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P(X x,Y ) F(x, )= lim F(x, y) y
同 理 ：FY y
P(X
,Y
y)
F (, y)
lim F ( x , y )
x
显然，边缘分布是联合分布对另一个变量的无穷极限。
5.离散变量（X,Y）的分布函数
与一维随机变量的情况一样，二维离散随机变量的分布函数
F (x，y)等于对应区域（X
xy
xy
f (u, v)dudv
Fxy (u, v)dudv F ( x, y) F ( , )
F( , ) 0,
x
F ( x, y)
y
f (u, v)dudv
(3)由联合密度求区域D上的概率：P[(X ,Y ) D] f ( x, y)dxdy
D
分 析 ： 将D划 分 成 无 穷 多 个 互 斥 的小 区 域 ， 即D Di
二维联合变量积，非负无穷和为1； 联合概率另变量，无穷求和边缘P。 联合分布区域P, 2个不等4等式； 联合分布另变量，无穷极限是边缘。
第七讲 二维连续变量分布函数
一、二维连续型随机变量的联合分布函数（续）
1.联合分布函数定义：
设（X ,Y）为一二维随机变量，则对R2的任意的x, y,
称事件X x与Y y都发生的概率为( X ,Y )的联合分布函数， F (x, y) P( X x,Y y) P[( X x) (Y y)]
D0
D
D0
xy
2.密度与分布函数和区域概率的关系
D很小时，可
(1): 由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义： 视为矩形xy.
f ( x, y) lim P( x X x x, y Y y y)
x0
xy
y0
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y) 2F ( x, y)
y
)
y, 0 y 1
1, y 1
fY
(
y)
FY (
y)
2
1
y
,
0,
0 y 1 ,
其它
（2）分布变成区域概率，且联合概率事件积
F(1 , 1) P(X 1 ,Y 1) P(X 1 ,Y X 2 1)
34
34
3
4
P{(X 1) ( X 2 1)} P( 1 X 1)
x,Y
y）上的所有离散点（xi ,
y
）
j
的联合概率之和。
F (x, y) P(X x,Y y) P{(X x) (Y y)}
P(X xi ,Y y j ) pij
xi x y j y
xi x y j y
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
例7-1-1（2014年7月期末）
F(x, ) 0, F(, ) 0.
4.二维分布下的边缘分布
（1）设F( x, y)是( X ,Y )的联合分布，则每一个分量x, y的分布 称为F( x, y)的边际分布，又称边缘分布，记作：FX ( x),FY ( y)。
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
FX x P X x Y P(X x Y )
X
x2 ,
y1
Y
y2
S1 S
F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1) F ( x1, y1) 0
3.二维联合分布的性质
（1）F(x, y)是对x对y都单调非减：FX(x, y) 0, FY(x, y) 0; （2）四个等式：F(, ) 1，F(, y) 0,
1 o 1 x
FY ( y) P(Y y) P(Y X 2 y) P( y X y )
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
FY ( y) P(Y y) P(Y X 2 y) P( y X y )
y
f (x)dx
y 1 dx
y
y
y2
0， y 0
FY
(
所 以 ， 联 合 分 布 也 是 变量 （ 事 件 ） 积 的 概 率 。
2.二维联合分布的几何解释
Y
(x, y)
Y
( x1, y2 )
(x2, y2 )
Ⅲ
Ⅰ
0 图7 -1
X
( x1, y1 ) 0Ⅳ
Ⅱ
( x2 , y1 )
X
图7 - 2
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
由 集 合 描 述 ：Px1
3
4
2
3
1
3 1
2
1 2
dx
5 12
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
二、二维连续型随机变量的密度函数
1.联合密度定义：
单位面积D的区域概率的极限为( X ,Y )的联合概率密度，即
f ( x, y) lim P[(X ,Y ) D] lim P( x X x x, y Y y y)
第七讲 二维连续分布独立性与二维函数分布
本次课讲授：第二章的2.6-2.8； 下次课讲第三章的2.8-3.2。 下周上课时交作业P25—P28
重点： 二维变量的分布、 密度、边缘密度 与条件密度。二维 离散变量函数分布
难点： 相关公式和解法
离散变量函数值，对应自变量P和， 连续变量函数密，定域画线变分布。
设 随 机变 量X服 从[1,1]上 的 均匀 分 布 ， 令Y X 2, F (x, y)为
二维随机变量( X ,Y )的分布函数，求
(1)Y的
概
率
密
度fY
(
y)，(2)
F
(
1 3
，1 4
)
解
（1）
由
已
知
，f X
(
x)
1 2
,
0,
1 x 1 其它
y x2 x y
yy Leabharlann x2 x y解：Y X 2，定域画线变分布。 1 X 1,则Y X 2 : 0 Y 1,当0 y 1时：
lim
x0
xy
xy
y0
所 以 ：f ( x, y) Fxy ( x, y)
(2)由 密 度 二 重 积 分 求 分 布：
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
f ( x, y) Fxy ( x, y), f (u, v) Fxy (u, v), 两 边 求 无 穷 积 分 ： 由 二重 积 分 原 函 数 概 念 ：
i 1
P[( X ,Y ) D] P[( X ,Y ) Di ],由 于 小 区 域 互 斥 ， 和 概率 等 于 概 率 和
i 1
P[( X ,Y ) D] P[( X ,Y ) Di ] P[( X ,Y ) Di ]
i 1
i 1
当Di很 小 时 ， 它 是 小 矩 形 ，面 积 为xiy j ,即
