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第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．4．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．一、选择题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是( ) A ．0个B ．1个 C ．2个D ．无法确定2．若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0C ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－124．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)5．函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ，x>0零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D．(2，＋∞)二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．三、解答题10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( ) A ．1B ．2 C ．3D ．413．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点知识梳理1．21021 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根与x轴有交点有零点 4.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)＝0作业设计1．C[方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，∴Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．]2．C[对于选项A，可能存在根；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．]3．A[∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－1 2.]4．C[∵f(x)＝e x＋x－2，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3. x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．总之，f(x)在R上有2个零点．]6．A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.] 7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14. 依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧m <0f (4)>0，即⎩⎨⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎨⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0. 12．C [由已知⎩⎨⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．]13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎨⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。
第三章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0∈(－1,1)，那么b的取值范围是()A．(－2,2) B．(－1,1) C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D．(－1,0)3．已知函数f(x)＝e x－x2，则在下列区间上，函数必有零点的是()A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)4．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()5．方程3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点为()A．2个B．奇数个C．偶数个D．至少2个7．若函数y＝a x－x－a有两个零点，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(0，＋∞) D．∅8．红豆生南国，春来发几枝？如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．y＝2t B．y＝log2t C．y＝2t D．y＝t29．已知x0是函数f(x)＝2x＋11x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞010．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为()第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．12．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.13．方程13⎛⎫ ⎪⎝⎭|x |＝2－x 的实数根的个数为__________．14．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N *)内，则n ＝__________.15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(6分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．17．(6分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．18．(6分)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x －1.(1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标； (2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，试证明函数F (x )在x ∈(1,2)上有唯一零点．19．(7分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．参考答案1. 答案：B2. 解析：解方程f (x )＝2x －b ＝0，得x 0＝2b ， 所以2b∈(－1,1)，所以b ∈(－2,2)． 答案：A 3. 解析：f (－2)＝21e－4＜0，f (－1)＝1e －1＜0，f (0)＝e 0＝1＞0，f (1)＝e －1＞0，f (2)＝e 2－4＞0.∵f (－1)·f (0)＜0，∴f (x )在(－1,0)上必有零点． 答案：B4. 解析：把y ＝f (x )的图象向下平移一个单位后，只有C 图中的图象满足y ＝f (x )－1与x 轴无交点．答案：C5. 解析：设f (x )＝3x ＋x －3，则f (0)＝－2＜0，f (1)＝1＞0，则函数f (x )的零点即方程3x＋x ＝3的解所在的区间为(0,1)．答案：A6. 解析：由f (a )·f (b )＜0知，区间(a ，b )上至少有1个零点，由f (b )·f (c )＜0知在区间(b ，c )上至少有1个零点，故在区间(a ，c )上至少有2个零点．答案：D7. 解析：令f (x )＝a x ，g (x )＝x ＋a ，当a ＞1时，f (x )与g (x )的图象有两个交点，即函数y ＝a x －x －a 有两个零点． 答案：A8. 解析：当t ＝2时，y ＝4；当t ＝4时，y ＝16；当t ＝5时，y ＝32，故用y ＝2t 拟合最好．答案：A9. 解析：设y 1＝2x ，y 2＝11x -，在同一坐标系中作出其图象， 如图，在(1，x 0)内y 2＝11x -的图象在y 1＝2x 图象的上方， 即111x -＞2x 1， 所以2x 1＋111x -＜0， 即f (x 1)＜0，同理f (x 2)＞0.答案：B10. 解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D ，再根据v 1＜v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A11. 解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)12. 解析：S ＝(4＋x ) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x )＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252. 答案：125213. 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝13⎛⎫ ⎪⎝⎭|x |与函数y ＝2－x 的图象，两图象有1个交点，所以方程13⎛⎫⎪⎝⎭|x|＝2－x有1个实数根．答案：114.解析：设g(x)=ln x，h(x)=-3x+7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标是函数f(x)的零点．在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．由图象知函数f(x)的零点属于区间7 1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln 2e＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．所以n＝2.答案：215.解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%113⎛⎫-⎪⎝⎭n≤0.1%，即23⎛⎫⎪⎝⎭n≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg 2.解得n≥1lg22lg3--≈7.39.又n∈N*，∴n的最小值为8. 答案：816.解：∵－12是函数的一个零点，∴f12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增，∴当log14x≤0，即x≥1时，log14x≥－12，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当log14x＞0时，12≤x＜1.综上所述，x的取值范围是1,2 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17.解：由f(x)＝0，得x－1＝－12x2＋2，令y1＝x－1，y2＝－12x2＋2，分别画出它们的图象如图所示，其中抛物线顶点为(0,2)，与x轴交于点(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数y＝f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线．且f(－3)＝136＞0，f(－2)＝－12＜0，f12⎛⎫⎪⎝⎭＝18＞0，f(1)＝－12＜0，f(2)＝12＞0，所以函数零点所在区间为(－3，－2)，1,12⎛⎫⎪⎝⎭，(1,2)．18.解：(1)∵函数y＝log a x的图象恒过点(1,0)，∴函数f(x)＝log a(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝log a(x＋2)－1－12⎛⎫⎪⎝⎭x－1，∵函数F(x)的图象过点1 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴F(2)＝12，即log a4－1－12⎛⎫⎪⎝⎭2－1＝12，∴a＝2.∴F(x)＝log2(x＋2)－12⎛⎫⎪⎝⎭x－1－1.∴函数F(x)在(1,2)上是增函数．又∵F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝12＞0，∴函数F(x)在(1,2)上有零点，故函数F(x)在(1,2)上有唯一零点．19.解：(1)根据题意，得S＝()1220030130245(2200)3150t t t tt t t⎧⎛⎫-++≤≤∈⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤∈⎩NN，，，－＋，，＝240 6 000130909 0003150.t t t tt t t⎧≤≤∈⎨≤≤∈⎩NN－＋＋，，，－＋，，(2)当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，S有最大值，为6 400；当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S有最大值，为6 210.∵6 210＜6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S有最大值，为6 400元．。
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第三章函数的应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是（）解析：由二分法的定义易知选A。
答案:A2.已知函数f（x)=2x—b的零点为x0，且x0∈（—1，1),则b的取值范围是（)A.（-2,2）B。
(—1，1)C。
D.(—1，0)解析:解方程f（x)=2x—b=0，得x0=,所以∈(—1，1）,即b∈（-2,2).答案:A3.已知函数f(x)=e x—x2，则在下列区间内，函数必有零点的是(）A.(—2,-1）B。
(-1，0)C。
(0,1）D。
(1,2）解析：f(-2）=—4〈0,f(—1)=—1<0,f（0)=e0=1〉0，f(1)=e-1〉0,f(2)=e2-4>0.∵f（-1)·f(0）<0,∴f(x）在区间(—1，0）内必有零点。
答案：B4。
下列给出的四个函数f(x）的图象中能使函数y=f(x）—1没有零点的是(）解析:把y=f（x）的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x）—1与x轴无交点。
答案：C5.已知一根蜡烛长为20 cm，若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm）与燃烧时间t（单位：小时)的函数关系用图象表示为（）解析：本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得h=20—5t（0≤t≤4),故选B。
第三章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞)2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x∈Q是以他名字命名的函数，则D(D(π))＝( )A ．1B ．0C ．πD ．－13．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x 2－2x ＋1，则f(－1)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域是( )A ．[－4,0]B ．[－4,0)C ．[－4，－1)∪(－1,0]D ．(－4,0)5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm －2的图象不过原点，则m 的取值X 围为( )A ．1≤m≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝16．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0，若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值X 围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,4)D ．(－∞，1)8．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( )A ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D ．单调增区间是[－1,1] 10．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)211．关于定义在R 上的函数f (x )，下列命题正确的是( ) A ．若f (x )满足f (2 018)>f (2 017)，则f (x )在R 上不是减函数 B ．若f (x )满足f (－2)＝f (2)，则函数f (x )不是奇函数C ．若f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f (x )在R 上是减函数D ．若f (x )满足f (－2 018)≠f (2 018)，则函数f (x )不是偶函数12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[m ，n ]上有最大值f (n )D ．f (x －1)>0的解集为(－∞，1)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．15．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ，则a ＝________，f (－3)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X围为________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断f (x )在区间[3,5]上的单调性并证明； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (－2))的值； (2)若f (a )＝32，求a .19．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }满足：(1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f (x )的解析式，并求当x ∈[0,3]时，f (x )的值域．20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，某某数k的取值X围．21．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？22．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值X围．第三章单元测试卷1．解析：根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.答案：D2．解析：∵函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x ∈Q，∴D (π)＝0，D (D (π))＝D (0)＝1.故选A.答案：A3．解析：令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，令x ＝－1，得f (－1)＋g (－1)＝5，两式相加得：f (1)＋f (－1)＋g (1)＋g (－1)＝6.又∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．∴2f (－1)＝6， ∴f (－1)＝3，故选A. 答案：A4．解析：∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤－x2≤2，x ＋1≠0，∴－4≤x ≤0且x ≠－1.∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．答案：C5．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＝1或m ＝2，∴m ＝1或m ＝2.答案：B6．解析：设x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝x 2－2(－x )＝x 2＋2x .故f (x )＝|x |(|x |－2)．答案：D 7.解析：f (x )的图象如图．由图知， 若f (x －4)>f (2x －3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值X 围是(－1,4)． 答案：C8．解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A9．解析：f (x )＝－x 2＋2x ＋3则定义域满足：－x 2＋2x ＋3≥0解得：－1≤x ≤3 即定义域为[－1,3]考虑函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在－1≤x ≤3上有最大值4，最小值0. 在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为[－1,3]，值域为[0,2]，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故选CD. 答案：CD10．解析：f (2x －1)＝(2x －1)2＋2(2x －1)＋1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确．故选BD.答案：BD11．解析：由题意，对于A 中，由2 018>2 017，而f (2 018)>f (2 017)，由减函数定义可知，f (x )在R 上一定不是减函数，所以A 正确；对于B 中，若f (x )＝0，定义域关于原点对称，则f (－2)＝f (2)＝－f (2)，则函数f (x )可以是奇函数，所以B 错误；对于C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C 不正确；对于D 中，若f (x )是偶函数，必有f (－2 018)＝f ( 2018)，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，故A 正确；再令y ＝－x ，代入原式得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )，令x 1<x 2，再令x 1＝x ＋y ，x 2＝x ，则y ＝x 1－x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[m ，n ]上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又f (x －1)>0，即f (x －1)>f (0)，结合原函数在定义域内是减函数可得，x －1<0，解得x <1，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－314．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：115．解析：由定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ， 可得f (0)＝a ＝0，当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ， 则f (－3)＝－f (3)＝－(32－2×3)＝－3. 答案：0 －316．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 17．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上为增函数，证明如下： 设x 1，x 2是[3,5]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵3≤x 1≤x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[3,5]单调递增，所以 函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，函数f (x )的最大值为f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32.18．解析：(1)因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， 所以f (f (－2))＝f (－1)＝2.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，所以a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，所以a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，所以a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22. 19．解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件(1)(2)都不满足； 当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件(1)(2)都满足． 因此m ＝0，且f (x )＝x 3在区间[0,3]上是增函数， 所以0≤f (x )≤27，故f (x )的值域为[0,27]． 20．解析：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x ) ＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －22＋2，x ≥0，－x ＋22＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．21．解析：(1)由题意知D 地距B 城(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧100－x ≥10，x ≥10，∴10≤x ≤90.设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)． 又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)．(2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 时，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元． 22．解析：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.(2)因为f (x )＋f (x －2)≤3， 所以f [x (x －2)]≤f (8)，又因为对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x x －2≤8，解得2<x ≤4.故x 的取值X 围为(2,4]．。
XX 学年度学校XX 月考卷一、单项选择（注释）1、已知函数:①y ＝2x;②y ＝log 2x;③y ＝x -1;④.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是（ ）A.②①③④B.②③①④C.④①③②D.④③①②2、若则当x>1时，a 、b 、c 的大小关系是 ( )A.B. C. D.3、设函数f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且，则方程f (x)＝0在区间[－1,1]上( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一实数根 D ．没有实数根4、函数在下列哪个区间一定存在零点（ ） A ． B ． C ． D ．5、设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）A. B. C. D.21x y =2232a ,,log ,3xb xc x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c <<c b a <<c a b <<a c b <<11<022f f ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()lg 2f x x x =+-(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)3x y =xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21()00,y x 0x ()1,0()2,1()3,26、设函数，用二分法求方程 的近似根过程中，计算得到，则方程的根落在区间 ( )A ．B ．C ．D ． 7、函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线， 在用二分法研究函数的零点时， 第一次计算得到数据：，根据零点的存在性定理知存在零点 ， 第二次计算 ， 以上横线处应填的内容为（ ） A ． B ． C ． D ．9、已知函数，设，且函数F(x)的零点均在区间内，圆的面积的最小值是( ) A.B.C.D.11、设的大小关系为（ ）A. B. C. D. 12、函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D.()4,33()48f x x x =+-3480x x +-=(1)0,(3)0f f <>(1,1.5)(1.5,2)(2,2.5)(2.5,3)()y f x =R ()y f x =()()0.50,00f f -<>∈0x ()()1,0,0.25f --()()0.5,0,0.75f --()()1,0.5,0.75f ---()()0.5,0,0.25f --120172016,log log a b c ===,,a b c a b c >>a c b >>b a c >>c b a >>()()2ln 1f x x x=+-()0,1()1,2()2,e ()3,4A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5二、填空题（注释）13、 已知函数，若函数有两不同的零点，则实数的取值范围是_________.14、已知函数，若方程f （x ）+f （2﹣x ）=t 恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是 ．15、汽车在匀速行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油耗油量，单位：）与汽车行驶的平均速度(单位：)之间满足：,若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最少（单位：）,则汽油的使用率最高时，汽车速度是 。
高一数学必修一第三章测试题及答案函数的应用教学文档高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案，具体请看以下内容。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设U=r，A={x|x0}，b={x|x1}，则AUb=()A{x|01} b.{x|0c.{x|x0}D.{x|x1}【解析】Ub={x|x1}，AUb={x|0【答案】b2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=()A.log2xb.12xc.log12xD.2x-2【解析】f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxb.f(x)=1x页 1 第c.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A.【答案】A4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=()A.18b.8c.116D.16【解析】f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】c5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点b.有一个零点c.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2，函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】b6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是()A.rb.[8，+)c.(-，-2]D.[-3，+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4，+)上是减函数，ylog124=-2，函数值域为(-，-2]，故选c.页 2 第【答案】c7.定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y=x2+1b.y=|x|+1c.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选c.【答案】c8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A.(0,1)b.(1,2)c(2,3)D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选b.【答案】b9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是()A.a-3b.a3c.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.页 3 第【答案】A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xb.y=50x2-50x+100c.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对c，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选c.【答案】c11.设log32=a，则log38-2log36可表示为()A.a-2b.3a-(1+a)2c.5a-2D.1+3a-a2【解析】log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lgx)f(1)，则x 的取值范围是()A.110，1b.0，110(1，+)页 4 第c.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lgx)f(1)01，或lgx0-lgx1110，或0或110x的取值范围是110，10.故选c.【答案】c二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若UA={1}，则实数a 的值是________.【答案】-1或214.已知集合A={x|log2x2}，b=(-，a)，若Ab，则实数a的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】A={x|0【答案】415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域页5 第上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】[1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，b={x|ax-1=0，ar}，若Ab=A，则a 的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，b={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到b的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为Ab=A，所以bA，若b=，满足bA，这时a=0;若b，由bA，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点页 6 第为x1，x2(x1【解析】A={x|x-2，或x5}.要使Ab=，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】(1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，。
第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。
第三章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每小题4分，共40分）1.函数y ＝x 2－2x －3的零点是（ ）A.1，－3B.3，－1C.1，2D.不存在2.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（ ）3.方程x －1＝lg x 必有一个根的区间是（ ）A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)4.下列函数中增长速度最快的是（ ）A. B.y ＝100ln x C D.y ＝100·2xx y e 1001=100x y =5.若函数y (x )唯一的一个零点一定在三个区间(2,16)、(2,8)、(2,4)内,那么下列命题中正确的（ ）A.函数y (x )在区间(2,3)内有零点B.函数y (x )在区间(2,3)或(3,4)内有零点C.函数y (x )在区间(3,16)内无零点D.函数y (x )在区间(4,16)内无零点6.如右图所示,阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H),则该函数的图象是下面四个图形中的（ ）7.某人2006年7月1日到银行存入a 元,若按年利率x 复利计算,则到2009年7月1日可取款（ ）A.a (1＋x )2元B.a (1＋x )4元C.a ＋(1＋x )3元D.a (1＋x )3元8.已知函数f (x )＝2mx ＋4,若在［－2,1］上存在x 0,使f (x 0)＝0,则实数m 的取值范围是（ ）A ［,4］ B.(－∞,－2］∪［1,＋∞) C.［－1,2］ D.［－2,1］25-9.某商品进价为每件40元,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件,通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高,则应将每件商品定价为（ ）A.45元B.55元C.65元D.70元10.某工厂2005年生产电子元件2万件,计划从2006年起每年比上一年增产10%,则2009年大约可生产电子元件(精确到0.01万件)（ ）A.2.42万件B.2.66万件C.2.93万件D.3.22万件二、填空题(每小题4分,共16分)11.因为方程f (x )＝x －4＋2x 在区间［1,2］上满足_______,所以y (x )＝0在区间［1,2］有根.12.某工厂1993年底某种产品年产量为a ,若该产品的年平均增长率为x ,2009年底该厂这种产品的年产量为y ,那么y 与x 的函数关系式是____________.13.某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为，其中k 为常数,kt y e =t 表示时间,y 表示细菌个数.则k ＝______时,经过5小时,1个病菌能繁殖为______.14.当x ＞0时, x 2和x ln x 中较大的一个是_______.三、解答题(15、16小题各10分,17、18小题各12分,共44分)15.设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －a b 的两个零点分别是－3和2;(1)求f (x );(2)当函数f (x )的定义域是［0,1］时,求函数f (x )的值域.16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知31lg2＝0.301,lg3＝0.477)17.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度为T 0，经过一段时间t 后的温度是T,则，其中表示环境温度,h 称为半衰期.h ta a T T T T 21()(0⋅-=-a T 现在有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么由88 ℃降温到28 ℃,需要多少时间?18.星期天,刘老师到电信局打算上网开户,经询问,记录了可能需要的三种方式所花费的费用资料,现将资料整理如下:①163普通:上网资费2元/小时;②163A:每月50元(可上网50小时),超过50小时的部分资费2元/小时;③ADSLD:每月70元,时长不限(其他因素均忽略不计).请你用所学的函数知识对上网方式与费用问题作出研究:(1)分别写出三种上网方式中所用资费与时间的函数解析式;(2)在同一坐标系内分别画出三种方式所需资费与时间的函数图象;(3)根据你的研究,请给刘老师一个合理化的建议.参考答案1解析:方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝3,x 2＝－1,所以函数的零点是－1，3，故选B.答案:B2解析:C 中图象中的零点O 两侧的函数值为同号.答案:C3解析:y (x )＝lg x －x ＋1,f (0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1＜0,f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1＞0,f (0.1)f (0.2)＜0.答案:A4解析:通过三类函数增长情况的比较:知指数函数当底数大于1时,增长速度最快.因为e ＞2,所以最快.x y e 1001=答案:A5解析:依题意知,零点x 0∈(2,4),故在（4,16）内无零点,即D 正确.答案:D6解析:当时，对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，且随着h 的增大，S 2H h =随之减小，故排除A 、B 、D ，选择C.答案:C7解析:由题意知,2007年7月1日可取款a (1＋x )元,2008年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元, 2009年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元.答案:D8解析:由题意,知m ≠0,故y (x )是单调函数.又在［－2,1］上存在x 0,使f (x 0)＝0, 所以f (－2)·f (1)≤0.所以(－4m ＋4)·(2m ＋4)≤0,即(m －1)(m ＋2)≥0,得或 可解得m ≤－2或m ≥1.⎩⎨⎧≥+≥-0201m m ⎩⎨⎧≤+≤-0201m m 答案:B9解析:设每件商品定价为x 元,则月利润为［500－10(x －50)］(x －40)＝－10(x －70)2＋9 000.所以当x ＝70时,利润最大.答案:D10解析:2009年可生产2×(1＋10%)4≈2.93(万件).答案:C11答案:f (1)·f (2)＜0且f (x )的图象在［1,2］内是一条连续曲线12解析:1994年底这种产品的年产量为a (1＋x ),1995年底这种产品的年产量为a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2,1996年底这种产品的年产量为a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3……2009年底这种产品的年产量y ＝a (1＋x )16.答案:y ＝a (1＋x )1613解析:将(,2)代入 得∴k ＝ln2, k ＝2ln2.21kt e y =k e 212=21这时函数解析式为y ＝e 2t ln2＝e ln2t ＝22t ,令t ＝5,则得一个细菌经5小时繁殖为y ＝210＝1 024.答案:2ln2 1 02414解析:作出y ＝x 与y ＝ln x 的图象,可看出y ＝x 的图象在y ＝ln x 的图象的上方.因为x ＞0,x －ln x ＞0,所以x (x －ln x )＞0,故有x 2＞x ln x .答案:x 215解:(1)∵f (x )的两个零点是－3和2,∴函数图象过点(－3,0)、(2,0).∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0, ①4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.②①－②,得b ＝a ＋8. ③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0,即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0,a ＝－3,∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋)2＋＋18,2143图象的对称轴方程是x ＝,且0≤x ≤1, ∴,,21-12)1()(min ==f x f 18)0()(max ==f x f ∴函数f (x )的值域是［12,18］.16解:依题意,得·()n ≤,即≤,两边同时取常用对数,10023210001n )32(201得,故.)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n 4.72lg 3lg 2lg 1≈-+≥n 因为n ∈N *,所以n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.17解:由题意知,h 2021()2488(2040⋅-=-即,h 20)21(41=∴h ＝10.故.10)21()2488(24t T ⋅-=-∴当T ＝28时, ,1012124-882428）（）＝（⋅-即,41021(16121==t ）（∴,t ＝40,因此,约需40分钟,可降温到28 ℃. 410=t 18解:(1)上网费用y (元)与上网时间t (小时)的函数关系:①163普通:y ＝2t (t ≥0);②163A: ③ADSLD:y ＝70(t ≥0);⎩⎨⎧>-+≤≤=.50),50(250500,50t t t y ，(2)如下图所示(3)163普通:适合不常上网,偶尔上网的,当每月上网时间t ≤25小时时,这种方式划算.163A:适合每月上网25~60小时的情况.ADSLD:每月上网时间t ≥60小时的情况,用此方式比较合算。
章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为()A.PP－1B.11P－1C.11P D.P－1114．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①③B．②④C．①②D．③④5．如图1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l∶x ＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的()图16．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为()A．y＝c－ac－bx B．y＝c－ab－cxC．y＝c－bc－ax D．y＝b－cc－ax7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A．38% B．41%C．44% D．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－1200Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)()A．250300 B．200300C．250350 D．2003509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x、y)() A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？() A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.82512．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19 B．20C．21 D．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)章末检测(A )1．B [由1＋1x ＝0，得1x ＝－1，∴x ＝－1.] 2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根， 令f (x )＝x 3－22－x ，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t (0≤t ≤1)12×1×2＋(t －1)×2(1<t ≤2)＝⎩⎨⎧t 2 (0≤t ≤1)2t －1(1<t ≤2) ∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.] 8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，bx 无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．] 12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点， 即0＋0.52＝0.25.14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n . 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎨⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎨⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x ≤a 3，0.9x ≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎨⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎨⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎨⎧8t ， 0≤t <1，82(22)t，t ≥1.(2)令82·(22)t ≥2，解得t ≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎨⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1， 所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个．21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .(2)理论上指数函数定义域为R .∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}．(3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x 50；当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x 50，100<x <550，51，x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤10022x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )． 当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．。
