高中数学 (2.1.4 平面与平面之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修2

高二数学2.1.4《平面与平面之间的位置关系》导学案审核：高二数学组班级：组别：组名：姓名：一、学习目标:1.了解空间中平面与平面的位置关系；2.会用符号语言和图形语言表示平面与平面的位置关系；3.进一步培养学生的空间想象能力.二、重、难点重点:平面与平面的位置关系及画法难点:平面与平面的位置关系的判断三、学法指导: 通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。

四、知识链接：1.空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面2.空间直线与平面的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）线在面内3.异面直线：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

五、学习过程：问题1：拿出两个本子，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？问题2：观察长方体（如图），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？(1)两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：①两个平面平行：公共点②两个平面相交：一条公共直线(2)符号表示：①平面α与平面β平行，记作②平面α与平面β相交于直线l，记作（3）图形表示α∥β=αβl注意：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

探究1：已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?探究2：已知平面α,β,直线a,b,且αβ,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?小试牛刀已知下列说法：①若两个平面α∥β，βα⊂⊂ba,，则a∥b；②若两个平面α∥β，βα⊂⊂ba,，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，βα⊂⊂b a ,，则a 与b 一定不相交；④若两个平面α∥β，βα⊂⊂b a ,，则a 与b 平行或异面；⑤若两个平面=b,a αβα⊂，则a 与b 一定相交．其中正确的序号是 _③④ （将你认为正确的序号都填上）.六、达标检测：A1.若两个平面α∥β,直线a α⊂，则a β直线与平面的位置关系是___________A2.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________A3.平面αβ、的公共点多于2个，则（ ）A. αβ、可能只有3个公共点B. αβ、一定有无数个公共点C. αβ、可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上D.除选项A ，B ，C 外还有其他可能A4．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的位置关系是（ ）.A. 相交B. 平行C. 相交或平行B5、如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论B6.已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则直线l （ ）（A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交（C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交B7.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ）.A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交C8、两个平面把空间分为几部分?三个平面可以把空间分为几部分?解：(1)如图12,两个平面把空间分为3部分或4部分.(2)如图13,三个平面把空间分为4部分或6部分或7部分或8部分.七、课后反思。

平面与平面垂直（必修2 §2.3.2）一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比平面内角的概念，归纳导出“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会数学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：1、二面角的概念；2、平面与平面垂直的概念和判定；难点：二面角的平面角的作法。

三、学法与教学用具。

1、学法：实例观察思考，类比归纳总结，数学语言表达。

2、教学用具：多媒体演示四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（归结到平面角的问题去认识处理）以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，如书本所列举的修水坝、发射人造卫星等，除此以外，你还能举出这个问题的一些例子吗？并且这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知1、二面角的有关概念出示幻灯片（校园内的平面与平面所成角的实例），从平面中角的概念引出二面角及其相关的概念（半平面，棱）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“这个坡好陡”“南方和北方民居的屋脊存在很明显的区别”“将躺椅放平”等等，都是指二面角大小问题，那我们应如何衡量二两角的大小呢？想弄明白这个问题，必须得清楚为什么我们会产生这些大小的感觉，从什么角度去看这些角，大小最明显呢？（截面，视线顺着棱的方向）二面角大小的度量方法——二面角的平面角的相关概念的提出。

2.1.4 平面与平面之间的位置关系整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.三维目标1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.3.培养学生全面思考问题的能力.重点难点平面与平面的相交和平行.课时安排1课时教学过程复习1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.2.直线与平面的位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.导入新课思路1.(情境导入)拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做两个平面平行？②两个平面平行的画法.③回忆两个平面相交的依据.④什么叫做两个平面相交?⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.问题②怎样体现两个平面平行的特点.问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.问题④回忆公理三.问题⑤鼓励学生自我训练.讨论结果：①两个平面平行——没有公共点.②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.图2 图3③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.④两个平面相交——有一条公共直线.⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图4.图4应用示例思路1例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.图5例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.图6变式训练α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )A.α、β都平行于直线l、mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β分析：如图7,分别是A、B、C的反例.图7答案：D点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.思路2例1 α∩β=l,a ⊂α,b ⊂β,试判断直线a 、b 的位置关系,并画图表示.活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：如图8,直线a 、b 的位置关系是平行、相交、异面.图8变式训练α∩β=l,a ⊂α,b ⊂β,b∩β=P,试判断直线a 、b 的位置关系,并画图表示.解：如图9,直线a 、b 的位置关系是相交、异面.图9直线a 、b 不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明. 点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力. 例2 如图10，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ，图10（1）画出l 的位置；（2）设l∩A 1B 1=P ，求PB 1的长.解：（1）平面DMN 与平面AD 1的交线为DM ，则平面DMN 与平面A 1C 1的交线为QN.QN 即为所求作的直线l.如图10.（2）设QN∩A 1B 1=P,∵△MA 1Q≌△MAD，∴A 1Q=AD=a=A 1D 1,∴A 1是QD 1的中点.又A 1P∥D 1N,∴A 1P=21D 1N=41C 1D 1=41a. ∴PB 1=A 1B 1－A 1P=a a a 4341=-. 变式训练画出四面体ABCD 中过E 、F 、G 三点的截面与四面体各面的交线.解：如图11,分别连接并延长线段EF 、BD ，图11∵线段EF 、BD 共面且不平行，∴线段EF 、BD 相交于一点P.∴连接GP 交线段CD 于H,分别连接EG 、GH 、FH 即为所作交线.点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.知能训练三棱柱的各面把空间分成几部分?解：分为21部分.拓展提升已知平面α∩平面β=a,b⊂α,b∩a=A,c⊂β且c∥a,求证：b、c是异面直线.证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.∴AB⊂β,即b⊂β.这与b∩β=A矛盾.∴b,c是异面直线.课堂小结本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.作业课本习题2.1 B组1、2、3.设计感想本节内容较少，与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.。

《1.1多面体的结构特征》教学设计
一、设计思想：由于这节课是空间几何体的起始课，主要是以培养学生建立初步的空间
感，由具体实物出发，通过对比观察，分析归纳找出空间图形的共同特点，从而形成具体的空间类型。

因此，本节课主要以学生为中心，在老师的主导下，完成对图形的分析、概括，形成概念。

二、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.
3．情感、态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.
三、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括.
四、教学用品
媒体：多媒体电脑、PPT课件。

五、教学案例
通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后教学内
2
1
2
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教师投影例
棱锥的结构特征：1
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2. 主要板书
七、教学反思
能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

学生会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、的结构特征。

学生会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学目标：1.知识与技能：（1）了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系. ；（2）会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系.；（3）培养空间想象能力.2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。

使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想重点难点1.教学重点：了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系；2.教学难点：会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系教学策略与方法1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体教学过程：一、新课导入：1．观察飞机航线所在直线与地面的关系；2.观察飞机双翅所在平面与地面的位置关系。

二、新授思考：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？空间中直线与平面的位置关系有哪些？靠什么来划分呢？（一）、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种：（按照公共点的个数分类）①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点.直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数.正确画法：例1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确.问题①不正确，相交时也符合.问题②不正确，如下图中，A'B与平面DCC'D'平行，但它与CD不平行；问题③不正确.另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D'平行，但直线CD 平面DCC'D'，问题④正确，所以选B.变式练习：1.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有（）（A）2个（B）3（C）4个（D）5个2.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定（）（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB Ìa思考：围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种?（二）、平面与平面之间的位置关系1.两个平面平行——没有公共点；2.两个平面相交——有一条公共直线.例2. 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。

2.1.4 平面与平面的地位关系教学目标:1.从直线与直线、直线与平面的各种地位关系，类比联想平面与平面的地位关系；2.经过直观感知、操作确认的方法得出两个平面的地位关系，并给出相应的定义；3.会用文字言语、符号言语、图形言语表示两个平面的地位关系；4.按照“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开教学活动，培养和发展先生的几何直觉，运用图形言语、符号言语进行交流的能力、空间想象能力与必然的推理论证能力．教学重点:平面与平面的地位关系．教学难点:用图形言语表示两个平面的地位关系、两个平面相交时,交线的作法．教学过程:一、复习旧知引出课题空间几何体各式各样，千姿百态，如何认识和把握它们呢？普通的方法是，从构成几何体的基本元素——点、直线、平面动手，研讨它们的性质和彼此之间的地位关系．经过学习，我们知道空间中直线与直线的地位关系有：共面直线（相交直线、平行直线）、异面直线；空间中直线与平面的地位关系有：直线在平面内、直线在平面外（直线与平面相交、直线与平面平行），那么平面与平面的地位关系有哪些呢？二、直观感知、思辨论证生活中处处给我们以平面与平面地位关系的抽象，譬如教室的天花板与地面的关系、左面与地面的关系等等．我们也能够经过动手操作直观的感受平面与平面的地位关系．生活实例直观感知：拿出两本书，看作两个平面，上下、摆布挪动和翻转，它们之间的地位关系有几种？先生1：平行、相交．师：请你摆放出这两种地位关系的模型．先生1:用书本摆放这两种地位关系的模型．师：这样的模型表示两个平面的哪种地位关系？先生2：相交．师：这两本书既没有公共点又感觉不平行，为甚么说它们是相交的呢？先生2：由于平面是无量延展的，所以这两本书所在的平面是相交的．我们还可以经过几何体模型直观的感受平面与平面的地位关系．平行六面体模型直观感知：如图，围成平行六面体D C B A ABCD ''''-的六个面，两两之间的地位关系有几种？ A 1D 1C 1B 1D CB A先生3：平行、相交．经过生活实例和对平行六面体模型的观察、考虑，我们可以看出，两个平面之间的地位关系有且只需以下两种：（1） 两个平面平行；（2） 两个平面相交．师:两个平面平行如何定义？先生4：两个平面没有公共点．师：直线与直线平行，直线与平面平行也是这样定义的吗？先生5：当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与直线没有公共点时，直线与直线平行或异面．师：用定义法判断两个平面平行关系，可行性如何？先生6：由于平面是无量延展的，所以要阐明两个平面没有公共点是一件很难的事情．师：理解的很好,我们在理想生活中看到的平面理论上是平面的局部外形,两个平面的局部没有公共点并不代表着它们延展以后也没有公共点,所以用定义法判断两个平面平行关系是比较困难的．师：两个平面平行的图形言语如图,画两个互相平行的平面时,为了突出直观性,要留意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行; 两个平面平行的符号言语是βα//．师:两个平面相交如何定义？先生7：两个平面有公共点时，两个平面相交．师：这里的“有”该怎样理解？先生7：“有”该当是“存在”的意思．师：用定义判断两个平面能否相交，可行性如何？先生8：只需求找到一个公共点，可行性强．师：当两个平面相交时，公共点有几个？它们是如何分布的．先生9：有无量多个，分布在一条直线上．师：有根据吗?先生9：有，公里3．师：你能复述一下公理3吗?先生9：:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共直线．师：很好，根据公理3，两个平面相交时公共点的轨迹是一条直线，因而两个相交平面的图形言语如图所示：看不见的线用虚线表示，符号言语记为：l =⋂βα,或EF =⋂βα．三、动手操作 理解定义例1 如图，试根据以下要求，把被遮挡的部分改为虚线,并动手摆出这两个图形言语表达的模型：（1） 线段AB 没有被平面α遮挡； a B A（2）线段AB 被平面α遮挡．a BA本例设计意图:把两个相交平面的图形言语转化为理想中的模型,培养先生的空间想象能力．教具设计及教学方法:四块平面模型，屏幕上投影标题与图形,两块小黑板上给出图形,两个先生上台动手画图,并利用模型摆放出这两种图形对应的地位关系．例2 已知平面βα，,直线b a ,,且βα//,α⊂a ,β⊂b ,则直线a 与直线b 具有怎样的地位关系?你能用模型摆放它们的地位关系并用学过的定义，定理或者公理证明你的操作结果吗？本例设计意图:把题设中几何元素之间地位关系的符号言语转化为图形言语,培养先生运用图形言语、符号言语进行交流的能力;本题考查了两个平面的地位关系的定义,从高维(面面地位关系)到低维(线线地位关系)的转化．答： βα// ∴直线b a ,没有公共点∴直线a 与直线b 是平行直线或异面直线．例3 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分? 三个平面把空间分成几部分?你能用图形言语给出这些结论吗?本例设计意图:本题考查了先生的空间想象能力,和把空间想象能力转化为用图象言语表达的能力, 也可引导先生类比低维的一个成绩:一条直线把平面分成几部分? 二条直线把平面分成几部分?三条直线把平面分成几部分?因而本题也在两个平面地位关系的基础上,考查了分类讨论的思想,和类比联想、降维的数学思想方法． 答: 一个平面把空间分成二部分;两个平面把空间分成3或者4部分; 三个平面把空间分成4,或6,或7,或8部分．四、 小结提炼 自主提升小结提炼：1. 当两个平面没有公共点时这两个平面是平行的，这个定义简洁明了，但是在判断两个平面能否平行时操作性差，同学们课后考虑一下，能否存在着一个操作性强的方法，能够用来判断两个平面能否平行？2. 只需找到一个公共点就能够阐明两个平面是相交的，两个平面的交线是经过该点的直线，因而要作出两个平面的交线，还需求找到另外一个公共点．这两个公共点怎样找？这是本节课的难点之一，请同学们自主探求线面的练习，动手画一画： 练习：如图所示，G 是正方体1111D C B A ABCD -的棱1DD 延伸线上的一点，F E ,是棱AB ，BC 的中点．试分别画出过以下各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G 及AC ；(2)过三点1,,D F E ．本例设计意图: 两个平面相交时,交线的作法是本节课的教学难点，公里3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共直线．运用公里3得到以下结论：两个相交平面内各有一条直线，如果这两条直线相交，则交点在两个平面的交线上．本例把一部分教学难点移到课外,次要是让先生有充足的工夫去考虑、探求，动手作图，积累宝贵的碰壁经历，从而逐渐认识到立体几何思想的周到性．。

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标：1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)[自主预习·探新知]1．直线与平面的位置关系1．思考辨析(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. ()(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行. ()(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．()[提示](1)×平行或异面．(2)×也可能相交．(3)√(4)×也可能相交．2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交D[∵a∥平面α，∴a与平面α无交点，故选D.]3．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则()A．过P，Q的平面一定与α，β都相交B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行C[当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.][合作探究·攻重难]直线与平面的位置关系①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0B．1C．2D．3C[如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故答案为C.][规律方法]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．(3)可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．提醒：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．[跟踪训练]1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3C[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]平面与平面的位置关系[1．如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？[提示]如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．2．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？[提示]因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．3．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？[提示]不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A．③④B．②③④C．②④D．①④思路探究：依据平面与平面平行的定义判断，亦可借助长方体进行判断．A[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．][规律方法]1．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．[跟踪训练]2．两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1 B．2C．3 D．4B[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．故选B.][当堂达标·固双基]1．已知直线a在平面α外，则()A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点D[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A．0B．1C．2D．3 A[如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]3．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．①②[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]4．如图2130，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：图2130(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]5．作出下列各题的图形．(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α.(2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.[解]如图所示：。

平面与平面的位置关系
3.//
.
//
A C
B D
AE CF
E F AB CD
EB FD
EF
αβαβ
β
∈∈
=
例如图，平面，、，、，点
、分别在线段、上，且
求证：
课堂小结：同学们总结一下，这节课学习了什么？需要注意什么？
1．平面和平面的位置关系；2．平面和平面的判定定理。

1.如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。

（（
2.平面α//
平面β,且aÌα，下列四个命题：
A、a与β内的所有直线平行
B、a与β内的无数条直线平行
C、a与β内的任一直线都不垂直
D、a与β无公共点
其中假命题为（）
3. 3个平面把空间分成几部分？
板书
设计
平面与平面的位置关系
（（
（（（
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
平面与平面的判定定理：
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
⊂
aβ
⊂
bβ
⇒∥
⋂=αβ
a b p
∥
aα
∥
bα
例2
课后
反思。