2020届渭南市一模理数考试试题
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渭南市2020年高三教学质量检测（I ）
数学试卷（理科）
命题人：陈乾运 王建龙 乐兴贵
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.
3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集U
R =,集合{}02A x x =<<，{}3,1,1,3B =--,则集合()U C A B =
A ．{3,1}--
B ．{3,1,3}
--
C ．{1,3}
D ．{1,1}- 2. 已知i 为虚数单位，若
1
(,)1a bi a b R i
=+∈-，则22a b += A ．2 B ．4 C ．1
4 D ．
12
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,1]上单调递增的是
A ．
1
y x
=
B ．
sin y x
= C ．
tan y x = D. 1
()2
x y =
4. 设数列
{}n a 是正项等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37S =，则公比q =
A ．
1
3
B ． 3
C ． 12
D ．2
5. 函数3
()e 1
x x f x =+的图象大致是
6. 已知,m n 为两条不同的直线，
,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．若,,m m n α⊥⊥则//n α；
B ．若,//,m n αβ⊥且//,αβ则m n ⊥；
C. 若,n ,m αα⊆⊆且//,//,m n ββ则//;α
β
D. 若直线,m n 与平面α所成角相等，则//.m n
7. 执行下图所示的程序框图，输出S 的值为 A ． 5
B ．6
C. 8
D. 13
8. 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图有如下结论： ①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳. 其中正确的个数为 A ．1
B. 2
C. 3
D. 4
9.已知12,F F 分别是双曲线()22
2
210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 A ．
(2 B ．)
3,+∞ C ．()1,2
D ．
()2,+∞
10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个数学问题 “将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为122
≤+y x ，若将军从点)0,2(A 处出
发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的
最短总路程为 A ．2
51 B ．110- C ．5．10
F C
A
D
P
M
B E
11. 设函数
()2sin(2)3
f x x π
=-的图象为C ，下面结论中正确的是
A ．函数
()f x 的最小正周期是2π
; B ．函数
()f x 在区间(,)122
ππ
上是递增的;
C ．图象C 关于点7(
,0)6
π
对称; D ．图象C 由函数()sin 2g x x =的图象向左平移
23
π个单位得到.
12. 已知函数
()ln ,11,12
x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()1F x f f x m =++⎡⎤⎣⎦（m 为常数）有两个零点
12,
x x ，则12x x ⋅的取值范围是
A
．
(-∞ B ．)+∞
C ．(],42ln 2-∞-
D ．[)42ln 2,-+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知数列
{}n a 的前n 项和(1)2n S n n =++，其中*n ∈N ,则n a = ________．
14.设D 为ABC ∆所在平面内一点，若
3AD BD =，CD CA CB λμ=+
，则
μ
λ
=
_____． 15. 从
8
x （的展开式各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为______． 16. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为6的等边三角形， PAB
∆是以
AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分． 17.(本题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形， 135BCD ∠=，PA ⊥
平面
ABCD ,2AB AC PA ===, ,,E F M 分别为线段,,BC AD PD 的中点.
（I ）求证：直线EF
⊥平面PAC ；
（Ⅱ）求平面MEF 与平面PBC 所成二面角的正弦值.
18.(本题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B 是A ，C 的等差中项.
（I ）若3b a ==，求边c 的值；
（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的取值范围.
19．(本题满分12分)2019年某地区数学竞赛试行改革：在高二年级一学年中举行5次全区竞赛，学生有2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加剩余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全
区前20名的概率都是
1
3
，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （I ）求该学生进入省队的概率．
（Ⅱ）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为
X ，求X 的分布列
及X 的数学期望．
20.(本题满分12分)已知函数
()lnx f x =，2
1()2
g x x bx =
-（b 为常数）. （I ）若1b =,求函数()()()H x f x g x =-图象在1x =处的切线方程；
（Ⅱ） 若2b ≥，对任意1,2[1,2]x x ∈，且12x x ≠都有1212()()()()
f x f x
g x g x ->-成立，
求实数b 的值.
21.(本题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2
4y x =的焦点相
同，12,F F 为C 的左、右焦点. M 为C 上任意一点，12MF F S ∆最大值为1. （I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）直线():
0l y kx m m =+≠交椭圆C 于,A B 两点.
①若21
2
k =
，且AOB
S =
m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线2AF 与2BF 距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
（二）选考题：22. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系
xoy
中，直线的参数方程为33x t
y t =⎧⎪⎨=-⎪⎩
（t 为参数），曲线1C 的参数方程为
22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标
系，曲线2C 的极坐标方程为232sin ρθθ=-. （I ）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 交曲线1C 于,O A 两点，交曲线2C 于,O B 两点，求AB 的长.
23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知0,0,0a
b c >>>，函数()||||f x a x x b c =-+++．
（I ）当2a b c ===时，求不等式()10f x <的解集；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为1，证明：2221
3
a b c ++≥
．。
