数模(差分方程模型)

数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。

本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。

差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。

这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。

例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。

差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。

一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。

此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。

以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。

设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。

我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。

差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。

第7章 差分方程模型在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。

有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。

本章将主要讨论差分方程模型。

7.1市场经济中的蛛网模型在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。

这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。

生产者看到有利可图，有重操旧业。

这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。

在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。

本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。

蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。

同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设()k k y f x = (1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。

下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2)这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。

差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

第八章 差分方程模型在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。

例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。

这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。

描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。

对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

下面介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。

函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。

下面给出差分的定义。

设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。

显然，t y 的取值是一个序列。

当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。

由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。

当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。

按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。

函数)(t f y t =在t 的一阶差分的差分为函数在t 的二阶差分，记作t y 2∆，即)()()(11212t t t t t t t t y y y y y y y y ---=-==++++∆∆∆∆∆t t t y y y +-=++122。

依次定义函数)(t f y t =在t 的三阶差分为t t t t t t t y y y y y y y ∆∆∆∆∆∆∆∆+-=-==+++12212232)(t t t t y y y y -+-=+++12333。

第二讲简介_差分方程模型与案例1.1 差分方程的基本定义差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。

现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。

为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。

1.2 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程的一般形式差分方程的平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件1.3高阶线性常系数差分方程n 阶线性常系数差分方程的一般形式称方程011...0k n k n n k a x a x a x ++-+++= (*)为对应的齐次方程设方程(*)有形如kk x λ=的解,则有 特征方程特征根(假定有k 个不同的实根,其它情形参见资料《差分方法建模理论与案例》)平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件所有特征值的模均小于11.4非线性差分方程建模案例：题目1 濒危物种的自然演变和人工孵化问题：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在自然环境下，年平均增长率为 -3.24%。

如果在某自然保护区内开始有100只鹤，每年人工孵化5只鹤放入该保护区，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。

模型及其求解记第k 年沙丘鹤的数量为x k ，自然环境下的年平均增长率为r ，记a =1+r ，每年孵化的数量为b ，则第k +1年鹤的数量为,2,1,0,1,1=+=+=+k r a b ax x k k模型分析讨论时间充分长以后沙丘鹤数量的变化趋势, 即k →∞时x k 的极限状态。

,2,1,0,11)1(010=--+=++++=-k a ab x a aa b x a x kkk k k当a <1即r <0时x k →x =b /(1-a )。

MATLAB演示计算计算并作图，程序如下：子程序：function x=exf11(x0,n,r,b)% 建立名为exf11的函数M文件，x0,n,r,b可调节a=1+r;x=x0; % 赋初值for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b; % 按照（3）迭代计算end主程序:clc; clf; clear all% x0:初始值；r=-0.0324; b:人工孵化数x0=100;n=20;b=5; r=-0.0324;% 给定x0,n,r，b,调用exf11计算k=(0:n)';y=exf0201(x0,n,r,b);plot(k,y,'r*-'),title('Florida 沙丘鹤数量变化趋势');% 在图上做标记（运行结果显示）题目2 汽车租赁公司的运营问题:一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。