人教版高中数学选修4-4练习第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 Word版含解析

2 2
参数方程 (t为参数) (t为参数) (t为参数) (t为参数)
2 2 pt x＝______， 2pt y＝______ 2 － 2 pt x ＝ ______ ， 2pt y＝______
2pt ， x＝______ 2pt2) y＝______ 2pt ， x＝______ －2pt2 y＝______
• 【题后反思】本例的求解充分利用了双曲线 的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动 点有关时，可将动点用参数形式表示，从而 将x，y都表示为某角θ的函数，再运用三角知 识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍 的效果．
• 2．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲 线x2－y2＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最 小值． 解：设 Q(sec θ，tan θ)，在△O1QP 中，|O1P|＝1，|O1P|＋
• 答案：(1)10或6 (2)8
双曲线参数方程的应用
x2 y2 设直线 AB 过双曲线a2－b2＝1 的中心 O，与双曲线 交于 A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点． 求证：直线 PA，PB 斜率的乘积为定值．
• [思路点拨]先用双曲线参数方程表示点A、B 、P的坐标，再证kPA·kPB＝定值．
2 x＝2pt ， 2．抛物线的参数方程 t ，
因此 t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连 线的斜率的倒数．
双曲线、抛物线参数方程的基本问题
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
α，
(α 为参数)的焦点坐标是
x＝2t， 2．抛物线 2 y＝t
(t为参数)的焦点为( B．(0,1) D．(0，－1)
)
A．(1,0) C．(－1,0)

|FN|＝|MF|cos 60°＝123＋p2，
所以3－p2＝123＋p2⇒p＝2.
答案：2
三、解答题
8．已知抛物线
x＝2pt2， y＝2pt
(t为参数，p＞0)上的点M，N对
应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两
点间的距离．
解：由题知M，N两点的坐标分别为(2pt21，2pt1)， (2pt22，2pt2)， ∴|MN|＝ 2pt21－2pt222＋2pt1－2pt22 ＝ 2pt1－2pt22＝2p|t1－t2|＝2p t1＋t22－4t1t2＝4p2. 故M，N两点间的距离为4p2.
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x2＋x2＝6.则|AB|＝
________.
解析：化为普通方程是：x＝y42即y2＝4x，∴p＝2.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
双曲线、抛物线
[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM 到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲 线．
二
理解教材新知
2.
～3.
双曲
第 二
线的 参数
把握热点考向
讲 方程
抛物
线的
参数 应用创新演练
方程
考点一 考点二
二
圆锥曲线的参数方程
2.～3. 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1的参数方程是
x＝asec φ， y＝btan φ
[思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利用 中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型．

【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．

x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1

α.
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温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝