高中数学5_6运用数学归纳法证明不等式自我小测苏教版

自我小测1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!(a≠1,n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是（）A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．对于不等式错误!＜n＋1（n∈N＋）,某同学用数学归纳法证明的过程如下:（1)当n＝1时，错误!＜1＋1，不等式成立．（2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，错误!＝错误!＜错误!＝(k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确3．一个关于自然数n的命题，如果验证n＝1时命题成立，并在假设n＝k（k≥1)时命题成立的基础上，证明了n＝k＋2时命题成立，那么综合上述说法，可以证明对于（）A．一切自然数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对4．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f（k），则增加一条直线后，它们的交点个数最多为（)A．f（k)＋k B．f(k）＋1 C．f(k）＋k＋1 D．kf(k)5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N）时该命题成立,那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立6．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N）第一步应验证当n ＝________时成立．7．用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n(n∈N且n＞1),第二步证明从“k到k＋1"，左端增加的项数是________．8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中,当n＝k＋1时，34(k＋1）＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______________．9．用数学归纳法证明:错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜1－错误!(n≥2，n∈N＋）．10．是否存在常数a，b使等式错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!对一切n∈N＋都成立？参考答案1．解析：当n＝1时,左边＝1＋a＋a2.故选C项．答案:C2．解析：因为从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．答案：D3．答案：B4．解析：第k＋1条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点．答案：A5．解析：由反证法可知当n＝4时该命题不成立,因为若n＝4时该命题成立，必将推得n＝5时该命题成立，这与已知矛盾．答案：C6．答案:37．解析：当n＝k时左端为1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，当n＝k＋1时左端为1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋k项．错误!，故增加的项数为2答案：2k8．解析：当n＝k＋1时,34（k＋1)＋2＋52（k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25（34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋29．证明:(1)当n＝2时，左边＝错误!＝错误!,右边＝1－错误!＝错误!，左边＜右边,不等式成立；（2)假设当n＝k时（k∈N＋，k≥2）不等式成立．即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜1－错误!。

运用数学归纳法证明不等式一、单选题1．设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N*），那么f （n+1）－f （n ）等于（ ） A ．121+n －221+n B ．121+n +221+n C ．221+n D ．121+n2．用数学归纳法证明不等式()1111n 1>2322n n N *-++++∈，第二步由 到 +1时不等式左边需增加（ ）A.12k B.111212k k -++ C.1111121222k k k --++++ D.1111121222k k k --+++++ 3．平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条不过同一点,若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则当n ≥4时,f(n)=( ) A. 12(n-1)(n+2) B. 12(n-1)(n-2)C. 12(n+1)(n+2)D. 12(n+1)(n-2) 4．用数学归纳法证明111131224n n n n +++>+++(*2,n n N ≥∈)的过程中，从“k 到1+k ”左端需增加的代数式为 （ ）()121+k A ()221+k B ()221121+++k k C ()221121+-+k k D 5．用数学归纳法证明“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）A.B.C.D.6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n nx y +能被x y +整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）（A ）假设*()n k k N =∈，证明1n k =+命题成立 （B ）假设()n k k =为正奇数，证明1n k =+命题成立 （C ）假设*21()n k k N =+∈，证明1n k =+命题成立 （D ）假设()n k k =为正奇数，证明2n k =+命题成立7．利用数学归纳法证明(n ∈N *，且n≥2)时，第二步由＋1时不等式左端的变化是( )A. 增加了这一项B. 增加了和两项C. 增加了和两项，同时减少了这一项D. 以上都不对8．利用数学归纳法证明11112n n n +++++…*11(,2n N n+<∈且2n …）时，第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是（ ）A. 增加了121k +这一项B. 增加了121k +和122k +两项C. 增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k这一项D. 以上都不对二、解答题9．数列{}n a 满足()*21n n S n a n N=-+∈(1)计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.10．（11分）探究 是否存在常数a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 对对一切正自然数n 均成立，若存在求出a 、b 、c ，并证明；若不存在，请说明理由.11．否存在常数,,a b c 使等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++L 对一切正整数n 都成立？若存在，用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．12．用数学归纳法证明 ()3171nn +⋅-（*n N ∈）能被9整除.三、填空题13．如下面数表为一组等式123451,235,45615,7891034,111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++=某学生猜测()()22121n S n an bn c-=-++，若该学生回答正确，则3a b += ．14．如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是________．15．给出下列不等式，，，，，……（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想.16．观察下列式子 1，121++，12321++++，1234321++++++，⋅⋅⋅，由以上可推测出一个一般性结论 对于n *∈N ，1221n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的和= ．参考答案1．A 【解析】试题分析 由题 11111(1)...2322122f n n n n n n +=++++++++ 则 ； 11111(1)()121222122f n f n n n n n n +-=-++=-+++++ 考点 无穷项的减法． 2．D 【解析】试题分析 根据题意，由于证明不等式()1111n 1>2322n n N *-++++∈，第二步由 到 +1时不等式左边需增加，由于左侧表示的为项的和，因此则增加了1111121222k k k--+++++，故答案为D. 考点 数学归纳法点评 主要是考查了数学归纳法的运用，属于基础题。

高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。

第四讲 用数学归纳法证明不等式讲末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n 3<2－1n (n ≥2，n ∈N ＋)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋123<2－12B ．1＋123＋133<2－13C ．1＋123<2－13D ．1＋123＋133<2－14解析：选A.第一步验证n ＝2时不等式成立，即1＋123<2－12.2.设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14解析：选D.S (n )的项数应为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，S (2)＝12＋13＋14，故选D.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．12n ＋1 B ．12n ＋2 C ．12n ＋1＋12n ＋2 D ．12n ＋1－12n ＋2解析：选D.因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.4．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A ．f (k )＋k ＋1B ．f (k )＋kC ．f (k )＋k －1D ．f (k )＋k －2解析：选C.当k 棱柱变为k ＋1棱柱时，新增的一条侧棱与和它不相邻的k －2条侧棱确定k －2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k －1个对角面．5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，然后应该证明( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除解析：选D.由假设a 4k 能被4整除，则当n ＝k ＋1时，应该证明a 4(k ＋1)＝a 4k ＋4能被4整除．6．设0<θ<π2，a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n 等于( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n解析：选 B.因为a 1＝2cos θ，所以a 2＝2＋2cos θ＝22cos2θ2－1＋1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.又因为0<θ<π2，所以0<θ2<π4，所以a 2＝2cos θ2，所以a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4＝2cos θ22，故猜想a n ＝2cos θ2n －1.7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N ＋)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真； ②F (8)真； ③F (6)不真； ④F (6)真； ⑤F (5)不真； ⑥F (5)真． 其中真命题是( ) A ．③⑤ B ．①② C ．④⑥D ．③④解析：选A.因为F (k )(k ∈N ＋)真，则F (k ＋1)真的逆否命题是：F (k ＋1)不真，则F (k )不真，从而可结合数学归纳法的原理知：当F (7)不真时，F (6)不真，F (5)亦不真，故③⑤是真命题．8．用数学归纳法证明：“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.当n ＝k ＋1时，证明“(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3能被9整除”．由归纳假设，n ＝k 时，k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，所以只需将(k ＋3)3展开．9．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A ．2（n ＋1）2 B ．2n （n ＋1）C ．22n －1D ．1n －1解析：选B.由已知a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ≥2)，得a 1＋a 2＝4a 2，解得a 2＝13＝22×3，同理a 3＝23×4，a 4＝24×5，…，猜想a n ＝2n （n ＋1）.10．对任意n ∈N ＋，34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a 为( )A ．1B ．2C ．5D ．3解析：选C.因为当n ＝1时，34n ＋2＝36＝729＝52×14＋1，所以只需1＋a 3是14的倍数． 于是可排除选项A 、B ， 若a ＝3，则当n ＝2时，34n ＋2＋32n ＋1＝35×22×61，不是14的倍数，这样又排除选项D. 因此答案只能是C.11．上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法总数为f (n )，则下列猜想中正确的是( )A ．f (n )＝nB ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)C ．f (n )＝f (n －1)f (n －2)D ．f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＝1，2）f （n －1）＋f （n －2）（n ≥3）解析：选D.当n ＝1时，有1种上法，当n ＝2时，有2种上法．当n ≥3时，f (n )为第1次上一层的上法f (n －1)与第1次上两层f (n －2)的和．故选D.12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，则a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A.因为等式对一切n ∈N ＋均成立， 所以n ＝1，2，3时等式成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．用数学归纳法证明cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)α＝sin 2n α2sin α(sin α≠0，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等式右边的式子是________．解析：当n ＝1时，右边＝sin 2α2sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.答案：cos α14．对于任意自然数n ，n 3＋11n 都能被m 整除，则m 的最大值为________． 解析：设f (n )＝n 3＋11n ，则f (1)＝12，f (2)＝30，f (3)＝60，f (4)＝108.因为12，30，60，108的最大公约数为6， 所以m 的最大值为6. 答案：615．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≤3.在“假设n＝k 时成立”后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________．解析：当n ＝k 时，f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ；当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1·(1＋1k ＋2)…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2， 所以应乘⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1 16．已知数列{a n }，其中a 2＝6，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n ，则a 1＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________．解析：由已知可得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，将a 2＝6代入以上三式，解得：a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.由于a 1＝1，a 2＝2×3，a 3＝3×5，a 4＝4×7， 猜想得a n ＝n (2n －1)． 答案：1 15 28 n (2n －1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)求证：平面上通过同一点的n 条直线分平面为2n 个部分． 证明：(1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，故命题成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k ∈N ＋)时，平面上通过同一点的k 条直线把平面分成2k 个部分，设第(k ＋1)条直线落在相邻的两条直线之间，它把这两条直线所围成的平面上的两个区域变成4个区域，也即增加一条直线后，平面上的区域共有2k ＋2＝2(k ＋1)个，故命题对于n ＝k ＋1也成立．由(1)、(2)知，原命题对于任何正整数n 都成立．18．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：f (n )＝3·52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N ＋)能被17整除．证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f (1)能被17整除．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立． 即f (k )＝3·52k ＋1＋23k ＋1能被17 整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3·52k ＋3＋23k ＋4＝52·3·52k ＋1＋52·23k ＋1－52·23k ＋1＋23k ＋4＝25f (k )－17·23k ＋1.由归纳假设，可知f (k )能被17整除，又17·23k ＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．综合(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除．19．(本小题满分12分)已知a i >0(i ＝1，2，3，…，n )，考察下列式子： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法证明． 解：由所给不等式可归纳(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.证明如下：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立． 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．综上，(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x －x ln x ，数列{a n }满足0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )． (1)证明：函数f (x )在区间(0，1)上是增函数； (2)证明：a n <a n ＋1<1.证明：(1)f ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x . 因为x ∈(0，1)，所以ln x <0. 所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上为增函数． (2)运用数学归纳法证明0<a n <1， 当n ＝1时，由于0<a 1<1， 所以不等式成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，0<a k <1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a k －a k ln a k ＝a k (1－ln a k )．因为ln a k <0，所以a k ＋1>0. 因为f (x )在(0，1)上为增函数， 又0<a k <1，所以a k ＋1＝f (a k )<f (1)＝1－0＝1. 即对于任意的正整数n 均有0<a n <1. 而a n ＋1－a n ＝－a n ·ln a n >0， 所以a n ＋1>a n ， 故a n <a n ＋1<1.21．(本小题满分12分)设集合M ＝{1，2，3，…，n }(n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值； (2)猜想T n S n的表达式，并证明．解：(1)当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2，当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72. (2)猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥3)时，猜想成立， 即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k ，则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1.而当集合M 从{1，2，3，…，k }变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1 ＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立．22．(本小题满分12分)记f n (x ，y )＝(x ＋y )n－(x n＋y n)，其中x ，y 为正实数，n ∈N ＋.给定正实数a ，b 满足a ＝bb －1.用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，f n (a ，b )≥f n (2，2)．证明：欲证不等式为(a ＋b )n－a n－b n≥22n－2n ＋1.(*)(1)当n ＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式(*)成立，即(a＋b)k－a k－b k≥22k－2k＋1.由a>0，b>0及a＝bb－1，得a＋b＝ab.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab，从而ab≥4，a＋b＝ab≥4.进而a k b＋ab k≥2（ab）k＋1≥24k＋1＝2k＋2，则当n＝k＋1(k∈N＋)时，(a＋b)k＋1－a k＋1－b k＋1＝(a＋b)[(a＋b)k－a k－b k]＋a k b＋ab k≥4[(a＋b)k－a k－b k]＋2k＋2≥4(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，不等式(*)成立，即原不等式成立．。

2024年苏教版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知命题p：命题q：则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2、【题文】如图；长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为。

A.B.C.D.3、【题文】在△ABC中，已知a= b=2，B=45°，则角A=( )．A. 30°或150°B. 60°或120°4、【题文】设为等差数列的前项和，若公差则（）A. 8B. 7C. 6D. 55、【题文】平面向量与的夹角为则（）A.B.C.D.6、【题文】复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7、公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3是a2与a6的等比中项，则=（）A.B.C. 1D. 28、设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（）A. （2，±2）B. （1，±2）C. （1，2）D. （2，2）9、某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是（）A. 45D. 48评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、复数的值为 .11、函数（a>0,）在内恒有f(x)>0,则f(x)的单调增区间为____．12、直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为 ____．13、已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为焦距为8，则该椭圆的方程是____．14、下列四个条件中，能确定一个平面的只有____．（填序号）①空间中的三点②空间中两条直线③一条直线和一个点④两条平行直线15、设函数该曲线以点处的切线平行于直线则该曲线的切线方程.16、从4件正品，1件次品中随机取出2件，则取出的2件产品中恰好是1件正品、1件次品的概率是 ______ ．17、为了保证信息安全传输；有一种称为秘密密钥密码系统，其加密；解密原理如下图：现在加密密钥为y=a(x+2)如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共8分)24、已知抛物线点过的直线交抛物线于两点.（1）若抛物线的焦点与中点的连线垂直于轴，求直线的方程；（2）设为小于零的常数，点关于轴的对称点为求证：直线过定点评卷人得分五、计算题(共4题，共40分)25、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．26、1. （本小题满分12分）已知数列满足且（）。

高三一轮复习 6.7 数学归纳法【教学目标】1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【重点难点】1。

教学重点：了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示1．必知关系；数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据",两个步骤缺一不可．2．必清误区；运用数学归纳法应注意以下两点：(1）第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．（2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n ＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

强理解记忆，提高解题技能。

k＋1·错误!＝错误!，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证错误!≥错误!，即证错误!≥k＋1k＋2，由基本不等式得错误!＝错误!≥错误!成立，故错误!≥错误!成立，所以，当n＝k＋1时,结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式错误!·错误!·……·错误!〉错误!成立．跟踪训练:1。

已知数列｛a n｝，a n≥0，a1＝0，a错误!＋a n＋1－1＝a错误!。

求证：当n∈N＊时，a n<a n＋1.【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程a错误!＋a2－1＝0的正根，所以a1〈a2。

(2）假设当n＝k(k∈N*)时，。

模块： 五、数列 课题： 6、数学归纳法教学目标： 知道用数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤；会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式．重难点： 用数学归纳法证明命题的步骤；数学归纳法的应用． 一、 知识要点1、 数学归纳法是证明有关自然数命题的一种重要方法．2、 数学归纳法证题的一般：①证明当n 取对命题适用的第一个值0n 时，命题成立；②假设),(0n n N k k n ≥∈=*时，命题成立；证明当1+=k n 时，命题也成立． 完成这两个步骤后就可断定结论对0n n ≥的一切正整数都成立． 二、 例题精讲例1、用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ ．例2、用数学归纳法证明：2*(1)(1)()22n n n n N ++<+<∈例3、是否存在常数a b c 、、，使对于一切正整数n ，不等式()()()222222421122n n n n n an bn c ⋅-+-++-=++ 恒成立？证明你的结论．答案：存在．先用赋值法得11,,044a b c ==-=，再用数学归纳法证明即可．例4、证明：()3171nn +⋅-能被9整除()*n N ∈．例5、由下列各式：11,21111,2311111131,234567211111112,234131415>++>++++++>+++++++>你能得到怎样的结论？证明你的结论． 答案：111123212n n ++++>- ，用数学归纳法证明．例6、已知数列{}n a 中，11a =，11n na c a +=-． （1） 设52c =，12n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式； （2） 求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围．答案：（1）14233n n b -=--；（2）102,3⎛⎤⎥⎝⎦．*例7、已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且25a a 、是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n T b =-． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较1nb 与1n S +的大小，说明理由． 答案：（1）21n a n =-，23n n b =；（2）当3n ≤时，11n n S b +<；当4n ≥时，11n nS b +>．三、课堂练习1、猜想11=，()1412-=-+，149123-+=++，……的第n 个式子为 答案：()()()1121491112n n n n ++-+-+-=-++2、观察下列各式运算结果：21，2212+，222123++， ，猜想2222123n +++ =．答案：()()1216n n n ++3、楼梯共有n 级，每步只能上1级或2级，走完该n 级楼梯共有()f n 种不同的走法，则()()(),1,2f n f n f n --的关系为． 答案：()()()12f n f n f n =-+-4、用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ *()n N ∈，则从k 到1k +时，左边所要添加的项是（ ）A 、121k +B 、112224k k -++C 、121k -+D 、112122k k -++ 答案：D5、 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n nx y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成（ ）A 、假设*21()n k k N =+∈正确，再推23n k =+正确B 、假设*21()n k k N =-∈正确，再推21n k =+正确C 、假设*()n k k N =∈正确，再推1n k =+正确D 、假设(1)n k k =≥正确，再推2n k =+正确 答案：B 四、课后作业一、填空题1、若()*111,122f n n N n n n =+++∈++ ，那么()()1f k f k +-=． 答案：112122n n -++ 2、用数学归纳法证明命题“1222n n n +≥++，*n N ∈”时，第一步的验证为． 答案：1122112+≥++3、在利用数学归纳法证明等式()()()()*1221321,nn n n n n n N +++=⋅⋅⋅⋅-∈ 的过程中，从k 到1k +，右边需增乘的代数式是． 答案：()221n +4、在用数学归纳法证明“当&n N ∈时，2211112n n +++能被133整除”时，当1n k =+时，式子()()122111112k k +++++可变形为．答案：()2212111111213312k k k +++++⨯ 5、用数学归纳法证明()*1111,12321n n n N n ++++<∈>- 且第一步即证不等式 成立． 答案：111223++< 6、用数学归纳法证明“当*2351,12222n n N -∈+++++ 时是31的倍数”时，从k到1k +时需添加的项是． 答案：55152535422222kk k k k ++++++++二、选择题7、用数学归纳法证明()1cos cos3cos 212n ααα++++-= 2121sincos 22sin n n ααα++()*,n n N απ≠∈验证1n =时，左边计算所得的项是（ ） A 、12 B 、1cos 2α+C 、1cos cos32αα++D 、1cos cos3cos52ααα+++答案：B8、用数学归纳法证明“()*1111,12321n n n N n ++++<∈>- ”时，从k 到1k +不等式的左边增加的项数是（ ）A 、1B 、2C 、21k-D 、2k答案：D9、用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a a n N a a++-++++=∈≠- ，在验证1n =成立时，左边所得的项为（ ） A 、 1B 、1a +C 、21a a ++D 、231a a a +++答案：C三、解答题10、用数学归纳法证明：()22*389n n n N +--∈能被64整除．11、是否存在常数,a b 使得等式()()222112231112n n n n ⋅+⋅+++=+ ()210anbn ++对一切正整数n 都成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．答案：3,11a b ==12、设()111,3422f n n n n =++++++ 是否存在一个最大的自然数m ，使不等式()72m f n >对*n N ∈恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m 的值，并证明． 答案：17m =。