2绵阳南山中学2014自主招生数学试题及答案

OyxC ．OyxD ．四川省绵阳南山中学高考模拟数学试题(二)（理科）1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120分钟.2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。

第一卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数iz 11-=，则z 的共轭复数是（ ）A ．11i +B ．1i +C ．11i- D ．1i - 2．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∧⌝是假命题3．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出的S 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是（ ）5．将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能的值为（ ）A ．4π-B ．4π C ．43π D ．43π-OyxA ．OyxB ．6．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．120B ．180C ．45D ．907．已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 162= C ．y x 3382=D ．y x 33162= 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．364π B ．348π C ．316π D ．38π9．已知131<≤k ，函数k x f x --=|12|)(的零点分别为,1x 2x)(21x x <，函数|12|)(-=x x g 12+-k k的零点分别为,3x 4x )(43x x <，则)()(1234x x x x -+-的最小值为（ ）A ．3log 2B ．6log 2C ．3D ．110．已知,x y R ∈且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ,则存在R θ∈,使得(4)cos sin 20x y θθ-++=的概率为（ ）A ．18π-B ．24π-C ．8πD ．4π第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

19．〔10分〕等差数列{an}的首项a1=1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．〔1〕求数列{a n }与{bn}的通项公式；〔2〕令数列{c n }满足：c n =，求数列{c n }的前101T101；*〔3〕设数列{c n }n ∈N ，均有++⋯+=an+1成立，求c1+c2+⋯+c2021的值．XX 省XX 市南山中学2021-2021 学年高二上学期入学数学试卷 参考答案与试题解析一．选择题共10小题，每题4分，共40分；在每个小题所给出的四个选项中，只有项为哪一项符合题目要求的把正确选项的代号填在答题 1．〔4分〕向量=〔2〕，2m 〕，假设∥，数m 的值为〔〕A ．3B ．﹣3C ．2D ．﹣2考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐． ：平面向量及应用．分析：直接利用向量平行的充要条件，求解即可． 解答：解：向量=〔1，﹣2〕，=〔﹣2，1﹣m 〕，假设∥，那么1×m 〕+22〕=0，解得，3 应选：B ． 点评：此题考察向量共线的充要条件的应用，2．〔4分〕△ABC 中，，那么C=〔〕A．45°B．60°C．135°D．45°或135°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，即可求出C的大小．解答：解：根据正弦定理得sinC==，∵c＞a，∴C＞A，即C=45°或135°，应选：D．点评：此题主要考察正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的应用．3．〔4分〕假设直线经过两点，那么直线AB的倾斜角为〔〕A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：根据斜率公式即可得即可得到直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系即可得到结论．解答：解：∵直线经过两点∴直线的斜率k=，即k=tan，∴θ=60°，即直线AB的倾斜角为60°．应选：C．点评：此题主要考察直线的倾斜角和斜率的关系，要求熟练掌握直线斜率的公式的计算，比拟根底．4．〔4分〕三条直线a，b，c，两个平面α，β．那么以下命题中：①a∥c，c∥b?a∥b；②a∥β，b∥β?a∥b；③a∥c，c∥α?a∥α；④a∥β，a∥α?α∥β；⑤a?α，b∥α，a∥b?a∥α，正确的命题是〔〕A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①a∥c，c∥b?a∥b，由平行公理知①正确；②a∥β，b∥β?a与b相交、平行或异面，故②错误；③a∥c，c∥α?a∥α或a?α，故③错误；④a∥β，a∥α?α与β相交或平行，故④错误；⑤a?α，b∥α，a∥b?a∥α，由直线与平面平行的判定定理得⑤正确．应选：A．点评：此题考察命题真假的判断，是根底题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22﹣c 5．〔4分〕在△ABC中，a+b 2=﹣ab，那么角C=〔〕A．150°B．60°C．30°D．45°或135°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的值．222解答：解：△ABC中，∵a﹣c+b=﹣ab，那么cosC==﹣，∴C=150°，应选：A．点评：此题主要考察余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于根底题．6．〔4分〕一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如下图，那么这个四棱锥的体积是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长，底面是一个正方形，对角线长度，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可解答：解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2应选B．点评：此题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考察对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据复原出实物图的数据，再根据相关的公式求外表积与体积，此题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规那么是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等〞，三视图是新课标的新增内容，在以后的2021 届高考中有加强的可能．7．〔4分〕，那么tan〔α+β〕的值为〔〕A．B．C．D．1考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把要求的式子变为tan[〔α﹣〕+〔+β〕]，利用两角和的正切公式求出结果．解答：解：tan〔α+β〕=tan[〔α﹣〕+〔+β〕]===1，应选D．点评：此题考察两角和的正切公式的应用，把要求的式子变为tan[〔α﹣〕+〔+β〕]，是解题的关键．8．〔4分〕{an}是等比数列，〔a6+a10〕〔a4+a8〕=49，那么a5+a9等于〔〕A．7B．±7C．14D．不确定考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式用“a5+a9〞表示：〔a6+a10〕〔a4+a8〕=49，再求值即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，且q≠0，∵〔a6+a10〕〔a4+a8〕=49，∴〔a 5?q+a9?q 〕〔a5?+a9?〕=49，解得=49，那么a 5+a9=±7，应选：B ．点评：此题考察等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思题． 9．〔4分〕假设，那么sin α+cos α的值为〔〕 C ．D ． 考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；二倍弦． ：三角函数的求值． 分析：直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简条件，然后求解即可． 解答：解：∵， ∴， ∴sin α+cos α=． 应选：C ． 点评：此题考察两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，．10．〔4A1，A2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设=λ〔λ∈R 〕， =μ〔μ∈R 〕，且+=2，A3，A 4调和分割A1，A2，平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，那么下面说法正确的选项是〔〕 A ．可能AB 的中点 B ．可能AB 的中点 C ．C 、D 可能同时AB 上 D ．C 、D 不可能同时AB 的延长线上 考点：向量加减混合运算及其几何意义． ：新定义；平面向量及应用． 分析：由题A 〔0，0〕、B 〔1，0〕、C 〔c ，0〕、D 〔d ，0〕，结合条件+=2，根据题意程+=2的解的情况，用排除法选出正确的答案即可．解答：解：由A 〔0，0〕、B 〔1，0〕、C 〔c ，0〕、D 〔d ，0〕， 那么〔c ，0〕=λ〔1，0〕，〔d ，0〕=μ〔1，0〕， ∴λ=c ，μ=d ； 代入+=2，得+=2；〔*〕 假设C AB 的中点，那么c=，代入〔*〕得，d 不存在， ∴C 不可能AB 的中点，A 错误；同理B 错误； 假设C ，D 同时AB 上，那么0≤c ≤1，0≤d ≤1，代入〔*〕得，c=d=1，此时C 和D 点重合，与矛盾，∴C 错误． 假设C ，D 同时AB 的延长线上时，那么λ＞1．μ＞1，∴ 1 λ + 1 μ＜2，这与1λ+1μ=2矛盾；∴C 、D 不可能同时AB 的延长线上，D 正确． 应选：D ．点评：此题考察了新定义应用问题，解题时应正确理解新定义．二．填空题：本大题共5个小题，每题4分，共20分． 11．〔4分〕数列{a n a1=0，an+1=an+1，那么a2021=2021．． 考点：数列递推式． ：等差数列与等比数列． 分析：由可得数列{a n }是以0为首项，以1为公差的等差数列，直接由等差数列的通项 公式得答案． 解答：解：由an+1=an+1，得an+1﹣a n=1， 又a 1=0， ∴数列{a n }是以0为首项，以1为公差的等差数列， ∴a2021=0+1×=2021． 故答案为：2021． 点评：此题考察了数列递推式，考察了12．〔4分〕||=3，||=2，与的夹角为60°，那么|2+|=2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把条件代入向量的模长公式，计算可得．解答：解：∵||=3，||=2，与的夹角为60°，∴|2+|====2故答案为：点评：此题考察平面向量的数量积与夹角，涉及模长公式，属根底题．13．〔4分〕正三棱柱底面边长是2，外接球的外表积是16π，那么该三棱柱的侧棱长．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三棱柱外接球的外表积是16π，求出该球的半径R=2，根据正三棱柱底面边长是2，可得底面三角形的外接圆半径，从而可求三棱柱的侧棱长．解答：解：∵该三棱柱外接球的外表积是16π，2∴4πR=16π，∴该球的半径R=2，又正三棱柱底面边长是2，∴底面三角形的外接圆半径，∴该三棱柱的侧棱长是．故答案为：．点评：此题主要考察空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．14．〔4分〕为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C，D，在某时刻观察到该航船在A处，此时测得∠ADC=30°，3分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，那么船速为千米/分钟．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；作图题；解三角形．分析：首先作出其简图，再利用直角三角形，正余弦定理求解边长，从而求速度．解答：解：如图：在Rt△BDC中，BC=，在△ACD中，∠CAD=180°﹣30°﹣45°﹣60°=45°，那么由正弦定理可得，AC=CD?=，那么在△ACB中，由余弦定理可得，AB 2=AC2+BC2﹣2AC?BC?COS60°=+2﹣2×××=，所以，AB=，那么船速v==〔千米/分钟〕，故答案为：．点评：此题考察了学生的作图能力及对正、余弦定理的熟练应用能力，属于中档题．15．〔4分〕如图，设α∈〔0，π〕，且α≠．当∠xoy=α时，定义平面坐标系xoy 为α﹣仿射 坐标系，在α﹣仿射坐标系中，点P 的斜坐定义：分别为与x 轴、y 轴 正向一样的单位向量假设=x +=〔x ，y 〕，那么在以下的结论中，正确的 有①③⑤．〔填上所有正确结论〕 设=〔m ，n 〕、=〔s ，t 〕，假设m=s ，n=t ； ②设=〔m ，n ||=； ③设=〔m ，n 〕、=〔s ，t 〕，假设mt ﹣ns=0； ④设=〔m ，n 〕、=〔s ，t 〕，假设ms+nt=0； ⑤设=〔1，2〕、=〔2，1〕，假设与的夹α=． 考点：进展简单的理． ：综合题；平面向量． 分析：把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论证得出结论． 解答：解①正确； ||=|m +n |=，∵α≠，∴； 由∥得=λ，∴s=λm ，t=λn ，∴mt ﹣ns=0，故③正确； ∵=〔m+n 〕?〔s+t 〕=ms+nt+〔mt+ns 〕cos α≠ms+nt ，∴④错误； 根据夹角公式得4+5?=〔5+4?〕c o s ，故?=﹣，即c o s α=α=⑤正确 所以正确的选项是①、③、⑤． 点评：此题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与的向系 的关键，属根底题． 三．解答题本4小40分．解容许写出文字说明、证明过 16．〔10分〕设向量=〔sinx ，sinx 〕，=〔cosx ，sinx 〕，x ∈〔0，〕．〔1〕假设||=||，求x 的值；〔2〕设函数f 〔x 〕=，求f 〔x 〕的最大值．考点：平面向量数量积的运算． ：三角函数的图像与性质．分析：〔1〕根据||=||，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求x 的值；〔2〕利用数量积的定义求出函数f 〔x 〕=的表达式，利用三角函数的图象和性质求f 〔x 〕 的最大值．22解答：解：〔1〕由|a| =〔sinx 〕+〔sinx 〕 222|b|=〔cosx 〕+〔sinx 〕=1．2及|a|=|b|，得4sin x=1． 22 =4sin x ，又x ∈〔0，〕， 从而sinx=， ∴x=．2〔2〕f 〔x 〕==sinx?cosx+sinx=sin2x ﹣c os2x+=sin 〔2x ﹣〕+，当x=∈〔0，〕时，sin 〔2x ﹣〕取最大值1． ∴f 〔x 〕的最大值为．点评：此题主要考察空间向量的坐标公式的应用，以及三角函数的图象和性质，利用数量 积的坐标公式求出函数f 〔x 〕是解决此． 17．〔10分〕在△A B C 中，角B 为锐角A 、，，且向量共线． 〔1〕求角B 的大小； 〔2〕如果b=1，且，求a+c 的值． 考点：余弦定理；平行向量与共线向量；同角三角函数根本关系的运用． 专题：计算题． 分析：〔1〕利用两个向量共线的性质求出tan2B 的值，结合B 的X 围，求出2B 的大小， 可得B 的值． 〔2〕根据三角形的面积求出，由余弦定理得，求出a+c 的值．解答：解：〔1〕由向量，共线有：2sin〔A+C〕[2]=cos2B，∴tan2B=．又0＜B＜，∴0＜2B＜π，∴2B=，B=．〔2〕由，得，222由余弦定理得b﹣2accosB，得，故．=a+c点评：此题考察两个向量共线的性质，余弦定理的应用，求出角B是解题的难点．18．〔10分〕如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．〔1〕求证：AM⊥平面EBC；〔2〕求二面角A﹣EB﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间角；空间向量及应用．分析：〔1〕利用线面垂直的判定定理证明．〔2〕建立空间直角坐标，利用向量法求二面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如下图的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，那么A〔0，0，0〕，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，E〔0，0，2〕，∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M〔0，1，1〕．〔1〕，，，∴∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．〔2〕设平面EBC的法向量为，那么且，∴．∴，取x =． 又∵为平面EBC 的一个法向量，且〕， ∴，设二面C 的平面角为，∴二面角A ﹣E B ﹣C 等60°． 点评：此题主要考察线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的大小，运大．19．〔10分〕等差数列{an}的首项a1=1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别 是等比数列{b n }的第二、三、四项． 〔1〕求数列{a n }与{bn}的通项公式； 〔2〕令数列{cn}满足：cn=，求数列{cn}的前101项之和T101； * 〔3〕设数列{c n}n ∈N ，均有++⋯+=a n+1成立，求c 1+c2+⋯+c 2021的值． 考点：数列的求和． ：计算题； 2 分析：〔1〕由可得：〔a 1+d 〕〔a1+13d 〕=〔a1+4d 〕 〔d0＞〕， 解得d ，a 1，代入等差数列的通项公式可求a n ，进而可求b 2=3，b3=9，q=3，b1=1，bn=3 n ﹣1〔2〕运用分组求和，分别用等差数列、等比数列的前n 项和代入可求数列{C n }的前101项的 和 〔3〕由两式相减可得cn ，然后代入等比数列的求和公式可求c1+c2+⋯+c2021的值．2解答：解：〔1〕由题意得：〔a 1+d 〕〔a1+13d 〕=〔a1+4d 〕〔d ＞0〕n ﹣1解得d=2，∴an=2n ﹣1．∴b2=a2=3，b3=a5=9∴bn=3 〔2〕∵a 101=201，b2=3∴T 101=〔a1+a3⋯+a 101〕+〔b 2+b4+⋯+b 100〕 =+=5151+〔3〕当n ≥2时，由=++⋯+﹣〔++⋯+〕=a n+1﹣a n =2n1得cn=2bn=2?3﹣， 当n=1时，=a2=3，c1=3．故c n =220212021故c 1+c2+⋯+c2021=3+2×3+2×3++2×3=3 ．点评：此题是数列的综合试题，综合考察了由根本量求等差数列、等比数项公式、求和公式，的求解，分组求和及由和求项的方法，．。

2014初升高数学测试题(含答案) 绵阳南山中学（实验学校）2014 年自主招生考试数学试题本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共 6 页，答题卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用 0．5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号； 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效； 3．非选择题（主观题）用 0．5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用 2B 铅笔或 0．5 毫米黑色签字笔； 4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．第一卷（选择题，共 36 分）一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（（A）a ?a ? a2 3 6）（C）(a3b)2 ? a6b2 （D）a 2 ? a3 ? a(a ? 0)（B）(x ? y)2 ? x2 ? y 22．方程组 ??| x ? 1|? 42 ?x ? 2x ? 3的解是（）（A）－1 （B）3 （C）－1 或 3 （D）－5 或 3 3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N 表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）（A）P 区域（B）Q 区域（C）M 区域（D）N 区域 N M 4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段 P 时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像 Q 是（）距学校的距离距学校的距离距学校的距离距学校的距离①第3题图②O（A）时间 O（B ）时间 O（C）时间O（D）时间5．南山中学高一年级有四名学生 A、B、C、D 参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 1 页共 12 页的选举，已知候选人 D 得票比 B 得票多，候选人 A、B 得票之和超过 C、D 得票之和，候选人 A、 C 得票之和与 B、D 得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为（）（A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C 6．南山中学数学建模小组的同学们在研究 15、 12、10 这三个数的倒数时发现：1 1 1 1 ? ? ? ， 12 15 10 12他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若 x、y、2 （x、y 均为正整数）是一组调和数，则 x、y 的值（）（A）有一组（B）有两组（C）有三组（D）有无数组 7．如下图所示，在 Rt△ABC 中，AC=3，BC=4，D 为斜边 AB 上一动点，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为 E、F，当线段 EF 最小时，cos ?EFD 的值等于（）（A）3 5（B）4 5B D E（C）D3 4F C（D）7 4EAF C 第7题图A第8题图B8．如上图所示，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且使得△AEF 为等边三角形，则△AEF 与梯形 ABCF 的面积之比为（）（A） 3 ? 1 （B）3 2（C）2 3（D） 4 ? 2 32 9．已知函数 y ? x ， y ? x 和 y ?1 在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论： x1 ? a ? a2 ，那么 0 ? a ? 1 ； a 1 2 ②如果 a ? a ? ，那么 a ? 1 ； a1 2 ③如果 ? a ? a ，那么 ? 1 ? a ? 0 ； a 1 2 ④如果 a ? ? a 时，那么a ? ?1 ． a①如果则其中正确结论的序号为（）（A）①④（B）②③（C）①②③（D）①②④绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 2 页共 12 页y=x2y y=x y= O 1 x x入口第9题图123 4 第1 0题图5610．上右图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个出口中的一个．下列判断：①六个出口的出水量相同；②2 号出口的出水量与 5 号出口的出水量相同；③1，2，3 号出水口的出水量之比约为 1∶5∶10；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的 16 倍．其中，正确的判断个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 11．如下图所示，在 Rt△ABC 中，∠A=2∠B，CD 为∠C 的内角平分线，若 AD=2，则 CD 等于（）（A） 2 3 （B） 3 （C） 2 6 （D） 6CA E DBD 第11题图ABO 第12题图C12．如上图所示，点 A、 D 在以 BC 为直径的半圆上， D 是弧 AC 的中点，AC 与 BD 交于点 E．若 AE=3，CD= 2 5 ，则 BC 等于（（A）6 （B）8 ）（C）10 （D）12绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 3 页共 12 页第二卷（非选择题，共 114 分）二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个 x”到“结果是否&gt;10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则 x 的取值范围是___________．输入 x ×3-2＞10 否是停止第13题图14．如下图所示，直线 l1、 l2、 l3、 l4 及 m1、 m2、 m 3、 m4 分别平行，且 S四边形ABCD =100, S四边形EFGH ? 20 ，则 S四边形PQRS =__________．l1 A P E Q B 第14题图 F H G R C S l2 l3 l4 D m4m3 m2m1第1 5题图15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为 1cm 的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为________________． 16．小明每天下午 5 点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提前 1 小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了 20 分钟到家．则小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸． 17．已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? a 2 ? 2a ? 2 ? x ? (m ? 1) ? 0 对任意的实数 a 均有实数根，则实数 m 的取值范围是____________． 18．如右图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，已知 ?DAC ? 60? ，边 CD 上有一点 S，满足DS AD ? ．线段 OC 上有一点 M，OS 与 MB 交于点 L，联结 CL、SM．给出以下结论： SC ACL①SM//BD 与 SM//CL 等价；CM AC ? ②若，则点 L 在 AD 的延长线上； MO AO SM 1 ? ，则 AD=DL；③若 CL 3④若DS M OCS?SCM ? k ，则方程 x2 ? 3kx ? 1 ? 0 无等根． S?BCMAB 第18题图其中，正确的结论有____________（填所有正确结论的序号）．绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 4 页共 12 页三．解答题（本大题共 7 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）解答下列各题：（1）计算： ( )?1 ? | sin30? ? 1| ?( ? 1)106 ? 3 8 ? (2014 ? ? )0 ；1 320142 ? 1 2013 20142 ? 2014 ? 2 ? ? （2）计算：． 20142 ? 4028+1 2015 201620．（本小题满分 12 分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都能售出 A、B 两种款式的服装合计 30 件，并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装，甲店铺获利润分别为 30 元和 40 元，乙店铺获利润分别为 27 元和 36 元．某日，唐老板进 A 款式服装 35 件， B 款式服装 25 件，怎样分配给每个店铺各 30 件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于 950 元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？ 21．（本小题满分 12 分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“南山”的概率 P1；（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“南山”的概率为 P2，指出 P1，P2 的大小，并证明你的结论． 22．（本小题满分 12 分）如右图所示，已知点 A（4，0），点 By D A C O B xk 在 y 轴上，经过 A、 B 两点的直线与反比例函数 y ? ( k ? ?1) 在 x第四象限的图像只有一个公共点．又一次函数 y ? x ? 2k 的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D 两点．当四边形 ABCD 的面积最小时，求 k 的值及面积的最小值．23．（本小题满分 12 分）如右图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，多边形OABCDE 的顶点分别为 O（0，0），A（0，6），B（4， 6），C（4，4），D （6，4），E（6，0）．已知直线 l 经过点 M，分别与边 OA、DE 相交，且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分．第22题图y A B C D11 （Ⅰ）若点 M (0, ) ，求直线 l 的函数表达式； 3（Ⅱ）是否存在一点 M，使得过点 M 有无数条直线 l 将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分？若存在，求出 M 的坐标；否则，说明理由．O绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 5 页共 12 页第23题图Ex24．（本小题满分 12 分）如下图所示， O1 与O2 外切于点 O，直线 l 分别与 O1 、 O2 外切于点 A、B，分别与 x 轴、y 轴交于点 M (2 3,0) 、 C (0, 2) ．（Ⅰ）求O1 的半径长；（Ⅱ）在直线 l 上找一点 P，使得 ?MO1P 与 ?MOB 相似，并求出点 P 的坐标．l Ay C B O1 O O2 M x第24题图25．（本小题满分 14 分）如下图所示，过 y 轴上一点 M（0，1）作直线与二次函数 y ?1 2 x 的图 4像交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足为 C、D，直线 l 过点 M 关于原点 O 的对称点 N，且与 y 轴垂直．过点 A 作 l 的垂线，垂足为E．（Ⅰ）当 A 点的横坐标是－1 时，证明 AM=AE；（Ⅱ）当直线 AB 变化时（点 A 与点 O 不重合），求 OC ? OD ? AC ? BD 的值；（Ⅲ）当直线 AB 变化时（点 A 与点 O 不重合），试判断直线 l 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．y D M A O E N 第25题图 l C xB绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 6 页共 12 页绵阳南山中学（实验学校）2014 年自主招生考试数学参考答案及评分标准一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D B A D A C D C 1．C．显然 (a3b)2 ? a6b2 正确，故选择 C． 2．B． ??| x ? 1|? 42? x ? 1 ? 4或x ? 1 ? ?4 ? x ? ?5或x ? 3 ?? ?? ? x ? 3 ，故选择 B． ? x ? ?1或x ? 3 ? x ? 2 x ? 3 ?( x ? 3)( x ? 1) ? 03．B．显然 P、N 区域只能给看到一面，M 区域只能看到两面，Q 区域可以看到三面，故选择 B． 4．C．开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减．途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择 C．?d ? b ? 5．D．用 a、b、c、d 依次表示 A、B、C、D 的得票，由条件可得 ? a ?b ?c ?d ，于是 ?a ? c ? b ? d ? (b ? d ? c) ? b ? c ? d ,?b ? c ，a ?b ? (b ? d ? a) ? d ,? a ? d ，于是 a ? d &gt;b ?c ，故选择 D． 2 21 1 2y 6．B．由已知得 ? ? ? x ? ．当 y=1 时， x ? （舍去）；当 y=2 时，x ? 2 ；当 y=3 3 y x 2 4? y 时， x ? 6 ，所以 x、y 的值有两组，故选择 B． 7．A．由EF ? CD ，于是当 CD 与 AB 垂直时，EF 最小． 3 此时 ?EFD ? ?CDF ? ?BDE ? ?BAC ，于是 cos ?EFD ? cos ?BAC ? ，故选择 A． 5 8．D．令 BE ? x ，则 AE ? AF ? EF ? 1 ? x 2 ,? DF ? x, CF ? CE ? 1 ? x(0 ? x ? 1) ．由 EF ? CF ? CE 得： 1 ? x2 ? 2(1 ? x)2 ,? x ? 2 ? 3 ．2 2 23 (1 ? x 2 ) S?AEF 于是 ?4 ? 4 ? 2 3 ，故选择 D． 2? x S梯形ABCF 2 11 2 2 9．A．由图像知，当 0 ? a ? 1 时， ? a ? a 成立，当 a ? 1 时， a ?a ? ，当 ? 1 ? a ? 0 a a 1 1 2 2 时， a ? a ? ，当 a ? ?1 时， a ? ? a ，故选择 A． a a 1 5 10 10 5 1 , , , , , ， 10．C．若进水量为 1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为： 32 32 32 32 32 32于是②③正确．水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三角形，流经最上面的三角形的水量为 1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为1 ， 16于是④正确．故选择 C． 11．D．如图，令 AB 边的高线为 CF，在 CB 上作一点 E，使得 CA=CE，联结 DE，则△CAD≌绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 7 页共 12 页△CED，所以 ?CED ? ?CAD ? 2?B ,??BDE ? ?B ,? BE ? DE ? AD ? 2 ．过 E 作EG⊥BD 交 BD 于 G，由 ?ABC ? 30? 得 EG=1，于是 BG ? GD ? 3, ? AB ? 2 ?2 3, CA ? 1 ?3 ．在△ACF 中可得 CF ?E B G DF 第11题图 A C3? 3 1? 3 3? 3 ，? FD ? ． , AF ? 2 2 2在△CDF 中可得 CD ? CF 2 ? DF 2 ? 6 ，故选择 D． 12．C．如图，延长 BA、CD 交于点 F．由条件可得 BD 是等腰△BCF 的角平分线，可得 CD ? AD ? DE ?2 5 ．由 ?CDE ∽ ?CAF 得A EB O 第12题图C F DCE CD CE 2 5 ? ? ? ,?CE ? 5, ? AF ? CF 2 ? CA2 ? 4 ． CF CA 4 5 CE ? 3 2 2 BC ? AB ? CA2 ? ( BF ? AF )2 ? CA2 ， BC 2 ? (BC ? 4)2 ? 82 ,? BC ?10 ，故选择 C．二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13 14 15 16 17 18 题号4 3 ? x ? 2 60 ①②③ 15cm 50 m ? ? 3 4 13．第一次运行的结果为 3 x ? 2 ，第二次运行的结果为 3(3x ? 2) ? 2 ? 9x ? 8 ，第三次运行的结 ?9x ? 8 ? 10 4 果为 3(9x ? 8) ? 2 ? 27 x ? 26 ．由条件得 ? ,? ? x ? 2 ． ?27 x ? 26 ?10 3 14．由图可知： S四边形ABCD =S四边形EFGH ? 2(S四边形PQRS ? 20), ? S四边形PQRS ? 60 ． 15 ．圆锥底面周长 2? 等于扇形的弧长，于是可得扇形的半径等于 4cm ，于是圆锥的高为答案42 ?12 cm ? 15cm ．16．由已知得，爸爸从接到他的位置 A 处开车到达学校 B，则往返 AB 段开车用时为 20 分钟，单程 AB 段开车用时 10 分钟，于是小明步行了 50 分钟． 17．由条件得 ? ? a ? 2a ? 2 ? 4(m ? 1) ? 0 对任意的实数 a 恒成立，2即 (a ? 1) ? (4m ? 3) ? 0,? 4m ? 3 ? 0,? m ? ?23 ． 4DS AD ? 知 AS 为 ?DAC 的角平分线． SC AC 由 ?DAC ? 60? 及 OA=OD，知 ?DAO 为正三角形，有 AD=AO．又由 AS 平分 ?DAC ，知 ?ASO≌ ?ASD ? ?ASL? ? ?ASC ? ?ASO ≌ ?ASC ．又 ?DAC ? 60? ，则 ?ACL? 为正三18．设 OS 与 AD 交于点 L? ．由角形，且 S 为其中心．设 BM 与 AD 的延长线交于 L?? ．注意到 SM / / BD ?CM CS AC AC CM 1 BM BC 1 ? ? ? ?2? ? ? ? ? MO SD AD AO AM 2 ML?? AL?? 2 ? DL?? ? AD ? ?ACL??为正三角形．第 8 页共 12 页绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）故 SM / / BD ? 点L?与点L??重合 ? 点L在AD的延长线上 ? S 为正?ACL的中心OS OM 1 SM 1 ? ? ? SM / / CL, 且 ? ，因此①②③正确． SL MC 2 CL 3 S S S S SC CM OC SC AC 2 注意到 ?SCM ? ?SCM ? ?OCD ? ?OCB ? ? ? ? ? ? ?k，S?BCM S?OCD S?OCB S?BCM CD OC CM CD AC ? AD 3 ?则方程 x ? 3kx ? 1 ? 0 有等根 1．综上，正确的结论有①②③．三．解答题（本大题共 7 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）219．（1）原式= 3? |1 1 1 1 ? 1| ?1 ?2 ? 1 ?3 ? ? 2 ? 1 ? ? ．???????????????8 分 2 2 2 2a2 ?1 a ?1 a2 ? a ? 2 ? ? （2）令 a ? 2014 ，则原式 ? 2 a ? 2a +1 a ? 1 a?2 (a ? 1)(a ? 1) a ? 1 (a ? 1)(a ? 2) ? ? ? ? 1 ? (a ? 1) ? a ?2014 ．???????????8 分 (a ? 1)2 a ?1 a?220．分配给甲店铺 A 款式服装 x 件（x 取整数，且 5≤x≤30），则分配给甲 B 款式服装 30－x 件． ?????????????????????????2 分分配给乙店铺 A 款式服装 35－x 件，分配给乙 B 款式服装[25－（30－x）]=x－5 件．???????????????????4 分甲店铺的利润为 y 甲，则有 y甲 ? 30x ? 40(30 ? x) ? 1200 ?10 x ，???????????6 分乙店铺的利润为 y 乙，则有 y乙 ? 27(35 ? x) ? 36( x ? 5) ? 9 x ? 765 ，??????????8 分于是总利润 y总 ? y甲 ? y 乙 ? (1200 ?10 x) ? (9 x ? 765) ? ? x ? 1965 ．由条件得 y乙 ? 9x ? 765 ? 950 ，解得 x ? 205 ．??????????????????10 分 9对于 y总 ? ? x ? 1965 随着 x 的增大而减小，要使 y 总最大，则 x 必须最小．又 x ? 205 ，故取 x=21，即分配给甲店铺 A、B 两种款式服装 21 件与 9 件，分配给乙店铺 A、B 9两种款式服装 14 件与 16 件．此时，既保证乙店铺获利润不小于 950 元，又保证了在此前提下，唐老板获取的总利润最大，最大利润是 y总 ? ?21 ? 1965 ? 1944 元．?????????12 分 21．（Ⅰ）任取一球，共有 6 种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率 P ? （Ⅱ）由题知树状图如下：百年经典南山典百年经南山年百经典南山南百年经典山经百年典南山山百年经典南1 ?????3 分 6?????????????????5 分 4 2 共有 30 种不同取法，能满足要求的有 4 种，所以 P ? ．????????????7 分 1 ? 30 15 （Ⅲ）P1&gt;P2 ．?????????????????????????????????8 分各种情况列表如下：绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 9 页共 12 页典南山典百南百山百典年南年山年经典南经山经典典南典山典典南南南南山典出南出山山 4 1 一共有 36 种结果，满足要求的结果有 4 种，于是 P2 ? ? ，所以 P 1 &gt;P 2 ．??????12 分 36 9 22．经过点 A（4，0）的直线的函数表达式令为 y ? m( x ? 4)(m ? 0) ，?????????1 分百年经典南山百百百百年百经百典百南百山年百年年年年经年典年南年山经经百经年经经经典经南经出k ? ?y ? 2 由? 可得： mx ? 4mx ? k ? 0 ．????????????????????3 分 x ? ? y ? m( x ? 4)因为直线与反比例函数图像只有一个公共点，于是 ? ? 16m ? 4mk ? 0,?k ? ?4m ．??????????????????????5 分易得 C (2k ,0), D(0, ?2k ), B(0, k ) ，可得 AC ? 4 ? 2k , BD ? ?3k ．??????????7 分21 1 BD ? AC ? (?3k )(4 ? 2k ) ? 3k (k ? 2)2 2 2 2 ? 3k ? 6k ? 3(k ?1) ? 3(k ? ?1) ．???????????????????????10 分于是当 k ? ?1 时， S四边形ABCD 有最小值，最小值等于 9．???????????????12 分于是 S四边形ABCD ? 23．（Ⅰ）如图 1，延长 BC 交 x 轴于 F，联结 OB、AF 交于 P，联结 DF、CE 交于 Q．易知 P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心，过 P 的直线将矩形 OABF 的面积平分，过 Q 的直线将矩形 CDEF 的面积平分，于是直线 PQ 将多边形 OABCDE 的面积平分．?????2 分y A G P O B C D H xy A M B C D H O E xy A G G1 O P M Q F E 第23题解答图3 B C D H1 H xQF E 第23题解答图1第23题解答图21 11 x ? ．?????????????????????4 分 3 3 11 1 11 显然 M (0, ) 在 y ? ? x ? 上，且 M 不是 GH 的中点， 3 3 3 1 11 故直线 l 的函数表达式为 y ? ? x ? ．?????????????????????5 分 3 3 11 11 另解如图 2，令过 M (0, ) 的直线的表达式为 y ? kx ? ，与 DE 交于点 H， 3 3 11 则 H 的坐标为 (6,6k ? ) ，???????????????????????????1 分 3直线 PQ 的函数表达式为 y ? ?绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 10 页共 12 页11 11 ( ? 6k ? ) ? 6 3 则 S梯形OMHE ? 3 ? 18k ? 22 ．???????????????????3 分 2 而 S多边形OABCDE ? 6 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 ． ????????????????????????4 分 1 1 11 由题意得 18k ? 22 ? 16, ? k ? ? ，于是直线 l 的表达式为 y ? ? x ? ．???????5 分 3 3 3 1 11 （Ⅱ）如图 3，由（Ⅰ）知直由线 l 的函数表达式为 y ? ? x ? ， 3 3 11 5 可得 G (0, ), H(6, ) ．?????????????????????????????6 分 3 3 8 令 M 为 GH 的中点，则 M 的坐标为 (3, ) ，此即为满足条件的点 M．?????????8 分 3证明如下：另取一条过点 M (3, ) 的直线分别与 OA、DE 交于 G1、H1 ．注意到线段 G1 H1 的中点也为 M (3, ) ，则 S?MGG ? S?MHH ? S四边形OG H E 1 11 18 38 3 ? S多边形AG1H1DCB ，故 G1 H1 也是满足条件的直线．???10 分 8 3由 G1 H1 的任意性，知满足条件的直线有无数条．故存在满足条件的点 M，其坐标为 (3, ) ．????????????????????12 分 24．（Ⅰ）如图 1，易知 tan ?AMO2 ? 令2 2 3?3 ,??AMO2 ? 30? ．?????????2 分 3O1 与 O2 的半径分别是 R 与 r，则PMO1 ? 2R, MO2 ? 2r,由2R ? R ? r ? 2r, 得R ? 3r ? 2 3 ，故 O1 的半径 R ?2 3 ．??5 分l A y C B O1 O O2 M xH O1 O l A y C(P) B O2 M x第24题解答图1第24题解答图2?BO2 M ? 60? ,??OO2 B ? 120?,??BOO2 ? 30? ? ?O2 MB ，于是得 ?MOB 是等腰三角形，且 ?BOM ? 30? ．若存在满足条件的点 P，则 ?MO1P ? 30? 或 ?MPO1 ? 30? ．?????????????7 分如图 2，当 ?MO1P ? 30? 时，由 ?MO1C ? 30? 知，点 P 与点 C 重合，此时， P(0,2) ．????????????????????????9 分当 ?MPO1 ? 30? 时，作 PH⊥x 轴于点 H，则 Rt△PO1A≌Rt△PO1H，（Ⅱ）绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 11 页共 12 页于是 O1H ? O1 A ? 2 3 ，故点 P( ? 4 3,6) ．综上，所求点 P 的坐标是 P(0,2) 或 P( ? 4 3,6) ．?????????????????12 分1 1 5 ），又 M（0，1），于是 AE ? ? 1 ? ．????????1 分 4 4 4 12 9 52 2 2 在 Rt△ACM 中， AM ? AC ? MC ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? ? ， 4 16 4 5 于是 AM ? AE ? ，结论得证．?????????????????????????3 分4 （Ⅱ）令A( xA ,yA ), B( xB ,yB ) ，令直线 AB 的函数表达式为 y ? kx ? 1 ，25．（Ⅰ）由已知得 A（－1，1 2 ? ?y ? x 2 由? 可得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ．???????????????????????5 分 4 ? ? y ? kx ? 1 此方程之两根为 A、B 两点的横坐标 xA、xB ，且 xA xB ? ?4 ， xA ? xB ? 4k ．??????????????????????????6 分又 OC ? OD ? AC ? BD ? y A yB ? x A xB ?1 ( x A xB )2 ? x A xB ? 1 ? 4 ? 5 ．?8 分 16（Ⅲ）如图，令 AB 的中点为 P，过 P、 B 作直线 l 的垂线，垂足分别为Q、 F，则 PQ 为梯形 AEFB 的中位线，由（Ⅱ）知 xA xB ? ?4 ，xA ? xB ? 4k ，且 yA ? kxA ? 1, yB ? kxB ? 1 ． AE ? BF ( y A ? 1) ? ( yB ?1) ? 于是 PQ ? 2 2 y ? yB k (x A ? xB ) ? A ?1 ? ? 2 ? 2(k 2 ? 1) ．??????10 分 2 2在 Rt△ACM 中可得：Ay D M C O E N l Q F 第25题解答图 x PBAM ? AC 2 ? MC 2 ? xA2 ? (1 ? y A )2 ? xA 2 ? k 2 xA2 ? ? xA ? 1 ? k 2 ，?????11 分2 于是 AB ? AM ? BM ? 1 ? k ? ( xB ? x A ) ，2 同理，在 Rt△BDM 中可得： BM ? xB ? 1 ? k ． ????????????????12 分所以 AB ? (1 ? k )[( xA ? xB ) ? 4xA xB ] ? (1 ? k )(16k ?16),? AB ? 4(1 ? k ) ，???13 分2 2 2 2 2 2所以 PQ ?1 AB,又PQ ? l ，于是以 AB 为直径的圆与直线 l 相切．??????????14 分 2绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 12 页共 12 页。

绵阳南山中学（实验学校）2014级自主招生考试模拟试题（二）理科综合本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至5页第Ⅱ卷6至10页即答题卷。

（考试时间120分钟，满分200分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Mg 24K 39 Cl 35.5 Ca 40第Ⅰ卷（选择题，共81分）一、单项选择题（每小题只有一个选项最符合题意。

每小题3分，共66分）1．下列变化属于化学变化的是( )A．纸张着火 B．利用风力进行发电C．夏天将西瓜榨成西瓜汁D．分离液态空气的方法制取液氧2．2011年为“国际化学年”，其主题是“化学我们的生活我们的未来”。

下列对化学学科的认识错误的是( )A．化学学科的发展对人类物质文明的进步有着重要作用B．化学学科主要是在微观层面上研究物质的一门以实验为基础的自然科学C．化学学科肩负着开发和研究新材料、新能源等领域的重要责任D．我们应该珍爱生命，化学学科是研究、接触有毒有害物质，我们应该远离化学3．食品安全与人体健康密切相关。

下列做法不会损坏人体健康的是( )A．用甲醛水溶液浸泡水产品B．用含碳酸氢钠的发酵粉焙制糕点C．用霉变花生压榨花生油D．用含亚硝酸钠的工业用盐腌制食品4．当今世界倡导节约资源能源和利用清洁能源，减少二氧化碳的排放，发展低碳经济，促进经济社会可持续发展。

下列措施：①少用煤作燃料；②少用私家车、多乘公交车或骑自行车；③节约用水用电、选用节能环保家电；④开发新能源。

其中符合这一主题的有效措施是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．通过实验可以得出的结论，其中实验结论正确的是( )①②③④⑤①既可说明甲烷具有可燃性，又说明了甲烷是由氢元素和碳元素组成②既可说明二氧化碳的密度比空气大，又说明了二氧化碳不能燃烧也不支持燃烧③既可说明水是由氢、氧元素组成，又说明了水分子中氢原子和氧原子个数之比为2∶1④既可探究可燃物的燃烧条件，又说明了白磷的着火点比红磷低⑤既可说明二氧化碳易溶于水，又说明了二氧化碳具有酸性A．①②③④B．②③④⑤C．②③④D．①②③④⑤6．下列对金属和金属材料的认识中，错误．．的是( )A．生铁和钢的性能完全相同B．铁粉作双吸剂和铁生锈的原理相同C．赤铁矿的主要成分是Fe2O3D．回收废旧金属有利于节约金属资源7．根据下表中相关信息，判断出的元素名称不一定合理的( )8．在pH值为1的稀盐酸溶液中加入下列固体各2g，pH值变化最小( )A．硝酸银B．碳酸钠C．氢氧化钠D．氧化铜9．推理是化学学习中常用的思维方法。

2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地）1．（3分）下列计算正确地是（）A．3x﹣2x=1 B．x•x=x2C．2x+2x=2x2D．（﹣a3）2=﹣a42．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c，OA=OC，下列关系中正确地是（）A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．+1=c3．（3分）如图，MN是圆柱底面地直径，MP是圆柱地高，在圆柱地侧面上，过点M，P有一条绕了四周地路径最短地金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得地侧面展开图可以是（）A． B． C．D．4．（3分）如图，矩形ABCD地对角线AC和BD相交于点O，过点O地直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分地面积为（）A．6 B．3 C．2 D．15．（3分）如图，正方形OABC，ADEF地顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E在函数y=（x＞0）地图象上，则点E地坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）6．（3分）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2地交点地横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2地解集．其中正确地个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（3分）如图，圆锥地母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形地圆心角α地度数为（）A．90°B．100°C．120° D．150°8．（3分）如图（1）是一个水平摆放地小正方体木块，图（2），（3）是由这样地小正方体木块叠放而成，按照这样地规律继续叠放下去，至第七个叠放地图形中，小正方体木块总数应是（）个．A．25 B．66 C．91 D．1209．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB地一部分与BC重合，A与BC延长线上地点D重合，则CE地长度为（）A．3 B．6 C．D．10．（3分）如图，点A，B，C，D为⊙O上地四个点，AC平分∠BAD，AC交BD 于点E，CE=4，CD=6，则AE地长为（）A．4 B．5 C．6 D．711．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点F在DC边上运动，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，设BE=y，AF=x，则能反映y与x之间函数关系地大致图象是（）A．B．C．D．12．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k ≠0）在同一直角坐标系中地图象如图所示，A点地坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确地是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应地横线上）13．（4分）一个函数地图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y=x2+bx﹣4是“偶函数”，该函数地图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP地面积是．14．（4分）如图，OA是⊙B地直径，OA=4，CD是⊙B地切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C地坐标为．15．（4分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：．根据这个规则，则方程2*x=9地解为．16．（4分）如图地两个圆盘中，指针落在每一个数上地机会均等，那么两个指针同时落在偶数上地概率等于．17．（4分）有理数a≠1，我们把称为a地差倒数，如：2地差倒数是，﹣1地差倒数是．如果，a2是a1地差倒数，a3是a2地差倒数，a4是a3地差倒数，…，依此类推，那么a2012=．18．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB地中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：①图形中全等地三角形只有两对；②△ABC地面积等于四边形CDOE面积地2倍；③CD+CE=OA；④AD2+BE2=2OP•OC．其中，正确结论地序号是．三.解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.19．（16分）解答下列各题：（1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．（2）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求x地值．20．（12分）绵阳市“创建文明城市”活动如火如荼地展开．南山中学为了搞好“创建”活动地宣传，校学生会就本校学生对绵阳“市情市况”地了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩地分析，得到如下图所示地两幅不完整地统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供地信息解答以下问题：（Ⅰ）求该校共有多少名学生；（Ⅱ）将条形统计图补充完整；（Ⅲ）在扇形统计图中，计算出“60﹣69分”部分所对应地圆心角地度数；（Ⅳ）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”地概率是多少？21．（12分）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点地坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=；（1）求双曲线和直线地解析式；（2）求△AOB地面积．22．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O地半径．23．（12分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC地高，用含x和k地代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间地数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF地面积S与x地函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S地最大值．24．（12分）已知点A、B分别是x轴、y轴上地动点，点C、D是某个函数图象上地点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象地“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象地其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它地图象地所有“伴侣正方形”地边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它地图象地“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m地值及反比例函数地解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它地图象地“伴侣正方形”为ABCD，C、D中地一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数地解析式．25．（14分）如图，已知抛物线地方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x 轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C地左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m地值；（2）在（1）地条件下，求△BCE地面积；（3）在（1）条件下，在抛物线地对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H地坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点地三角形与△BCE相似？若存在，求m地值；若不存在，请说明理由．2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地）1．（3分）下列计算正确地是（）A．3x﹣2x=1 B．x•x=x2C．2x+2x=2x2D．（﹣a3）2=﹣a4【解答】解：A、错误，应为3x﹣2x=x；B、x•x=x2，正确；C、错误，应为2x+2x=4x；D、错误，应为（﹣a3）2=a3×2=a6．故选B．2．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c，OA=OC，下列关系中正确地是（）A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．+1=c【解答】解：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点地坐标为（0，c），又因OC=OA，所以A（﹣c，0），把它代入y=ax2+bx+c，即ac2﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故本题选A．3．（3分）如图，MN是圆柱底面地直径，MP是圆柱地高，在圆柱地侧面上，过点M，P有一条绕了四周地路径最短地金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得地侧面展开图可以是（）A． B． C．D．【解答】解：根据两点之间线段最短，剪开后所得地侧面展开图中地金属丝是线段，且从P点开始到M点为止，故选：D．4．（3分）如图，矩形ABCD地对角线AC和BD相交于点O，过点O地直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分地面积为（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，∠EDB=∠CBD；∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB；∴S△BOF=S△DOE；∴S阴影=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△AOE+S△EOD+S△COD=S△ACD；∵S△ACD=AD•CD=3；∴S阴影=3；故选B．5．（3分）如图，正方形OABC，ADEF地顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E在函数y=（x＞0）地图象上，则点E地坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（k≠0）地图象上，∴点B地坐标为（1，1）．设点E地纵坐标为y，∴点E地横坐标为：1+y，∴y×（1+y）=1，即y2+y﹣1=0，即y==，∵y＞0，∴y=，∴点E地横坐标为1+=．故选A．6．（3分）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2地交点地横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2地解集．其中正确地个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由图象可知，a＞0，故①正确；b＞0，故②正确；当x＞﹣2是直线y=3x+b在直线y=ax﹣2地上方，即x＞﹣2是不等式3x+b＞ax ﹣2，故③正确．故选D．7．（3分）如图，圆锥地母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形地圆心角α地度数为（）A．90°B．100°C．120° D．150°【解答】解：∵底面半径CB=2，∴圆锥地底面圆地周长=2π•2=4π，∴4π=，∴α=120°．故选C．8．（3分）如图（1）是一个水平摆放地小正方体木块，图（2），（3）是由这样地小正方体木块叠放而成，按照这样地规律继续叠放下去，至第七个叠放地图形中，小正方体木块总数应是（）个．A．25 B．66 C．91 D．120【解答】解：根据题意可得知：图（1）中有1×1=1个小正方体；图（2）中有1×2+4×1=6个小正方体；图（3）中有1×3+4×2+4×1=15个小正方体；以此类推第七个叠放地图形中，小正方体木块总数应是91个．故选C．9．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB地一部分与BC重合，A与BC延长线上地点D重合，则CE地长度为（）A．3 B．6 C．D．【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴∠A=30°，∴AC=3，∠A=∠D=30°∴CE：DE=1：2，∵AE=DE，∴CE：AC=1：3，∴CE=．故选择D．10．（3分）如图，点A，B，C，D为⊙O上地四个点，AC平分∠BAD，AC交BD 于点E，CE=4，CD=6，则AE地长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∵∠ACD=∠ACD，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点F在DC边上运动，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，设BE=y，AF=x，则能反映y与x之间函数关系地大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知△ADF∽△BEA；∴=；∴xy=12，y=，为反比例函数，应从C，D里面进行选择．由于x最小应不＜AD，最大不超过BD，所以3≤x≤5．故选C．12．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k ≠0）在同一直角坐标系中地图象如图所示，A点地坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确地是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0【解答】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数地交点A地坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，∴b=2a．∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，∴b＞0．∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．故A选项错误；B、∵k＞0，b=2a，∴b+k＞b，即b+k＞2a，∴a=b+k不成立．故B选项错误；C、∵a＞0，b=2a，∴b＞a＞0．故C选项错误；D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣=﹣=﹣1时，y=﹣k＞﹣=﹣=﹣a，即k＜a，∵a＞0，k＞0，∴a＞k＞0．故D选项正确；故选：D．二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应地横线上）13．（4分）一个函数地图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y=x2+bx﹣4是“偶函数”，该函数地图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP地面积是8．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx﹣4是“偶函数”，∴﹣=0，解得b=0，所以，函数解析式为y=x2﹣4，令y=0，则x2﹣4=0，解得x 1=﹣2，x2=2，∴A（﹣2，0），B（2，0），∴AB=2﹣（﹣2）=4，令x=0，则y=﹣4，∴点P地坐标为（0，﹣4），∴△ABP地面积=×4×4=8．故答案为：8．14．（4分）如图，OA是⊙B地直径，OA=4，CD是⊙B地切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C地坐标为（6，0）．【解答】解：连接BD，∵∠DOC=30°，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4，∴OC=OB+BC=6，故点C地坐标为（6，0）．故答案是：（6，0）．15．（4分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：．根据这个规则，则方程2*x=9地解为x=﹣3或．【解答】解：由题意得：当x≤2时，2*x=x2=9，解得：x1=3（不合题意舍去），x2=﹣3，则x=﹣3，当x＞2时：2*x=x2+x=9，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），则x=，故答案为：x=﹣3或．16．（4分）如图地两个圆盘中，指针落在每一个数上地机会均等，那么两个指针同时落在偶数上地概率等于．【解答】解：列表如下：所有等可能地情况有25种，其中两个指针同时落在偶数上地情况有6种，则P=．故答案为：17．（4分）有理数a≠1，我们把称为a地差倒数，如：2地差倒数是，﹣1地差倒数是．如果，a2是a1地差倒数，a3是a2地差倒数，a4是a3地差倒数，…，依此类推，那么a2012=．【解答】解：a1=﹣，a2==，a 3==4，a4==﹣，…，依此类推，每三个数为一个循环组进行循环，∵2012÷3=670…2，∴第2012个数与第2个数相同，为．故答案为：．18．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB地中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：①图形中全等地三角形只有两对；②△ABC地面积等于四边形CDOE面积地2倍；③CD+CE=OA；④AD2+BE2=2OP•OC．其中，正确结论地序号是②③④．【解答】解：结论①错误．理由如下：图中全等地三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形地性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．结论②正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，=S△COE，∴S△AOD∴S=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，四边形CDOE即△ABC地面积等于四边形CDOE地面积地2倍．结论③正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论④正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴=，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确地结论是②③④．故答案为：②③④．三.解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.19．（16分）解答下列各题：（1）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．（2）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求x地值．【解答】（1）解不等式，得x≤3，解不等式1﹣3（x﹣1）＜8﹣x，得x＞﹣2．故原不等式组地解集是﹣2＜x≤3．在数轴上表示为：；（2）∵=ad﹣bc，∴=6，∴可以转化为（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（1﹣x）=6，即（x+1）2+（x﹣1）2=6，∴x2=2，即x=±．20．（12分）绵阳市“创建文明城市”活动如火如荼地展开．南山中学为了搞好“创建”活动地宣传，校学生会就本校学生对绵阳“市情市况”地了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩地分析，得到如下图所示地两幅不完整地统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供地信息解答以下问题：（Ⅰ）求该校共有多少名学生；（Ⅱ）将条形统计图补充完整；（Ⅲ）在扇形统计图中，计算出“60﹣69分”部分所对应地圆心角地度数；（Ⅳ）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”地概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）该学校地学生人数是：300÷30%=1000（人）．（Ⅱ）A类地人数是：1000×10%=100（人），D类地人数是：1000×35%=350（人）．条形统计图如图所示．（Ⅲ）在扇形统计图中，“60﹣69分”部分所对应地圆心角地度数是：360°×=72°．（Ⅳ）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”地概率是：5%．21．（12分）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点地坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=；（1）求双曲线和直线地解析式；（2）求△AOB地面积．【解答】解：（1）∵B在双曲线y=上，B点地坐标是（2，﹣3），∴k=﹣6，∴双曲线地解析式为：y=﹣．∵AC垂直y轴于点C，AC=，∴点C地横坐标为﹣，则纵坐标为4，设直线AB地解析式为y=kx+b，解得∴直线AB地解析式为y=﹣2x+1；（2）直线y=﹣2x+1与x轴地交点坐标为（，0），△AOB地面积=××4+××3=．22．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O地半径．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，∴BC=10，∴AB=BC=10，设⊙O 地半径为r，则AO=10﹣r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sinA===，∴r=，答：⊙O地半径是．23．（12分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC地高，用含x和k地代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间地数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF地面积S与x地函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S地最大值．【解答】（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×所以，S△PCE16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32．24．（12分）已知点A、B分别是x轴、y轴上地动点，点C、D是某个函数图象上地点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象地“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象地其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它地图象地所有“伴侣正方形”地边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它地图象地“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m地值及反比例函数地解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它地图象地“伴侣正方形”为ABCD，C、D中地一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数地解析式．【解答】解：（1）（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD地边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a=，解得a=，此时正方形地边长为．∴所求“伴侣正方形”地边长为或；（2）如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D地坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C地坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数地解析式为y=；（3）实际情况是抛物线开口向上地两种情况中，另一个点都在（3，4）地左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）地右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应地函数解析式是y=﹣x2+；b、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应地函数地解析式是y=x2+；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D地坐标是（7，﹣3）时，对应地函数解析式是y=﹣x2+；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D地坐标是（﹣4，7）时，对应地抛物线为y=x2+；故二次函数地解析式分别为：y=x2+或y=﹣x2+或y=﹣x2+或y=x2+．25．（14分）如图，已知抛物线地方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x 轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C地左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m地值；（2）在（1）地条件下，求△BCE地面积；（3）在（1）条件下，在抛物线地对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H地坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点地三角形与△BCE相似？若存在，求m地值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S=BC•OE=6．△BCE（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE地长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点地三角形与△BCE相似，m=+2．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。

一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x++-=，则1x x的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ） A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％ 8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且3θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C.82D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。

则x=-2/5.3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。

解析：用排除法。

不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。

所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。

4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。

在直角△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.5.在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是：①sinB<cosC；②sinA<XXX<2；④sinB+sinC<1.解析：A为钝角，则∠B+∠C<π/2.所以：①sinB<sin(π/2-∠C)=cosC；②sinA<sin(∠B+∠C)=XXX<sinB+sinC；③tanB+tanC=(sinB/cosB)+(sinC/cosC)<2；④sinB+sinC<1.故①②④正确。

2C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（ ）C 保密★启用前绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题3 3 A.B. O23BA数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .注意事项 :C. 3D.29. 若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x A. k1B.k 1 且 k 0 D1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )C. k1D.k 1 且 k 01. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）。

2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;A. 32 B. 5A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.C.3D.4PQBD E C（第 10 题）第 I 卷( 选择题, 共 36 分)11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0,3），△ OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O ′A ′B一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.－ 4 的倒数是（ ） A ． 4B ．－ 4C ． 14D ．－ 14点 A 的对应点在直线 y 9A.43x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（）4B. 3C. 4D. 52. 下列运算正确的是（） A . a 3a 32a3B . a3a3a6C . ( 2 x ) 36x 3D . a 6a2a 412．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限， 设 P= a b c ，则 P 的取值范围是（） .3.用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（ ）A ． 3.1 ×10-4B ． 3.1 ×10-5C ． 0.31 ×10-5D ．31×10-6A ． - 4＜ P ＜0B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2C ． - 2＜ P ＜ 0D ． - 1＜ P ＜04. 要使式子有意义，则 a 的取值范围为 ( )a二、填空题（每小题4 分，共 24 分）A. a2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 213．分解因式： 4ax12ax 9 a ＝．图 1216 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（）14：已知 22m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+2 =.Cm2x m 15. 已知关于x 的方程3 的解是正数，则 m 的取值范围为 ：.x 1AOBAB C D16. 在平面直角坐标系中，点O 是原点，点 B （ 0， 3），17 题图6. 如图，已知直线AB ∥ CD ， C 125°，点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线A 45°，那么 E 的大小为（ ） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，) ．A. 70°B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此C.90°D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，相似比为1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（）2半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分的面积是（结果保留）．18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，18 题A ． ( －2, 1)B. ( －8, 4)AM=MB=2cm ，QM=4cm 。