高中数学苏教版选修1-1同步作业练习3.3.2 极大值与极小值 Word版含解析

3.3.2 极大值与极小值[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．思考 极大值一定大于极小值吗？ 答案 不一定．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．题型一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1时，f (x )题型二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x 0的值； (2)a ，b ，c 的值．解 (1)由图象可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1.(2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5， 得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.题型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪训练3设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所示．当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图2所示．综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根．等价转化思想的应用例4 已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围．分析 (1)对原函数求导，将导函数问题转化为由二次函数的根的分布探求开口方向的问题，从而证得a ＞0；(2)利用x 1，x 2为导函数的两个根，将0＜x 1＜1＜x 2＜2等价转化为不等式组，利用线性规划求a ＋2b 的最大值与最小值．(1)证明 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．由题意，得f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b ， 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．由题意，知在x ＝x 1的左侧有f ′(x )＞0. 由x －x 1＜0，x －x 2＜0，得a ＞0.(2)解 由题意，得0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，如图所示．△ABC 的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)．由(1)知a ＞0，则z ＝a ＋2b 分别在A ⎝⎛⎭⎫47，67，C (4,2)处取得最小值167和最大值8.即z ＝a ＋2b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫167，8.1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )有________个极大值点，________个极小值点．答案 2 2解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值为________，极小值为________． 答案4270 解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3－2p －q ＝0，f (1)＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0.3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为____________． 答案 a >6或a <－3解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.5．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________. 答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3.1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． 2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．。

1．给出下列四个命题：①若函数f (x )在上有最大值，则这个最大值一定是上的极大值；②若函数f (x )在上有最小值，则这个最小值一定是上的极小值；③若函数f (x )在上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得；④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有极大值与最小值．其中真命题的个数是__________．2．函数f (x )＝x －sin x 在上的最大值为__________．3．函数f (x )＝x 3＋在(0，＋∞)上的最小值为__________．3x4．函数在上的最小值为__________．ln ()xf x x=5．设f (x )，g (x )是定义在上的可导函数，且f ′(x )＞g ′(x )．令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )的最小值为______．6．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，则函数f (x )在上的最大值为__________，最小值为__________．7．在区间上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋在同一点取得相同的最小1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦21x 值，则p ＝________，q ＝________.8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为__________．9．(2012重庆高考，文17)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在上的最小值．10．设函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝a 2x 2，是否存在正实数a ，使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案：0　解析：由函数极值最值的概念与关系得都是假命题.2.答案：π　解析：∵f ′(x )＝1－cos x ，∴当x ∈时，f ′(x )≥0.∴f (x )在上递增.∴f (x )ma x ＝f (π)＝π.3.答案：4　解析：f ′(x )＝3x 2－＝.23x 2213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令x 2－＝0，解得x ＝±1.21x ∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，∴当x ＝1时，f (x )取得极小值，也为最小值，故f (x )min ＝f (1)＝4.4.答案：0　解析：f ′(x )＝，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，21ln xx-列表：x 1(1，e)e (e ，e 2)e 2f ′(x )＋0－f (x )A极大值1eA22e ∴f (x )的最小值为0.5.答案：f (a )－g (a )　解析：∵f ′(x )＞g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )＞0.∴在x ∈上，F ′(x )＞0.∴F (x )在上递增.∴F (x )min ＝F (a )＝f (a )－g (a ).6.答案： 解析：由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.925027-由f ′(－1)＝0得，此时12a =f (x )＝x 3－x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.12令f ′(x )＝0，得x ＝－1或.43x =又f (－1)＝，，92450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在上的最大值为，最小值为.925027-7.答案：－2　4　解析：依题意，得g ′(x )＝2－.32x 令g ′(x )＝0，得x ＝1.∵g (1)＝2＋1＝3，，，152g ⎛⎫=⎪⎝⎭17(2)4g =∴当x ＝1时，g (x )取得最小值3.∵1∈且1不是区间的端点，1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴x ＝1是f (x )＝x 2＋px ＋q 的对称轴，∴，，解得p ＝－2，q ＝4.12p-=2434q p -=8.　解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－lnt ，∴φ′(t )＝2t －＝.1t221t t -可知t ∈时，φ(t )单调递减；⎛ ⎝t ∈时，φ(t )单调递增，⎫+∞⎪⎪⎭∴φ(t )最小，其最小值为，这时|MN |取最小值.t =111ln 20222-=+>9.答案：解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有(2)0,(2)16,f f c '=⎧⎨=-⎩即化简得120,8216,a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩120,48,a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数.由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在上的最小值为f (2)＝－4.10.答案：解：假设存在正实数a 使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立.令F (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2(x ＞0)，则ma x ≤0.因为F ′(x )＝a ＋－2a 2x ＝，1x2212ax a x x +-令F ′(x )＝0，即2a 2x 2－ax －1＝0，解得或(舍).1x a =12x a=-当时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数；1x a>当0＜x ＜时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数.1a所以ma x ＝≤0，11ln F a a ⎛⎫=⎪⎝⎭解得a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).。

3.3.3 最大值和最小值一、填空题1．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________.2．函数f (x )＝sin 2x 在[－π4，0]上的最大值是________，最小值是________．3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值是________，最小值是________．4．设y ＝|x |3，那么y 在区间[－3，－1]上的最小值是__________．5．函数f (x )＝3x 2＋4x ＋3x 2＋1的值域为________．6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为________．8．函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋32x 2，x ≤0x 2－2x ＋12，x >0，有下列命题：①过该函数图象上一点(－2，f (－2))的切线的斜率为6；②函数f (x )的最小值等于－12；③该方程f (x )＝0有四个不同的实数根；④函数f (x )在(－1,0)以及(1，＋∞)上都是减函数．其中正确的命题有________．二、解答题10．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62.求常数a ，b .11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a、b、c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．12．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．答案1解析：f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.又f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24， 所以M ＝24，m ＝－8，所以M －m ＝32. 答案：322解析：∵x ∈[－π4，0]，∴sin x ∈[－22，0]．∴sin 2x ∈[0，12]．答案：123 解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1(舍去)． 列出∴f (x )max ＝3，f (x )min ＝－17. 答案：3 －174 解析：只需研究函数y ＝x 3在[1,3]上的最小值即可，显然最小值等于1. 答案：15答案：[1,5]6 解析：∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′ (x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.令f ′(x )>0，则x <1a ，∴函数f (x )在(0，1a)上递增；令f ′(x )<0，则x >1a，∴函数f (x )在(1a，2)上递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.答案：17 解析：∵f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2，由f ′(x )＝0得x ＝±33.因为f (0)＝0，f (1)＝0，f (33)＝33(1－13)＝239， 所以f (x )的最大值为239.答案：2398 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x ) ＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.答案：49 解析：当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2＋3x ，所以f ′(－2)＝6，故①正确；画出函数f (x )的大致图象，如图所示，可得②错误，③正确，④错误．答案：①③10解：令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x2＝a . x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－＋f (x )－1－32a＋bb－a 32＋b1－32a ＋b 从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，又f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，由－32a ＝－62，得a ＝63，所以a ＝63，b ＝1. 11 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.设在点x ＝1处的切线l 的方程为y ＝3x ＋m ，由坐标原点到切线l 的距离为1010，得|m |32＋1＝1010，解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1.由于切点的横坐标为1，∴f (1)＝4，即1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13；在x ＝3处取得极小值f (3)＝27，又f (－3)＝8，f (1)＝4.∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.12 解：(1)f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－13.∴当x ＝－1时，f (x )取得极大值为－4；当x ＝－13时，f (x )取得极小值为－11227.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝x 3＋(2－a )x 2＋4，F (x )≥0，在[0，＋∞)上恒成立⇔F (x )min ≥0，x ∈[0，＋∞)． 若2－a ≥0，即a ≤2，显然F (x )min ＝4>0；若2－a <0，即a >2，f ′(x )＝3x 2＋(4－2a )x,令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a －43.当0<x <2a －43时，f ′(x )<0；当x >2a －43时 ，f ′(x )>0.所以，当x ∈(0，＋∞)时，F (x )min ＝F (2a －43)≥0，即(2a －43)3＋(2－a )(2a －43)2＋4≥0.解不等式得a ≤5，∴2<a ≤5.当x ＝0时，F (x )＝4满足题意． 综上所述，a 的取值范围为(－∞，5]．。

[基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1，f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (0)＝1.比较可得f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f (－3)＝－17.答案：3，－172．函数f (x )＝x ln x 在(0，＋∞)上的最小值为________．解析：f ′(x )＝(x ln x )′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1.由f ′(x )>0，得x >1e；由f ′(x )<0，得x <1e .∴f (x )＝x ln x 在x ＝1e 处取得极小值f (1e )＝－1e ，∴－1e就是f (x )在(0，＋∞)上的最小值．答案：－1e3．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是________．解析：令y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.答案：π6＋ 34．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝2ax ＋4，由f (x )在[0,2]上有最大值f (2)，则要求f (x )在[0,2]上单调递增，则2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立．当a ≥0时，2ax ＋4≥0恒成立；当a <0时，要求4a ＋4≥0恒成立，即a ≥－1.∴a 的取值范围是a ≥－1.答案：a ≥－15．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，因为不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.答案：m ≥326．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________.解析：令f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0， 得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2. 又∵1≤x ≤2，∴x ＝ 2. 又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ， f (2)＝b －4a ，∵a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2，b ＝3.答案：2 37．已知函数f (x )＝x 3－3x .(1)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3，32上的最大值和最小值； (2)过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线的方程．解：(1)f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－3，－1)或x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f ′(x )>0， ∴[－3，－1)，⎝⎛⎦⎤1，32为函数f (x )的单调增区间； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，∴[－1,1]为函数f (x )的单调减区间． 又因为f (－3)＝－18，f (－1)＝2，f (1)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫32＝－98， 所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－18； 当x ＝－1时，f (x )max ＝2.(2)设切点为Q (x 0，x 30－3x 0)，则所求切线方程为y －(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(x －x 0)，由于切线过点P (2，－6)，∴－6－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(2－x 0)，解得x 0＝0或x 0＝3；所以切线方程为y ＝－3x 或y ＋6＝24(x －2)，即为3x ＋y ＝0或24x －y －54＝0.8．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1＋∞)上是减函数，又f ′(12)＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ， ∴f ′(12)＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 3＋3x 2. (2)令f (x )≤x ， 即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴0<m ≤12.故m 的取值范围是(0，12]．[能力提升]1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间[1，＋∞)上一定有________(填最大或最小值)．解析：由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围为a <1.g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a x 2.易知在x ∈[1，＋∞)上g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，故g (x )在区间[1，＋∞)上一定有最小值．答案：最小值2．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.所以，g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减．因此，g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4. 所以a ＝4. 答案：43．设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a <1.(1)求函数f (x )的单调区间、极值；(2)若x ∈[0,3a ]，试求函数f (x )的最值．解：(1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝3a ，列表：由表可知：当x ∈(－∞，a )时，函数f (x )为减函数；当x ∈(3a ，＋∞)时，函数f (x )也为减函数；当x ∈(a,3a )时，函数f (x )为增函数．∴函数f (x )的单调减区间为(－∞，a )，(3a ，＋∞)，单调增区间为(a,3a )．当x ＝a 时，f (x )的极小值为－43a 3＋b ；当x ＝3a 时，f (x )的极大值为b .(2)x ∈[0,3a ]，列表如下：由表知：当x ∈(0，a )时，函数f (x )为减函数；当x ∈(a,3a )时，函数f (x )为增函数．∴当x ＝a 时，f (x )的最小值为－43a 3＋b ；当x ＝0或x ＝3a 时，f (x )的最大值为b .4．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.解：(1)由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)， 因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2， 故1－x －x ln x ≤1＋e －2. 设φ(x )＝e x －(x ＋1)． 因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， φ(x )>φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.。

3.3.2 极大值与极小值一、填空题1．已知函数y ＝f(x)的图象如图3－3－6所示，则函数的极值点共有________个，极大值点为________，极小值点为________．图3－3－6【解析】 根据极值的定义判断即可． 【答案】 4 x 2，x 5 x 3，x 62．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在x ＝________处取极大值． 【解析】 y′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)． 当－1<x<13时，y′<0；当x>13或x<－1时，y′>0.∴函数在x ＝－1处取极大值． 【答案】 －13．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7的极大值是________，极小值是________． 【解析】 y′＝6x 2－12x －18，令f′(x)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 列表： x (－∞，－1) －1 (－1，3)3 (3，＋∞) f′(x)＋0 －0 ＋f(x)极大值f(－1)极小值f(3)当x ＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－47. 【答案】 17 －474．已知函数y ＝ax 3－15x 2＋36x －24在x ＝3处有极值，则函数的递减区间为________． 【解析】 y′＝3ax 2－30x ＋36. ∵x ＝3是极值点，∴y′|x ＝3＝0，即27a －90＋36＝0， ∴a ＝2，∴y′＝6x 2－30x ＋36.令y′<0，即6x 2－30x ＋36<0，即x 2－5x ＋6<0， ∴2<x<3，∴函数的单调递减区间为(2，3)． 【答案】 (2，3)5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．【解析】 ∵f′(x)＝(x 2＋ax ＋1)′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2. 又∵x ＝1为函数的极值点，∴有f′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3. 【答案】 36．已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)． 令f′(x)＝0，则x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵f(x)既有极大值又有极小值，∴f′(x)＝0有两个不相同的实数解，∴Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＜－1或a ＞2.【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)7．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则此函数的解析式是________． 【解析】 设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意得f′(1)＝f ′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＋d ＝4，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝0，解得：a ＝1，b ＝－6，c ＝9，d ＝0. 【答案】 y ＝x 3－6x 2＋9x8．若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．【解析】 f′(x)＝12x 2－2ax －2b ，∵f(x)在x ＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9. 【答案】 9二、解答题9．设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .求f(x)的单调区间与极值． 【解】 由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f′(x)＝e x －2，x ∈R .令f′(x)＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) －＋f(x)2(1－ln 2＋a)故ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a)．10．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋2x 在x ＝－1处取得极值，且在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调区间和极值． 【解】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′（－1）＝0f′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋2＝03a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－13b ＝12，经检验，符合题意，故a ＝－13，b ＝12.(2)由(1)得f′(x)＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，令f′(x)＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表；x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞) f′(x) －0 ＋0 －f(x)极小值极大值数f(x)的极大值为f(2)＝103，极小值为f(－1)＝－76.11．设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． 【解】 (1)f′(x)＝3x 2－3a.因为曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（2）＝0，f （2）＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3（4－a ）＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24. (2)f′(x)＝3(x 2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 此时函数f(x)没有极值点． 当a>0时，由f′(x)＝0得x ＝±a. 当x ∈(－∞，－a)时，f′(x)>0； 当x ∈(－a ，a)时，f′(x)<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0.函数的单调递增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，递减区间为(－a ，a)． 此时x ＝－a 是f(x)的极大值点，x ＝a 是f(x)的极小值点．。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.2 极大值与极小值[基础达标]1．函数f (x )＝x 3－12x 的极大值与极小值之和为________．解析：函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2或x 2＝2.列∴当x ＝－2时，函数有极大值f (－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值f (2)＝－16. ∴极大值与极小值之和为f (2)＋f (－2)＝0. 答案：02．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则下列结论正确的是________．①x ＝12为f (x )的极大值点；②x ＝12为f (x )的极小值点；③x ＝2为f (x )的极大值点； ④x ＝2为f (x )的极小值点．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x2＋1x ＝x －2x2，当x ＝2时，f ′(x )＝0时；当x >2时，f ′(x )>0时，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点．答案：④3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝(x 2＋ax ＋1)′＝x 2＋a x ＋－x 2＋a x ＋x ＋2＝x 2＋2x －a x ＋2，又∵函数f (x )在x ＝1处取极值， ∴f ′(1)＝0.∴1＋2×1－a ＝0，∴a ＝3.验证知a ＝3符合题意．答案：34．若函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9，则m 的值是________．解析：由f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，得x ＝－m 或x ＝13m ，↗ ↘ ↗从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9， ∴m ＝2. 答案：25．函数f (x )的定义域为(a ，b )，其导函数y ＝f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在区间(a ，b )内极值点的个数是________．解析：函数在x ＝x 0处取得极值必须满足两个条件：①x 0为f ′(x )＝0的根；②导数值在x 0左右异号．所以，有3个极值点． 答案：36．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 解析：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数， 同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③7．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求实数a ，b ，c 的值；(2)试判断当x ＝1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，f (1)＝－1解得a ＝12，b＝0，c ＝－32；(2)f (x )＝12x 3－32x ，f ′(x )＝32x 2－32，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以，当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.8．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝0，8－6a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．[能力提升] 1．(2014·苏州检测)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－6b ＝0，得x ＝±2b (b >0)， ∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴0<2b <1，∴0<b <12.答案：0<b <122．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3＋a e ax ，函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax＝0有正根；当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a <0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ；由x >0即1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a >0结合a <0解得参数a 的范围为a <－3.答案：a <－33．设a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图(1)．当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.如图(2)．综上，当a＝2或a＝－2时方程恰好有两个实数根．4．(创新题)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.解：(1)由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.。

3.3.2 极大值与极小值5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A2.函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a 等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D 解法一：（直接法）f′(x)=3x 2+2ax+3,则x=-3为方程3x 2+2ax+3=0的根，所以a=5.故选D. 解法二：（验证法）当a=2时，f′(x)=3x 2+4x+3=0.无解，排除A ； 当a=3时，f′(x)=3x 2+6x+3=0,x=-1，不满足条件，排除B ；当a=4时，f′(x)=3x 2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C ，故选D. 3.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx 2+x 的两个极值点. 试确定常数a 和b 的值及函数f(x)的表达式. 解：f′(x)=xa+2bx+1， ∵f′(1)=f′(2)=0，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.0142,012b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.61,32b a∴f(x)=-32lnx-61x 2+x. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.对于函数f(x)=x 3-3x 2,下列命题正确的有…（ ） (1)f(x)是增函数,无极值; (2)f(x)是减函数,无极值;(3)f(x)的递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为(0,2); (4)f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.A.1个B.2个C.3个D.4个 答案：B解析：对函数进行求导,利用导函数的性质. ∵f′(x)=3x 2-6x,∴当f′(x)=3x 2-6x ＞0时,解得x ＜0或x ＞2,故函数的递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),同理递减区间为(0,2),∴f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.有2个正确.2.对函数y=22x x -,下列结论中正确的是……（ ）A.无极值B.极值点有两个,x=0与x=2C.极值点只有一个,x=1D.极值点有两个,x=1与x=2 答案：C解析：函数的定义域为0≤x≤2,由y′=221xx x -+-=0,得x=1且当0＜x ＜1时,y′＞0,1＜x ＜2时,y′＜0, ∴x=1为极值点.3.下列结论中,正确的是（ ） A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x 0)是极大值C.如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x 0)是极小值D.如果在x 0附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,那么f(x 0)是极大值 答案：B4.函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________. 答案：0＜b ＜1解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x 2-3b ，若该函数在（0，1）内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0＜b ＜1,从而有0＜b ＜1成立.5.函数f(x)=x 3-3a 2x+a(a ＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的范围是___________. 答案：a ＞22 解析:f′(x)=3x 2-3a 2=3(x-a)(x+a)(a ＞0), 令f′(x)=0，得x=±a,当-a ＜x ＜a 时，f′(x)＜0,函数递减； 当x ＞a 或x ＜-a 时，f′(x)＞0,函数递增. ∴f(-a)=-a 3+3a 3+a ＞0,f(a)=a 3-3a 3+a ＜0,解得a ＞22. 6.若f(x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，求a 的取值范围.解：f(x)为三次函数，f′(x)为二次函数，f′(x)=3x 2+6ax+3(a+2)，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a)2-4(a+2)＞0,解得a ＜-1或a ＞2. ∴a 的取值范围是（-∞,-1)∪(2,+∞)30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知函数f(x)=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于（1，0）点，则f(x)的（ ）A.极大值为274，极小值为0 B.极大值为0，极小值为-274C.极小值为275-，极大值为0D.极小值为0，极大值为275答案：A解析：∵f(x)与x 轴切于（1，0）点，f′(x)=3x 2-2px-q ， ∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0, ∴p=2,q=-1.∴f(x)=x 3-2x 2+x. ∴f(x)max =f(31)=274,f(x)min =f(1)=0. 2.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A.y=x 3+6x 2+9x B.y=x 3-6x 2+9xC.y=x 3-6x 2-9xD.y=x 3+6x 2-9x 答案：B解析：三次函数过原点，可设f(x)=x 3+bx 2+cx,f′(x)=3x 2+2bx+c, 由题设知，f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0, ∴b=-6,c=9.∴f(x)=x 3-6x 2+9x;f′(x)=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3). 当x=1时，f(x)max =4;当x=3时，f(x)min =0，满足条件. 3.函数y=1+3x-x 3有（ ）A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值3 答案：D解析：y′=3-3x 2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x 1=-1,x 2=1. 当x ＜-1时，y′＜0,函数y=1+3x-x 3是减函数； 当-1＜x ＜1时，y′＞0，函数y=1+3x-x 3是增函数； 当x ＞1时,y′＜0,函数y=1+3x-x 3是减函数. ∴当x=-1时,函数y=1+3x-x 3有极小值-1; 当x=1时，函数y=1+3x-x 3有极大值3. 4.下列函数存在极值的是（ ） A.y=x1B.y=x-e xC.y=2D.y=x 3 答案：B 解析：y=x1在定义域上不连续,且x ＞0时单调递减,x ＜0时也单调递减;y=x 3是单调函数. 5.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c 的值为___________. 答案：6解析：x=2是f(x)的极大值点,∵f(x)=x(x-c)2=x(x 2-2cx+c 2),∴f′(x)=x(2x -2c)+x 2-2cx+c 2=3x 2-4cx+c 2.∴f′(2)=c 2-8c+12=0.∴c=2或c=6. 当c=2时,不能取极大值.∴c=6.6.判断函数y=|ax-b|(a ＞0)在其定义域内是否存在极值. 解：在x=a b 附近有f(x)＞f(a b ),∴由极值的定义知,f(x)在x=a b 处取得极小值f(ab)=0. 7.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a 、b 、c 的值； （2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解：（1）由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.∴a=21,b=0,c=-23. (2)f(x)=21x 3-23x,∴f′(x)=23x 2-23=23(x-1)(x+1);当x ＜-1或x ＞1时，f′(x)＞0;当-1＜x ＜1时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-∞,-1)和（1，+∞）上为增函数，在（-1，1）上为减函数. ∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1. 8.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a. (1)求f(x)的极值；（2）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点. 解：（1）f′(x)=3x 2-2x-1. 若f′(x)=0,则x 1=-31,x 2=1所以f(x)的极大值是f(-3)=27+a,极小值是f(1)=a-1. (2)函数f(x)=x 3-x 2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.由此可知x 取足够大的正数时，有f(x)＞0,x 取足够小的负数时,有f(x)＜0. 所以曲线y=f(x)与x 轴至少有一个交点. 结合f(x)的单调性可知. 当f(x)的极大值275+a ＜0,即a ∈(-∞,-275)时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点，它在（1，+∞）上.当f(x)的极小值a-1＞0,即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点，它在（-∞，31-=)上. 所以当a ∈(-∞,-275)∪(1,+∞)时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点. 9.已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示.求：（1）x 0的值； （2）a 、b 、c 的值.答案：(1)解：由图象可知，在（-∞,1）上f′(x)＞0,在（1，2）上f′(x)＜0.在（2，+∞）上f′(x)＞0.故f(x)在（-∞,1）,(2,+∞)上递增，在（1，2）上递减. 因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x 0=1. (2)解法一：f′(x)=3ax 2+2bx+c, 由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5,0412,023c b a c b a c b a 解得a=2,b=-9,c=12.解法二：设f′(x)=m(x -1)(x-2)=mx 2-3mx+2m, 又f′(x)=3ax 2+2bx+c,所以a=3m ,b=-23m,c=2m, f(x)=3m x 3-23mx 2+2mx.由f(1)=5,即3m -23m+2m=5,得m=6,所以a=2,b=-9,c=12.。

一、填空题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．2．三次函数，当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是________．3．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．4．函数f (x )＝a ＋ln x x(a ∈R)的极大值等于________． 5．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．若函数f (x )＝x 2ln x (x >0)的极值点是α，函数g (x )＝x ln x 2(x >0)的极值点是β，则有α、β的大小关系为________．9．f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是________．①(a ，b ) ②(a ，c ) ③(b ，c ) ④(a ＋b ，c )二、解答题10．设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0.若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式．11．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.(1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；(2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．12．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．答案1 解析：∵f (x )与x 轴切于(1,0)点，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.又f (1)＝1－p －q ＝0，∴p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝0得x 1＝13，x 2＝1. f (x )极大值＝f (13)＝427， f (x )极小值＝f (1)＝0.答案：4272 解析：三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0，f ′(3)＝27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－6，c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，当x ＝1时，f (x )极大值＝4；当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件．答案：y ＝x 3－6x 2＋9x3 解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－194 解析：f ′(x )＝1－a ＋ln x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a ，当x <e 1－a 时，f ′(x )>0；当x >e 1－a 时，f ′(x )<0，所以函数的极大值等于f (e1－a )＝1e 1－a ＝e a －1. 答案：e a －15 解析：y ′＝3x 2－2a ，因为函数在(0,1)内有极小值，所以方程3x 2－2a ＝0较大的根在(0,1)内，所以2a ＝3x 2∈(0,3)，得a ∈(0，32)． 答案：(0，32) 6 解析：由于f ′(x )＝x 2＋x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (x )在x ＝－2时取得极大值，且f (－2)＝103＋m ； f (x )在x ＝1时取得极小值，且f (1)＝－76＋m ， 因此要使函数f (x )的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－76＋m ≥0，m ≥76，故m 的取值范围是m ≥76. 答案：m ≥767解析：从图象上可以看到：当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①8解析：由于f ′(x )＝2x ln x ＋x ，令f ′(x )＝0，得x ＝e －12，容易验证x ＝e －12就是函数f (x )的极值点，故α＝e －12.又g ′(x )＝ln x 2＋2，令g ′(x )＝0，得x ＝e －1，容易验证x ＝e －1就是函数g (x )的极值点，故β＝e －1，因此有α>β.答案：α>β9 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b 3a，b ＝0. 答案：①10 解：∵P 点坐标为P (0，d )，又曲线在点P 处切线为12x －y －4＝0，∴当x ＝0时，y ＝d ，即d ＝－4，∵y ′|x ＝0＝c ，又切线斜率k ＝12，∴c ＝12.又函数在x ＝2处取得极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ′|x ＝2＝0，f 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－9. ∴函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.11 解：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)．因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3.经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点．(2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝1.当a <1时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上也为增函数．综上所述，当a ∈[0，＋∞)时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．12 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加；当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少；当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)单调增加．综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)，(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]． 当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1由题意知，2<a －a 2－1<3，①或2<a ＋a 2－1<3.②式无解，②式的解为54<a <53 因此，a 的取值范围是(54，53)．。