2014-2015学年陕西省咸阳市三原县北城中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
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2014-2015学年陕西省咸阳市三原县北城中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.归纳推理是（）A.特殊到一般的推理B.特殊到特殊的推理C.一般到特殊的推理D.一般到一般的推理【答案】A【解析】解：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故A中结论正确，故选：A本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对4个命题逐一判断即可得到答案．判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．2.若f（x）=cosx，则f′（）=（）A.-1B.C.0D.1【答案】A【解析】解：∵f′（x）=-sinx，∴f′（）=-sin=-1，故选：A根据基本函数的导数公式求导，然后代入求值即可本题考查了导数的运算，属于基础题3.已知f（x）=，则的值是（）A. B.2 C.- D.-2【答案】A解：因为f（x）=，所以===，故选：A．利用导数的定义，代入计算即可，本题主要考查了导数的定义，属于基础题．4.物体作直线运动的方程为s=s（t），则s′（4）=10表示的意义是（）A.经过4s后物体向前走了10mB.物体在前4s内的平均速度为10m/sC.物体在第4s内向前走了10mD.物体在第4s时的瞬时速度为10m/s【答案】D【解析】解：∵物体作直线运动的方程为s=s（t），根据导数的物理意义可知，S（t）函数的导数即是t时刻的瞬时速度．∴s′（4）=10表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选D．根据导数的物理意义可知，S（t）函数的导数即是t时刻的瞬时速度．本题考察了导数的物理意义，函数的导数与瞬时速度的关系是解决本题的关键．5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．6.若f（x）=x3，f′（x0）=3，则x0的值为（）A.1B.-1C.1或-1D.或-【答案】C【解析】解：∵f（x）=x3，∴f′（x）=3x2，则f′（x0）=3x02=3，故选：C．先对函数f（x）进行求导，然后将x0代入导函数建立等量关系，求出x0即可本题主要考查了导数的运算，以及导数的几何意义，属于基础题7.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A. B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f（x）在x=4处的导数值．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了导数的几何意义，是中低档题．8.满足f（x）=f′（x）的函数是（）A.f（x）=1-xB.f（x）=xC.f（x）=0D.f（x）=1【答案】C【解析】解：A、由f（x）=1-x，得到f′（x）=-1≠1-x=f（x），本选项错误；B、由f（x）=x，得到f′（x）=1≠x=f（x），本选项错误；C、由f（x）=0，得到f′（x）=0=f（x），本选项正确；D、由f（x）=1，得到f′（x）=0≠1=f（x），本选项错误，故选C分别利用求导法则求出各项的导函数f′（x），即可判断f（x）=f′（x）的函数，得到正确答案．此题考查学生灵活运用求导的法则化简求值，是一道基础题．9.已知质点按规律s=2t2+4t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则其在t=3s时的瞬时速度为（）（单位：m/s）．A.30B.28C.24D.16【答案】D解：∵s=2t2+4t，∴s'=s'（t）=4t+4∴当t=3时，s'（3）=4×3+4=16，故选：D根据导数的物理意义求函数的导数即可．本题主要考查导数的物理意义，要求熟练掌握导数的基本运算，比较基础．10.下列式子不正确的是（）A.（3x2+cosx）′=6x-sinxB.（lnx-2x）′=ln2C.（2sin2x）′=2cos2xD.（）′=【答案】C【解析】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′=6x-sinx成立，故A正确对于选项B，′成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，′成立，故D正确故选C观察四个选项，是四个复合函数求导的问题，故依据复合函数求导的法则依次对四个选项的正误进行判断即可．本题考查了复合函数的求导法则，求解中要特别注意复合函数的求导法则（2sin2x）′=2cos2x•（2x）'=4cos2x，对函数的求导法则要求熟练记忆，本题属于基础题．11.若a1=12，a2=12+22+12，…，a n=12+22+…+n2+…+22+12，在运用数学归纳法证明a n=n（2n2+1）时，第二步中从k到k+1应添加的项是（）A.k2+1B.（k2+1）2C.（k+1）2+k2D.（k+1）2+2k2【答案】C【解析】解：∵a k=12+22+…+k2+…+22+12，a k+1=12+22+…+k2+（k+1）2+k2+…+22+12，∴在运用数学归纳法证明a n=n（2n2+1）时，第二步中从k到k+1应添加的项是（k+1）2+k2，故选：C．a k=12+22+…+k2+…+22+12，a k+1=12+22+…+k2+（k+1）2+k2+…+22+12，即可得出结论．本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12.已知函数f（x）=x3-2x2+3x+，则与f（x）图象相切的斜率最小的切线方程为（）A.2x-y-3=0B.x+y-3=0C.x-y-3=0D.2x+y-3=0B【解析】解：∵f（x）=x3-2x2+3x+，∴f′（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1∵当x=2时，f′（x）取到最小值为-1∴f（x）=x3-2x2+3x+的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为-1∵f（2）=1，∴切点坐标为（2，1）∴切线方程为：y-1=-（x-2），即x+y-3=0故选B．先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程．本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)13.观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…据以上式子可以猜想：1++++…+＜______ ．【答案】【解析】解：由已知中的不等式：＜，＜，＜…我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即＜，∴＜．故答案为：．由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即＜，将n=2015，代入可得答案．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数a，b，c中______ ”．【答案】三个数都是偶数【解析】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至多有2个偶数”的否定为：“三个数都是偶数”，故答案为：三个数都是偶数．用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．本题主要考查用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，注意否定词语的应用，属于基础题．15.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））y=f（x）”．有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”．请你将这一发现作为条件，则函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为______ ．【答案】（1，1）【解析】解：∵f'（x）=3x2-6x+3，∴f''（x）=6x-6，令f''（x）=6x-6=0，得x=1．又f（1）=1，所以f（x）的对称中心为（1，1）．故答案为：（1，1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．16.已知物体的运动方程为s=t2++lnt-1（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=3时的速度为______ ．【答案】6【解析】解：物体的运动速度为v（t）=s′=2t-+所以物体在时刻t=3时的速度为v（3）=2×3-+=6，故答案为：6．根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时本题考查导数在物理上的应用：对物体位移求导得到物体的瞬时速度．17.已知函数y=f（x）的图象在x=4处的切线方程是y=-2x+9，则f（4）-f′（4）= ______ ．【答案】3【解析】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=1∴f（4）=1∵函数y=f（x）的图象在x=4处的切线方程是y=-2x+9，∴f′（4）=-2则f（4）-f′（4）=1-（-2）=3故答案为：3根据切点在切线上可求出f（4）的值，然后根据导数的几何意义求出f′（4）的值，从而可求出所求．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．18.若函数f（x）=x3-f′（-1）•x2+x+5，则f′（-1）= ______ ．【答案】-2【解析】解：∵f（x）=x3-f′（-1）•x2+x+5，∴f′（x）=x2-2f′（-1）x+1，取x=-1，得f′（-1）=1+2f′（-1）+1，即f′（-1）=-2．故答案为：-2．求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=-1得答案．本题考查了导数及其运算，解答磁体的关键是明确f′（-1）为常数，是基础题．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)19.求下列函数的导数：（1）f（x）=x3cosx（2）f（x）=（3）f（x）=ln（3x-1）【答案】解：（1）f′（x）=（x3）′cosx+x3（cosx）′=3x2cosx-x3sinx；（2）f′（x）==；（3）f′（x）=（3x-1）′=．【解析】根据导数的公式和导数的运算法则进行求导即可．比较基础．20.已知函数f（x）=e x-x2+a的图象在点x=0处的切线为y=bx（e为自然对数的底数）．求函数f（x）的解析式．【答案】解：函数f（x）=e x-x2+a的导数为f′（x）=e x-2x，在点x=0处的切线为y=bx，即有f′（0）=b，即为b=1，即切线为y=x，又切点为（0，1+a），即1+a=0，解得a=-1，即有f（x）=e x-x2-1．【解析】求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=-1，b=1，即可得到f（x）的解析式；本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，直线方程的运用，属于基础题．21.已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，，′．…（2分）∴f'（0）=2，∵f（0）=0，∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（4分）（Ⅱ）求导函数可得，′．…（6分）当a=0时，′，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．…（7分）当a≠0，′．①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-a，，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），，∞；单调增区间是，．…（10分）②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是∞，，（-a，+∞）；单调减区间是，，（-a，+∞）．…（13分）综上，a＞0时，f（x）在（-∞，-a），，∞单调递减；在，单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在∞，，（-a，+∞）单调递增；在，单调递减．【解析】（Ⅰ）当a=1时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22.（用分析法或者综合法证明）已知a＞6，求证：＜．【答案】证明：要证＜，只需证明：＜，只需证明：＜，只需证明：（a-3）（a-6）＜（a-4）（a-5），只需证明：a2-9a+18＜a2-9a++20，只需证明：18＜20，显然成立，所以a＞6时，＜．【解析】两边平方，化简可得．本题考查用分析法证明不等式，用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件．23.已知数列{a n}的前n项和S n=1-na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】解：（1）计算得；；；．（2）猜测：．下面用数学归纳法证明①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即．那么，当n=k+1时，S k+1=1-（k+1）a k+1，即S k+a k+1=1-（k+1）a k+1．又，所以，从而．即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．【解析】（1）由S n与a n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．。
