八年级角平分线与等腰三角形(有难度)

腾大教育教师辅导教案

授课时间：2014年2月12日学员姓名年级八年级辅导课目数学

学科教师班主任课时数 3

教学课题角平分线与等腰三角形

教

学目标1.讲解处理角平分线问题的一般方法

2.回顾等腰三角形的性质，并利用其性质解题

教

学重难点1.学会将复杂问题简单化

2.灵活运用所学方法

教学内容课堂收获

一、角平分线问题

（一）角平分线处理角与角之间的关系

例1.如图，CP、BP分别是△ABC的外角∠BCM、∠CBN的平分线，求证：AP平分∠BAC.

注：考虑，如果BP、CP是三角形两个内角的平分线，AP会不会平分∠BAC.

练习：1.如图，有两两相交的三条公路a、b、c，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）

A. 1处

B. 2处

C. 3处

D. 4处

2.（全国联赛）如图，AA 1、BB 1分别是∠EAB 、∠DBC 的角平分线，若AA 1=BB 1=AB ，则∠BAC=

（二）构造直角三角形是常用的处理方式 例2.如图，BD=DC ，ED ﬩BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ﬩AB ，EN ﬩AC.求证：BM=CN

例3.已知如图，在△ABC 中，∠BAC=︒90,AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ﬩BE.求证：CE=2

1BD.

注：遇到角平分线时，我们常常要构造直角三角形，前面的例1和例2分别体现了两种构造直角三角形的情形。

练习：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ﬩AB 于E ，且AE=2

1

(AB+AD).

求∠ABC+∠ADC 的度数。

例4.如图，在△ABC 中，∠ABC=︒120，∠ABC 的平分线交AC 于M ，∠BCA 的邻补角的平分线交AB 的延长线于点P ，连接MP 交BC 于K ，求∠AKM 的度数。

练习：

课后练习：

1.如图，在△ABC中，∠C=

90,BC=AC，DA平分∠CAB交BC于D，问：能否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB之长？

2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）

A. m+n ˃b+c

B. m+n ˃b+c

C. m+n = b+c

D. 不能确定

第2题 第3题 3.（“希望杯”）如图，在△ABC 中，∠A=︒96,延长BC 到D ，∠ABC 和∠ACD 的平分线相交于A 1点，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于A 2点，以此类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分

线相交于A 5点，

则∠A 5的大小是（ ）

A. ︒3

B. ︒5

C.︒8

D. ︒2.19

4.(天津竞赛)如图，已知∠1=∠2，EF ﬩AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：∠M=2

1

(∠ACB-∠B).

5.(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB=a ，AD=b ，且BC=DC ，角平分线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠D+∠B=︒180，画图证明。

二、等腰三角形

（一）角与角间的关系。角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在△中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理，等腰△两底角相等。利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系。 例1.如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ ） A.︒30 B.︒32 C.︒36 D.︒40

练习:1.如图，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB.求∠A.

(二)等腰三角形中考察分类讨论思想。以底和腰的选择确定分类或与坐标系联系考综合题。

例2.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），问在坐标轴上可以找到几个B，使△AOB为等腰三角形？

练习：

（三）证明线段相等。证明线段相等是最基本的几何问题，常用的证法有：

（1）若两线段（角）属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；

（2）若两线段（角）是同一个三角形的两边（角），则考虑用等角（边）对等边（角）；（3）寻找中间线段（角），通过等量代换证明。

例3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB边上的一点，经过D作FE﬩BC于点E，与CA的延长线交于点F，求证：AD=AF.

练习：1.如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC= 。

2.

例4.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=︒

90，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=︒

15，求证：BD=BA

注：对于︒

90、︒

120等具有特殊数量关系的角度，要注意联想，从

60、︒

45、︒

30、︒

而构造相应的图形。这是解特殊三角形、特殊四边形的一个常用技巧。

练习：

1.如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=︒

44，M为△ABC内一点，使得∠MCA=︒

30，∠MAC=︒

16,求∠BMC的度数。

2.如图，在△ABC 中，M 是其内一点，∠MBC=20︒，∠ABC=︒60，CM 平分∠ACB ，且∠ACB=20︒，求∠BAM.

课后练习：

1.在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直高度MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75︒，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直高度NB 为bm ，梯子的倾斜角为45︒，则这间房子的宽AB 是 m 。

2.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④

3.如图，在△ABC 中，∠BAC=︒120，AD ﬩BC 于D ，且AB+BD=DC ，则∠C 的大小（ ）

A. ︒20

B. ︒25

C. ︒30

D.︒45

4.（俄罗斯竞赛）如图，在△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取一点M ，在MC 上取一点N ，使MN=NA ，若∠BAM=∠NAC ，则∠MAC= 。