高中数学北师大版必修5 第一章1.2 数列的函数特性 作业2 Word版含解析

1.2数列的函数特性内容标准学科素养1.了解数列的几种简单的表示方法.2.了解递增数列、递减数列、常数列的概念.3.掌握判断数列增减性的方法.加强定义理解发展数形结合提升数学运算授课提示：对应学生用书第3页[基础认识]知识点一数列的表示方法预习教材P6－8，思考并完成以下问题以数列2，4，6，8，10，12…为例，你能用几种方法表示这个数列？提示：对数列2，4，6，8，10，12，…可用以下几种方法表示：(1)通项公式法：a n＝2n.(2)递推公式法：⎩⎨⎧a1＝2，a n＋1＝a n＋2，n∈N＋.(3)列表法：n 123…k …a n246…2k …(4)图像法知识梳理数列的表示方法有通项公式法、递推公式法、列表法和图像法．知识点二数列的增减性观察下列数列，发现它们分别有什么特性？(1)1，2，3，4，…，n，…；(2)1，12，13，14，…，1n…；(3)1，1，1，1，….提示：数列(1)从第2项起的每一项都大于它的前一项，与增函数类似；数列(2)从第2项起的每一项都小于它的前一项，与减函数类似；数列(3)的各项都相等．分类 定义 表达式 递增数列 从第2项起，每一项都大于它前面的一项 a n ＋1＞a n 递减数列 从第2项起，每一项都小于它前面的一项 a n ＋1＜a n 常数列 各项都相等 a n ＋1＝a n1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n，n ∈N ＋，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．先递增再递减的数列 答案：D2．已知a n ＝3n －2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一个圆 D ．一群孤立的点 答案：D3．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填序号)．①a n ＝－2n ＋3；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案：①③授课提示：对应学生用书第4页探究一 数列的表示法[阅读教材P8练习1]在1984年到2004年的6届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，试画出该数列的图像．解析：用横坐标表示年数，纵坐标表示获得的金牌数，得到该数列的图像如图．[例1] 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．[解析]如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，a n＋1＝3a n，n∈N＋，个数依次为1，3，9，27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1，n∈N＋.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．方法技巧求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图像法则一如既往地直观．跟踪探究 1.某种练习本单价5元，小王买了n本(n∈N＋，n≤5)该练习本，记a n 为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{a n}．解析：通项公式法：a n＝5n(n∈N＋，n≤5)．列表法：n 1234 5a n510152025图像法：探究二数列的单调性[阅读教材P7例3及解答]判断下列无穷数列的增减性．(1)2，1，0，－1，…，3－n，…(2)12，23，34，…，nn＋1，…题型：定义法判断数列的增减性．方法步骤：①设出数列通项公式a n.②作差并化简a n＋1－a n.③判断符号得出结论．[例2] 已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n ＜1.(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ [解题指南] a n ＝n －1n →判断a n ＜1→由a n ＋1－a n 的符号，判断是递增数列还是递减数列[解析] (1)证明：因为a n ＝n －1n ＝1－1n ，且n ∈N ＋，所以a n ＜1.(2)a n ＋1－a n ＝n n ＋1－n －1n ＝n 2－（n 2－1）n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＞0，所以a n ＋1＞a n ，因此{a n }为递增数列．方法技巧 判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．跟踪探究 2.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N ＋)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性．解析：当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9]（n 2＋9）.∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374.在[1，＋∞)上是递减的，又f (1)＝7＞0，f (2)＝3＞0，f (3)＝－3＜0， ∴当n ＝1，2时，a n ＋1＞a n ，当n ≥3，n ∈N ＋时，a n ＋1＜a n ，即a 1＜a 2＜a 3＞a 4＞a 5＞…. ∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．[例3] 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是递增数列，求实数k 的取值范围．[解析] 由{a n }是递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )＝2n ＋1＋k ＞0对于任意n ∈N ＋恒成立．∵f (x )＝2x ＋1＋k 在[1，＋∞)上为增函数，∴2n ＋1＋k ＞0对任意n ∈N ＋恒成立等价于2×1＋1＋k ＞0，∴k ＞－3，∴实数k 的取值范围是(－3，＋∞)．方法技巧 实际上，当－3＜k ＜－2时，函数y ＝x 2＋kx 在[1，＋∞)上不是单调函数，但数列a n ＝n 2＋kn 是单调的，由此可知函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之则不一定．究其原因，是数列与函数定义域不同造成的差别．跟踪探究 3.已知递增数列{a n }的通项公式为a n ＝2kn ＋1，则实数k 的取值范围是________．解析：由于数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＞0，即[2k (n ＋1)＋1]－(2kn ＋1)＝2k ＞0，解得k ＞0. 答案：(0，＋∞)[阅读教材P7例4及解答] 作出数列－12，14，－18，116，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，…的图像，并分析数列的增减性．题型：图像法判断数列的增减性． 方法步骤：①作出数列的图像； ②根据图像判断数列的增减性． [例4] 在数列{a n }中，a n ＝n 2－8n . (1)画出{a n }的图像；(2)根据图像写出数列{a n }的增减性． [解析] (1)列表1 2 3 4 5 6 7 8 9 … －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …n ，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图像如图所示．(2)当1≤n ≤4(n ∈N ＋)时，数列{a n }为递减数列；当n ＞4(n ∈N ＋)时，数列{a n }为递增数列．方法技巧 数列是自变量为正整数的一种特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n 为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n ，a n )描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N ＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n })，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．跟踪探究 4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9，画出它的图像，并判断增、减性．解析：图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．探究三求数列的最大(小)项[例5]已知数列{a n}满足a n＝22n－5，此数列有无最大项？若有，是第几项？[解题指南]假设存在最大项→作差a n－a n－1→讨论差的符号→下结论，或利用数列的函数特性作图像求解．[解析]法一：假设数列{a n}中存在最大项，因为a n＝22n－5＝1n－52，所以a n－a n－1＝1n－52－1（n－1）－52＝⎝⎛⎭⎪⎫n－72－⎝⎛⎭⎪⎫n－52⎝⎛⎭⎪⎫n－52⎝⎛⎭⎪⎫n－72＝－1⎝⎛⎭⎪⎫n－52⎝⎛⎭⎪⎫n－72(n≥2，n∈N＋)，当n＜3时，n－52＜0，n－72＜0，所以a n－a n－1＜0，有a n＜a n－1，将n＝1，2代入a n知：a2＜a1＜0；当n＝3时，n－52＞0，n－72＜0，所以a n－a n－1＞0，有a n＞a n－1，将n＝3代入a n知：0＜a3＝2；当n＞3时，n－52＞0，n－72＞0，所以a n－a n－1＜0，有a n＜a n－1，将n＝4，5，6，…代入a n知：23＝a4＞a5＞a6＞ 0由以上分析知，第三项a3＝2是数列的最大值．法二：作出函数f(x)＝22x－5的图像．由图像知，此数列有最大项，是第3项．延伸探究 本例中，条件不变，求“此数列有无最小项”？解析：由以上分析知，a 2＜a 1＜0，a 3＞a 4＞a 5＞a 6＞…＞0，所以数列的最小项是第二项a 2＝－2.方法技巧 求数列的最大(小)项的方法 (1)利用数列的单调性→作差a n ＋1－a n →分析差与0的关系，得出数列的单调性→求最值(2)函数思想的应用→确定与数列对应的函数→化简，找到基本函数→分析函数的单调性→求函数最值 (3)不等式思想的应用→设出最大（小）项为第k 项→列不等式组⎩⎨⎧a k ≥（≤）a k ＋1a k ≥（≤）a k －1→解出k 的取值范围→确定k 的值跟踪探究 5.在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列a n 的最大项．解析：(1)证明：令a na n －1＞1(n ≥2)，即（n ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1＞1，整理得n ＋1n ＞1110，解得n＜10.令a na n ＋1＞1，即（n ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1＞1，整理得n ＋1n ＋2＞1011，解得n ＞9.所以数列{a n }从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先增后减．(2)由(1)知，a 9＝a 10＝1010119最大.授课提示：对应学生用书第5页[课后小结](1){a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．(2)数列的表示方法：①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．(3)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 和a n ＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决． (4)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)．[素养培优]忽略数列中项数的特殊性致误在数列{a n }中，a n ＝3n 2－14n －8，求该数列的最小项．易错分析 解决数列问题时可以借鉴函数的方法，但必须注意数列相对函数的特殊性，尤其是数列中项数n 只能取正整数；在求解此题时容易忽略这一点而得到错误的结论－733.自我纠正 a n ＝3n 2－14n －8＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －732－733，因为73∈(2，3)，所以当n 取距离73最近的整数时，a n 最小，而a 2＝－24，a 3＝－23，所以该数列中的最小项为a 2＝－24.。

课时作业 2 数列的函数特性时，a n 最小，且最小项a 3＝a 4＝－20.法二：设a n 为数列{a n }的最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1，(n ≥2) 即{n 2－7n －8≤(n －1)2－7(n －1)－8，n 2－7n －8≤(n ＋1)2－7(n ＋1)－8， 解得3≤n ≤4，故当n ＝3或n ＝4时，a 3＝a 4是数列中的最小项，且最小项a 3＝a 4＝－20. |能力提升|(20分钟，40分)11．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n <122a n －1，12≤a n <1.若a 1＝35，则a 2018＝( ) A.15 B.25C.35D.45 解析：∵a 1＝35>12，∴a 2＝2a 1－1＝15<12，a 3＝2a 2＝25<12，a 4＝2a 3＝45>12，a 5＝2a 4－1＝35>12， ∴a n ＋4＝a n ，∴a 2018＝a 4×504＋2＝a 2＝15.故选A. 答案：A12．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋λn ，且{a n }满足a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，则实数λ的取值范围是________．解析：方法一：因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，显然，当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{a n }是单调递增数列．如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧1<－λ2<2a 1<a 2时，数列{a n }也是单调递增的，此时－3<λ<－2. 故实数λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|－3<λ<－2}＝{λ|λ>－3}，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．方法二：直接根据定义来处理．∵数列{a n }是单调递增数列，∴a n ＋1－a n >0，又a n ＝n 2＋λn ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn >0，∴2n ＋1＋λ>0，λ>－(2n ＋1)，又n ∈N *，∴λ>－3，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．答案：(－3，＋∞)13．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n ，求数列{a n }的通项公式．。

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不能确定解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }是递增数列． 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝（n ＋1）2－n （n ＋2）（n ＋1）（n ＋2）＝1（n ＋1）（n ＋2）>0.故选A.3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．109 B ．10818C ．108D ．107解析：选C.a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2·(n －294)2＋3＋2928，当n ＝7时，a n最大且等于108，故选C.4．已知数列{a n }满足a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则数列{a n }为( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．以上都有可能解析：选D.若a 1>0，则a n ＜a n －1(n ≥2)，{a n }为递减数列；若a 1＝0，则a n ＝0(n ∈N ＋)，{a n }为常数列；若a 1＜0，则a n ＞a n －1(n ≥2)，{a n }为递增数列，故选D.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，则a n 与a n ＋1间的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定解析：选B.因为a n ＋1－a n ＝nn ＋2－n －1n ＋1＝ n （n ＋1）－（n －1）（n ＋2）（n ＋2）（n ＋1）＝n 2＋n －（n 2＋n －2）（n ＋2）（n ＋1）＝2（n ＋2）（n ＋1）>0，所以a n <a n ＋1，选B.6．已知下列数列：①2 010，2 014，2 018，2 022； ②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是______，递减数列是______，常数列是________，摆动数列是______．(将符合条件的数列的序号填在横线上)解析：①是有穷递增数列； ②是无穷递增数列； ③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列； ⑤是常数列，也是有穷数列．答案：①⑤ ②③④ ①② ③ ⑤ ④7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N ＋)，则这个数列从第________项起各项为正数．解析：令a n ＝n 2－4n －12>0，解得n >6或n <－2(舍去)．故从第7项起各项为正数． 答案：78．已知数列{a n }为单调递增数列，通项公式为a n ＝n ＋λn，则λ的取值范围是________．解析：由于数列{a n }为单调递增数列，a n ＝n ＋λn ，所以a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)＋λn ＋1]－(n ＋λn )＝1－λn （n ＋1）＞0，即λ＜n (n ＋1)(n ∈N ＋)，所以λ＜2.答案：(－∞，2)9．已知函数f (x )＝x －x 2＋1，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断数列{a n }的增减性． 解：因为a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1) ＝1－[（n ＋1）2＋1－n 2＋1] ＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n＝0，所以a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4， (1)数列中有多少项为负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求此最小值． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0得1<n <4，n ∈N ＋， 所以n ＝2或3.所以数列中有2项为负数．(2)因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，又因为n ∈N ＋，所以n ＝2或3时，a n 有最小值－2.[B.能力提升]1．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列各图中，并且对任意a n ∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像是( )解析：选A.由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n .可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ，即f (x )的图像在y ＝x 图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A 符合条件．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝anbn ＋1(a ，b 为正常数)，那么a n 与a n ＋1的关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1D ．以上都不对解析：选B.考虑函数y ＝axbx ＋1＝a b （bx ＋1）－a b bx ＋1＝a b ＋－a bbx ＋1＝ab ＋－a b 2x ＋1b，其图像可由y ＝－ab 2x 先向左平移1b 个单位长度，再向上平移ab个单位长度得到，如图．由图像不难得知y ＝ax bx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以a n ＝anbn ＋1的值随n 的变大而变大． 所以数列{a n }是递增数列，即a n <a n ＋1，故选B. 3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －96n －98，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项为________，最小项为________．解析：将数列{a n }的通项公式变形为a n ＝1＋98－96n －98，考察函数f (x )＝1＋98－96x －98，画出图像(图略)，数列{a n }的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立的点，易知n ＝10时，a n 取得最大值，为10－9610－98；n ＝9时，a n 取得最小值，为9－969－98.所以，数列{a n }中最大项为a 10＝10－9610－98，最小项为a 9＝9－969－98 .答案：10－9610－98 9－969－984．已知通项公式为a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )的数列是递减数列，则实数m 的取值范围为____________．解析：因为数列{a n }为递减数列，所以a n ＋1<a n .所以a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0. 因为n ∈N ＋，所以3n 2＋3n －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－74≥5>0.所以m 2－2m <0，解得0<m <2. 故m ∈(0，2)． 答案：(0，2)5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，试问n 取何值时，a n 取最大值？试求出a n 的最大值．解：因为a n ＋1a n ＝（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝9（n ＋3）10（n ＋2）＝910＋910·1n ＋2，由a n ＋1a n ＝1，解得n ＝7，则当n＝7时，a 8a 7＝1，即a 7＝a 8.当n <7时，a n ＋1a n>1，即a n ＋1>a n . 当n ≥8时，a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n . 则当n ＝7或n ＝8时，a n 取最大值， 最大值为a 7＝a 8＝98107.6．设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，又知数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)试判断数列{a n }的增减性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2 an )＝2n ， 所以log 22an －log 2 an 4＝2n ，由换底公式，得log 22 an －log 24log 22a n＝2n ， 即a n －2a n＝2n ，所以a 2n －2na n －2＝0， 所以a n ＝n ±n 2＋2.① 由0<x <1，有0<2an <1， 所以a n <0.②由①②得a n ＝n －n 2＋2，此即为数列{a n }的通项公式．(2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）－（n ＋1）2＋2n －n 2＋2 ＝n ＋n 2＋2（n ＋1）＋（n ＋1）2＋2<1， 因为a n <0，所以a n ＋1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列．。

1.2 数列的函数特性双基达标限时20分钟1．已知a n ＝3n －2，则数列{a n }的图像是( )．A ．一条直线B ．一条抛物线C ．一个圆D ．一群孤立的点解析 ∵a n ＝3n －2，n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点． 答案 D2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是 ( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．答案 A 3．在递减数列{a n }中，a n ＝kn(k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k(n ＋1)－kn ＝k<0.答案 C4．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)． ①a n ＝－2n ＋1； ②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ； ④a n ＝(－1)n . 解析 可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列． 答案 ①③5．数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项是第________项，最大项为________．解析 由已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058.∵n ∈N ＋，故当n ＝2时，a n 取到最大 值13.答案 2 136．已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m)(n 3－2n)，求实数m 的取值范围． 解 ∵数列为递减数列，∴a n ＋1<a n ，∴a n ＋1－a n ＝(m 2－2m)[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n]＝(m 2－2m)(3n 2＋3n －1)<0.∵n ∈N ＋，∴3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0， ∴m 2－2m<0，解得0<m<2.故实数m 的取值范围为0<m<2.综合提高(限时25分钟)7．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为 ( )．A ．10B ．11C ．12D ．13 解析 ∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6，∴S 11>0，则当n≥11时， S n >0，故n 最小为11.答案 B8．函数f(x)定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f(x n )，则x 2 011＝( ).A.1 解析 ∵x 0＝5，x 1＝f(x 0)＝f(5)＝2，x 2＝f(x 1)＝f(2)＝1，x 3＝f(x 2)＝f(1)＝5，x 4＝f(x 3)＝f(5)＝2，…，∴x n 的值周期出现，且周期T ＝3，则x 2 011＝x 670×3＋1＝x 1＝2. 答案 B9．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝12a n (n ∈N ＋)，得a n >0(n ∈N ＋)．又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－12a n <0， 所以{a n }是递减数列． 答案 递减10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an bn ＋1，其中a ，b 均为正常数，那么a n ＋1与a n 的大小关系是________．解析 ∵a n ＋1－a n ＝＋＋＋1－an bn ＋1＝ a＋＋＋>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 答案 a n ＋1>a n11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n<4. 因为n ∈N ＋，故n ＝2,3，所以该数列中有两项是负数．(2)因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{a n }是递减数列．(1)解 ∵f(x)＝2x －2－x ，f(log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， ∴a n 2＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明 a n ＋1a n ＝＋2＋1－＋n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n＋2＋1＋＋<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课时作业2 数列的函数特性时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．数列{a n }，a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域为( ) A ．非负整数集 B ．正整数集 C ．正整数集或其子集D ．正整数集或{1,2,3,4，…，n } 【答案】 D【解析】 根据数列的定义可以得出．2．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是( )A ．(21，－5)B ．(16，－1)C ．(－412，112)D ．(412，－112)【答案】 D【解析】 通项公式为(n ＋1)2＋1n (n ＋2)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26. ∴a ＝412，b ＝－112.3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．10818 D ．109【答案】 B【解析】 a n ＝－2n 2＋29n ＋3 ＝－2(n 2－292n )＋3＝－2(n －294)2＋3＋2928. 当n ＝7时，a n 最大且a 7＝108.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k >0B ．k >－1C ．k >－2D ．k >－3【答案】 D【解析】 ∵a n ＋1>a n ， ∴a n ＋1－a n >0. 又a n ＝n 2＋kn ＋2，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－(n 2＋kn ＋2)>0. ∴k >－2n －1.又－2n －1(n ∈N ＋)的最大值为－3， ∴k >－3.5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 为常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 A【解析】 设an ＋2＝bn ＋1， ∴(a －b )n ＋1＝0， ∵a >b ，n >0，∴(a －b )n ＋1＝0不成立，故选A.6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x 的值是( ) A ．21 B ．20 C ．18 D ．5【答案】 A【解析】 由题意知：从第3项起，每一项都等于它的前面相邻两项的和，所以x ＝8＋13＝21.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1－1，则关于a n的最大项，最小项叙述正确的是( )A ．最大项为a 1，最小项为a 3B ．最大项为a 1，最小项不存在C ．最大项不存在，最小项为a 3D ．最大项为a 1，最小项为a 4 【答案】 A【解析】 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，则它在N ＋上递减且0<t ≤1，而a n ＝t 2－t ，在0<t ≤12时递减，在t ≥12时递增，且n ＝1时，t ＝1，n ＝2时，t ＝34，n ＝3时，t ＝916，n ＝4时，t ＝2764，且a 4>a 3，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)8．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋5，则它的通项公式为________．【答案】 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 (n ＝1)2n －3 (n ≥2)【解析】 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n ＋5－(n －1)2＋2(n －1)－5＝2n －3，n ＝1时，a 1＝S 1＝4，不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 (n ＝1)2n －3 (n ≥2).9．已知数列{a n }中，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N ＋)满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.【答案】 2【解析】 a 1＝2，a 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝b ＋m 4＝b 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2m ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1m ＝3， ∴a 3＝(－1)3＋3＝2.10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋13n ，关于该数列，有以下四种说法：(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )＝－2x 2＋13x 的最大值；(4)－70是该数列中的一项．其中正确的说法有________．(把所有正确的序号都填上) 【答案】 (2)(4)【解析】 令－2n 2＋13n >0，得0<n <132，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项．当n ＝3时，数列{a n }取到最大值，而当x ＝3.25时函数f (x )取到最大值．令－2n 2＋13n ＝－70，得n ＝10，或n ＝－72(舍去)．即－70是该数列的第10项．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N ＋)． (1)求{a n }的通项公式．(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 【解析】 (1)a n ＝－2n ＋25(n ∈N ＋)． (2)当n ＝12时，S n 最大，S 12＝144.12．(15分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋7. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解析】 数列的通项a n 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．(1)由n 2－8n ＋7<0，得1<n <7，∵n ∈N ＋， ∴n ＝2,3,4,5,6， ∴{a n }有5项是负数．(2)∵a n ＝n 2－8n ＋7＝(n －4)2－9， ∴n ＝4时，a n 取最小值，其最小值为9.13．(20分)数列{a n }中，a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1.(1)求这个数列的第10项； (2)99100是否为该数列的项，为什么？ (3)求证：a n ∈(0,1)；(4)在区间(13，23)内有无数列{a n }的项，若有，有几项？若无，说明理由．【解析】 (1)∵a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －23n ＋1，∴a 10＝2831.(2)假设99100是数列{a n }中的项，则 3n －23n ＋1＝99100⇒3n ＝299， 此方程无整数解， ∴99100不是该数列的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴a n ∈(0,1)． (4)由13<a n <23， 得13<3n －23n ＋1<23.∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2⇒76<n <83， ∴当且仅当n ＝2时，在区间(13，23)内有数列{a n }的项．。

基础巩固已知数列{}是递增数列，则当∈＋时，有( )．＋≥．＋≤．＋＞．＋＜已知数列{}的图像是上升的，则{}是( )．递增数列．递减数列．常数列．以上均有可能＝－＋(为常数)，数列{}是递减数列，则有 ( )．＞．＜．≠．∈＝－，则数列{}的图像是( )．一条直线．一条抛物线．一个圆．一群孤立的点求数列{－＋＋}中的最大项．是否是数列{－＋＋}中的一项？综合过关若数列{}的通项公式为＝－＋(∈＋)，画出它在轴上方的图像，并根据图像求出的最大值，并在同一坐标系中画出函数()＝－＋的图像，根据图像求出()的最大值．若用函数来求＝－＋的最大值，应如何处理．已知数列{}的通项公式是＝(∈＋)，求数列{}中的最大项．能力提升一辆邮车每天从地往地运送邮件，沿途(包括、)共有站，从地出发时，装上发往后面站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性．参考答案答案：答案：答案：答案：分析：由通项公式可以看出：是的二次函数，求二次函数的最值可采用配方法，此时要注意其中自变量为正整数．解：由已知＝－＋＋＝－(－)＋，由于为正整数，故当取时，取到最大值为.∴数列{－＋＋}的最大项为＝.解：令－＋＋＝，解得＝或＝.由于∈＋，则方程－＋＋＝无正整数解，所以不是数列{－＋＋}中的一项．分析：由＝()可知，的图像应该为函数＝()图像上横坐标为正整数的点．求{}的最大值既可用图像来解决，也可用函数的相关知识解决．解：由－＋＞，可得＜＜.又因为∈＋，所以＝、、、、、，分别代入通项公式，可得＝，＝，＝，＝，＝，＝，图像如图所示，为个点．最大值为.函数()＝－＋的图像如图所示(图中曲线)．()＝－＋＝－(－)＋，当＝时，()＝.因为＜＜，且离较近，所以最大值＝.解：令()＝(∈＋)．设＜＜≤，∈＋，∈＋，则()－()＝－＝＝.又＜＜≤，∈＋，∈＋，则－＜，－＞，(＋)(＋)＞.所以＜.所以()＜()．所以当≤时，()是增函数．同理可证，当＞时，()是减函数，所以当＝时，()取最大值()＝，即{}中的最大项为＝.解：将、之间所有站按序编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：。

1.2 数列的函数特性学习目标1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1. 如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,那么数列a n=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n(n∈N+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即a n+1<a n(n∈N+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列{a n},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限. ( )(2)递增数列没有最大项. ( )(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得. ( )提示:(1)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.(3)√.由递减数列的概念可知.2.数列{a n}满足a n+1=a n+1,则数列{a n}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选A.因为a n+1-a n=1>0,所以{a n}为递增数列.3.数列{a n}中,a n=-n2+11n,则此数列最大项的值是( )A. B.30 C.31 D.32【解析】选B.a n=-n2+11n=-+,因为n∈N+,所以当n=5或6时,a n取最大值30.关键能力·合作学习类型一数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列{a n}中,a n=n2-8n,(1)画出{a n}的图像.(2)根据图像判定数列{a n}的增减性.【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …a n-7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 …描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{a n}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…图像如图所示.(2)数列{a n}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{a n}既不是递增的,也不是递减的.画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n 为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,a n)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)a n=(-1)n+2;(2)a n=.【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.类型二数列的增减性(逻辑推理)角度1 数列增减性的判断【典例】1.已知数列{a n}的通项公式为a n=,按项的变化趋势,该数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2.(2)数列{a n}是递增数列,还是递减数列?为什么?【思路导引】通过计算a n+1-a n,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为a n+1-a n=-=<0,所以a n+1<a n.故该数列是递减数列.2.(1)由题意得a n=f(n)===-2+.因为n∈N+,所以>0. 所以a n=-2+>-2.(2)数列{a n}是递减数列,证明如下:因为a n=,a n+1==,所以a n+1-a n=-===<0,所以a n+1<a n,所以数列{a n}是递减数列.如果{a n}为递增数列,则{a n}的通项公式可以为( )A.a n=-2n+3B.a n=-n2-3n+1C.a n=D.a n=log2 n【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数为,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.角度2 数列增减性的应用【典例】(2020·贵阳高一检测)若数列的通项公式是a n=(n+1)·0.9n,对于任意的正整数n都有a n≤a N成立,则N为( )A.6或7B.7或8C.8或9D.9或10【思路导引】作差判断数列的单调性,得到当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.a n+1-a n=(n+2)·0.9n+1-(n+1)·0.9n=0.9n=0.9n,当n=8时,a n+1-a n=0,当n<8时,a n+1-a n>0,当n>8时,a n+1-a n<0.所以当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,所以当n=8时,a 9=a8为数列的最大项.数列增减性两方面的应用(1)利用数列的增减性可以求参数范围:数列的增减性揭示了项之间的大小关系,可以据此列出不等式(组),求某些参数的范围.(2)利用数列的增减性求数列的最大或最小项:如果数列先增后减或先减后增,则存在最大(小)项,递增(减)数列中首项是最小(大)项.1.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值;(2)数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项,若没有,说明理由.【解析】(1)因为a n=n2-21n+20=-,可知对称轴方程为n==10.5.又因n∈N+,所以n=10或n=11时,a n有最小值,其最小值为102-21×10+20=-90.(2)由(1)知,a1>a2>…>a10=a11<a12<…,所以数列{a n}没有最大项.2.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n×0.9n,求数列{a n}中的最大项. 【解析】设a n是数列{a n}中的最大项,则即所以所以即9≤n≤10,所以当n=9或n=10时,a n最大,最大项a9=a10=2×10×0.910=20×0.910.3.在数列{a n}中,a n=(n+1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}先递增,后递减;(2)求数列{a n}的最大项.【解析】(1)因为a n+1-a n=(n+2)-(n+1)=·, 当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.所以a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列{a n}先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=.课堂检测·素养达标1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( )A.1,,,,…B.sin ,sin ,sin,sin ,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选B.数列{a n}的通项公式是a n===1+,则当n∈N+时为递减数列.3.数列{a n}的通项公式为a n=n2-6n,则它的最小值是.【解析】a n=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,a n取得最小值-9.答案:-94.已知递增数列{a n}的通项公式为a n=2kn+1,则实数k的取值范围是.【解析】因为{a n}单调递增,所以a n+1-a n=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0,所以k>0.答案:(0,+∞)5.(教材二次开发:习题改编)数列{a n}满足a n+1=-2a n,若{a n}单调递增,则首项a1的范围是.【解题指南】先表示出a n+1-a n,再结合{a n}单调递增可求首项a1的范围. 【解析】因为a n+1=-2a n,所以a n+1-a n=-3a n>0,解得a n>3或a n<0,则有a1>3或a1<0.由于a 2=-2a1,所以-2a1>3或-2a1<0,解得a1>3或a1<-1(0<a1<2舍去).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)。