高中数学(人教版必修5)配套课件：第一章 解三角形 1-2(二)

sin ，B 所以sinAb cossinBB=cosAsinB，
sin A cos A sin(A-sBin)B=0，coAs B=B.同理B=C.
所以△ABC是等边三角形.故选B.
1.1.2 余弦定理
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1．了解向量法推导余弦定理的过程． 2．能利用余弦定理求三角形中的边角问题． 3．能利用正、余弦定理解决综合问题．
b2 4R 2
c2 4R 2
.
所以△ABC是等腰直角三角形.
【规律总结】判断三角形形状的常用方法 判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边.分以下两 步： 第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边， 第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边 的关系，进而确定三角形的形状.
公式推论
b2＋c2－a2
cos A＝______2_bc__________，
a2＋c2－b2 2ac
cos B＝ ____a2_＋_b_2－__c_2 _______ ，
2ab
cos C＝ _________________.
_____ a≤b 无解
【探究总结】正弦定理的三个应用技巧
(1)求边：
a
bsin
A，b
asin
B，c
asin
C，
类似地，还可以
写出求a，b，csi的n B其他几个si公n A式. sin A
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即
等类似的公s式in .A
asin b
B，
s(i3n)B相同bs的in 元A，素s归in 到C 等c号sin的A一边：
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
2.在△ABC中，已知bsinB=csinC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判

3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3

∴B＋C＝60°，从而 A＝120°.
(2)由余弦定理，得 b2＋c2＋bc＝a2＝12，
①
又 b＋c＝4，∴b2＋c2＋2bc＝16.
②
由①②得 bc＝4.
∴S△ABC＝12bcsin A＝12×4×sin 120°＝ 3.
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第一章 解三角形
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4．在△ABC 中，已知 a＝3 3，c＝2，B＝150°，求边 b 的长及 S△ABC.
解析： b2＝a2＋c2－2accos B ＝(3 3)2＋22－2·3 3·2·－ 23＝49， ∴b＝7， S△ABC＝12acsin B＝12×3 3×2×12＝32 3.
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解析： 由 1＋2cos(B＋C)＝0 和 B＋C＝π－A，
得
1－2cos
A＝0，所以
cos
A＝12，所以
sin
A＝
3 2.
再由正弦定理，得
sin
B＝bsian
A＝
2 2.
由 b<a 知 B<A，所以 B 不是最大角，B<π2，

思考 在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
答案 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为 △ABC外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－ cos Asin B＝0. 梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本 质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理 主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．
2 ∴sin C＝1，∴C＝90°.
解析 答案
类型三 用正弦定理解决简单实际问题 例4 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两 地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为 5( 3＋1) m.
解析 答案
反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出 实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．
12345
解析 答案
规律与方法
1.用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注 意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解.然后分析解三角形已 有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达 到目标. 2.当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接 圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化. 3.三角形面积公式要根据条件灵活选择.
知识点三 三角形面积公式 思考 在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝30°.BC边上的高AD是多 少？△ABC的面积是多少？ 答案 AD＝bsin C＝2·sin 30°＝1. S△ABC＝12a·AD＝12absin C＝12×1×1＝12. 梳理 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，则△ABC 的面积 S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.