中考复习宝典第16课时_反比例函数的图像与性质

图1第16课时 “反比例函数的图像与性质”课前预习 （一）知识梳理1．如果两个变量x ，y 间的关系式可以表示成 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

2．反比例函数的图像是 ，当k ＞0时，图像分布在第 象限内；当k ＜0时，图像分布在第 象限内。

3．反比例函数)0(≠=k xky 图像性质：当k ＞0时，图像在每一象限内，y 随x 的增大而 ， 当k ＜0时，图像在每一象限内，y 随x 的增大而 。

（二）真题热身1．（2009年哈尔滨）点(13)P ，在反比例函数ky x=（0k≠）的图象上，则k 的值是（ ）． A ．13 B ．3 C ．13- D ．3-2．(2009年河北)反比例函数1y x=（x ＞0）的图象如图1所示，随着x 值的 增大，y 值（ ） A ．增大B ．减小C ．不变D ．先减小后增大3．(2009年云南省)反比例函数1y x=的图象位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限4．（2009年衡阳市）如图2，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数xk y =的图象过点B ，则k 的值为________．5．（2009 黑龙江大兴安岭）反比例函数)0(≠=m xmy 的图象如图3所示，请写出一条正确的结论： ．赢在课堂 （一）要点精讲1．k 几何意义：k表示反比例函数)0(≠=k xky 图像上任意一点向坐标轴作垂线段，与坐标轴所围成矩形的面积。

2．增减性的理解：知识要点3中，“每一象限内”的限制条件不可少。

如右图，虽然有1x ＜2x ，但因为1A 、2A 不在同一象限，从而没有“1y ＞2y ”的结论。

3．对称性：反比例函数)0(≠=k xky 图像既是中心对称图形，对称中心为坐标原点，又是轴对称图形，对称轴有2条，一条是第一、三象限角平分线所在直线，另一条是第二、四象限角平分线所在直线。

（二）考点解析考点一：求反比例函数解析式 考点二：反比例函数图像与性质 考点三：反比例函数与一次函数综合题例1．(2009年牡丹江市)如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．分析：分别求出21S S ，的值即可点评：本题考查了反比例函数k 的几何意义，需要注意的是如果反比例函数图形在二、四象限时k 的值是负数。

例2．（2009年新疆乌鲁木齐市）如图，正比例函数y mx=与反比例函数ny x=（m n 、是非零常数）的图象交于A B 、两点．若点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标是（ ）．A ．(-2,-4)B ．(-2,-1)C ．(-1,-2)D ．(-4,-2)分析：思路一：利用反比例函数和正比例函数的中心对称性来解答；思路二：分别求出m ，n 的值，再利用交点的意义求解。

例3． （2009年宜宾）已知：如图，在平面直角坐标系x Oy中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C=90°，点D 在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边DC 交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．分析：要求反比例函数的解析式只要求出A 点坐标即可。

点评：因为反比例函数)0(≠=k xky 中待定系数只有一个k ，从而只要知道图像上一点坐标即可。

本题为提供几何条件要求函数解析式，需要将几何条件转化为点的坐标来处理。

例4．（2009肇庆）如图，已知一次函数1y x m =+（m为常数）的图象与反比例函数2k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点 A （1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．点评：本题考查了数形结合的思想。

解答第二小题时注意观察要仔细，范围要全面、准确。

例5．（2009江西）函数()()1240y x x y x x==>≥0，的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A 的坐标为()22，；②当2x >时，21y y >；③当1x=时，3BC =；④当x 逐渐增大时，1y 随着x 的增大而增大，2y 随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．例6.（2009年吉林省）如图，反比例函数ky x=的图象在第一象与直线y x m=+限交于点62P （，），A B、为直线上的两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为3．D C 、为反比例函数图象上的两点，且A DBC 、平行于y 轴．（1）直接写出k m，的值；（2）求梯形ABCD 的面积．分析：求梯形的面积，需要分别求出下底A D 、上底BC 以及高)(A Bx x -（三）随堂演练： 1．（2009湖北荆州年）20b +=，点M （a ，b ）在反比例函数ky x=的图象上，则反比例函数的解析式为( )A ．2y x =B ．1y x =-C ．1y x=D ．x2y -=2．（2009年丽水市）如图，点P 在反比例函数1y x=(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '.则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是( )A ．)0(5>-=x xy B .)0(5>=x x yC . )0(6>-=x x yD . )0(6>=x xy3．（2009年铁岭市）如图所示，反比例函数1y 与正比例函数2y 的图象的一个交点坐标是(21)A ，，若210y y >>，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）4．（2009年河池）如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >强化练习1．（2009青海）如图，函数y x=与4y x=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则ABC △的面积为 ．2.（2009仙桃）如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．3．（2009年长沙）反比例函数21m y x-=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该图象上的两点．（1）比较1b 与2b 的大小； （2）求m 的取值范围．4．（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x⊥轴于点E ，1tan 422ABO OB OE ∠===，，（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB 的解析式．5．（2009年重庆市江津区）如图，反比例函数xy 2=的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C 。

（1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积。

6．(2009年达州)如图，直线bkx y +=与反比例函数xk y '=（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC 的面积.7．（2009年广东省）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9y x=的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．\【答案】考点解析：例1. 4 提示:21S S ，值都是2 例2． C 提示：A 、B关于坐标原点成中心对称 例3． (1)由题意得，点A 的坐标是(1.5,2), 该反比例函数的解析式为y=x3.(2)把x=3代入y=1. 点B 的坐标是(3,1). 设过A 、B 两点的直线的解析式为:b kx y +=,则⎩⎨⎧+=+=.5.12,31b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,32b k 例4（1）由题意，得31m =+，解得2m =，所以一次函数的解析式为12y x =+．由题意，得31k=， 解得3k =，所以反比例函数的解析式为23y x=．由题意，得32x x+=，解得1213x x ==-，．当23x =-时，121y y ==-，所以交点(31)B --，． （2）由图象可知，当30x -<≤或1x ≥时，函数值12y y ≥．例5．①③④ 提示：BC=C B y -y例6（1）k =12，m =4-. （2）把x =2代入y =12x，得y =6.D ∴（2，6）．把x =2代入4y x =-，得 2.y =-A ∴(2，2-).6(2)8.DA ∴=--=把x=3代入4y x =-，得y =1-，B ∴(3，1-).BC ∴=4-（-1）=5．(58)113.22ABCD S +⨯∴==梯形随堂演练1.D2.D3.D4.B 5．依题意可得：9x y O B O C ==·，又四边形ABCD 为正方形，所以3OC OB ==，所以有()33A ，。

直线1y kx =+过点A ，所以得331k =+，所以23k =，故有直线213y x =+ 课外拓展1. 42.23.（1）由图知，y随x 增大而减小．又12->-，12b b ∴<．（2）由210m ->，得12m>． 4.（1）42OB OE == ，，246BE ∴=+=．CE x ⊥轴于点E ．1tan 2CE ABO BE ∴∠==，3CE ∴=．∴点C 的坐标为()23C -，．设反比例函数的解析式为(0)my m x=≠．将点C 的坐标代入，得32m=-，6m ∴=-． ∴该反比例函数的解析式为6y x =-．（2）4OB = ，(40)B ∴，．1tan 2OA ABO OB ∠== ， 2OA ∴=，(02)A ∴，．设直线AB的解析式为(0)y k x b k =+≠．将点A B 、的坐标分别代入，得240.b k b =⎧⎨+=⎩，解得122.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为122y x =-+． 5.由题意：把A （m ，2），B （-2，n ）代入2y x=中得11m n =⎧⎨=-⎩∴A （1，2） B （-2，-1）将A 、B 代入y kx b =+中得，221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：1y x =+（2）C （0，1） （3）111122AOCS ∆=⨯⨯=。