大学物理第十二章
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第十二章气体动理论
12-1 温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV,气体的温度需多高？ 解：=
1ε2
31kT ＝5.65×21
10
-J ，=
2
ε
2
32kT ＝7.72×21
10
-J
由于1eV=1.6×19
10-J , 所以理想气体对应的温度为：T=2ε/3k =7.73×3
10 K
12-2一容器中储有氧气，其压强为0.1个标准大气压，温度为27℃，求：(1)氧气分子的数密度n ；(2)氧气密度ρ；(3)氧气分子的平均平动动能k ε？
解： (1)由气体状态方程nkT p =得，24
23
5
10
45.2300
10
38.110013.11.0⨯=⨯⨯⨯⨯=
=
-kT
p n 3
m
-
(2)由气体状态方程RT M
M pV mol
=
(M ， mol
M
分别为氧气质量和摩尔质量) 得氧气密
度：
13.0300
31.810
013.11.0032.05
mol
=⨯⨯⨯⨯=
=
=RT
p
M
V
M ρ 3
m
kg -⋅
(3) 氧气分子的平均平动动能21
23
10
21.630010
38.12
32
3--⨯=⨯⨯⨯==
kT k ε
12-3 在容积为2.0×3
3
m 10
-的容器中，有内能为6.75×2
10J 的刚性双原子理想气体分子，求（1）气
体的压强；（2）设分子总数5.4×22
10个，求气体温度；（3）气体分子的平均平动动能？
解：（1）由2
iRT M
m =
ε 以及RT M
m pV =
可得气体压强p =
iV
ε2=1.35×5
10 Pa
（2）分子数密度V
N n =
, 得该气体的温度62.3===Nk
pV nk
p T ×2
10K
(3)气体分子的平均平动动能为=
ε2
3kT =7.49×21
10
-J
12-4 2
100.2-⨯kg 氢气装在3
100.4-⨯m 3
的容器内，当容器内的压强为5
1090.3⨯Pa 时，氢气分子的
平均平动动能为多大？ 解：由RT M m pV =
得 mR MpV T =
所以22
10
89.3232
3-⨯=⋅
=
=mR
MpV k kT εJ
12-5 1mol 刚性双原子气体分子氢气，其温度为27℃，求其对应的平动动能、转动动能和内能各是多少?（求内能时可不考虑原子间势能） 解：理想气体分子的能量为RT i n
E 2
=，所以氢气对应的
平动动能为（3=t ） 5.373930031.82
31=⨯⨯⨯
=t εJ 转动动能为（2=r ） 249330031.82
21=⨯⨯⨯=r εJ
内能5=i 5.623230031.82
51=⨯⨯⨯
=i ε J
12-6 设有N 个粒子的系统，其速率分布如图所示，求：(1)分布函数)(v f 的表达式； (2)速度在1.50
v 到2.00v 之间的粒子数；(3) N 个粒子的平均速率；(4) 0.50v 到10v 区间内粒子的平均速率？ 解：(1)从上图所给条件得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥=≤≤=≤≤=)
2(0)()2()()0(/)(00000v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf 由此可得分布函数表达式为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤≤≤=)
2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v N
a v v Nv av v f 类似于概率密度的归一化条件，故)(v f 满足
⎰
+∞
∞
-1d )(＝v v f ,即
⎰
⎰
=+
20
,1d d v v v v a v v av 计算得0
32v N a =
，带入上式得分布函数)(v f 为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≤≤≤≤=)
2(0)2(32
)0(3/2)(0000020v v v v v v v v v v v f (2)该区间对应的)(v f 为常数
32v N ，所以可通过计算矩形面积得该区间粒子数为：
N v v v N N 3
1)5.12(32000
=
-=
∆
(3) N 个粒子平均速率
⎰
⎰
⎰
⎰
+=
=
=
∞
∞
+∞
-0
20
2
2
d 32d 32d )(d )(v v v v v v v v v v v vf v v vf v 09
11v =
(4)同理05.0v 到01v 区间内粒子平均速率
v v v v v vf v v v v v d 32d )(0
5.02
2
5.0⎰
⎰
=
=
=036
7v
12-7 设N 个粒子系统在各速率区间对应的粒子数变化率为：
Kdv dN = （为常量K v V ,0>>）， 0=dN （V v >）
（1）
画出速率分布函数图；（2）用N 和V 表示常量K ；（3）用V 表示出平均速率和方均根速率。
解：（1）因为Kdv dN = 所以有：
N
K dv
N dN v f =
⋅=
)( （0>>v V ）
0)(=v f （V v >）
故速率函数分布图如右图所示。
（2）
由归一化条件：
1)(0
==
⎰
⎰
+∞
∞
-dv N
K dv v f V
可得：V
N K =
（3）
V V
N
K vdv N
K dv v vf v V
V
2
12
1)(2
=
⋅
=
=
=
⎰
⎰
V V N K dv v f v v
V
3
3)
3
1(
)
)((2
1
3
2
1
2
2
=
==⎰
12-8 某些恒星的温度可达到约8
100.1⨯k ，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。
通常在此温度下恒星可视为由质子组成。
求：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：（1）15
10
07.22
3-⨯==
kT εJ （质子i=3, 只有平动动能）
（2）
6
2
1058.133⨯==
=
m
kT M
RT v
m.s 1-（质子质量为2710675.1-⨯kg ）
12-9、图中Ⅰ、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。
试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的 最概然速率；（2）两种气体所处的温度。
解：（1）M
RT v P 2=
温度相同时，P v 与
M 成反比
∵2
2
o H M
M
<,∴22)()(o P H P v v >.
故从图知，Ⅱ图线对应的P v 值应为氢气的。
∴3
100.2)(2
⨯=H
P v m.s -1
又由
162
2=H O M
M 可得：2
105)(4
1)(22⨯==
H P O P v v m.s -1
（2）氢气、氧气温度相同。
所以，由M
RT v P 2=
得
2
21081.42)(22
2⨯=⋅
=⋅
=R
M
v R
M v T H H P P
K570705
12-10一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 nkT p =则
1=H
O n n
(2)由平均速率公式
mol
60
.1M RT v =
4
1mol mol =
=
O
H H
O M
M v v
12-11若氖气分子的有效直径为8
1059.2-⨯cm,问在温度为600K 、压强为2
1033.1⨯Pa 时氖气分子1s
内的平均碰撞次数为多少？
解：6
2
2
1081.38)
(
22⨯===M
RT
kT
p d v n d Z πππs 1-
12-12一真空管的真空度约为3
1038.1-⨯Pa ，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设
分子的有效直径d ＝3×10-10 m)．
解：由气体状态方程nkT p =得17
23
3
10
33.330010
38.11038.1⨯=⨯⨯⨯=
=
-kT
p n 3
m
-
由平均自由程公式 n
d 2
21πλ=，5.710
33.310
921
17
20
=⨯⨯⨯⨯=
-πλ m。
