方开泰、刘民千、周永道《试验设计及建模》课件-7

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例7.1


两因素的化工试验：反应时间 (x1[2,12])、 温度 ( x2[120,160]) 其响应曲面
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拟合模型


一阶模型（一阶模型设计） y = β0 + β1x1 + · · · + βsxs + ε, 二阶模型（二阶模型设计）
二阶模型设计也是一阶模型设计
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响应曲面法的示意图
设当前试验点位于xc = (x1, x2) = (3, 170)，在 其小邻域 [2.5, 3.5] × [165, 175] 内用 L4(22) 正交设计加上xc 处重复nc = 5 次构成一次试 验设计。 在中心点重复试验的原因：


获得随机误差方差的估计； 使试验中的两因素有三个水平，从而可 检验因素的交互项和二次项是否显著。
设 P0 = {yk, k = 1, · · · , n} 为 Cs = [0, 1]s 上的设计， 并设 xki = ai + (bi − ai)yki, i = 1, · · · , s, xk = (xk1, · · · , xks), k = 1, · · · , n, 则 P = {xk, k = 1, · · · , n} 为试验区域 χ=[a, b]Rs 中 的设计。 在试验中，不同的区域选择同样的设计 P0
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压缩比的影响
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B. 另一序贯方法

设第一步设计 P1 的试验区域χ1 = χ，其试验次数为 n1。不妨设在n1 个试验点中，x = x1 的响应值 f(x) 达到最大。 对于任意的 k ≥ 1，第 k 步设计 Pk 有nk 个设计点， 其中在 xk 的响应值取值最大。第 k + 1 步的设计点 数nk+1 分为两部分: (1 −αk+1)nk+1 个试验点的均匀设 计Pk+1 在超立方体 χk+1 上布点，其中0 < αk+1 < 1； 其余的αk+1nk+1 个试验点的均匀设计Pk+1,c 在试验区 域 χ 上布点。设χk+1的第 j 个边长为γk+1,j (j = 1, · · · , s)，则要求当 k → ∞时，γk+1,j → 0。
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A. 最陡上升法
最陡上升法是一种使响应 y 往最陡上升的方向序贯 移动的方法：

当前试验点 x 可能远离最优试验点 x∗，则希望快 速地从当前试验点过渡到最优试验点的小邻域内。 方向向量：

ˆ 为一阶模型中参数 其中 i

i 的最小二乘估计值。
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若使响应最小化，用其相反方向代替
例7.2. (例7.1 续)
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C. 中心复合设计

当s ≤ 4，取s-维立方体的所有顶点 (±1, · · · ,±1)；当s ≥ 5，取s-维立方体的部分 顶点； s-维坐标轴上两两对称的 2s 个点：(±α, 0, · · · , 0)，(0,±α, · · · , 0)，· · · ，(0, 0, · · · ,±α)； 其中 α = 2(s−k)/4. 中心点 (0, 0, · · · , 0) 的 n0 次试验。
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低维情形
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7.3 均匀序贯试验
常规做法：在试验域中均匀的布很多点，把最靠近 最优解的点作为近似解，但其收敛速度 慢。故需考虑序贯法

思想：

在响应曲面法的每一步试验中，考虑用均匀 设计以代替中心复合设计 保证了每一个因素有3 个以上的水平 每一步试验数目也不太多
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优点：

A. SNTO
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黄金分割法的作法
用 f(x1) 和 f(x2) 分别表示 x1 和 x2 处的响应值。此 时分为以下两种情形：

情形1: 若 f(x1) 比 f(x2) 好，即 x1 是好点，于是
把试验范围 [a, x2) 划去，剩下[x2, b]； 情形2：若 f(x1) 比 f(x2) 差，即 x2 是好点，于是 把试验范围 (x1, b] 划去，剩下 [a, x1]；
M(t) = f(x(t)) ≥ f(y), ∀ y ∈ P (t)∪{x(t−1)}

式中 x (−1) 表示空集，x (t) 和 M (t) 分别为 x∗ 和 M 的最佳逼近；
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SNTO


中止准则。设c (t) = (b(t) − a(t) )/2，若 max c (t) < δ， 其中δ 为事先设置的很小的数，则X (t) 足够小， 且x(t) 和M(t) 是可以接受的，此时中止算法，否 则转步骤5； 更新试验域。新的试验域χ(t+1) = [a(t+1), b (t+1)]，其 中

常见的优化算法，例如 Newton-Guass 法，最陡 下降法，易收敛到局部最优点
分别用均匀设计和序贯均匀设计法求解
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均匀设计求全局最优
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序贯均匀设计求解
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比较

用均匀设计求最优问题

不易陷入局部最优解 其收敛速度较慢 试验次数多

序贯均匀设计


不易陷入局部最优解 其收敛速度较快 试验次数少
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SNTO
设模型的全局最优值和全局最优解分别为 x∗ 和 M

初始化。设t = 0,χ(0) = χ, a(0) = a, b(0) = b；

产生均匀设计。在试验区域χ(t) = [a(t) , b(t)] 上寻 找一个试验次数为nt 的均匀设计P(t)； 计算新的近似值。选取 x(t) ∈ P (t)∪{x(t−1)} 和 M(t) 使得

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优选法的优缺点

优点

当模型不存在随机误差，且是单调、间断单 调或单峰时，优选法能找到最优解，且速度 最快

缺点

对模型的要求苛刻
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7.2 响应曲面法模型来自y f ( x1 ,
, xs )
这里 f 未知， 均值为 0，方差 2 .

响应曲面： E(y) = η = f(x1, · · · , xs)
式中γ 称为压缩比。记 t = t + 1，转步骤2。
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SNTO 示意图
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例7.4. 考虑函数
式中 (x, y)∈R2，求其全局最优值和全局最优点。
等高线图：
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例7.4 (续)
f(x, y) 有三个极值点，其位置分别为(0, 5), (−3, 0) 和(3,0)，且(0,5) 为其全局最优点，即x∗ = (0, 5)且M = f(x∗) = f(0, 5) ≈ 2.00000125，而两个局 部最优点为f(3, 0) ≈1.00125347，f(−3, 0) ≈ 1.01236245
第七章 序贯设计
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7.1 优选法
模型
y f ( x1 ,
, xs )
这里 f 未知， 每个因素试验范围 [ai,bi]

优选法 (黄金分割法, 0.618 法) 是一种寻找极值 点的方法
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单因素优选法

优选法可处理的函数
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黄金分割法的作法

第一个试验点x1 设在范围 [a, b] 的0.618 位置上，第二个试验点 x2 取成 x1 的对称 点，即： x1 = a + 0.618(b − a), x2 = a + b − x1 = a + 0.382(b − a),
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假设在 k + 1 步试验后响应值满足以下任一条 件，则中止试验： (i) |f(xk+1) − f(x)| < ； (ii) |xk+1 − x| < , 其中 为预先给定的正数。
目的：增大找到全局最优解的概率
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试验结果
拟合模型 ŷ = 33.1231 + 5.1055x1 − 4.4008x2
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序贯步骤




当前最陡上升方向正比于(5.1055,−4.4008)，或等价 的(1,−0.8620)。 沿着最陡上升方向，反应时间每增加一个单位(0.5分 钟) 做一次试验，即 (3 + 0.5 × k, 170 − 5 × 0.8620 × k), k = 1, 2, · · · , 当k = 10，即试验点 取为 x = (8, 126.9) 时 响应值最大 把x 作为当前试验点xc
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B. 二阶响应曲面
拟合模型
用矩阵的形式表达为 (7.8)
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平衡点
由拟合模型 可求得 平衡点：
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典型分析法


把拟合模型 (7.8) 变换到以平衡点为原点，并 适当旋转坐标轴 模型(7.8) 通过简单的矩阵运算可得典范型：

式中λi 的正负号决定了平衡点的性质

当λi (i = 1, · · · , s) 都同号，xs 为极值点 当λi (i = 1, · · · , s) 异号，xs 为鞍点