x ）＜0的x 的取值范围是_________.10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________.（结果用最简分数表示）.11.已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b ＝_________.12.设常数a 使方程sin x ＋3cos x ＝a 在闭区间［0，2π］上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝_________.13.某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若E （ξ）＝4.2，则小白得5分的概率至少为_________.14.已知曲线C ：x ＝－24y -，直线l ：x ＝6.若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP ＋AQ ＝0，则m 的取值范围为_________.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）15.设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i （i ＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则AB •i AP （i ＝1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）** B.2 C.3 D.417.已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y ＝kx ＋1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+1,12211y b x a y b x a 的解的情况是（ ） A.无论k ，P 1，P 2如何，总是无解 B.无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C.存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D.存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解18.设f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-.0,1,0,2x a x x x a x ）（若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为（ ） A.［－1，2］ B.［－1，0］ C.［1，2］ D.［0，2］三、解答题（本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.（本小题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P -ABC ，其表面展开图是三角形P 1P 2P 3，如图，求△P 1P 2P 3的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本小题满分14分）设常数a ≥0，函数f （x ）＝aa x x -+22. （1）若a ＝4，求函数y ＝f （x ）的反函数y ＝f －1（x ）；（2）根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f （x ）的奇偶性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米.设点A ，B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向.若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长（结果精确到0.01米）.22.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax ＋by ＋c ＝0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η＝（ax 1＋by 1＋c ）（ax 2＋by 2＋c ）.若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（1）求证：点A （1，2），B （－1，0）被直线x ＋y －1＝0分隔；（2）若直线y ＝kx 是曲线x 2－4y 2＝1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本小题满分18分）已知数列{a n }满足31a n ≤a n ＋1≤3a n ，n ∈N *，a 1＝1. （1）若a 2＝2，a 3＝x ，a 4＝9，求x 的取值范围；（2）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，若31S n ≤S n ＋1≤3S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝1000，求正数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差.。

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）试题分析考生注意：1.本试卷共4页，23道题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________. 【参考答案】π2【测量目标】考查二倍角公式，三角函数的周期【试题分析】2212cos (2)(2cos (2)1)cos 4y x x x =-=--=-，所以2ππ=.42T = 2.若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则__1z z z ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭__________.【参考答案】6【测量目标】考查复数代数形式的四则运算，共轭复数的概念 【试题分析】_2_11(1+2i)(1-2i)+1=1-4i +1=6.z z z z z -⎛⎫ ⎪+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________.【参考答案】2x =-【测量目标】考查抛物线的准线方程，椭圆的焦点 【试题分析】椭圆22195x y +=的右焦点右焦点为2,0（），故22p =，故该抛物线的准线方程为 2.2px =-=-4.设2,(,)(),[,)x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩，若(2)4f =，则a 的取值范围为__________. 【参考答案】(,2]-∞【测量目标】考查分段函数【试题分析】若2a >，则(2)2f =，不合题意，舍去；若2a …，2(2)24f ==，符合题意，故a 的取值范围是(,2]-∞.5.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为__________. 【参考答案】22【测量目标】考查基本不等式【试题分析】由基本不等式可得222222 2.x y xy +=…故222x y +的最小值为22. 6.若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与底面所成的角大小为__________（结果用反三角函数值表示）. 【参考答案】1arccos 3【测量目标】考查圆锥的侧面积公式，线面角【试题分析】由题意可得，2π3πrl r =，解得3l r =，记母线与底面所成的角为θ，则1cos 3r l θ==，即1arccos 3θ=. 7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是__________.【参考答案】13【测量目标】 考查极坐标方程【试题分析】曲线C 的直角坐标方程为341x y -=， 与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13. 8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134(),lim n n a a a a →∞=+++则q =__________.【参考答案】51.2- 【测量目标】考查数列极限【试题分析】因为无穷等比数列{}n a 的极限存在，所以||1q <，又因为134(),lim n n a a a a →∞=+++即2211(1)1lim n n a q q a q -→∞-=-，解得51.2q -=9.若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是__________. 【参考答案】（0,1）【测量目标】考查幂函数的性质【试题分析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()0f x <即2132x x-<，在同一坐标系中作出2132x x -、（0x >）的图象（如图），由图象可知，当(0,1)x∈时，2132x x-<.故满足()0f x<的x的取值范围是(0,1).SHWK2第9题图10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是__________（结果用最简分数表示）.【参考答案】115【测量目标】考查运用组合数求古典概型【试题分析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有310C种方法，从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故310881.12015CP===11.已知互异的复数,a b满足0ab≠，集合22{,}{,}a b a b=，则a b+=__________.【参考答案】1-【测量目标】考查集合间的相等关系，集合的互异性【试题分析】（1）当22,a ab b==时，,a b可看作是2x x=的根，此时0ab=与0ab≠矛盾，故舍去；（2）当22,a b b a==时，可得22a b b a+=+，（*）因为2,a b=所以24a b=，所以（*）即为224b b b b+=+，即3(1)0b b-=，所以301b b==或，此时130,1,i22b b b===-±或或；①当0b=时，0a=，0ab=与0ab≠矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；②当1b=时，1,0a ab=≠，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；③当13i22b=-+时，13i22a=--，0ab≠且满足集合的互异性，符合题意，此时1a b+=-；④当13i22b=--时，13i22a=-+，0ab≠且满足集合的互异性，符合题意，此时1a b+=-；综上所述， 1.a b+=-12.设常数a使方程s i n3c o sx x a+=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x，则123x x x++=__________.【参考答案】7π3【测量目标】考查三角函数的图像与性质【试题分析】sin3cosx x a+=化简得π2sin()3x a+=，如图，当且仅当3a=时，恰有三个交点，即123π7π0++2π=33x x x ++=.SHWK8第12题图13.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为__________.【参考答案】0.2【测量目标】考查离散型随机变量的期望与概率【试题分析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，（*）且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与（*）式相减得：1235320.2p p p p ---+=，∵0i p …，∴1235532p p p p p ---+…，即50.2p ….14.已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.【参考答案】[2,3]【测量目标】考查向量的坐标运算，向量在平面几何中的应用 【试题分析】由题意可设2(4,),(6,)p p Q P y y Q y --（22Py -剟），又因为0AP AQ +=，所以点P 、A 、Q 在一条直线上，且A 点 为线段PQ 的中点.所以，2246P m y =--+，又22Py -剟，所以[2,3]m ∈.二、填空题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【参考答案】B【测量目标】考查充分、必要条件【试题分析】由4a b +>不能推出2a >且2b >，如1,6a b ==满足4a b +>，但不能满足2a >且2b >；如果2a >且2b >，由不等式的性质可得4a b +>；故“4a b +>”是“2a >且2b >”的必要非充分条件.16.如图，四个棱长为1的正方形排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点，则(1,2,,8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 （ ）A ．1 B.2 C.4D.8SHWK7第16题图 解法一：【参考答案】A【测量目标】考查空间直角坐标系，空间向量的坐标运算【试题分析】如图，以A 点为坐标原点建议空间直角坐标系A xyz -，则12345678(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,2,1),(1,0,1),(1,1,1),(1,2,1),(2,0,1),(2,1,1),(2,2,1)A B P P P P P P P P ，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =，4(1,1,1)AP =，5(1,2,1)AP =，6(2,0,1)AP =，7(2,1,1)AP =，8(2,2,1)AP =，经计算，可知(1,2,,8)i AB AP i ⋅=的值均为1，故选A.SHWK9第16题图 解法二：【参考答案】A【测量目标】考查向量数量积及其几何意义【试题分析】根据向量数量积的几何意义，i AB AP ⋅等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ⋅为定值1，故选A 17.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 （ ）A.无论12k P P 、、如何，总是有解B.无论12k P P 、、如何，总有唯一解C.存在12k P P 、、，使之恰有两解D.存在12k P P 、、，使之有无穷多解 解法一：【参考答案】B【测量目标】考查两条直线间的位置关系【试题分析】由已知得112211ka b ka b +=⎧⎨+=⎩，代入112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩得1122(1)1(1)1a x ka y a x ka y ++=⎧⎨++=⎩解得1x ky =-⎧⎨=⎩，即直线111a x b y +=与221a x b y +=恒交于点(,1)k -（k 为常数）.解法二：【参考答案】B【测量目标】考查利用行列式判断线性方程组的解的情况 【试题分析】由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11122122a b D a b a b a b ==-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，选B.18.设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩…，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 （ ）A.[1,2]-B.[1,0]-C.[1,2]D.[0,2]【参考答案】D【测量目标】考查分段函数，函数的最值【试题分析】解法一：①当0a <时，(0)()f f a >，不是最小值，不合题意，舍去； ②当0a =时，易知(0)f 是()f x 的最小值；③当0a >时，当0x …时，2min ()(0)f x f a ==，当0x >时，min ()(1)2f x f a ==+，要使(0)f 是()f x 的最小值，必须22a a +…，解得12a-剟，又0a >，所以02a <…；综上可知，a 的取值范围为[0,2].解法二：（排除法）先分析0x …的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除A 、B 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项；故选D.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P ，如图.求△123P P P 的各边长及此三棱锥的体积V .SHWK4第19题图【测量目标】考查棱锥的体积，由展开图还原实物图 【试题分析】在△123P P P 中，1323,P A P A P C P C ==， 所以AC 是中位线，故122 4.PP AC ==同理，23314, 4.P P P P ==所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. 设Q 是△ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ， 所以22223, 6.33AQ PQ AP AQ ==-= 从而，122.33ABC V S PQ =⋅=△ 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a …，函数2()2x x af x a+=-（1）若a =4，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由. 【测量目标】考查求反函数，判断函数的奇偶性【试题分析】（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)2,1x y y +=-得11,y y <->或且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log ,1 1.1x f x x x x -+=<->-或 （2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21(),21x x f x +=-定义域为(,0)(0,),-∞+∞2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数；当01a a >≠且时，定义域22log )(log ,)a a ∞+∞（-，关于原点不对称， 故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为αβ和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ…，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12,18.45αβ==，求CD的长（结果精确到0.01米）.第21题图【测量目标】考查正弦定理、余弦定理的实际应用，解三角形 【试题分析】（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ>…，tan ,tan 3580h hαβ==，所以22800,351()80hh h ⨯>-…解得20228.28h ≈….因此，CD 的长至多约为28.28米. （2）在△ABD 中，由已知，56.57,115AB αβ+==，由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064.BD ≈在△BCD 中，由余弦定理得2222cos ,CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅解得26.93.CD ≈所以，CD 的长约为26.93米.22.（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++，若η<0，则称点12,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；⑵若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线. 【测量目标】考查直线与曲线的位置关系【试题分析】（1）证明：因为40,η=-<所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. （2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241y kxx y =⎧⎨-=⎩有解，即1||.2k <因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ….当1||2k …时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20,k η=-<即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,).22-∞-+∞（3）证明：设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22222(2)||1,[(2)] 1.x y x x y x +-⋅=+-⋅=即 对任意的00,(0,)y y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点(1,2)(1,2)-和对于y 轴满足0,η<即点(1,2)(1,2)-和被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分割线.若过原点的直线不是y 轴，设其为y kx =. 由222[(2)]10y kx x y x =⎧⎨+-⋅-=⎩得222[(2)]10x kx x +-⋅-=， 令222()[(2)]1f x x kx x =+-⋅-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0f f k ⋅=-⋅-+<，所以方程()0f x =有实数解， 即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线. 综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足*1113,, 1.3n n n a a a n a +∈=N 剟（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12.n n S a a a =+++若*113,3n n n S S S n +∈N 剟，求q 的取值范围.（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且 121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【测量目标】考查等差数列、等比数列的性质 【试题分析】（1）由条件得263x剟且933x x 剟，解得3 6.x 剟所以x 的取值范围是[3,6].（2）由133n n a a …，且110n n a a q -=≠，得0.n a >所以113n n S S +…，又113,3n n n a a a +剟所以133q 剟当1q =时，1,1n n S n S n +==+，由13n n +…得13n n S S +…成立.当1q ≠时，13n n S S +…即111311n nq q q q+--⋅--… ①若13q <…，则(3) 2.n q q -…由*,n q q n ∈N …，得(3)2q q -…，所以12q <…. ②若113q <…，则(3) 2.n q q -…由*,n q q n ∈N …，得(3)2q q -…，所以11.3q <…综上，q 的取值范围为1[,2].3（3）设数列12,,,k a a a 的公差为.d 由1133n n n a a a +剟，且11,a =得1[1(1)]13[1(1)],1,2,, 1.3n d nd n d n k +-++-=-剟即(2+12,1,2,, 1.(23)2n d n k n d -⎧=-⎨--⎩）……当1n =时，223d-剟；当2,3,,1n k =-时，由222123n n -->+-得22+1d n -…， 所以22213d k ---厖. 所以1(1)(1)210002221k k k k ka d k k ---=++⋅-…，即2200010000k k -+…， 得1999.k …所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,,k a a a 的公差为1.1999-。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理一、填空题(每题4分，共14题，满分56分)1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 .解析：y=1-2cos2(2x)=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x，∴函数的最小正周期为T==答案：2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+)·= .解析：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+)·==(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=2+4=6. 答案：63.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.解析：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是(2，0)，又y2=2px(p＞0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故p=4，∴抛物线的准线方程为x=-2.答案：x=-24.设f(x)=，若f(2)=4，则a的取值范围为.解析：当a＞2时，f(2)=2≠4，不合题意；当a=2时，f(2)=22=4，符合题意；当a＜2时，f(2)=22=4，符合题意；∴a≤2，答案：(-∞，2].5.若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 .解析：∵xy=1，∴y=，∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，答案：26.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).解析：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，答案：arccos7.已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 .解析：由题意，θ=0，可得ρ(3cos0-4sin0)=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=. 答案：.8.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=(a3+a4+…a n)，则q= .解析：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=(a3+a4+…a n)=(-a1-a1q)=，∴q2+q-1=0，解得q=或q=(舍).答案：.9.若f(x)=-，则满足f(x)＜0的x的取值范围是.解析：f(x)=-，若满足f(x)＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：(0，1).答案：(0，1).10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示).解析：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，答案：.11.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= .解析：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.若b=a2，a=b2，则两式相减得a2-b2=b-a，∵互异的复数a，b，∴b-a≠0，即a+b=-1，答案：-1.12.设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= .解析：sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=.答案：13.某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(ξ)=4.2，则小白得5分的概率至少为.解析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1-x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E(ξ)=4.2，∴4(1-x)+5x=4.2，解得x=0.2.答案：0.2.14.已知曲线C：x=-，直线l：x=6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.解析：曲线C：x=-，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[-2，0]，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3].答案：[2，3].二、选择题(共4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C. 充要条件D.既非充分又非必要条件解析：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，答案：B.16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i(i=1，2，…8)是上底面上其余的八个点，则•(i=1，2，…，8)的不同值的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4解析：如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，0，1)，P1(1，0，1)，P2(0，0，1)，P3(2，1，1)，P4(1，1，1)，P5(0，1，1)，P6(2，2，1)，P7(1，2，1)，P8(0，2，1)，，=(-1，0，1)，=(-2，0，1)，=(0，1，1)，=(-1，1，1)，=(-2，1，1)，=(0，2，1)，=(-1，2，1)，=(-2，2，1)，易得•=1(i=1，2，…，8)，∴•(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1，答案：A.17.已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解解析：P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1，①×b2-②×b1得：(a2b1-a1b2)x=b2-b1，即(a2-a1)x=b2-b1.∴方程组有唯一解.答案：B.18.设f(x)=，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )A.[-1，2]B. [-1，0]C. [1，2]D. [0，2]解析：当a＜0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，f(0)=a2，由题意得：a2≤x++a≤2+a，解不等式：a2-a-2≤0，得-1≤a≤2，∴0≤a≤2，答案：D.三、解答题(共5题，满分72分)19.(12分)底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解析：利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.答案：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P-ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P-ABC==20.(14分)设常数a≥0，函数f(x)=.(1)若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.解析：(1)根据反函数的定义，即可求出，(2)利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.答案：(1)∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x均成立，∴=，整理可得a(2x-2-x)=0.∵2x-2-x不恒为0，∴a=0，此时f(x)=1，x∈R，满足条件；若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对任意x均成立，∴=-，整理可得a2-1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f(x)=，满足条件；综上所述，a=0时，f(x)是偶函数，a=1时，f(x)是奇函数.21.(14分)如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米).解析：(1)设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.(2)利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.答案：(1)设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米.(2)设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°-α-β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米.22.(16分)在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l 没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证：点A(1，2)，B(-1，0)被直线x+y-1=0分隔；(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0，2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.解析：(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，再根据η＜0，得出结论.(2)联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据此方程无解，可得1-4k2≤0，从而求得k的范围.(3)设点M(x，y)，与条件求得曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×(-1)=-1＜0，可得x=0是一条分隔线. 答案：(1)把点(1，2)、(-1，0)分别代入x+y-1 可得(1+2-1)(-1-1)=-4＜0，∴点(1，2)、(-1，0)被直线 x+y-1=0分隔.(2)联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k2≤0，∴k≤-，或k≥.(3)设点M(x，y)，则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ①.y轴为x=0，显然与方程①联立无解.又P1(1，2)、P2(-1，2)为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×(-1)=-1＜0，故x=0是一条分隔线.若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+(y-2)2]x2=1，可得[x2+(kx-2)2]x2=1，令f(x)=[x2+(kx-2)2]x2-1，∵f(0)f(2)＜0，∴f(x)=0有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线.∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23.(16分)已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1.(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；(2)设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围.(3)若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差.解析：(1)依题意：，又将已知代入求出x的范围；(2)先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围.(3)依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差.答案：(1)依题意：，∴；又，∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6，(2)由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立.当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1-q n-2=q n(3q-1)-2＞2q n-2＞0对于不等式q n+1-3q n+2≤0，令n=1，得q2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，∴q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q-1＞0，q-3＜0，3q n+1-q n-2=q n(3q-1)-2＜2q n-2＜0，q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)＞0，时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：.(3)设a1，a2，…a k的公差为d.由，且a1=1，得即当n=1时，-≤d≤2；当n=2，3，…，k-1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2-2000k+1000≤0，得k≤1999.所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k的公差为-.。