新版高中数学北师大版必修2习题：模块综合检测

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是()A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:由中点坐标公式得,中点坐标为,即(2,1,1),故选C.答案:C2.直线y=kx与直线y=2x+1垂直,则实数k=()A.2B.-2C.D.-解析:因为两直线垂直,所以k×2=-1,即k=-,故选D.答案:D3.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.①②C.②④D.①④解析:根据线面垂直的判定定理可知①③满足,故选A.答案:A4.已知直线l⊥平面α,直线m⫋平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的有()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:①正确,因为l⊥α,α∥β⇒l⊥β,又m⫋β,故l⊥m;②错误,直线l与m的关系不确定;③正确,因为l⊥α,l∥m⇒m⊥α,又m⫋β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;④两平面也可能相交.故选D.答案:D5.过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:设所求直线方程为2x-3y+m=0,因为点(-1,2)在直线上,所以2×(-1)-3×2+m=0,解得m=8,故所求直线方程为2x-3y+8=0,故选D.答案:D6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×22×4×π+2×2×4=16+8π.故选A.答案:A7.已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定过点A作AO⊥面BCD,垂足为O,连接BO,CO并延长,分别交CD与BD于F,E点,连接DO.因为AB⊥CD,AO⊥CD,所以CD⊥平面AOB,所以BO⊥CD,同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心,所以CO⊥BD,所以BD⊥AC.故选A.答案:A8.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()A.相离B.外切C.内切D.相交解析:圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,即(x+1)2+(y+4)2=25,表示以A(-1,-4)为圆心,以5为半径的圆.圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0,即(x-2)2+(y+2)2=10,表示以A(2,-2)为圆心,以为半径的圆.两圆的圆心距d=,|r1-r2|<d<r1+r2,故两圆相交,故选D.答案:D9.将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位长度,所得直线与x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A.0或10B.-2或8C.-3或7D.1或11解析:将直线平移后得到y=2(x+1)+λ=2x+2+λ,由题意可知,该圆圆心为(-1,2),则,解得λ=-3或λ=7,故选C.答案:C10.已知a,b为两条直线,α,β为两个平面,有下列四个结论:①a∥b,a∥α⇒b∥α;②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊥α,β⊥α⇒a∥β,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①不正确,b可以在平面α内;②不正确,b可能在平面α内;③不正确,a可以在β内;④不正确,平面β可经过直线a.所以①②③④均不正确.故选D.答案:D11.过点M(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解析:由题意可知,其中一个切点是点A(1,1),根据切线的特点可知过点A,B的直线与过点M(3,1),圆心C(1,0)的直线互相垂直,由k AB·k CM=-1,得k AB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.故选A.答案:A12.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,若四面体A'-BCD顶点在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.3π C. D.2π解析:因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,且BD⊥CD,所以CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B.又A'B2+A'D2=BD2,所以A'B⊥A'C.因为四面体A'-BCD顶点在同一球面上,所以BC是外接球的直径.因为BC=,所以球的半径R=.所以球的体积V=,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知点A(-2,3),B(1,-4),则直线AB的方程是.解析:∵k AB==-,∴直线AB的方程为y-3=-(x+2),即为7x+3y+5=0.答案:7x+3y+5=014.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为.解析:如图所示,因为OE==1,所以O'E'=,E'F=,则直观图A'B'C'D'的面积为S'=×(1+3)×.答案:15.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是.解析:已知圆的圆心为C(1,1),半径为r=1,则圆心到直线的距离为d=,因此,圆上的点到直线的最大距离为d max=+1.答案:+116.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.解析:设球的半径为R,六棱柱的底面边长为a,高为h,显然有=R.由解得所以R=1,则V球=πR3=π.答案:π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知两直线l1:2x-y+7=0,l2:x+y-1=0,点A(m,n)是l1和l2的交点.(1)求m,n的值;(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程;(3)求过点A且平行于直线l:2x-3y-1=0的直线l4的方程.解(1)因为A(m,n)是l1和l2的交点,所以由联立解得(2)由(1)得点A为(-2,3).因为=2,l3⊥l1,所以=-,由点斜式得,直线l3的方程为y-3=-(x+2),即x+2y-4=0.(3)因为l4∥l,所以k l=,由点斜式得,直线l4的方程为y-3=(x+2),即2x-3y+13=0.18.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H 是BE的中点,G是AE,DF的交点,连接GH.求证:(1)GH∥平面CDE;(2)BD⊥平面CDE.证明(1)∵四边形ADEF是正方形,且G是对角线AE,DF的交点,∴G是AE的中点.又H是BE的中点,∴在△EAB中,GH∥AB,∵AB∥CD,∴GH∥CD.又CD⫋平面CDE,GH⊈平面CDE,∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,ED⊥AD,ED⫋平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD.又BD⊥CD,且CD∩ED=D,∴BD⊥平面CDE.19.(12分)已知直线l经过两点(2,1),(6,3).(1)求直线l的方程;(2)圆C的圆心在直线l上,并且与x轴相切于点(2,0),求圆C的方程.解(1)由题意可知,直线l经过点(2,1),(6,3),由直线方程的两点式可得直线l的方程为,整理得x-2y=0.(2)依题意,设圆C的方程为(x-2)2+y2+ky=0(k≠0),其圆心为.∵圆心C在x-2y=0上,∴2-2·=0,∴k=-2.∴圆C的方程为(x-2)2+y2-2y=0,即x2+y2-4x-2y+4=0.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.分析在第(1)问中,由于圆心C及点P的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CM⊥MP,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M的坐标所满足的等式,从而得到点M的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l垂直,由此求出直线l斜率从而得到其方程,同时可求得△POM的面积.解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,计算可知O 到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.21.(12分)已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上,且圆C经过点A(5,2),B(3,2).(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点P(2,1)且与圆C相交,所得弦长为2,求直线l的方程;(3)设Q为圆C上一动点,O为坐标原点,试求△OPQ面积的最大值.解(1)设圆心P(x0,y0),由题意可知,圆心应在线段AB的中垂线上,线段AB的中垂线的方程为x=4.由得圆心P(4,5),∴半径r=|PA|=.∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时,圆心到直线l的距离为2,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),整理得kx-y+1-2k=0,则圆心到直线l的距离d=.由题意可知,d2+()2=r2,即+6=10,解得k=.所以直线l的方程为3x-4y-2=0.故直线l 的方程为3x-4y-2=0或x=2.(3)直线OP的方程为y=x,即x-2y=0.∴圆心到直线OP的距离d=.则圆上的点到直线OP的最大距离为d+r=,又|OP|=,∴△OPQ面积的最大值为|OP|(d+r)==3+.22.(12分)如图①所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是OC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)求证:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=90°,所以BE⊥AC.在题图②中,因为BE⊥A1O,BE⊥OC,A1O∩OC=O,所以BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由题意知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,A1O⫋平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,由题图①可知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.。

模块综合检测(B)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列几何体中棱柱有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选D.由棱柱定义知，①③为棱柱．2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：选A.若x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示圆的方程， 则1＋1＋4m >0，所以m >－12.3．经过点M (1，1)且在两轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y解析：选D.当直线过原点时，所求直线方程为y ＝x ；当直线不过原点时，设所求直线方程为x ＋y ＝a ，把(1，1)代入得a ＝2.所以x ＋y ＝2为所求．4．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n; ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n; ④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ； 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③解析：选D.①中与两平行平面都平行的直线可平行，可相交，还可异面，④中两直线可能垂直或异面．5．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程是( )A ．y ＝－3x 或y ＝13xB ．y ＝3x 或y ＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13xD ．y ＝3x 或y ＝13x解析：选A.由题知圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0的圆心为(2，－1)，半径为52. 设切线为y ＝kx ，则|2k ＋1|k 2＋1＝52， 解得k ＝－3或13.6．圆(x －3)2＋(y －4)2＝1关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1解析：选B.由圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心坐标为A (3，4)，而A (3，4)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(－4，－3)，所以以A ′(－4，－3)为圆心，以1为半径的圆的方程为(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1.7．某棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )A ．8＋413B ．20C ．122＋413D ．8＋12 2解析：选C.由三视图可知，该几何体为四棱锥，且四棱锥的顶点在底面的投影为底面矩形的中心．四棱锥的高为2，底面矩形的相邻两个边长分别为4、6，两相邻侧面的斜高分别为22＋32＝13、22＋22＝8＝2 2.所以侧面积为2⎝⎛⎭⎫12×4×13＋12×6×22 ＝413＋12 2.8．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)与点B (x ，－1，6)的距离为86，则x 等于( ) A ．2 B ．－8 C ．2或－8 D ．8或2解析：选C.根据空间中两点间的距离公式，得|AB |＝（x ＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2＝86.解得x ＝－8或x ＝2.9．过点P (－2，4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 之间的距离是( )A.285 B ．125C.85D ．25解析：选B.直线l 1的斜率k ＝－a3，又l 1∥l ，且l 过点P (－2，4)，所以l 的方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0. 又直线l 与圆相切，所以|4a －9|a 2＋9＝5，解得a ＝－4.所以l 1与l 之间的距离d ＝|2a －12－2a |a 2＋9＝125.10．正方体的外接球与内切球的表面积分别为S 1和S 2，则( ) A ．S 1＝2S 2 B ．S 1＝3S 2 C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 2解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的对角线，长为3，而内切球直径为1，所以S 1S 2＝⎝⎛⎭⎫312＝3，所以S 1＝3S 2.11．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0解析：选C.由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.故选C.12．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()①PB⊥AD；②平面P AB⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.A．①②B．③④C．②③D．④解析：选D.若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60 °角，①错误；过A作AG⊥PB，若平面P AB⊥平面PBC，所以AG⊥BC，又因为P A⊥BC，所以BC⊥平面P AB，所以BC⊥AB，矛盾，②错误；BC与AE是相交直线，所以直线BC一定不与平面P AE平行，③错误；在Rt△P AD中，由于AD＝2AB＝P A，所以∠PDA＝45°，④正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．直线l1的斜率为1，直线l2在x轴的截距为3，且l1∥l2，则直线l2的方程是________．解析：因为l1∥l2，直线l1的斜率为1，所以直线l2的斜率为1.又直线l2在x轴的截距为3，由点斜式可知直线l2的方程是y＝x－3，即x－y－3＝0.14.如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2. 所以S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案：2 215．正方体不在同一表面上的两个顶点的坐标分别为A (1，3，1)，B (5，7，5)，则正方体的棱长为________．解析：由题意可知，|AB |为正方体的体对角线长．设正方体的棱长为x ，则|AB |＝3x . 因为|AB |＝（5－1）2＋（7－3）2＋（5－1）2＝43，所以43＝3x ，即x ＝4. 答案：416．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．解析：圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝4.先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P 到圆心的距离为22”．再将“直线上存在点P 到圆心的距离为22”转化为“圆心到直线的距离小于等于22”．即|3k |k 2＋1≤22，解得－22≤k ≤2 2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在的直线方程为2x －y －2＝0，点C (2，0)．(1)求直线CD 的方程；(2)求AB 边上的高CE 所在的直线方程． 解：(1)因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥CD . 所以k CD ＝k AB ＝2.所以直线CD 的方程为y ＝2(x －2)， 即2x －y －4＝0. (2)因为CE ⊥AB ， 所以k CE ＝－1k AB ＝－12.所以直线CE 的方程为y ＝－12(x －2)，即x ＋2y －2＝0.18．(本小题满分12分)一个长、宽、高分别是80 cm ，60 cm ，55 cm 的水槽中有水200 000 cm 3，现放入一个直径为50 cm 的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？解：水槽的容积为V 水槽＝80×60×55＝264 000(cm 3)． 因为木球的三分之二在水中，所以木球在水中部分的体积为 V 1＝23×43πR 3＝89π×⎝⎛⎭⎫5023＝125 0009π(cm 3)，所以水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为 V ＝200 000＋125 0009π<200 000＋125 0009×4<264 000(cm 3)，所以V <V 水槽，故水不会从水槽中流出．19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点， 圆内的动点P (x 0，y 0)满足|PO |2＝|P A |·|PB |，求x 20＋y 20的取值范围．解：(1)由题意知，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1，0)，B (x 2，0)，x 1<x 2， 由x 2＝4，得A (－2，0)，B (2，0)， 由|PO |2＝|P A |·|PB |， 得（x 0＋2）2＋y 20·（x 0－2）2＋y 20＝x 20＋y 20，整理得x 20－y 20＝2，所以令t ＝x 20＋y 20＝2y 20＋2＝2(y 20＋1)．因为点P (x 0，y 0)在圆O 内，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20<4，x 20－y 20＝2，由此得0≤y 20<1，所以2≤2(y 20＋1)<4， 所以t ∈[2，4)，所以(x 20＋y 20)∈[2，4)．20.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B -PC -A 的正切值．解：(1)证明：因为P A⊥平面ABCD，BD平面ABCD, 所以P A⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又P A∩PC＝P，所以BD⊥平面P AC.(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.因为PC⊥平面BDE，BE、OE平面BDE.所以PC⊥BE，PC⊥OE.所以∠BEO即为二面角B-PC-A的平面角．由(1)知BD⊥平面P AC.又OE、AC平面P AC，所以BD⊥OE，BD⊥AC，故矩形ABCD为正方形，所以BD＝AC＝22，BO＝12BD＝ 2.由P A⊥平面ABCD，BC平面ABCD得P A⊥BC.又BC⊥AB，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.而PB平面P AB，所以BC⊥PB.在Rt△P AB中，PB＝P A2＋AB2＝5，在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE，得BE＝253.在Rt△BOE中，OE＝BE2－BO2＝23.所以tan∠BEO＝BO＝3，OE即二面角B -PC -A 的正切值为3.21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝k (x ＋22)与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S .(1)试将S 表示成k 的函数S (k )，并求出它的定义域； (2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值． 解：(1)如图，直线l 的方程为kx －y ＋22k ＝0(k ≠0)，原点O 到l 的距离为|OC |＝22|k |1＋k 2，弦长|AB |＝2|OA |2－|OC |2＝24－8k 21＋k 2，△ABO 的面积S ＝12|AB |·|OC |＝42k 2（1－k 2）1＋k2. 因为|AB |>0，所以－1<k <1(k ≠0)， 所以S (k )＝42k 2（1－k 2）1＋k 2，定义域为{k |－1<k <1且k ≠0}．(2)令11＋k 2＝t ，因为－1<k <1且k ≠0， 所以12<t <1，所以S (k )＝42k 2（1－k 2）1＋k 2＝42－2t 2＋3t －1 ＝4 2－2⎝⎛⎭⎫t －342＋18. 所以当t ＝34，即11＋k 2＝34，k 2＝13， k ＝±33时，S max ＝2.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P -ABCD 的体积．解：(1)证明：如图所示，连接AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE ，因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF .由上述CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AF ，BG ⊥PF .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855. 于是P A ＝BF ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P -ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.。

北师大版必修2 模块综合测评卷一、选择题（60分）1、直线0333=-+y x 的倾斜角为（ ）A 、-30°B 、30°C 、120°D 、150°2、已知直线l 过点P （-1，3），圆C ：422=+y x ，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）。

A 、相切B 、相交C 、相切或相交D 、相离3、有以下四种说法：①棱台的两条不相邻的侧棱延长后相交于一点；②四条侧棱长都相等的棱台，一定是正四棱台；③棱台的高可以和它的某一条侧棱长相等；④有两个面是相互平行的相似多边形，其余各面都是梯形的多面体一定是棱台。

其中错误说法的个数为（ ）。

A 、1B 、2C 、3D 、44、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、10B 、6C 、12D 、85、若点P （2，-1）为圆()25122=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 、x-y-3=0 B 、2x+y-3=0 C 、x+y-1=0 D 、2x-y-5=06、已知直线1l ：y=kx 和2l ：x+ky-2=0相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）。

A 、122=+y xB 、()1122=+-y x C 、)0(122≠=+x y x D 、()()01122≠=+-x y x 7、表面积为π16的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若△ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为（ ）。

A 、439B 、239 C 、39 D 、3188、设βα,是两个平面，a ，b ，c 是三条直线，则下列说法正确的是（ ）①若a//b ，a//c ，则b//c ；②若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ；③若a ⊥α，a ⊥β，则α//β；④若α⊥β，b =βα ，α⊆a ，a ⊥b ，则a ⊥β。

A 、①③B 、②③④C 、①②④D 、①②③④9、三棱锥P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）。

模块综合检测（A ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线x ＝tan 60°的倾斜角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．不存在 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )4．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l α，n β，则l ∥nB ．若α⊥β，l α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β5．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A ．32B ．34C ．2 5D ．6556．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝07．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝08．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 9．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或或2B ．12或23C ．2或0D ．－2或011．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．在平面直角坐标系中，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)的距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A(－2,3,4)，在y轴上有一点B，且|AB|＝35，则点B的坐标为________．14．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．15．如图，某几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，左视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．16．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．18．(12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为62的直线AB 的方程．19．(12分) 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点，求证PA ∥平面EDB ．20．(12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．(1)求证D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．21．(12分)已知M 与两定点O (0,0)、A (3,0)的距离之比为12．(1)求M 点的轨迹方程；(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′的方程．22．(12分) 如图，在五面体ABC －DEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°．(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明CD ⊥平面ABF ；(3)求二面角B －EF －A 的正切值．模块综合检测(A) 答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2－22＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30°∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图像向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图像．]8．A [由于AD →＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位，若与原图像重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB .∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.] 13．－12解析 sin 2 010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22， ∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×－1＋2×3－12＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得T22＋1＋12＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图像过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)．17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12， ∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝1＋cos 2x 2－2cos 2x －1sin π4＋x sin π4－x＝cos 22x sin π4＋x cos π4＋x ＝2cos 22xsin π2＋2x＝2cos 22x cos 2x＝2cos 2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是()A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:由中点坐标公式得,中点坐标为--,即(2,1,1),故选C.答案:C2.直线y=kx与直线y=2x+1垂直,则实数k=()A.2B.-2C.D.-解析:因为两直线垂直,所以k×2=-1,即k=-,故选D.答案:D3.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.①②C.②④D.①④解析:根据线面垂直的判定定理可知①③满足,故选A.答案:A4.已知直线l⊥平面α,直线m⫋平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的有()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:①正确,因为l⊥α,α∥β⇒l⊥β,又m⫋β,故l⊥m;②错误,直线l与m的关系不确定;③正确,因为l⊥α,l∥m⇒m⊥α,又m⫋β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;④两平面也可能相交.故选D.答案:D5.过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:设所求直线方程为2x-3y+m=0,因为点(-1,2)在直线上,所以2×(-1)-3×2+m=0,解得m=8,故所求直线方程为2x-3y+8=0,故选D.答案:D6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×22×4×π+2×2×4=16+8π.故选A.答案:A7.已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定过点A作AO⊥面BCD,垂足为O,连接BO,CO并延长,分别交CD与BD于F,E点,连接DO.因为AB⊥CD,AO⊥CD,所以CD⊥平面AOB,所以BO⊥CD,同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心,所以CO⊥BD,所以BD⊥AC.故选A.答案:A8.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()A.相离B.外切C.内切D.相交3 解析:圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,即(x+1)2+(y+4)2=25,表示以A (-1,-4)为圆心,以5为半径的圆.圆C 2:x 2+y 2-4x+4y-2=0,即(x-2)2+(y+2)2=10,表示以A (2,-2)为圆心,以 为半径的圆.两圆的圆心距d= ,|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,故两圆相交,故选D . 答案:D9.将直线2x-y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位长度,所得直线与x 2+y 2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( ) A .0或10 B .-2或8 C .-3或7D .1或11解析:将直线平移后得到y=2(x+1)+λ=2x+2+λ,由题意可知,该圆圆心为(-1,2),则- -- ,解得λ=-3或λ=7,故选C . 答案:C10.已知a ,b 为两条直线,α,β为两个平面,有下列四个结论:①a ∥b ,a ∥α⇒b ∥α;②a ⊥b ,a ⊥α⇒b ∥α; ③a ∥α,β∥α⇒a ∥β;④a ⊥α,β⊥α⇒a ∥β,其中不正确的有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个解析:①不正确,b 可以在平面α内;②不正确,b 可能在平面α内;③不正确,a 可以在β内;④不正确,平面β可经过直线a.所以①②③④均不正确.故选D . 答案:D11.过点M (3,1)作圆C :(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( ) A .2x+y-3=0 B .2x-y-3=0 C .4x-y-3=0D .4x+y-3=0解析:由题意可知,其中一个切点是点A (1,1),根据切线的特点可知过点A ,B 的直线与过点M (3,1),圆心C (1,0)的直线互相垂直,由k AB ·k CM =-1,得k AB =-2,所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.故选A . 答案:A12.如图所示,在四边形ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD ⊥CD ,将其沿对角线BD 折成四面体A'-BCD ,使平面A'BD ⊥平面BCD ,若四面体A'-BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )A.B.3πC.D.2π解析:因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,且BD⊥CD,所以CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B.又A'B2+A'D2=BD2,所以A'B⊥A'C.因为四面体A'-BCD顶点在同一球面上,所以BC是外接球的直径.因为BC=,所以球的半径R=.所以球的体积V=,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知点A(-2,3),B(1,-4),则直线AB的方程是.解析:∵k AB=--=-,∴直线AB的方程为y-3=-(x+2),即为7x+3y+5=0.--答案:7x+3y+5=014.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为.解析:如图所示,因为OE=-=1,所以O'E'=,E'F=,则直观图A'B'C'D'的面积为S'=×(1+3)×.答案:15.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是.解析:已知圆的圆心为C(1,1),半径为r=1,则圆心到直线的距离为d=--,因此,圆上的点到直线的最大距离为d max=+1.答案:+116.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.解析:设球的半径为R,六棱柱的底面边长为a,高为h,显然有=R.-由六棱柱解得所以R=1,则V球=πR3=π.答案:π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知两直线l1:2x-y+7=0,l2:x+y-1=0,点A(m,n)是l1和l2的交点.(1)求m,n的值;(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程;(3)求过点A且平行于直线l:2x-3y-1=0的直线l4的方程.解(1)因为A(m,n)是l1和l2的交点,所以由--联立解得-(2)由(1)得点A为(-2,3).因为=2,l3⊥l1,所以=-,由点斜式得,直线l3的方程为y-3=-(x+2),即x+2y-4=0.(3)因为l4∥l,所以k l=,由点斜式得,直线l4的方程为y-3=(x+2),即2x-3y+13=0.18.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H 是BE的中点,G是AE,DF的交点,连接GH.求证:(1)GH∥平面CDE;(2)BD⊥平面CDE.证明(1)∵四边形ADEF是正方形,且G是对角线AE,DF的交点,∴G是AE的中点.又H是BE的中点,∴在△EAB中,GH∥AB,∵AB∥CD,∴GH∥CD.又CD⫋平面CDE,GH⊈平面CDE,∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,ED⊥AD,ED⫋平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD.又BD⊥CD,且CD∩ED=D,∴BD⊥平面CDE.19.(12分)已知直线l经过两点(2,1),(6,3).(1)求直线l的方程;(2)圆C的圆心在直线l上,并且与x轴相切于点(2,0),求圆C的方程.解(1)由题意可知,直线l经过点(2,1),(6,3),由直线方程的两点式可得直线l的方程为----,整理得x-2y=0.(2)依题意,设圆C的方程为(x-2)2+y2+ky=0(k≠0),其圆心为-.∵圆心C在x-2y=0上,∴2-2·-=0,∴k=-2.∴圆C的方程为(x-2)2+y2-2y=0,即x2+y2-4x-2y+4=0.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.分析在第(1)问中,由于圆心C及点P的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CM⊥MP,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M的坐标所满足的等式,从而得到点M的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l垂直,由此求出直线l斜率从而得到其方程,同时可求得△POM的面积.解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,计算可知O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.21.(12分)已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上,且圆C经过点A(5,2),B(3,2).(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点P(2,1)且与圆C相交,所得弦长为2,求直线l的方程;(3)设Q为圆C上一动点,O为坐标原点,试求△OPQ面积的最大值.解(1)设圆心P(x0,y0),由题意可知,圆心应在线段AB的中垂线上,线段AB的中垂线的方程为x=4.由∴半径r=|PA|=.--得圆心P(4,5),∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时,圆心到直线l的距离为2,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),整理得kx-y+1-2k=0,则圆心到直线l的距离d=.由题意可知,d2+()2=r2,即-+6=10,解得k=.所以直线l的方程为3x-4y-2=0.故直线l的方程为3x-4y-2=0或x=2.(3)直线OP的方程为y=x,即x-2y=0.∴圆心到直线OP的距离d=.则圆上的点到直线OP的最大距离为d+r=,又|OP|=,∴△OPQ面积的最大值为|OP|(d+r)==3+.22.(12分)如图①所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是OC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)求证:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=90°,所以BE⊥AC.在题图②中,因为BE⊥A1O,BE⊥OC,A1O∩OC=O,所以BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由题意知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,A1O⫋平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,由题图①可知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.。

最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3πC.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V＝34×π×12×4＝3π. 答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.答案：C5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．答案：D6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴y＋1＝x －2，即x－y－3＝0.答案：A7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋(－3)2＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A(1,1)，(x －1)2＋(y －1)2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M(x ，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y|＋1.答案：x 2＝2|y|＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P(2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A(3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B(－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. (6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC ∩面ABCD＝BC，∴OG ⊥面PBC ，即线段OG 的长度为点O 到平面PBC 的距离．(8分) 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴△BCD 为正三角形，且BC ＝a ，由余弦定理可得AC ＝3a ， ∴OB ＝a 2，OC ＝32a.(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ， 即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a.即E 到平面PBC 的距离为34a.(12分)17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.(12分)18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1， 又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d. 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.(14分)。

最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合检测（B）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R, 则这个几何体的体积是（）A. -Tt R3B. 2兀R3C.兀R3D. -Tt R33 3 32.已知水平放置的^ ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B' O' = C' O3=1, A O=手，那么△ ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形3.已知直线m、n与平面a、3 ,给出下列三个语句：①若m // a , n // a ,则m // n; ②若m // a , n, a ,则n± m;③若m± a , m//3,则a，3.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知两点A（—1,3）, B（3,1）,当C在坐标轴上，若/ ACB= 90° ,则这样的点C的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.三视图如图所示的几何体的全面积是（）A. 2+ 2B. 1+ 2C. 2+ 3D. 1+ 36.已知圆心为(2, — 3), 一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是(A.(x—2)2+(y+3)2=5B.(x-2)2+(y+3)2=21C.(x-2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y+3)2=527.如右图，在正四棱柱ABCD- ABC1D1中，E、F分别是AB i、BG的中点，则以下结论中不成立的是( )A. EF与BB i垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A i C i异面8.过圆x2+y2=4上的一点（1,3）的圆的切线方程是（）A. x+S y-4=0B. \l"3x — y= 0C. x+M=0D. x-黄y—4=09.若x、y 满足x2 + y2—2x+4y—20=0,则x2+y2的最小值是（）A.器-5B. 5-V5C. 30— 10 5D.无法确定10.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴者B相切，则该圆的标准方程是( )A.(x-3)2+(y-7)2=13B.(x—2)2+(y—1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=13 2 2D.x—2 +(y—1) = 111.设r>0,两圆(x—1)2+(y+3)2=r2与x2+y2= 16 可能( )A.相离B.相交C.内切或内含或相交D,外切或外离12. 一个三棱锥S— ABC的三条侧棱SA、SR SC两两互相垂直，且长度分别为1,水, 3,已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A. 16 兀B. 32 兀C. 36 兀D. 64 兀二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知11：2x+my+1 = 0与12：y=3x- 1,若两直线平行，则m的值为14.如图所示，已知ABL平面BCD, BC± CD,则图中互相垂直的平面有15.已知直线5x+ 12y+a= 0与圆x2 —2x+y2= 0相切，则a的值为.16.过点P(1,/)的直线l将圆C: (x—2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 分)已知△ ABC中，/ ACB= 90° ,SAL平面ABC, AD± SC.求证：AD,平面SBC.AC 边上的高线 BH 所在直线方程为 x- 2y —5= 0,求⑴顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.19. (12分)已知点P(0,5)及圆 得的线段长为4、/3,求l 的方程.18. (12分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1), AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5= 0, C: x2+y2+4x-12y + 24=0,若直线l 过点P 且被圆C 截20.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S=2TT rl,其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R, 高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？.(12分)如图，长方体ABO ABC1D1中，AB= AD= 1, AA1=2,点P为DDi的中点. 求证：(1)直线BD1//平面PAC;(2)平面BDDi,平面PAC;(3)直线PB，平面PAC.22.(12 分)已知方程x2 + y2—2x—4y+m= 0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x+ 2y—4= 0相交于M、N两点，且OM，ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.模块综合检测(B)答案1. D [由三视图知该几何体为半径为R的球，知V= 47t R3.] 32. A3. C [①中m与n可能相交，也可能异面，・•.①错误.]4. C [由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点.以AB为直径的方程是(x+1)(x-3) + (y-3)(y-1)=0,令x= 0,解得y= 0 或4;令y = 0,解得x= 0或2.所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0), (0,4), (2,0).]5. A [由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示.故全面积S= 2+ 2J2.]6. C [该圆过原点.]7. D [连接AB, .. E是AB i 中点，・•. EC A1B,，EF是△A i BC i 的中位线，EF// AiO,故D不成立.]8. A [过圆x2+y2= r2上一点(x o, y0)的切线方程为x o x+ y o y=r2.]9. C [配方得(x—1)2+(y+2)2 = 25,圆心坐标为(1, —2),半径r = 5,所以"27了的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即 5 —、/5,故可求x2+y2的最小值为30—10\/5.]10.B [设圆心为(a, b),由题意知b=r=1,」|4a-3| p - -1.= ^2—又. a>0,…a= 2,，圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2= 1.]11.C [由于点(1, —3)在圆x2+y2=16内，所以内切或内含或相交. ]12.A [以三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4.，球半径为2, S球=4TI R2=16兀.]13.14. 平面 ABD ，平面 BCD,平面 ABC ，平面BCD,平面 ABC ，平面 ACD.15. 8 或—1816.解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为17. 证明 •. /ACB= 90° , .BC±AC. 又SAL 平面ABC, BC 平面ABC, • .SAL BC,又 SAP AC=A, 「•BC ，平面 SAC. . AD 平面 SAC, BC± AD.又 SC AD, SCn BC= C, SC 平面 SBC, BC 平面 SBC, ADJ 面 SBC.18 .解(1)由题意，得直线 AC 的方程为 2x+ y — 11 = 0.得点C 的坐标为（4,3）.、“m+ 5(2)设 B(m, n), M ,n+ 1于是有 m + 5 — 2— — 5=0,即 2m —n —1 = 0 与 m —2n — 5= 0 联立, 解得B 点坐标为(—1, — 3), 于是有 I BC ： 6x-5y-9= 0.19 .解解析I5M + 12X0+a| .52+ 1221,解得a= 8或—18.2x — y — 5= 02x+ y- 11 = 0n+ 1 2r 因为R= H-x所以r= R一—•x.H如图所示，|AB|= 4木,设D是线段AB 的中点，则CD± AB,，|AD|= 25，|AC|= 4. 在Rt^ACD中，可得|CD|=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为：v— 5=kx,即kx—y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：| 216^ 5| = 2,得k = 3,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.,'k + 1 4又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0.，所求直线l的方程为x=0或3x—4y+20=0.20.解（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面（如图所示）.设所求圆柱的底面半径为r,它的侧面积S圆柱侧=2 71rx.所以S 圆柱侧= 2 兀Rx—(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值.H这时圆柱的高x= 2.故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.21.证明(1)设ACn BD= O,连接PO,在4 3口口中，•••P、O分别是DD1、BD的中点，PO// BD1,又PO 平面PAC, BD1 /平面PAC,・・・直线BD1//平面PAC.(2)长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB=AD= 1,「•底面ABCD是正方形，AC± BD.又DDL平面ABCD, AC 平面ABCD,AC± DD i,又BDA DDi= D, BD 平面BDDi,DDi 平面BDDi, •. AC,平面BDDi,. AC 平面PAC,・•・平面PAC,平面BDDi.(3)「PC2=2, PB2=3, B i C2=5,・•.PC2+ PB2=B i C2, APB i C是直角三角形，PB i^PC.同理PB iX PA,又PAn PC= P, PA 平面PAC,PC 平面PAC, •,・直线PBi,平面PAC.22.解(i)(x—i)2+(y —2)2=5—m, .. m<5.(2)设M(x i, y i), N(x2, y2),则xi=4 — 2yi, x2=4 — 2y2,则x i*= i6—8(y i+y2) + 4y i y2.OMXON, x i x2+ y i y2= 0.&知识就是力量&•• i6 — 8(y i+y?) + 5y[y2= 0 ①x= 4— 2yx2+ y2— 2x— 4y+ m= 0得5y2— 16y+ m + 8 = 016 8+myi + y2 = —, yiy2=-.5 5,.、一8代入①得，m=-.5(3)以MN为直径的圆的方程为(x— x i)(x — X2)+ (y — y i)(y — y2)= 0即x2+ y2—(x i + x2)x— (y i+ y2)y= 0「•所求圆的方程为x2+ y2—_x——y=0.5 5。

新改版北师大版高中数学必修二综合检测卷（附答案）一、单选题
1．函数的值域为（）
A．B．C．D．
2．单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点，，其中，，设由，，三点确定的平面截该正方体的截面为，那么（）A．对任意点，存在点使截面为三角形
B．对任意点，存在点使截面为正方形
C．对任意点和，截面都为梯形
D．对任意点，存在点使得截面为矩形
3．已知，则的值为（）
A．B．C．D．
4．的值是（）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点在线段上(与点，不重合)，若，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．
7．如图，在四棱锥中，底面，，，四边形为矩形，四棱锥的体积为，则四棱锥外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
8．设为虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为( )
A．-1B．C．-2D．
9．如图，平面内与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则（）．
A．4B．5C．6D．7
10．在中，角、、的对边分别为、、，且，则的形状为（）．A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
二、多选题
11．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（）
A．B．C．1D．
12．如图所示，已知二面角的大小为，，分别是，的中点，，分别在，上，，且平面，则以下说法正确的是（）。

数学必修二模块试题石油中学 胡伟红一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）（A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱3、若直线2x －3y+6=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转450角，则此时在x 轴上的截距是 ( ) A. 54-B. 52- C. －45 D. 524．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 （ ）A ．24B ．22C ．18D ．165．在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的射影长度总和是 （ ）A ．36B ． 26C ．6D ．636、如果直线沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A. －31B. －3C. 31D . 37．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a3、过点P （1，1）作直线L 与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线L 有（ ）（A ）、一条 （B ）、两条 （C ）、三条 （D ）、四条 9．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至 把容器注满．在注水过程中水面的高度曲线如右图所示， 其中PQ 为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C 对面的字母分别为（ ）A) D ,E ,F B) F ,D ,E C) E, F ,D D) E, D,F二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果． 11．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_______12．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.13．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是14．．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 三、解答题：本大题满分44分．15．（10分）过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.16.（10分）已知圆心在直线2x+y=0，且过点A （2，－1），与直线x －y －1=0相切，求圆的方程。