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信号与系统王明泉第三章习题解答

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第3章傅里叶变换与连续系统的频域分析
3.1 学习要求
（1）了解函数正交条件及完备正交函数集的概念；
（2）能用傅里叶级数的定义、性质及周期信号的傅里叶变换，求解信号的频谱、频谱宽度，画频谱图，深刻理解周期信号频谱的特点；
（3）能用傅里叶变换的定义、性质，求解非信号的频谱、频谱宽度，画频谱图，会对信号求正反傅里叶变换；
由图形可以看出 是个实偶函数，
对应的 F 也是实偶函数，
又∵ 可以看成是两个同样的窗函数卷积得到
∴ 是一个抽样函数的平方，是非负的
即， 得相位
根据傅里叶变换的时移特性可得，
(2)
(3)令 ，则对应的傅里叶反变换
3.6本章习题全解
3.1证明函数集 在区间 内是正交函数集。
证明:对任意的自然数n,m (n m),有
可见，通过傅里叶变换，可以把常系数线性微分方程变成关于激励和响应的傅里叶变换的代数方程，从而使问题得以简化，于是得出系统的频率响应函数
上式表明， 只与系统本身有关，而与激励无关。
（2）系统的频域分析
根据傅里叶逆变换的定义，由于任意信号 可以表示为无穷多个基本信号 的线性组合，因而应用线性叠加性质不难得出任意信号 激励下系统的零状态响应。其推导过程如下：
3.3.9理想低通滤波器
理想低通滤波器是将滤波网通的某些特性理想化的结果。实际上，理想低通滤波器是不能用电路来实现的。设滤波器的系统函数为 。
理想低通滤波器的频率响应
理想低通滤波器的单位冲激响应
理想低通滤波器的单位阶跃响应
其中 为正弦积分函数
（3）系统的物理可实现
物理可实现系统需满足因果条件：
佩利-维纳准则：对于幅度函数为 ，物理可实现的必要条件为
(a) (b)
(c) (d)
答案：(c)
分析：由于 ，根据时移性质
这里一定注意要把 当作一个整体，时移也要包括
题5、若 ， 而 ，那么 （）
(a) (b)
(c) (d)
答案：(d)
分析：根据傅里叶变换的尺度和时移性质即可得出正确答案
先考虑尺度性质 ，再应用时移性质
也可先考虑时移性质
再考虑尺度性质
题6、连续周期信号f（t）的频谱 的特点是( )
性质名称
时域
频域
1
线性性质
2
尺度变换特性
，
3
奇偶虚实性
为实函数
，
，
为虚函数
4
时移特性
5
频移特性
6
对偶性
7
时域微分特性
8
时域积分特性
9
频域微分特性
10
频域积分特性
11
时域卷积特性
12
频域卷积特性
13
帕塞瓦尔定理
3.3.5周期信号的傅里叶变换
周期信号 的频谱由无限多个冲激函数组成，各冲激函数位于周期信号 的各次谐波 处，且冲激强度为 的 倍，即
（2）指数形式的傅里叶级数
复数频谱
根据欧拉公式可以找到指数形式傅里叶级数与三角形式傅里叶级数的关系
（3）波形对称与谐波特性的关系
对于偶函数，满足 ， ， ，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。复振幅 是实数，其初相位 为零或 。
对于奇函数，满足 ， ， ，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。复振幅 是虚数，其初相位 为 或 。
式中，系数 、 分别为
仿照矢量正交的概念，可以定义函数正交的条件。
若有一个定义在区间 的实函数集 ，在该集合中所有的函数满足
则称这个函数集为区间 上的正交函数集。式中 为常数，当 时，称此函数集为归一化正交函数集。
若实函数集 是区间 内的正交函数集，且除 之外 中不存在 满足下式
且
则称函数集 为完备正交函数集。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。
当选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形 种出现的峰值起伏越靠近 的不连续点。但是对任何有限的 值，部分和所呈现的峰值的最大值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯（Gibbs）现象。
周期信号展开傅里叶级数，必须满足狄利克雷（Dirichlet）条件：
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
若在区间 上找到了一个完备正交函数集 ，那么，在此区间的信号 可以精确地用它们的线性组合来表示
各分量的标量系数为
系数 只与 和 有关，而且可以互相独立求取。
3.3.2周期信号的傅里叶级数
任一个满足狄利克雷条件的周期信号可展开傅里叶级数。
（1）三角形式的傅里叶级数
式中，n为正整数； 称为基波角频率。
直流分量：
表31常用信号的傅里叶变换
序号
名称
时间表示式
傅里叶变换
矩形脉冲信号
单边指数信号
，
双边指数信号
三角脉冲信号
抽样脉冲信号
钟形脉冲信号
余弦脉冲信号
升余弦脉冲信号
符号函数
单位冲激函数
1
直流信号
1
单位阶跃函数
冲激偶信号
单位斜变信号
3.3.4连续时间信号傅里叶变换的性质
如表3.2所示。
表3.2傅里叶变换性质
序号
（4）深刻理解周期信号的傅里叶变换及周期信号与非周期信号傅里叶变换的关系；
（5）深刻理解频域分析法的内涵，并掌握其求解系统的零状态响应的方法；
（6）深刻理解系统的无失真传输的意义和条件；
（7）掌握系统的物理可实现性。
3.2 本章重点
（1）傅里叶级数的定义、周期信号的频谱及性质；
（2）傅里叶变换的定义、性质；
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
且
不满足此准则的幅度函数，该网络的单位冲激响应就是无因果的，即响应先于冲激出现。佩利-维纳准则仅为必要条件，不是充分条件。系统可实现性的本质是因果性。对于物理可实现系统，可以允许 在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。按此原理，理想滤波器都是物理不可实现的。对于无失真系统，由于 ，因而也是物理不可实现的。
另一类是非线性失真，是由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。
（2）无失真传输条件
无失真：响应信号与激励信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。
无失真传输条件：即 ，其中， 为常数， 为延迟时间。或者为
无失真传输对 的要求： ，即在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅频特性为与频率无关的常数 。相频特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线，或者说，系统的群延时 为常数。
3.4典型考试试题解析
题1、已知信号 的傅里叶变换 ，则 为（）
（a） (b) (c) (d)
答案：(a)
分析：根据傅里叶变换的对称性
再根据频移性质得
题2、有一因果线性时不变系统，其频率响应 ，对于某一输入 所得输出信号的傅里叶变换为 ，则该输入 为（ ）
(a) (b) (c) (d)
答案：(b)
分析：根据频域分析法可得
幅度调制的过程：设载波信号为 ，调制信号为 ，二者的傅里叶变换分别为 和 。已调信号为 ，其频谱为
这样，信号 的频谱被搬移到载频 附近。
解调及解调的过程：由已调信号 恢复原始信号 的过程称为解调。选用与载波信号相同的本地载波信号 与接收到的已调信号 相乘，有 ，其频谱为
利用一个低通滤波器可以取出 。
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
3.3.7线性时不变系统的频域分析法
频域分析是在频域中求解系统的响应，它反映输入信号的频谱 通过系统后，输出信号频谱 随频率变化的情况。
（1）系统函数及意义
对于一个线性时不变系统，零状态响应 等于激励 与系统单位冲激响应 的卷积，即 。根据卷积定理，有 ，其中， 表征的是系统频域特性，称为系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数，定义为
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号Hale Waihona Puke 里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。

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《信号与系统分析基础》第3章部分习题解答

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第三章习题解答3.2 求下列方波形的傅里叶变换。

(a) 解：1102()()11()2j t j t j t j j a F j f t e dt e e dt j e S e j ωτωτωωτωτωωωττω+∞--∞----=-=⋅=-==⎰⎰(b) 解：200022()11()1[](1(1)1(1)j t t j t j t j t j j j j tF e dttde j j te e dt j j e e ej eτωωττωωωτωτωτωτωττωτωωτωτωωττω--------==⋅⋅-=--=+-=+-⎰⎰⎰(c) 解：13112211()()22111()()2211()cos21()21()21112()2()22j t j t j t j t j t j t j t j tF t e dte e e dt e e dt e ej j ωππωππωωππωωπωππωω-------+---+--=⋅=+⋅=+=--+⎰⎰⎰()()()()22221111[][]2222j j j j e e e e j j ππππωωωωππωω----++=⋅--⋅--+2222sin()sin()cos ()cos ()cos 2222()()2222ππππωωωωωωπωππππωωωω-+⋅++⋅-⋅=+==-+--3.3依据上题中a,b 的结果，利用傅里叶变换的性质，求题图3.3所示各信号的傅里叶变换. (b) 解：262()()()f t g t g t =+,而()()2g t Sa τωττ↔2()6(3)2()F Sa Sa ωωω∴=+如利用3.2中(a)的结论来解，有：211'()(3)(1)f t f t f t ττ=+++，其中6,'2ττ==.3211'()()()6(3)2()j j F e F e F Sa Sa ωωττωωωωω∴=⋅+⋅=+(如()()f t F ω↔，则00()()j t f t t eF ωω±↔)(c) 解：32222()2()2(),1f t f t f t τττ=++-+= 由3.2(b)知，2221()(1)j j F e j e ωτωτωωττω--=+-32222222222222()2()2(),1112(1)2(1)222222444cos (1cos )j j j j j j j j j j F e F e F e e j e e e j e je je ωτωτωωωωωωωωωωωτωωωωωωωωωωωωωωω-----∴=+-==⋅⋅+-+⋅⋅--=+-+--=-=-3.4利用对称性求下列各函数的傅里叶变换.(2) 222(),.f t t tαα=-∞<<+∞+ 解：222t e αααω-↔+ ，由对称性，2222et αωαπα-↔+(3)2()f t444444444244()(2)(2)1(2)()21111()(2)(2)[()]*[()][()()]22282,()()0.22,()()2;26,()()f t Sa t Sa t Sa t g f t Sa t Sa t g g g g g g g g d g g d πππππππωππππππππωππωωωωππωπωωπωπωωυωππωπωωυ-=⋅↔=⋅↔=*<-*=-<<*==+<<*=⎰解：而，利用频域卷积特性，得：积分：2444246.6,()()0g g πωππππωππωωπωω-=-+=->*=⎰3.8(3) ()(2)()2()dF t f t j F d ωωω-↔-(6) (25)f t -;由1[()]()j b a F f at b e F a a ωω--=⋅，2,5,a b == 2.51(25)()22j f t e F ωω-∴-↔⋅3.9 计算下列各信号的傅里叶变换.(2) 3()2(32)()2[2()],2u t t u t t δδδ+-=+-是偶函数332232()1,1[()]().2, 3.112(32)21,()().21()2(32)()j b aj j j t F f at b e F a aa b t e e u t j u t t e j ωωωωδωδπδωωδπδωω----↔-===∴-↔⋅⋅⋅=↔+∴+-↔++ 由(7) 33(2)63(3)9[(2)(3)](2)(3)tt t e u t u t eu t e e u t e --+---+--=⋅+-⋅-33(2)23(3)31().11();(2)331(3)3t t t j t j e u t j e u t e u t e j j e u t e j αωωαωωωω---+---↔+∴↔+↔++-↔+ 同理：32(3)3(3)1[(2)(3)]()3t j j e u t u t e e j ωωω-+-+∴+--↔-+3.13 已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换如下：0000001[()]()[c o s ][()()][s i n ][()()]F u t j F t F t j πδωωωπδωωδωωωπδωωδωω=+=++-=+-- 求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。

信号与系统第三章答案2

信号与系统第三章答案2


y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t )
（1）对上式两边取傅里叶变换得：
( jw ) 2 Y ( jw ) + 4( jw )Y ( jw ) + 3Y ( jw ) = F ( jw )
1 1 Y ( jw ) 1 1 2 2 H ( jw ) = = = = 2 F ( jw ) ( jw ) + 4( jw ) + 3 ( jw + 3)( jw + 1) ( jw + 1) ( jw + 3) 1 h(t ) = F -1[ H ( jw )] = (e- t - e-3t )U (t ) 2
jw =-2
= -1
d [Y ( jw )g( jw + 2) 2 ] =2 j w =2 dw
jw =-3
K 3 = Y ( jw )g( jw + 3)
即
= -2
Y ( jw ) =
-1 2 -2 + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
根据傅里叶变换的性质：
- jtf (t ) «
1 1 g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) K3 K1 K2 = + + jw + 2 jw + 3 jw + 1
用部分分式展开法：
K1 = Y ( jw )g( jw + 2) K 2 = Y ( jw )g( jw + 3) K 3 = Y ( jw )g( jw + 1)
h(t ) = F -1[ H ( jw )] = (2e -3t - e -2t )U (t )
信号与系统习题答案第三章

信号与系统习题答案第三章

第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。

它是否是完备集?解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。

又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m 和n 。

由完备正交函数定义所以此函数集不完备。

3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。

3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。

如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。

解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。

和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。

信号与系统王明泉1-8章完整答案

信号与系统王明泉1-8章完整答案

第1章信号与系统的概述1.1 学习要求（1）了解信号与系统的基本概念与定义，会画信号的波形；（2）了解常用基本信号的时域描述方法、特点与性质，并会灵活应用性质；（3）深刻理解信号的时域分解、运算的方法，会求解；（4）深刻理解线性是不变系统的定义与性质，会应用性质求解系统1.2 本章重点（1）基本的连续时间信号的时域描述和时域特性；（2）单位冲激信号的定义、性质与应用；（3）信号的时域运算及其综合应用；（4）线性时不变系统的性质与应用。

1.3 本章的知识结构1.4 本章的内容摘要1.4.1信息、消息和信号的概念所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。

消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。

所谓信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。

信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。

1.4.2信号的分类以信号所具有的时间函数特性来加以分类，可以将信号分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等等。

1.4.3 常用信号 （1）正弦型信号)cos()(ϕω+=t A t f (1-3)（2）指数信号st Ae t f =)( (1-8)（3）矩形脉冲⎪⎩⎪⎨⎧><=2/02/1)(ττt t t f（4）三角脉冲⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=2/02/21)(τττt t tt f (1-18)（5）抽样信号ttt sin )Sa(=(1-19)性质：（1）)Sa()Sa(t t =-，偶函数 （2）1)Sa(,0==t t ，即1)Sa(lim 0=→t t（3）π,0)Sa(n t t ±==， 3,2,1=n （4）⎰∞=02πd sin t t t ，⎰∞∞-=πd sin t tt（5）0)Sa(lim =±∞→t t该函数的另一表示式是辛格函数，其表示式为ttsi t c ππn )(sin =(1-20) (6) 斜变信号⎩⎨⎧≥<=000)(t t t t f (1-24)（7）单位阶跃信号⎩⎨⎧><=0100)(t t t u 或⎩⎨⎧><=-0100)(000t t t t u如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用)(t G T)2()2()(Tt u T t u t G T --+=下标T 表示其矩形脉冲宽度。