黑龙江省大庆实验中学2019_2020学年高一数学6月月考期中试题【含答案】

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试判断下列函数中哪些函数具有性质给出结论即可 ；；；． 从中选择一个具有性质 T 的函数，用所给定义证明你的结论． 若函数在区间上具有性质 T，求实数 a 的取值范围．
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1.【答案】D
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5.【答案】D
【解析】解：令，可得函数的对称轴为：， ，是减函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为， 故选：D． 利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论． 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想， 属于基础题．
A.
B.
C. ，
D.
二、填空题（本大题共 4 小题）
13. 计算： ______ ．
14. 已知函数在区间上的最大值是，则实数 a 的值为______．
15. 函数的图象不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是______用区间表示
16. 已知函数其中 a，b 为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数 m 的
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 设，且，则
A.
B. 10
C. 20
D. 100
10. 集合，，若，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数，且是单调递增函数，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
12. 记不大于 x 的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是
9.【答案】A
【解析】解：，，又，． 故选：A． 直接化简，用 m 代替方程中的 a、b，然后求解即可．

2019----2020学年度上学期月考高一年级数学 参考答案1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．A 10．A 11．B 12．B 13．10. 14．2 15．2316．（1） 17．（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f =试题解析：（1）解：依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞.（2）()82122f -==---，()86562f =+=-. 18．(1){|0}x x ≠；(2)证明见解析.试题解析：（1）要使函数有意义，只需0x ≠，定义域为{|0}x x ≠（2）在()0,+∞内任取1x ，2x ，令12x x <()()()12121212121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵12x x <，∴120x x -<∵1x ，2x ()0,∈+∞，∴120x x >∴12110x x +> ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在()0,+∞上单调递增。

19．（1）{}31U A C B x x ⋂=-<<;（2）a 的取值范围是()5,22,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦ 试题解析：（1）∵{1U C B x x =<或}6x >，{}32A x x =-<<， ∴{}31U A C B x x ⋂=-<<.（2）{}36A B x x ⋃=-<≤，①当211a a +<-即2a <-时，C A B =∅⊆⋃； ②当211a a +≥-即2a ≥-时，要使C A B =⊆⋃，有13,216,a a ->-⎧⎨+≤⎩ ∴2,5.2a a >-⎧⎪⎨≤⎪⎩又2a ≥-，∴522a -<≤，∴a 的取值范围是()5,22,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦. 20．（1）；（2） 【解析】（1）设f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1． ∵f （x+1）﹣f （x ）=2x ，∴a （x+1）2+b （x+1）+1﹣（ax 2+bx+1）=2x ．即2ax+a+b=2x ，所以，∴a=1，b=﹣1，∴f （x ）=x 2﹣x+1．(2)【点睛】21．（1）21,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）3{|40x x -<≤或1}4x > 【详解】解：（1）根据题意，函数()()f x x R ∈是奇函数，则()00f =，当0x <时，0x ->，则()()2121f x x x -=⨯--=--，又由函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x x =--=+，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩， 当0x >时，()21f x x =-，此时()12f x >-即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当0x =时，()00f =，()12f x >-成立；此时不等式的解集为{}0， 当0x <时，()21f x x =+，此时()12f x >-即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为3{|0}4x x -<<， 综合可得：不等式()12f x >-的解集3{|04x x -<≤或1}4x >． 22． (1)证明见解析； (2)()f x 是奇函数；(3){|6}x x ≤.试题解析：（1）证明：令0x y ==，()()()000f f f =+， ∴()00f =，（2）令y x =-，∴()()()00f f x f x =-+=∴()()f x f x =--.∴函数()f x 是奇函数.（3）设12x x <，则120x x -<，∴()()()()()1212120f x f x f x f x f x x -=+-=-> ∴()f x 为R 上减函数.∵()()()()()2222212f x f x f x f x f x --=-+-=-≥-，()()12414f f -==. ∴24x -≤即6x ≤.∴不等式()()2212f x f x --≥-的解集为{|6}x x ≤.。

14．已知 Sn 为数列an的前 n 项和， an Sn 32 ，则 S7 ______．
15．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E1, F1 分别为 A1B1, A1C1 的中
点，则下列说法正确的是
.
① BE1//平面AF1C ② DF1 / /平面AE1C
③ CE1 平面ABF1 ④ A1C 平面AF1D1
ab D．若 a b ，则 a c b c
2.在空间中,已知 m, n为不同的直线,, , 为不同的平面,则下列判断正．确．的是（ ）
A．若 m ,m / /n,则 n / /
B．若 m 且 m / / ，则
C．若 l m,l n, m , n ,则 l D．若 ， ，则 / /
C．函数有最大值 2
D．函数有最大值 2 3 3
10.在△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a,b, c ，若 2a c cos C , b 4, b cos B
C 则a （ ） 4
A．2 6 6 2 3
B．2 2 2 6
C．4 2 4 6 3
D．4 4 6 3
P
11．已知三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC , BC 平面 PAB ,若 AB BC 1,
PA 2 则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 24
B． 8
C． 6
D． 8π 3
A
B
12.
已知数列{aij}按如下规律分布（其中 i 表示行数，j 表示列数），若 aij 2021，
C 11题
则下列结果正确的是（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列
…
第1行
1
3
9
19

∴ , ．
（2）记 ,即 ①，
②,
由①—②得
，
∴ 。
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法求和,考查化简运算能力，属于中档题．
21。在四棱锥 中, 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点。
(1）求证： ；
（2)求直线 与平面 所成角的正弦值。
【答案】（1)证明见解析；（2)
3
9
19
33
第2行
7
5
11
21
第3行
17
15
13
23
第4行
31
29
27
25
┇
A。 ， B。 , C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行,再第三列第三行，并且完整排完 次后,排出的数呈正方形。可先算 是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置。
【答案】A
【解析】
【详解】由已知得 。
整理得 .
于是， 。
从而，△ABC—定是等腰三角形。选A.
7.已知数列 为等比数列， 是它的前n项和，若 ，且 与 的等差中项为 ,则 （ ）
A. 15B。 16C. 25D。 31
【答案】D
【解析】
【分析】
先设等比数列 的公比为q,再由 和 与 的等差中项为 ,联立求得 ,再代入等比数列前n项和公式求解。
③假设 平面 ，则必有 ，而又有 ,故 平面 。于是有 ,矛盾，所以此命题错误.
④连接 ，则有 ，又因为 ，所以有 ，故 . 是 的中点,由正方形性质， ， ， 三点共线.所以平面 即是平面 ，同理设 的中点为 ,则 ,于是有 平面 ，故 平面 .

黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合，，则A． B． C ． D ．2．的值为A． B． C． D ．3．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是A． B． C． D．4．下列说法正确的有①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；②；③集合与集合表示同一集合；④空集是任何集合的真子集.A ．1个B ．2个 C．3个 D．4个5．已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A ． B． C ． D．6．已知，，，则A ．B ． C． D ．7．已知函数是幂函数，且其图像与轴没有交点，则实数A．或 B ． C ． D ．8．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为( )A ．B ．C ． D．9．已知,,若,则实数的取值范围是( )A． B． C ． D．10．已知在单调递减，则实数的取值范围是A． B ． C． D．11．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是A ．B ． C． D．12．已知函数在上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题13．已知4510a b==，则12a b+=__________．14124cos4sin-=________.15．若关于的方程的两实根是，则_____．16．已知函数和同时满足以下两个条件：（1）对于任意实数，都有或；（2）总存在，使成立．则实数的取值范围是 __________．三、解答题17．（1）将写成的形式，其中；（2）写出与（1）中角终边相同的角的集合并写出在的角. 18．已知关于的不等式的解集为．（1）求集合；（2）若，求的最大值与最小值．19．已知函数是定义在的增函数，对任意的实数，都有，且．（1）求的值；（2）求的解集．20．已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值．21．已知二次函数对任意的实数都有成立，且．（1）求函数的解析式；（2）函数在上的最小值为，求实数的值．22．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.2020学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】题干可得到集合A,B再由函数补集的概念得到结果.【详解】集合，，则故答案为：D。

黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{x |x ≥2}，集合M ＝{x |x ≥3}，则∁U M ＝（ ） A. {x |2≤x ≤3} B. {x |2≤x ＜3}C. {x |x ≤3}D. {x |x ＜2}【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，全集U 中去掉集合M 可以得到∁U M ． 【详解】全集U ＝{x |x ≥2}，集合M ＝{x |x ≥3}， 则∁U M ＝{x |2≤x ＜3}.故选：B ．【点睛】本题考查了补集的定义，是基础题． 2.设函数y =的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=A. （1,2）B. （1,2]C. （-2,1）D. [-2,1)【答案】D 【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x ⋂-≤≤⋂<=-≤<，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.3.若偶函数f （x ）在（-∞，-1]上是增函数，则（ ） A. f （-1.5）＜f （-1）＜f （2） B. f （-1）＜f （-1.5）＜f （2） C f （2）＜f （-1）＜f （-1.5） D. f （2）＜f （-1.5）＜f （-1）【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性可得()()()2 1.51f f f -<-<-，结合奇偶性可得结果. 【详解】()f x 在(],1-∞-上是增函数，又()()()2 1.511,2 1.51f f f -<-<-≤-∴-<-<-， 又()f x 偶函数，()()()2 1.51f f f ∴<-<-，故选D ．【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．4.函数()()()log 2341a f x x a o a =-->≠且的图象恒过定点（ ） A. ()1,0 B. ()1,4- C. ()2,0 D. ()2,4-【答案】D 【解析】令2x-3=1得x=2, (2)log 144a f ∴=-=- ,故()f x 过点()2,4-, 故选D ． 5.函数()1(xf x a b =+-其中01a <<且01)b <<的图象一定不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】由01a <<可得函数xy a =的图象单调递减，且过第一、二象限，01110011b b b <<∴-<-<∴<-<，，，x y a =的图象向下平移1b -个单位即可得到1x y a b =+-的图象，x y a b ∴=+的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限，故选：C ．6.已知130.732,4,log 8a b c ===，则,,a b c 的关系为（ ）．A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B【解析】 【分析】先利用中间数1可判断,a b 的大小，再利用中间数2可判断,a c 的大小，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】因为130.722,41><，所以a b >，而331log 8log 92<<=，所以a c b >>， 故选：B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，注意利用中间数来传递不等式关系. 7.幂函数()22231m m y m m x --=--，当()0,x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为（ ）A. 1m =-或2B. 1m =-C. 2m =D. m ≠【答案】C 【解析】试题分析：∵22231mm y m m x --=--（）为幂函数，∴211m m --=，即220m m --=．解得：2m =或1m =-．当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在∞（0，+）上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，010y x x ==≠（）在∞（0，+）上为常数函数（舍去），∴使幂函数22231m m y m m x --=--（）为∞（0，+）上的减函数的实数m 的值2．故选C. 考点：幂函数的性质.8.函数()f x 的递增区间是()2,3-，则函数()5y f x =+的递增区间是（ ） A. ()3,8 B. ()7,2--C. ()2,3-D. ()0,5【答案】B 【解析】 【分析】函数()5y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位得到的，利用函数()f x 在区间()2,3-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数()5y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位得到的， ∵函数()f x 在区间()2,3-上是增函数，∴()5y f x =+增区间为()2,3-向左平移5个单位，即增区间为()7,2--， 故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题．9.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ） A. (,)a b 和(,)b c 内 B. (,)a -∞和(,)a b 内 C. (,)b c 和(,)c +∞内 D. (,)a -∞和(,)c +∞内【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()()0,0f b b c b a f c c a c b =--=--，所以(,)b c 有零点，排除B ，D 选项.当x c >时，()0f x >恒成立，没有零点，排除C ，故选 A.另外()()()0f a a b a c =-->，也可知(,)a b 内有零点.考点：零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间,a b 上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间,a b 上有零点的充分不必要条件.10.函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】分x ＞0与x ＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状． 【详解】,0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩且10a >>，根据指数函数的图象和性质，()0,x ∈+∞时，函数为减函数，(),0x ∈-∞时，函数为增函数，故选D ．【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键． 11.已知函数()22()log 3f x x ax a =-+在[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. (,4]-∞ B. (,2]-∞ C. (4,4]- D. (4,2]-【答案】C 【解析】 【分析】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则x 2﹣ax+3a ＞0且f （2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 【详解】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数， 则当x ∈[2，+∞）时，x 2﹣ax+3a ＞0且函数f （x ）=x 2﹣ax+3a 为增函数 即22a≤，f （2）=4+a ＞0解得﹣4＜a≤4 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a 的不等式，是解答本题的关键．12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()22xf x =-，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. ()2,+∞D. ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数()f x 的表达式，分段讨论解不等式即可得到结论． 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，当0?x <，0x ->， 此时()22xf x --=-，∵()f x 是奇函数，()22()x f x f x -∴-=-=-，即()22,0xf x x -=-<，当2log 0x =，即=1x 时，不等式()2log 0f x >不成立；当2log 0x >，即1x >时，()2log 2log 220xf x ->=，解得：2x >当2log 0x <，即01x <<时，()2log 222log 0xf x -=->，解得112x <<， 综合得：不等式()2log 0f x >的解集为()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出函数()f x 的表达式是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()221f x x x +=+，则()5f =__________．【答案】6 【解析】 【分析】令215x +=，求出x ，代入条件即可. 【详解】解：令215x +=，得2x =，()25226f =+=，故答案为：6.【点睛】本题考查已知解析式求函数值，是基础题. 14.计算：12293*(425)34lg lg -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________．【答案】5. 【解析】分析：利用指数的运算运算性质和对数的运算性质直接计算即可. 解析：()12293*42534lg lg -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()213lg 4253=+⋅+⋅122=++5=.故答案为5.点睛：考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用.15.函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______ .【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数a 的取值范围。

黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合2，3，，，则A. B. C. D.2.下列各组函数表示同一函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，3.函数的定义域为A. B. C. D.4.已知函数，则A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数5.函数的单调递增区间为A. B. C. D.6.设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是A. B.C. D.7.函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.8.已知函数，若，则A. 2B. 4C. 6D. 89.设，且，则A. B. 10 C. 20 D. 10010.集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.已知函数，且是单调递增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.记不大于x的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是A. B.C. ，D.二、填空题（本大题共4小题）13.计算： ______ ．14.已知函数在区间上的最大值是，则实数a的值为______．15.函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______用区间表示16.已知函数其中a，b为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数m的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知全集．求，，；若，求实数a的取值范围．18.已知函数．用定义证明在上是增函数；求函数在区间上的值域．19.若二次函数满足，且．求的解析式；设，求在上的最小值的解析式．20.设函数是定义在R上的奇函数，当时，确定实数m的值并求函数在R上的解析式；求满足方程的x的值．21.定义在R上的函数对任意x，都有，且当时，．求证：为奇函数；求证：为R上的增函数；若对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，，都有，则称函数在区间D上具有性质T．试判断下列函数中哪些函数具有性质给出结论即可；；；．从中选择一个具有性质T的函数，用所给定义证明你的结论．若函数在区间上具有性质T，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．把A中元素代入中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把，2，3，4分别代入得：，4，7，10，即4，7，，2，3，，．故选D．2.【答案】C【解析】解：A．的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数；D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．故选：C．通过求定义域可判断选项A，B，D的两函数都不是同一函数，从而A，B，D都错误，只能选C．考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．3.【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则，得，得，即或，即函数的定义域为，故选：D．根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”，可得答案．【解答】解：函数的定义域为，，，即函数为奇函数，又由函数为增函数，为减函数，故函数为增函数．故选A．5.【答案】D【解析】解：令，可得函数的对称轴为：，，是减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，故选：D．利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由偶函数与单调性的关系知，若时是增函数则时是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故选：A．由偶函数的性质，知若时是增函数则时是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量，，的绝对值大小的问题．本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．7.【答案】C【解析】解：因为为奇函数，所以，于是等价于，又在单调递减，，．故选：C．根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．8.【答案】B【解析】解：函数，，，，且，解得，．故选：B．推导出，，且，推导出，由此能求出的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：，，又，．故选：A．直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．10.【答案】A【解析】解：集合，，，当时，，解得，当时，，解得．综上，实数a的取值范围是．故选：A．当时，；当时，，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】A【解析】解：函数，函数为递增函数，，即，解得．故选：A．分段函数的单调递增则需在每一段上单调递增，且在端点处也满足条件列出不等式组求解即可．本题主要考查了函数单调性的性质，以及分段函数的单调性，同时考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：，，又当时，；当时，，当时，当时，；同理，当时，，不等式恒成立，则，所以，则实数a的取值范围或，故选：B．这是一道取整的问题，先要弄清楚的取值情况，求的最值时，先平方在求的方法；这是一道信息题，也是常见的信息，先要对信息进行分析处理，以及平方求最值方法的应用，也可用均值不等式求最值；13.【答案】3【解析】解：：．故答案为：3．直接利用对数运算法则化简求解即可．本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．14.【答案】或【解析】解：二次函数对称轴，开口向下，，则函数在单调递减，时，，解得，，则函数在单调递增，时，，解得，故答案为：或．由函数的解析式可知，对称轴，开口向下，进而求解．考查二次函数对称轴，开口方向，单调区间，在特定区间内的最值．15.【答案】【解析】解：函数的图象如图，时，，时函数是增函数，函数的图象不经过第二象限，．故答案为：．根据条件作出函数的图象，利用数形结合求解即可．本题主要考查基本函数的图象变换，通过变换了解原函数与新函数的图象和性质．16.【答案】【解析】解：由题意：函数的图象经过，．可得，解得那么不等式在上恒成立，是递减函数，当时，y取得最小值为．则实数m的最大值为．故答案为：．根据函数的图象经过，求解a，b的值，带入不等式，根据指数的单调性即可求解m的最大值．本题考查了指数函数的单调性求解最值问题．属于基础题．17.【答案】解：，，，，；，，，，，的取值范围是．【解析】可以求出集合B，然后进行交集、并集和补集的运算即可；根据可得出，从而可得出．考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集、并集的定义．18.【答案】解：证明：任取，，且，又由，则，，，故，即；在单调递增；由知，在单调递增，则，故在上的值域是．【解析】根据题意，任取，，且，用作差法证明即可，根据题意，由的结论可得在上单调性，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．19.【答案】解：解：设二次函数的解析式为由已知：，又对称轴为当即时在上单调递增当即时在上单调递减当即时在单调递减，在单调递增，综上可知：【解析】利用待定系数法设二次函数的方程，由，且可求得方程；根据区间与轴的关系讨论二次函数的单调性，进而求得最小值．本题主要考察二次函数解析式的求法，根据函数的单调性求函数的最值和分类讨论的思想．20.【答案】解：根据题意，是定义在R上的奇函数，则当时，，解可得：，设，则，则，又由，则，故；当时，，令，得，即，解可得或，即，；又由是定义在R上的奇函数，则当时根为；综合可得：方程的根为，，【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得：，即可得函数的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；根据题意，由函数的解析式，当时，，令可得此时方程的根，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题．21.【答案】证明：令，得得令，得，，为奇函数，证明：任取，，且，，，，，即，是R的增函数；解：，，是奇函数，，是增函数，，，令，下面求该函数的最大值，令则当时，y有最大值，最大值为，，的取值范围是．【解析】利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明为奇函数；利用函数单调性的定义，结合抽象函数，证明为增函数利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可．本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数研究函数的奇偶性单调性，以及二次函数的应用．综合性应用．22.【答案】解：具有性质T．如果选择证明如下：任取两个实数，则，具有性质T．由于在区间上具有性质T，任取，则．，的取值范围是，【解析】根据函数的图象判定具有性质T．选择证明如下：任取两个实数即可．由于在区间上具有性质T，任取，则，只需在、上恒成立，可求实数a的取值范围．本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．。

大庆实验中学高一下学期6月份月考数学试卷一．选择题(共12题，每题5分)1.已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. 22x y >B.11x y> C. 11()()33x y>D. 332x y -+>【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B 选项，利用指数函数的性质判断C 选项，利用指数函数的性质结合基本不等式，从而判断D 选项.【详解】对A 项，取1,2x y =-=-，则2214x y =<=，故A 错误； 对B 项，取11,2x y ==，则1112x y =<=，故B 错误；对C 项，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，x y >，1133xy⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D 项，()3xg x =Q 在R 上单调递增，x y >，33x y ∴>则3333x y y y --+>+，332y y -+≥=，当且仅当0y =时取等号 即332x y -+>，故D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了根据已知条件判断所给不等式是否成立，涉及了指数函数性质的应用，属于中档题2.若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A. 1 B. 2-C. 1或2-D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】由题知两直线平行，直接列出111222A B C A B C =≠(2220,0,0A B C ≠≠≠)即可求得m【详解】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =-.故选：A .【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题. 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B.83C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求出几何体的高，即得几何体的体积.【详解】结合三视图可知，该几何体是一个底面为边长为2的正方形，高为2的四棱锥P ABCD -，侧面PBC ⊥底面ABCD ,PC PB =.过点P 作PE BC ⊥,垂足为E ,则PE ⊥底面ABCD ,所以PE 就是四棱锥的高，且2PE ==.所以其体积为2182233V =⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.4.在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C = A. 30° B. 150︒C. 45︒D. 135︒【答案】C 【解析】222πcos 24a b c C C ab +-====Q ,选C.5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10C. 8D. 32log 5+【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，故选B.6.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A. 25π B. 50π C. 125π D. 75π【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的体对角线与外接球的直径相等求解.【详解】因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的体对角线就是球的直径，=这个球的表面积是：24502ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了组合体问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题.7.已知cos 5α=，sin()10βα-=-，αβ，均为锐角，则sin β=（ ）A.12B.2 C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出cos()βα-=，()()sin sin αββα=-+利用两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由题αβ，均为锐角，所以00,2222ππππαββα<<<<-<-<，，sin()βα-=-cos()βα-=，cos αα==()()()()sin sin sin cos cos sin ββαβαβαααα=-+=-+-+== 故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值问题，关键在于根据题意分析角的取值范围，整体代入利用两角和的正弦公式求解.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A. 12- B. 15-C. 16-D. 18-【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.9.已知0x >,0y >,lg 4lg 2lg8xy+=,则142x y+最小值是（ ）.A. 3B.94C.4615D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得23x y +=,从而根据()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开后利用基本不等式可得解.【详解】0x Q >,0y >,428x y lg lg lg +=, 所以428x y =g ,即23x y +=,则()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=, 当且仅当82y x x y =且23x y +=即12x =,2y =时取等号, 则142x y+的最小值是3. 故选：A【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.的10.在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2A C =，则sin c Ca的取值范围为（ ）A. 1,62⎛⎝⎭B. 1,62⎛⎫⎪⎪⎝⎭C. 1,62⎤⎥⎣⎦D. 1,62⎡⎢⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理可得sin 1tan 2c C C a =，根据锐角三角形角的大小可确定C 的范围，从而得到tan C 值域，由此得到结果.【详解】由正弦定理得：22sin sin sin sin 1tan sin sin 22cos 2c C C C C C a A C C ====.ABC QV 为锐角三角形，020202A C B πππ⎧<<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02202032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得：64C ππ<<，tan 3C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11tan 262C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin c Ca的取值范围为162⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用三角函数值域求解三角形中的取值范围的问题，涉及到正弦定理边化角的应用；解题关键是能够利用正弦定理边化角将问题转化为正切函数值域的求解问题. 11.已知圆1C ：2220xy kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，,且点P 在直线20mx ny --=上,则22+m n 的取值范围是（ ） A. 1(,)2+∞ B. 1(,]4-∞C. 1[,)2+∞D. 1(,)4-∞【答案】C 【解析】 【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程,继而求得()P a b ，,再代入直线20mx ny --=,根据距离的几何意义求解22+m n 即可.【详解】由题,两圆的公共弦方程为()()2222240x y kx y x y ky +-+-++-=,即()240k x y y +--=,定点满足0240x y y +=⎧⎨+=⎩,即22x y =⎧⎨=-⎩,故()2,2P -.又点P 在直线20mx ny --=上,故2220m n +-=,即10m n +-=.故(),m n 的轨迹为直线10x y +-=.又22+m n 的几何意义为原点()0,0到点(),m n 的距离d 的平方.故最小值为2212d ==,故22+m n 的取值范围是1[,)2+∞. 故选：C【点睛】本题主要考查了圆的公共弦方程与直线过定点的问题,同时也考查了利用几何意义求解最值的问题.属于中档题.12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），设1A DM ∆的面积为S 则S 的取值范围（ ）A. B.C. (3D. [,3【答案】A 【解析】 【分析】连接1AD 交1A D 于点O ，过O 作1OM AC ⊥，得到OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线，根据11AOE AC D ∆∆:，求得3OM =，得到1A DM ∆的最小面积，再由点M 与1C 重合时，求得11A DC ∆的面积，进而得到1A DM ∆的面积的取值范围.【详解】连接1AD 交1A D 于点O ，过O 作1OM AC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ⊥平面11ABC D ，所以1AD OM ⊥， 所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线，根据11AOM AC D ∆∆:，则111OM OA C D AC =，即111OA C D OM AC ⋅===， 所以1A DM ∆的最小面积为111122A DM S AD OM ∆=⨯⨯=⨯=当点M 与1C 重合时，此时11A DC ∆是边长为此时112A DC S ∆== 又因为点M 与A 、1C 不重合，所以111A DM A DC S S ∆∆<， 所以1A DM ∆的面积的取值范围是.【点睛】本题主要考查了正方体的几何结构特征，以及三角形面积的计算，其中解答中合理利用正方体的几何结构特征，结合异面直线的公垂线，求得面积的最小值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二．填空题（共4题，每题5分）13.等比数列{}n a 中，12233,6,a a a a +=+=则公比q = 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列的公比的定义可得:公比2312a a q a a +=+,代入已知的值可得答案.【详解】12233,6a a a a +=+=Q , 所以公比2312623a a q a a +===+,故答案为2.【点睛】本题考查等比数列的公比的定义,意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题.14.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意首先画出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值， 联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y轴上截距最小时，z 值最大.15.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且VC BC AC ==，则异面直线CD 与VB 所成角的余弦值为______.【答案】12【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CV 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线CD 与VB 所成角的余弦值，得到答案.【详解】在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CV 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设2VC BC AC ===，则(0,0,0),(1,1,0),(0,0,2),(0,2,0)C D V B ，所以(1,1,0),(0,2,2)CD VB ==-u u u r u u r，所以1cos ,2CD VB CD VB CD VB⋅===⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r ，即异面直线CD 与VB 所成角的余弦值12. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16.直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣5=0上总存在两点A ，B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.【答案】2 【解析】 【分析】依题意,点P 在以C 为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB 2π≥恒成立,则点P 在以AB 为直径的圆内部,所以AB 的最小值为圆的直径的最小值. 【详解】因为P 为MN 的中点,所以CP ⊥MN ,又因为CM ⊥CN ,所以三角形CMN 为等腰直角三角形,所以CP =1,即点P 在以C 为圆心,以1为半径的圆上,点P 所在圆的方程为(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=1, 要使得∠APB 2π≥恒成立,则点P 所在圆在以AB 为直径的圆的内部,而AB 在直线l ：x ﹣y ﹣5=0上,C 到直线l ：x ﹣y ﹣5=0的距离d ==.所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r =1,所以AB 的最小值为2r =2.故答案为：2.【点睛】本题考查了直线和圆的关系的应用,考查了点与圆的位置关系,圆的性质等,属于难题.三．解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）17.已知ABC V 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=，AC 边上的高BH 所在直线方程为2390.x y +-=求：()1顶点C 的坐标； ()2直线BC 的方程．【答案】(1)()1,0-；(2)410x y -+= 【解析】 【分析】()1先求直线AC 的方程，然后求出C 的坐标；()2设出B 的坐标，求出M 代入直线方程为2320x y -+=，与直线为2390.x y +-=联立求出B 的坐标然后可得直线BC 的方程． 【详解】()1由()1,3A 及AC 边上的高BH 所在的直线方程2390x y +-= 得AC 所在直线方程为3230x y -+=又AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=由32302320x y x y -+=⎧-+=⎨⎩得()1,0C - ()2设(),B a b ，又()1,3A M 是AB 的中点，则13,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭由已知得239013232022a b a b +-=⎧⎪⎨++⋅-⋅+=⎪⎩得()3,1B 又()1,0C -得直线BC 的方程为410x y -+=【点睛】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．18.在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值； （2）若ABC V的面积为b =ac +的值.【答案】（1）3B π=（2）7【解析】 试题分析：，1）由正弦定理把已知等式化为角的关系，再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=，从而得3B π=，，2）由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac =，再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +. 试题解析：（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==12ac =，②又b =Q 7a c +=.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+【解析】 【分析】充分利用已知14(21)1n n S n a +=-+，将式子中n 换成1n -，然后相减得到n a 与1n a +的关系，利用累乘法得..到数列的通项，（2）利用裂项相消法求和，即可求出n T ， 【详解】解：（1）14(21)1n n S n a +=-+Q ①， 当1n =时，1241S a =+，解得23a =当2n …时，14(23)1n n S n a -=-+②， ①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---， 整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-， 即12121n n a n a n ++=-， ∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=-以上各式相乘得121na n a =-，又11a =， 所以21n a n =-， （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭，1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+ 21n nT n ∴=+，【点睛】本题考查了利用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题．20.如图，已知AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面,ACD ACD V 为等边三角形，2,AD DE AB F ==为CD 的中点.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （2）求直线BF 和平面CDE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）取CE 的中点G ，连接,FG BG ，通过证明BG ⊥平面CDE 得面面垂直；（2）过点B 作BM CE ⊥交CE 于M ，连接FM ，BFM ∠即为所求线面角，根据线面位置关系计算正弦值. 【详解】（1）证明：取CE 的中点G ，连接,FG BG .∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =. ∵AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB . 又12AB DE =，∴GF AB =， ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG .∵ACD V 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. 又CD DE D =I ，故AF ⊥平面CDE . ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE .（2）不妨设22AD DE AB ===，过点B 作BM CE ⊥交CE 于M ， 连接FM ，由（1）平面BCE ⊥平面CDE ，BM CE ⊥，BM ⊂平面BCE ， 平面BCE I 平面CDE CE =，所以BM ⊥平面CDE ， 所以BFM ∠为所求线面角，又因为AB ⊥平面ACD AC ⊂，平面ACD ，所以AB AC ⊥，在Rt ABC V 中，BC =，在直角梯形ADEB 中，BE =BCE V 为等腰三角形，2BM BF ====，sin BM BFM BF ∠==所以直线BF 和平面CDE 所成角的正弦值为2. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和计算线面角的正弦值，关键在于熟练掌握相关判定定理，结合几何知识计算线面角.21.已知圆M 的圆心在直线1l ：10x y --=上，与直线2l ：43140x y ++=相切，截直线3l ：34100x y ++=所得的弦长为6. （1）求圆M 的方程；（2）过点()4,3P 的两条成60︒角的直线分别交圆M 于A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）22(2)(1)25x y -+-=（2） 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，将圆心代入直线1l 的方程，由点到直线距离公式求得圆M 到2l 的距离，由弦长公式及点到直线距离公式表示出直线3l 与圆的关系，解方程组即可求得,,a b r 的值，即可求得圆M 的标准方程（2）解法1：作1MH AC ⊥，2MH BD ⊥，令11MH d =，22MH d =，讨论12120H MH ︒∠=或1260H MH ︒∠=两种情况：当12120H MH ︒∠=时，由余弦定理表示出12H H ，而1H 、M 、2H 、P 四点共圆，根据正弦定理求得MP ，进而求得12H H ，结合基本不等式即可求得122d d ≤，即可求得四边形ABCD 面积的最大值；当1260H MH ︒∠=时，由基本不等式求得126d d ≤，即可由二次函数性质求得四边形ABCD 面积的最大值.解法2：结合三角形面积公式可得1||||sin 2ABCD S AC BD APD =⋅⋅∠，由基本不等式可知2||||2ABCDAC BD S +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，讨论12120H MH ︒∠=或1260H MH ︒∠=两种情况，即可确定四边形ABCD 面积的最大值.【详解】（1）设圆M 的方程为：222()()x a y b r -+-=则14314534105b a a b r a b ⎧⎪=-⎪++⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：215a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求圆方程为22(2)(1)25x y -+-=（2）解法1：1||||sin 60||||2ABCD S AC BD AC BD =⋅⋅∠︒= 如图作1MH AC ⊥，2MH BD ⊥，令11MH d =，22MH d =，12120H MH ︒∠=或60︒当12120H MH ︒∠=时，12H H ==因1H 、M 、2H 、P 四点共圆，2R MP ===，=，又221212121262d d d d d d d d =++≥+， ∴122d d ≤，||||AC BD ====423≤=⨯，||||4ABCD S AC BD =⋅≤，当且仅当12d d =时取等， 当1260H MH ︒∠=时，221212126d d d d d d +-=≥，∴126d d ≤，又||||AC BD ⋅==所以||||ABCD S AC BD =⋅=≤综上所述，四边形ABCD 面积最大值为解法2：1||||sin ||||2ABCD S AC BD APD AC BD =⋅⋅∠=⋅ 2||||2AC BD +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当||||AC BD =时取等号）， 要使得||||AC BD =，则直线PM 应是APD ∠的平分线，当120APD ∠=︒时，圆心M 到直线AC 、BD ，则||||AC BD ==，()2max||||2ABCD AC BD S +⎛⎫== ⎪⎝⎭当60APD ∠=︒时，圆心M 到直线AC 、BD ，则||||AC BD ==，()2max||||2ABCD AC BD S +⎛⎫== ⎪⎝⎭综上所述，四边形ABCD 面积的最大值为【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用，由点到直线距离和弦长求圆的标准方程，正弦定理与余下定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，基本不等式求最值，属于难题.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M N ，两点.（1）过点P 5)-作圆O 的两条切线，切点分别为E F ，，求PE PF u u u v u u u v⋅； （2）若AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点 【答案】（1）52813（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据切线公式求出||PE ==cosOPE ∠==，结合二倍角公式，利用向量数量积定义结合得解；（2）分别讨论当直线MN 斜率不存在和存在两种情况，结合韦达定理求解.【详解】（1）PO ==||PE ===所以cosOPE ∠==所以2211cos 2cos 1113FPE OPE ∠=∠-=-=，所以211528cos 1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯=uur uu u r uur uu u r （2）（i ）当直线MN 斜率不存在时，AM 所在直线方程y=x+2，直线与圆O 的交点为M （0,2）， AN 所在直线方程y=-x -2，直线与圆O 的交点为M （0,-2）， MN 所在直线方程为x=0；（ii ）当直线MN 斜率存在时，设其所在直线为y=kx+m ， 设直线MN 与圆O 的交点1222(,),(,)M x y N x y则22222(1)2404y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 221616-40k m ∆=+>212122224,11km m x x x x k k--+==++ 12121222()21my y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 22221212121224()()()1m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， 1122(2,),(2,),AM x y AN x y AM AN =+=+⊥u u u u r u u u r，1212121212(2)(2)2()40AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=u u u u r u u u r22222244440111m km m k k k k ---+++=+++， 22-40m km =，0m =或2m k =，当2m k =时，直线MN 过点A ，即A M N ，，重合，舍去， 所以0m =，即MN 所在直线为y=kx ，过定点（0,0） 综上所述：直线MN 过定点（0,0）【点睛】此题考查涉及切线长度问题，计算向量的数量积，讨论直线恒过定点问题，涉及韦达定理的应用，综合性强.。

大庆实验中学高一下学期 六月月考数学试题一、选择题1. 若0a b <<，则下列不等式中错误的．．．是（ ） （A ）11a b > （B ）11a b a>- （C ）a b > （D ）22a b > 2. 在等差数列}{n a 中，若5,34321=+=+a a a a ，则=+87a a （ ）（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）103. 已知两个不同的平面βα,和两条不重合的直线n m ,，有下列三个命题：①若n m //，α⊥m ，则α⊥n ； ②若,,βα⊥⊥m m ，则βα//； ③若βα⊂⊥n n m m ,//,，则βα⊥ 其中正确命题的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34. 已知1212,,,a a b b 为实数，且4,,,121--a a 成等差数列，8,,,121--b b 成等比数列，则212b a a -的值是（ ） （A ）41 （B ）41- （C ）41或41- （D ）215. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若324325,25a S a S =+=+，则此数列的公比q 为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56. 在等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和为（ ）（A ）36 （B ）13（C ）26（D ）527. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ （B ） 23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ） ()1,+∞ （D ） (),1-∞- 8. 已知正项数列{}n a 中， 11a =， 22a =， 222122n n n a a a ++=+，则6a 等于（ ）（A ）16 （B ） 8 （C ）4 （D ）9. 在三棱锥中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆,,的面积分别为26,23,22，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为（ ）（A ）π6 （B ）π62 （C ）π63 （D ）π6410. 某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是'''A B C ，如图（2）所示，其中1A''''2OA O B==，''O C=）（A）36+（B）24+（C）24+（D）36+11.在长方体1111ABCD A B C D－中，16,3,8AA AB AD===，点M是棱AD的中点，N在棱1AA上，且满足12AN NA＝，P是侧面四边形11ADD A内一动点(含边界)，若1C P∥平面CMN，则线段1C P长度最小值是（）（A（B）4（C（D）312.正方体1111ABCD A B C D-中，点P在1A C上运动（包括端点），则BP与1AD所成角的取值范围是（）（A）,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B）,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为 .14.设0,0a b>>，若1a b+=的最小值为 .15.在正四面体ABCD中，,M N分别是BC和DA的中点，则异面直线MN和CD所成角为__________．16.数列{}na是正数列，且233a a n n⋅⋅+=+，则12231naa an++++= .三、解答题17. 已知函数2()(1)f x x a x a=-++（1）解关于x的不等式()0f x>（2）若当()2,3x∈时，()0f x>恒成立，求a的取值范围。

大庆实验中学2020学年度下学期六月份月考理科高一数学试题考号_____________ 姓名_____________ 座位号_________第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 ( )A. 22a b > B. 33a b > C. 11a b< D. 1122log log a b >2. 设βα,是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,，则下列说法正确的是（ ）A. 若β//l ，则//αβB.若βα⊥，则m l ⊥C. 若β⊥l ，则βα⊥D.若βα//，则m l // 3．直线20xsin y α＋＋＝的倾斜角的取值范围是( )A. [0)π，B. 3[0,][,)44πππU C. [0,]4π D. [0,](,)42πππU 4．圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -，()0,2B -，则圆C 的方程为 （ ） A. ()()22235x y -++= B.()()22228x y -++= C. ()()22329x y -++= D. ()()22215x y -++=5. 若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则34z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1- C.0 D.16．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90π B.63π C.42π D ．36π7．若直线12:(+1)0:(2)2(1)40l mx m y m l m x m y +-=+++-=与互相平行，则实数m =（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 1-或28. 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．8B ．3-C ．3D ．24-9．ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C--，则过,,,A B C D四点的球的表面积为（ ）A.3πB. 4πC. 5πD. 6π10．如图，三棱锥A BCD -中，AB AC =BD ==3CD =，AD BC =2=，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 （ ） A.12B.32C.45D. 7811.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中不正确的是 （ ）A.1A P 与1AD 所成角的范围是32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.11//A P ACD 平面C.11PB D ACD ⊥平面平面D. 三棱锥1A CD P -的体积不变 12.满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是MDNCB AA.322B. 4C. 2D. 22 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()(sin sin )()sin ,____.a b A B c b C A +-=-=则 14．已知1(1)n a n n =+，则数列{}n a 的前5项和为________.15．2214(0)sin cos 2y πθθθ=+<<的最小值是________．16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(10分)设n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和为，且242,8a a == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知{}.n n n n b n a b n S =⋅，求的前项和18．(12分) ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =，33ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.19．(12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ABCD ⊥平面，ECD,,1E F AD PB PA AB ==分别是线段的中点，(1)//;EF DCP 证明平面(2).EF ABCD 求与平面所成的角的正弦值20.(12分) 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角 (1)A B 用表示；（2）求sin sin A C +的取值范围21．(12分)如图,四棱锥P ABCD -中, 底面ABCD 为正方形，侧棱PA ABCD ⊥底面,且=2PA AB =，点E 是线段PB 的中点，连结,AC EC .(I)证明：AEC PBC ⊥平面平面；(II)求二面角--B PC A 的大小.22.(12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,2(2)n n a a n S -==+≥（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设122221,()log n n n n n n nb T b b b b n N a *+++==+++⋅⋅⋅+∈，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有12n kT > 恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.E答案与解析1.A2.C3.B4.A5.B6.B7.C8.D9.C 10.D 11.A 12.D 13.3π14. 56 15. 916. ②③17. 242(1)4,2a q q a ==∴= 21*22()n n n a a q n N --∴==∈； 11(2)2,S (2)21(*)n n n n b n n n N --=⋅=-⋅+∈18. (1)3C π=2cos (sin cos sin cos )sin ,12cos sin sin ,cos ,.23C A B B A C C C C C C π+=∴=∴=∴=Q 由已知得 22222133(2)sin 6,22cos ()3()25,5,57.ABC S ab C ab c a b ab C a b ab a b a b l ∆=∴==+-=+-∴+=∴+==+=,又周长 19.（1）（2）,,,AB H FH EH 取中点连结 //,,,FH PA PA ABCD FH ABCD ⊥∴⊥Q 平面平面.FEH EF ABCD ∴∠为与平面所成的角123=1,,223sin PA AB FH EH EF FH FEH EF =∴===∠==Q20.解：（I ）由a =b tanA 及正弦定理，得sin sin cos cos A b BA a B==,所以sinB=cosA ，即 sinB=sin （2π+A ）. 又B 为钝角，因此2π+A ∈（2π，A ），故B=2π+A. (II)由（I ）知，C=π-（A+B ）=π-(2A+2π)=2π-2A>0，所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 于是sinA+sinC=sinA+sin （2π-2A ）= sinA+cos2A=-22sin A+sinA+1 =-2（sinA-14）2+98 因为0<A<4π,所以0<sinA<22,因此2221992sin 488A ⎛⎫<--+≤ ⎪⎝⎭由此可知sinA+sinC 的取值范围是（22，98] 21.(1),E ,PA PB PB AE PB =∴⊥Q 为中点，,,,,,PA ABCD PA BC AB BC PA AB A BC PAB ⊥∴⊥⊥=∴⊥Q I 平面又平面,,,,.AE PAB BC AE BC PB B AE PBC AE AEC AEC PBC ⊂∴⊥=∴⊥⊂∴⊥I 又平面又平面，又平面平面平面 ,,,AE PBC AE PC E EF PC ⊥∴⊥⊥Q (2)平面过作,,,AE EF E PC AEF PC AF =∴⊥∴⊥Q I 平面AFE B PC A ∴∠--为二面角的平面角2,2,22,2,23,PA AB BC PB AE PC ==∴====设6PBC EF ∆=在中根据三角形相似或等面积法可得 tan 3,3.3AE EFA EFA EF B PC A ππ∴∠==∴∠=--故二面角的大小为22．解：（Ⅰ）由已知……①得……②②－①，得 ∴∴∴所以数列是一个以2为首项，2为公比的等比数列∴（2）∴∴∵n是正整数，∴∴数列{T n}是一个单调递增数列，又∴，要使恒成立，则又k是正整数，故存在最大正整数 k=5使恒成立。

2019--2020学年度上学期期中考试高一年级数学（理）答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B D D DC C C B A C C B二、填空题13、6 14、515、（-∞，] 16、[)1,0三、解答题17、解：（1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，∴,A∪B={x|-3≤x＜7}；…… 5分（2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，∴∁R A={x|x＜-3或x≥5},则（∁R A）∩B={x|5≤x＜7} …… 10分18、解：（1）=3+8+2=13 …… 6分（2）=3+0.5+6=9.5 …… 12分19、解：（1）∵为该函数图像上一点，∴，…… 2分∴；…… 4分（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）-f（x2）===，…… 8分∵指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，∴即，又由2x＞0，得，，∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴对于任意a，f（x）在R上为增函数. …… 12分20.解（1）要使函数h（x）=f（x）-g（x）=log a（x-1）-log a（3-x）有意义，需，解得1＜x＜3，故函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（1，3）．……6分（2）∵不等式f（x）≥g（x），即log a（x-1）≥log a（3-x），∴当a＞1时，有，解得2≤x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x≤2．……10分综上可得，当a＞1时x的取值范围为[2，3）;当1＞a＞0时x的取值范围为(1,2]. (12)分21.解：（1）由可知二次函数的对称轴为，又其最小值为1，则可设二次函数，又，，．即f(X)=2x2-4x+3．…… 4分由函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调，所以，解得．…… 6分（2）当时，，，此时函数值域为；当时，，，此时值域为； 当时，，． 此时值域为． …… 10分 综上可得：当时，函数值域为[2m 2-4m +3,9]； 当时，值域为； 当时，值域为． …… 12分22.解（1） 1a =令，0b =，(1)(0)(1)f f f =g 则(1)1f >Q (0)1f ∴= …… 2分1a =令，-1b =， 则(0)(1)(-1)f f f =⋅12f =Q （） 1(-1)=2f ∴ …… 4分 （2）()(,)f x -∞+∞在上单调递增 …… 5分任取1212,(,)x x x x ∈-∞+∞<且210x x ⇒->由题设得21()1f x x ->0x <对任意 ()()(0)1f x f x f -==g 0x ∴-> ()1f x ∴-> ()0f x > x R ∴∈对任意 ()0f x > 1()0f x ∴> ……7分22112111()[()]()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-⋅>Q()(,)f x ∴-∞+∞在上单调递增 …… 9分（3）(2)(11)(1)(1)4f f f f =+=⋅= ……10分(1)4(2)121f x f x x +<=+<∴<Q ，1∴-∞不等式的解集为（，） …… 12分。

大庆实验中学2019-2020学年度高一下学期期中考试数学一.选择题1.已知,,,a b c d R ∈，下列说法正确的是 （ ） A. 若,a b c d >>，则ac bd > B. 若a b >，则22ac bc > C. 若0a b <<，则11a b< D. 若a b >，则a c b c ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质得D 成立，举例说明A,B,C 错误. 【详解】因为2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A 错； 因为2>1 ,2✖02=1✖02,所以B 错； 因为-2<-1,-1 2>-1 ,所以C 错；由不等式性质得若a b >，则a c b c ->-，所以D 对，选D. 【点睛】本题考查不等式性质，考查分析判断能力.2.在空间中，已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确．．的是（ ）A. 若m α⊂，//m n ，则//n αB. 若m α⊥且//m β，则αβ⊥C. 若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则l α⊥D. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγ 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，判断A 选项；平面与平面垂直的判定定理，判断B 选项；线面垂直的判定定理，判断C 选项；面面平行的判定定理，判断D 选项.【详解】若m α⊂，//m n ，则//n α或n ⊂α，故A 错误； 若m α⊥且//m β，则αβ⊥，故B 正确；若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则l 与α相交或l α⊂，故C 错误；若αβ⊥，αγ⊥，则,βγ不一定平行，故D 错误.故选：B【点睛】本题考查空间直线和平面位置关系的判断，属于基础题.3.已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，且满足()*13231n n a n n N a n ++=∈-，则下列结论正确的是（ ） A. 12a =，3d =B. 13a =，2d =C. 132a d =D.123a d =【答案】C 【解析】 【分析】先根据()*13231n n a n n N a n ++=∈-，求出数列{}n a 的通项公式，即得. 【详解】由题得，()*1321131n n a n n N a n ++-=-∈-，即132(31)31n n n a a n n a n ++--=--，整理得331n a d n =-，则1()3n a n d =-，当1n =时，有123a d =，即132a d =.故选：C.【点睛】本题通过求通项公式n a ，来判断首项1a 和公差d 的关系，也可用累乘法求n a . 4.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.353πB.253πC. 35πD. 25π【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知，该几何体是圆台，由圆台的体积公式计算即得. 【详解】该几何体为圆台，体积为221355(2121)33V ππ=⨯⨯++⨯=. 故选：A【点睛】本题考查三视图和求圆台体积，属于基础题.5.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan2α的值等于（ ）2323【答案】D 【解析】 【分析】利用2cos 212sin αα=-，对已知等式进行化简，根据,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可求得α，即得. 【详解】由题，221sin cos 21sin 4ααα+=-=，则23sin 4α=，又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin α=，则23πα=，故4tan 2tan tan tan 333πππαπ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查余弦和正切二倍角公式，属于基础题.6.在△ABC 中，lgsin lgcos lgsin lg 2A B C --=.则△ABC—定是（）. A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 形状不确定 【答案】A 【解析】【详解】由已知得()()2sin 2cos sin sinA cosB sinCB C B C A B C π=⋅⎧⇒+=⋅⎨∠=-∠+∠⎩. 整理得()sin 0B C -=. 于是，B C ∠=∠.从而，△ABC—定是等腰三角形.选A.7.已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A. 15 B. 16C. 25D. 31【答案】D 【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，再由2312a a a ⋅=和4a 与72a 的等差中项为54，联立求得1116,2a q ==，再代入等比数列前n 项和公式求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为2312a a a ⋅= 所以23112a q a = ① 又因为4a 与72a 的等差中项为54，所以47522a a += 即3611522a q a q +=②由①②得1116,2a q ==则()5151161215311112⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭===--a q S q故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项公式及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8. 如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，并且AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】A 【解析】试题分析：取BC 中点E ，连结ME,NE ，由三角形中位线性质可知ME=4，NE=3，由AC 与BD 所成的角为90°得ME,NE 垂直，所以MN=5 考点：空间直线位置关系及空间距离9.已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12|x x x x <<，若函数112ay x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数有最小值2B.C. 函数有最大值-2D.函数有最大值3-【答案】C 【解析】 【分析】不等式可因式分解得()(3)0(0)x a x a a --<<，由解集为{}12|x x x x <<，可知13x a =，2x a =，代入函数112ay x x x =+，利用基本不等式，计算即得. 【详解】由题得，()(3)0(0)x a x a a --<<的解集为{}12|x x x x <<，则123,a x x a ==，函数11233a a y x x a a a x =++⋅=，又0a <，则3()13()2a a -+≥=-，故1332a y a =+≤-，当且仅当313a a =，即13a =-时，取得等号，函数有最大值2-. 故选：C【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是常考题型. 10.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos a c Cb B-=，4b =，4C π则a =（ ）B.C.D.4+【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知等式化为2sin sin cos sin cos A C CB B-=，整理可解出角B ，进而求出角A ，再由正弦定理求得a 的值.【详解】由题，在ABC 中，2sin sin cos sin cos A C CB B-=，整理得(2sin sin )cos cos sin A C B C B-=，即2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+sin()sin B C A =+=，则1cos 2B =，3B π=，又4Cπ，则512A π=，由正弦定理可得45sin sin 312aππ=， 解得8326a +=⨯2662=+. 故选：A【点睛】本题考查正弦定理解三角形，是常考题型.11.已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAB ，若1AB BC ==，2PA =则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 8πC. 6πD.83π【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥补成一个长方体，由已知可知长宽高为2,1,1，则该三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，求出直径，再由球的面积公式计算即得.【详解】由题，可将三棱锥P ABC -补成一个长方体，那么三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即直径为2221216PC =++=，则外接球的表面积264()6S ππ==.故选：C【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.12.已知数列{}ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）第1列 第2列 第3列 第4列 …第1行 1 3 9 19 33 第2行 7 5 11 21 第3行 17 15 13 23 第4行 31 292725┇A. 13i =，33j =B. 19i =，32j =C. 32i =，14j =D. 33i =，14j =【答案】C 【解析】【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置.【详解】每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.20211110112-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C.【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题. 二.填空题13.若tan 3α=，tan(2)1βα-=，则tan()αβ-=______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式可以求出()tan βα-，再由()()tan tan αββα-=--即得. 【详解】()()tan tan 2βαβαα-=-+⎡⎤⎣⎦()()tan 2tan 1321tan 2tan 113βααβαα-++===---⋅-⋅.又()()tan tan αββα-=--，则tan()2αβ-=.故答案为：2 【点睛】本题考查利用两角和差的正切公式求值，属于基础题. 14.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n a S +=，则7S =______．【答案】1274【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩证得数列{}n a 是等比数列，由此求得7S 的值.【详解】由于32n n a S +=，当1n =时11232,16a a ==.当2n ≥时113232n n n n a S a S --+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()11120,22n n n n a a a a n ---==≥.所以数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，所以77116112721412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. 故答案为：1274【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的前n 项和公式，属于基础题. 15.在正方体1111ABCD A B C D -中，点1E ，1F 分别为11A B ，11A C 的中点，则下列说法正确的是______.①1//?BE 平面1AF C ②1//DF 平面1AE C ③1CE ⊥平面1ABF ④1A C ⊥平面11AF D【答案】④ 【解析】 【分析】①②③错误，采用反证，假设正确，再根据线面垂直，线面平行的性质推出矛盾；④先证明11A C AF ⊥，再对称考虑有11A C B G ⊥，最后通过线面垂直的判定推出结论.【详解】①连接BD ，AC ，有1BD AA ⊥，BD AC ⊥，故BD ⊥平面1AF C .假设1//BE 平面1AF C ,则有1BD BE ⊥，而1BD BB ⊥，故BD ⊥平面11BB E ，于是BD AB ⊥，矛盾，所以此命题错误.②设BD 与AC 交于O ，则11//B F DO ，11=B F DO ，故四边形11B FOD 是平行四边形，所以有11//DF B O .假设1//DF 平面1AE C ，因O 在平面1AE C 上，故1B 也在平面1AE C 上，而直线11B E 直线和AC 为异面直线，矛盾，所以此命题错误.③假设1CE ⊥平面1ABF ，则必有1CE AB ⊥，而又有CB AB ⊥，故AB ⊥平面1BCE .于是有1AB BE ⊥，矛盾，所以此命题错误.④连接1A C，则有11cot A A AA C CA ∠==，又因为11111tan 2F A A AF A A ∠==，所以有11190AA C A AF ∠+∠=，故11AF A C ⊥.1F 是11A C 的中点，由正方形性质，1B ，1D ，1F 三点共线.所以平面11AF D 即是平面11AB D ，同理设1A D 的中点为G ，则11B G A C ⊥，于是有1A C ⊥平面11AB D ，故1A C ⊥平面11AF D .故本题的答案为：④【点睛】此题考查空间线面平行，线面垂直等知识，属于较难题.16.在三角形ABC 中，边4AB =，点D 是边AB 上的一点，若30ACD ∠=︒，45BCD ∠=︒，的最小值是______.【答案】1) 【解析】 【分析】设()01AD AB λλ=<<，再根据正弦定理得到CD 与AD 的关系，再得到CD 与DB 的关系，再计算出CA +与CD 的比例关系，作比得出关于λ的函数，再根据基本不等式得到CA CD+的最小值.【详解】由正弦定理sin sin sin AB BC CA C A B ==，sin 30sin AD CD A =︒，sin 45sin BD CDB=︒， 设()01AD AB λλ=<<，由sin 30sin AD CDA=︒得到2sin 2sin CD AD A AB A λ=⋅=⋅⋅.另一方面()1DB AB λ=-，由sin 45sin BD CDB=︒得到)sin 1sin CD B AB B λ=⋅=-⋅⋅.所以()11sin sin sin sin CA AB B A C C ⎛+=⋅+⋅=⎭.1sin C ⎛=+=⎭.而()sin 75sin 4530sin 45cos30sin 30cos 454︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，)41≥=.等号成立当且仅当12λ=.故答案为：)41.【点睛】本题主要考查正弦定理，还运用了函数或不等式的知识，是一道较难的综合题. 三.解答题17.已知函数21()2cos 2f x x x =--. （1）求函数的最小正周期，及函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若()012f x =-，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值. 【答案】（1）最小正周期为T π=；()max 0f x =；()min 32f x =-（2）0cos 21x =- 【解析】 【分析】先利用二倍角公式，将函数化为()sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）由2T πω=，即得周期，再根据函数的单调性，即得；（2）由()00sin 21612f x x π⎛⎫=--= ⎪⎝-⎭和0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解出0x ，即得.【详解】()211cos 212cos 2sin 212226x f x x x x x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的最小正周期为T π=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 故当3x π=时，()max 0f x =，当0x =时，()min 32f x =-； （2）由题，()012f x =-，即01sin 2162x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，01sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么052,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则06652x ππ-=，可得02=x π.故0cos 21x =-.【点睛】本题考查求函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期、最值，以及根据函数值求角，是常考题型.18.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆.【详解】（1）由()22a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.所以由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==.又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆的面积113sin 143222S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19.如图所示的几何体中，面ADEF ⊥底面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2BAD π∠=，24AB AD CD ===，G 为BF 中点.（1）证明：//CG 面ADEF ； （2）求三棱锥G CDE -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）163【解析】 【分析】（1）取AF 的中点H ,作辅助线，先证明1//,2HG AB HG AB =及//,2AB CD CD AB =,即可证明//,HG CD HG CD =,进而可证明四边形HGCD 为平行四边形，再由线面平行的性质定理即可证明；（2）首先取AB 中点M ，利用体积转化可得G CDE E MCD V V --=,再由体积的计算公式即可求解. 【详解】解：（1）取AF 的中点H ，连结GH ，HD 因为G 为BF 中点，//AB CD ，2AB CD =，所以//GH CD ，GH CD =，∴CDHG 为平行四边形， 所以//CG HD ， 又因HD ADEF ⊂面，CG ADEF ⊄面所以//CG ADEF 面；（2）取AB 中点M ，连GM ，则//GM AF ，所以//GM ED ，所以//GM ECD 面. 所以111162443323G CDE M CDE E MCD MCD V V V S ED ---∆===⋅=⨯⨯⨯⨯=. 所以三棱锥G CDE -的体积为163. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知数列{}3nn a ⋅为等差数列，其前n 项和为n S ，且满足113a =，39S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12n a a a ++⋅⋅⋅+． 【答案】（1）1(21)3n n a n =-⋅；（2）113n nn T +=-. 【解析】 【分析】（1）记3nn n b a =⋅，由等差数列的通项公式和求和公式，化简可得n a ；（2）设12n n T a a a =+++，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到结论.【详解】（1）记3nn n b a =⋅，∴1131b a ==，设公差为d ，则31339S b d =+=，∴2d =，121,(21)3n n n b n a n =-=-⋅． （2）记12n n T a a a =++⋅⋅⋅+，即23n 1111135(21)3333n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①， 2311111113(23)(21)33333n n n T n n +∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②，由①-②得2312111112(21)333333n n n T n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭ 21111(1)11332(21)13313n n n -+-=+⋅--⋅-，∴113n nn T +=-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．21.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.(1)求证：BE DC ⊥；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)23【解析】 【分析】(1)取PD 中点M ,连接,EM AM ,可得四边形ABEM 为平行四边形.再证明AB ⊥平面PAD 得到AB AM ⊥,进而得到BE DC ⊥即可.(2)利用等体积法,求出三棱锥P BCD -的体积,进而求得C 到平面PDB 的距离,再得出直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值即可.【详解】(1) 取PD 中点M ,连接,EM AM ,则12ME DC .又12AB DC ∥,故AB ME . 故四边形ABEM 为平行四边形.故BEAM .又2AD AP ==,故AM PD ⊥,又PA ⊥底面ABCD ,DC ⊂平面ABCD ,故PA DC ⊥.又AD AB⊥,//AB DC,故PA AB⊥,又PA AD A⋂=,故AB⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,故AB AM⊥.又AB DC,AM BE,故BE DC⊥(2)因为PA⊥底面ABCD,故114323P BCDV DC AD PA-=⨯⋅⋅=.又222PD AP AD=+=225PB AP AB+=225BD AB AD=+=故1225262PDBS=⨯-=设C到平面PDB的距离为d,则41633P BCDV d-==,解得263d=.故直线PC与平面PDB所成角的正弦值为2226233dPC PA AC==+【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离以及线面角的求解,需要根据题意利用线面线线垂直的判定与性质证明,同时也需要在等体积法时求解对应的面的面积等.属于中档题.22.已知数列{}n a中，11a=，()()121123nnn na a n n++-=⋅---⋅.（1）求证：数列232na⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若n S为数列{}n a的前n项和，求n S的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）73【解析】分析】（1）根据等比数列的定义，设232n n b a =-，推出1n n b b +为定值，即证；（2）分别写出2n a 和21n a -的通项，再讨论出2n S 和21n S -的通项，分别讨论2n S 和21n S -的单调性，再分别求出2n S 和21n S -的最大值，再比较两个最大值大小即可. 【详解】（1）设232n n b a =-， 因为22123232n n nn a b b a ++-=-()21213213232n n a n a +++-=-()()22136213232n n a n n a -++-=-2211132332n n a a -==-， 所以数列232n a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭以13为公比的等比数列.（2）由于21141233a a =-+=，故1431326b =-=-，又{}n b 是以13为公比的等比数列，可得111116323n n n b -⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又232n n b a =-得到2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+⎪⎝⎭， 所以12121111692692333n n nn n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++()211126129333nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1113312691213nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233nnn n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当*n N ∈时，{}2n S 单调递减，当1n =时，2n S 取最大值2703S =>；()2221223153113631232232n nn n n S S a n n n -⎛⎫⎛⎫=-=⋅--+=⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当*n N ∈时，{}21n S -单调递减，当1n =时，21n S -取最大值143S =； 综上，n S 的最大值为273S =. 【点睛】本题考查等比数列求和公式，数列的通项公式，数列的单调性等知识，是一道较难的综合题.。

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直三棱柱 中，上下底面平行且全等，可得直三棱柱 外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，求出底面外接圆半径，即可求解.
【详解】如下图所示，取 ， 的外接圆的圆心分别为 ，
连接 ，取 的中点 ，
则 是三棱Байду номын сангаас 的外接球的球心，
设 的外接圆的半径为 ，
三棱柱 的外接球的半径为 ，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可得该几何体为圆柱的一半,进而求解即可.
【详解】由图,该几何体为圆柱的一半,
则 ,
故选:B
【点睛】本题考查由三视图还原几何体,考查圆柱 体积.
3.设 .若 是 与 的等比中项，则 的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得： ，则：
首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．
【详解】因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；
若 ， ，则l∥α或l⊂α，故B错误；
若 ， ，则l与β可能平行也可能相交，故D错误；
若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；

11
4
(2)因为
PA
底面
ABCD ,故VPBCD
3
2
DC
AD
PA
3
.
又 PD AP2 AD2 2 2 , PB AP2 AB2 5 , BD AB2 AD2 5 .
故S
PDB
12 2
2
52
6.
设
C
到平面
PDB
的距离为
d
,则 VP BCD
4 3
1 3
6 d ,解得 d 2 6 . 3
2ab
2
又因为 C 0, ，所以 C .
3
（2）由
4c
cos
A
2
b
sin
C
0
，得
4c
sin
A
b
sin
C
0
.
由正弦定理，得 4ca bc ，因为 c 0 ，所以 b 4a . 又因 a 1，所以 b 4 .
所以 ABC 的面积 S 1 absin C 1 1 4 3 3 .
17（10 分）. 解.由f (x) 3 sin 2x cos2 x 1
2
2
f (x) sin(2x ) 1 6
(1)最小正周期为T
因为x [0, ] 2
所以2x - [ , 5 ] 6 66
所以当x
3
时，f
( x) max
0
当x
0时，f
( x) min
3 2
(2)因为f
(
x0
2
2
2
19（12 分）. 解：（1）取 AF 的中点 H ，连结 GH ， HD 因为 G 为 BF 中点， AB//CD ， AB 2CD ， 所以 GH //CD， GH CD ，∴ CDHG 为平行四边形，

2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={−2,0,√3}，B={−2,√3}，则∁A B=()A. {0}B. {−2,√3}C. {−2}D. {−2,0,√3}2.若π4<θ<π2,则下列不等式成立的是()A. tanθ<cosθ<sinθB. sinθ<tanθ<cosθC. cosθ<tanθ<sinθD. cosθ<sinθ<tanθ3.下列函数是偶函数的是()A. y=lgx2B. y=(12)xC. y=1−x2，x∈(−1,1]D. y=x−14.有下列说法：①集合Ｎ中最小的数为1;②若−a∈N,则a∈N③a∈N,b∈N，则a+b的最小值为2④所有小的正数组成一个集合其中正确的命题个数是()A. 0B. 1C. 2D. 35.若函数f(x)=2x−2x−a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)6.已知a=2,b=log132,c=log1215，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a7.已知函数y=(m2−3m+3)⋅x m2−m−2是幂函数，则实数m的值为()A. 1B. 2C. 1或2D. 无法确定8.若点P在−π4的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为()A. (√2,√2)B. (√2,−√2)C. (−√2,√2)D. (−√2,−√2)9.已知集合A={−1,1，3}，B={1,a2−2a}，且B⊆A，则实数a的不同取值个数为()A. 2B. 3C. 4D. 510.若函数f(x)=log3(x2+ax+a+5)在区间(−∞,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A. [−3,−2]B. [−3,−2)C. (−∞,−2)D. (−∞,−2]11.设函数f(x)={ln |x|(x<0)3x−1(x≥0)，若f(x0)>0，则x0的取值范围是()A. B.C. (−1,0)∪(0,1)D.12.若函数f(x)=m−x2+2lnx在[1e2,e]上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为()A. (e,e2−2]B. [1+1e4,e2−2] C. (1,4+1e4] D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若3x=4y=36，则2x +1y=________．14..化简：(sin2α+cos2α−1)(sin2α−cos2α+1)sin4α=________．15.若lg√2=m，lg6=n，则102m–n=__________．16.函数f(x)=mx2−2x+3在[−1,+∞)上递减，则实数m的取值范围______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.将下列各角表示为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并判断角是第几象限角．(1)3900°；(2)−3900°；(3)560°24′；(4)−560°24′；(5)2903°15′；(6)−2903°15′．18.已知函数，求f(x)的值域以及取得最值时x的值．19.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1．(1)求f(8)的值；(2)求不等式f(x)>3+f(x−2)的解集．20.已知sinα+cosα=2．sinα−2cosα(1)求tanα；−α)⋅cos(−π+α)的值．(2)求cos(π221.已知函数f(x)=−x2+2ax−a−a2在x∈[0,2]上的最大值为−2，求实数a的值．22.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2x+1．(Ⅰ)写出x≤0时函数f(x)的解析式；(Ⅱ)当x∈[1,2]时，不等式f(4x)+f(a−5×2x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合A={−2,0,√3}，B={−2,√3}，则∁A B={0}．故选：A．根据补集的定义写出运算结果．本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2.答案：D解析：【分析】本题考查已知角的范围，比较三种三角函数值的大小关系，属于基础题．【解答】解：因为π4<θ<π2,所以0<cosθ<sinθ<1,tanθ>1，所以cosθ<sinθ<tanθ，故选D．3.答案：A解析：解：A.y=lgx2是偶函数，满足条件．B.y=(12)x单调递减，为非奇非偶函数，不满足条件．C.函数的定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.y=x−1为奇函数，不满足条件．故选：A．根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．4.答案：A解析：【分析】本题考查集合的含义，0是自然数．因为0∈N，所以①③错误，取反例可知②，根据集合的确定性判定④错误．【解答】解：解：N中最小的元素是0，所以①错误；②错误，例如2∈N，−2∉N；a=0，b=0时，a+b取最小值，所以③错误；所有小的正数为不确定，不能组成一个集合，故④错误，所以命题正确的个数为0.故选A.5.答案：C解析：【分析】本题考查了函数零点存在性问题，属于基础题．分别代入端点函数值令f(1)f(2)<0解之即可．【解答】解：由题知函数在(1,2)上单调递增，故由函数在(1,2)内有一个零点，可得f(1)f(2)=(0−a)(3−a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0,3)，故选C．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．【解答】解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．7.答案：C【分析】本题考查幂函数的定义，是基础题，解题时要熟练掌握幂函数的概念，属于基础题．由幂函数的定义直接求解即可．【解答】解：∵y=(m2−3m+3)⋅x m2−m−2是幂函数，∴m2−3m+3=1，解得m=1，或m=2均符合题意．故选C．8.答案：B解析：解：设点P(x,y)由任意角三角函数定义，sin(−π4)=yr=y2，cos(−π4)=xr=x2解得：x=√2，y=−√2故选B．根据任意角三角函数定义，若角的终边上不同于原点的任意一点的坐标为(x,y)，则此角的正弦值为y r ，余弦值为xr，其中r为点到原点的距离，列方程即可得所求．本题考察了任意角三角函数的定义，熟记概念并能理解运用是解决本题的关键．9.答案：B解析：【分析】根据B⊆A，则B中元素都是A的元素分类讨论即可求解．【解答】解：∵B⊆A，∴a2−2a=−1或a2−2a=3.①由a2−2a=−1得a2−2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1,−1}，满足B⊆A．②由a2−2a=3得a2−2a−3=0，解得a=−1或3，当a=−1时，B={1,3}，满足B⊆A，当a=3时，B={1,3}，满足B⊆A．综上，若B⊆A，则a=±1或a=3．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．【解答】解：令g(x)=x 2+ax +a +5，对数函数y =log 3x 是定义域内的增函数，要使f(x)=log 3(x 2+ax +a +5)在区间(−∞,1)上单调递减，则{g(1)=1+a +a +5≥0 x =− a 2≥1，解得a ∈[−3,−2]． 故选A ．11.答案：B解析：【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，涉及分段函数和分类讨论思想，属中档题．根据函数f(x)的表达式，分x 0≥0和x 0<0，利用指数函数和对数函数的性质，得到x 0的取值范围．【解答】解：由题意得，{x 0<0,ln|x 0|>0或{x 0≥0,3x 0−1>0,可得{x 0<0,|x 0|>1或{x 0≥0x 0>0,综上可得x 0<−1或x 0>0，因此x 0的取值范围为．故答案为B ． 12.答案：C解析：【分析】本题考查了导数中的零点问题，考查了利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题． 令g(x)=x 2−2lnx ，判断g(x)的单调性和极值，根据g(x)=m 有两解得出m 的范围．【解答】解：令f(x)=0可得m=x2−2lnx，令g(x)=x2−2lnx，则g′(x)=2x−2x =2x2−2x．∴当1e2≤x≤1时，g′(x)≤0，当1<x≤e时，g′(x)>0，∴g(x)在[1e2,1]上单调递减，在(1,e]上单调递增，∴当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=1，又g(1e2)=1e4+4，g(e)=e2−2，∴g(1e2)<g(e)，∵m=g(x)有两解，∴1<m≤1e4+4．故选：C．13.答案：1解析：【分析】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质的应用．由指数式和对数式的关系可得x=log336，y=log436，，再利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：∵3x=4y=36，∴x=log336，y=log436，，故答案为1．14.答案：tanα解析：【分析】本题考查二倍角公式及同角三角函数之间的关系，根据题意利用二倍角公式及同角三角函数之间的关系即可得到结果．【解答】解：(sin2α+cos2α−1)(sin2α−cos2α+1)sin4α=sin22α−(cos2α−1)2 2sin2α·cos2α=sin22α−cos22α+2cos2α−1 2sin2α·cos2α=−2cos22α+2cos2α2sin2α·cos2α=1−cos2αsin2α=2sin2α2sinαcosα=sinαcosα=tanα．故答案为tanα．15.答案：13解析：【分析】本题考查了对数与对数运算和指数幂运算，由，运用对数运算和指数运算即可得出结果．【解答】解：∵lg√2=m，lg6=n，故答案为13．16.答案：[−1,0]解析：解：m=0时：f(x)=−2x+3，在R上递减，符合题意；m≠0时：函数f(x)=mx2−2x+3在[−1,+∞)上递减，f(x)是二次函数，对称轴x=1m≤−1，且m<0，解得：−1≤m<0，综上：−1≤m≤0，故答案为：[−1,0]．通过讨论m的范围，结合二次函数的性质，求出m的范围即可．本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道基础题．17.答案：解：(1)因为3900°=10×360°+300°，所以3900°的角与300°的角终边相同，为第四象限角；(2)因为−3900°=−11×360°+60°，所以−3900°的角与60°的角终边相同，为第一象限角；(3)因为560°24′=360°+200°24′，所以560°24′的角与200°24′的角终边相同，为第三象限角；(4)因为−560°24′=−2×360°+159°36′，所以−560°24′的角与159°36′的角终边相同，为第二象限角；(5)因为2903°15′=8×360°+23°15′，所以2903°15′的角与23°15′的角终边相同，为第一象限角；(6)因为−2903°15′=−9×360°+336°45′，所以−2903°15′的角与336°45′的角终边相同，为第四象限角；解析：本题考查了终边相同的角，是基础题．18.答案：解：令t =log 4x ，t ∈[0,32]，则y =t 2−t −3，函数对称轴为t =12∈[0,32]，故当t =12，即x =2时，f(x)min =−134；当t =32，即x =8时，f(x)max =−94∴f(x)的值域是[−134,−94]， 当x =2时，f(x)min =−134；当x =8时，f(x)max =−94．解析：本题考查了对数函数和二次函数的性质，属于基础题利用换元法，结合二次函数的性质，即可求出函数的值域，以及取得最值时x 的值19.答案：解：(1)由题意得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)，又∵f(2)=1，∴f(8)=3(2)不等式化为f(x)>f(x −2)+3∵f(8)=3，∴f(x)>f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是(0,+∞)上的增函数∴{x−2>0,x>8x−16∴解得2<x<167．∴不等式f(x)>3+f(x−2)的解集为{x|2<x<167}解析：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法与函数单调性的性质，求得f(8)=3是关键，属于中档题．(1)令x=y=2，可求得f(4)，继而可求得f(8)的值；(2)由(1)f(8)=3，可求得f(x)>3+f(x−2)⇔f(x)>f(8x−16)，利用f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数即可求得答案．20.答案：解：(1)∵已知sinα+cosαsinα−2cosα=2=tanα+1tanα−2，∴tanα=5．(2)cos(π2−α)⋅cos(−π+α)=sinα⋅(−cosα)=−sinαcosαsin2α+cos2α=−tanαtan2α+1=−526．解析：(1)直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．(2)利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．21.答案：解：函数f(x)=−x2+2ax−a−a2=−(x−a)2−a，函数f(x)的图象的对称轴为x=a，∵函数f(x)在x∈[0,2]上的最大值为−2，闭区间[0,2]的中点为1，当a<1时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=−4+3a−a2=−2，求得a=2(舍去)，或a=1(舍去)．当a≥1时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a−a2=−2，求得a=−2(舍去)，或a=1．综上可得，a=1．解析：函数的对称轴方程为x=a，求出闭区间的中点为1，分a<1、a≥1两种情况，分别根据函数在[0,2]上的最大值为−2，求得a的值，综合可得结论．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵当x>0时，f(x)=2x+1，∴当x<0时−x>0，∴f(−x)=2−x+1．又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0，∴−f(x)=f(−x)=2−x+1，∴f(x)=−2−x−1，∴当x ≤0时，f(x)的解析式为f(x)={0,x =0−2−x −1,x <0． (Ⅱ)∵f(x)为R 上的奇函数，∴原不等式可化为f(4x )≥−f(a −5×2x )，即f(4x )≥f(5×2x −a)， 又易判函数f(x)在R 上是增函数，∴不等式可化为4x ≥5×2x −a ，即a ≥5×2x −4x 在x ∈[1,2]恒成立， 只需求出5×2x −4x 在x ∈[1,2]的最大值即可，令y =5×2x −4x =−(2x )2+5×2x ，令t =2x ，则t ∈[2,4]，则y =−t 2+5t ，由二次函数可知当t =52时，函数y =−t 2+5t 取最大值254，∴实数a 的取值范围为a ≥254解析：(Ⅰ)由题意可得当x <0时，−f(x)=f(−x)=2−x +1，变形可得解析式，结合f(0)=0易得； (Ⅱ)问题转化为a ≥5×2x −4x 在x ∈[1,2]恒成立，换元由二次函数区间的最值可得． 本题考查函数的奇偶性，涉及函数恒成立和二次函数区间的最值，属中档题．。