一、单选题1．设集合，，则（ ） {}*2N 4A x x x =∈≤{B x y ==R A B = ðA ．B ．C ．D ．[]0,3[]1,3{}1,2{}1,2,3【答案】C 【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.【详解】由题意可得：，所以，故. {}[)1,2,3,43A ,B ,==+∞()R 3B ,=-∞ð{}R 1,2A B =I ð故选：C2．设复数z 满足（i 是虚数单位），则（ ）(1i)2i z +=-+z =A B ． C ． D 5452【答案】A【分析】利用复数运算求得，进而求得.z z 【详解】依题意，， (1i)2i z +=-+， ()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z -+--+-+====-+++-=故选：A3．在数列中，“数列是等比数列”是“”的（ ）{}n a {}n a 2213a a a =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，【详解】数列是等比数列，得，{}n a 2213a a a =若数列中，则数列不一定是等比数列，如数列， {}n a 2213a a a ={}n a 12468101214，，，，，，，， 所以反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．{}n a 2213a a a =故选：A.4．已知平面向量，，且（ ） ()1,3a = 2b = a b -= ()()2a b a b +⋅-=A ．1B ．14C D【答案】B 【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.【详解】因为，，所以，所以222210a b a a b b -=-⋅+= 2b = 2a b ⋅= . ()()2222204214a b a b a b a b +⋅-=--⋅=--= 故选：B5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ）()10,2DA ．相关系数r 变小B ．决定系数变小 2RC ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D 【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和()10,2D 和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， ()10,2D ()10,2D 对于A ，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r 变大，故r ()10,2D A 错误；对于B ，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故2R ()10,2D 2R B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C 错()10,2D 误； 对于D ，若去掉后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确． ()10,2D 故选：D ．6．已知，，且，则ab 的最小值为（ ）1a >1b >log log 4=bA ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C 【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.22log log 4a b ⋅=ab 【详解】∵，2log log 4=b ∴，即： 21log log 42=b a 2222log 4log log =a b ∴，22log log 4a b ⋅=∵，，1a >1b >∴，，2log 0a >2log 0b >∴，当且仅当即时取等号，222log ()log log 4ab a b =+≥=22log log a b =a b =即：，当且仅当时取等号，4216ab ≥=a b =故的最小值为16.ab 故选：C.7．如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线A B C M N 平面的是（ ）//MN ABC A ． B．C ．D ．【答案】D【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项.【详解】对于A 选项，如下图所示，在正方体中，且， DMEF GPQT -//QT EF QT EF =因为、分别为、的中点，则且，B C QT EF //BQ EC BQ EC =所以，四边形为平行四边形，所以，，BCEQ //BC EQ因为平面，平面，所以，平面，BC ⊄EMPQ EQ ⊂EMPQ //BC EMPQ 同理可证平面，//AB EMPQ 因为，、平面，所以，平面平面，AB BC B ⋂=AB BC ⊂ABC //EMPQ ABC 因为平面，故平面，A 满足；MN ⊂EMPQ //MN ABC 对于B 选项，如下图所示，连接，PT 在正方体中，且，DECF GPQT -//PE FT PE FT =因为、分别为、的中点，则且，A B PE FT //PA BT PA BT =所以，四边形为平行四边形，故，PABT //AB PT 因为、分别为、的中点，则，所以，，M N GP GT //MN PT //MN AB 因为平面，平面，所以，平面，B 满足；MN ⊄ABC //AB ABC //MN ABC 对于C 选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，DMKN GPQT -GT F 连接、、，AF BF PT因为且，、分别为、的中点，//PG KN PG KN =A C PG KN 所以，且，故四边形为平行四边形，则，//AG CN AG CN =ACNG //AC GN 因为、分别为、的中点，所以，，则，F B GT TN //BF GN //BF AC 所以，、、、四点共面，A B C F 因为且，则四边形为平行四边形，所以，，//PM NT PM NT =PMNT //PT MN因为、分别为、的中点，则，所以，，A F PG GT //AF PT //MN AF 因为平面，平面，所以，平面，C 满足；MN ⊄ABC AF ⊂ABC //MN ABC 对于D 选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，DEKF GPQT -EK H 连接、、、、、，BH HM CN PT EF BN因为且，、分别为、的中点，则且，//PE FT PE FT =B N PE FT //PB TN PB TN =所以，四边形为平行四边形，则，PBNT //BN PT 因为、分别为、的中点，所以，，故，A C GP GT //AC PT //AC BN 所以，、、、四点共面，A B C N 同理可证，故，同理可得，，//MH BN //AC MH //AB MN //BH CN 反设平面，因为，且平面，则平面，MN ⊄ABC //MN AB AB ⊂ABC //MN ABC 但与平面有公共点，这与平面矛盾，故平面，D 不满足. MN ABC M //MN ABC MN ⊂ABC 故选：D.8．已知满足，且在上单调，则的最大()sin()f x x ωφ=+(0)>ω()14f π=503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 5,46ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ω值为（ ）A ．B ．C ．D ． 12718176173017【答案】B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.ωω【详解】满足，， ()sin()f x x ωφ=+ (0)>ω(14f π=503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即， 53442T nT ππ∴-=+()1736T n nπ=∈+N ， ()61217n n ω+∴=∈N 在上单调， ()f x 5,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即， 572641222T ππππω∴-=≤=127ω≤当时最大，最大值为， ∴1n =ω1817故选：B.二、多选题9．若直线与圆C ：相交于A ，B 两点，则的长度可能等于（ ） 1y kx =+()2229x y -+=AB A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】CD【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进()0,1P AB 而求出的长度可能的取值.AB 【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径. 1y kx =+()0,1P ()22:29C x y -+=()2,0C 3r =当直线经过圆心时，所得弦长最大，；AB max 26AB r ==当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，，PC AB min 4AB ==因此可得：，故的长度可能等于4或5.46AB ≤≤AB 故选：CD10．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则()f x x ∈R ()()2f x f x +=-()12f =()f x '()f x （ ）A ．B ．的一个周期是4C ．是偶函数D ．()20232f =()f x '()f x '()11f '=【答案】BC【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=从而可判断B 项，根据周期性与奇偶性可判断A 项，根据奇偶性与导数运算可得(4)()f x f x ''+=，从而可判断C 项，在中，令代入计算可判断D 项.()()f x f x ''-=(2)()f x f x ''+=--=1x -【详解】因为函数是奇函数，，()f x (2)()f x f x +=-所以，(2)()()f x f x f x +=-=-所以，即：，故的周期为4，(4)(2)()f x f x f x +=-+=(4)()f x f x +=()f x 所以，故的一个周期为4，故B 项正确；(4)()f x f x ''+=()f x '，故A 项错误；(2023)(45053)(3)(1)(1)2f f f f f =⨯+==-=-=-因为函数是奇函数，()f x所以，()()f x f x -=-所以，即：，()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=所以为偶函数，故C 项正确；()f x '因为，(2)()f x f x +=-所以，(2)()f x f x ''+=--令，可得，解得：，故D 项错误.=1x -(1)(1)f f ''=-()01f '=故选：BC.11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）A ．事件，为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件 1A 2A C ．D ． ()25P B =()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得判断C ，根据条件概率的()P B 定义求得判断D ．2(|)P C A 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确； 由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，B ，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B 错； 2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+B ()1P C =,B C ，C 正确； 223225C C 2()C 5P B +==事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以2A C ，D 正确． 23(|)4P C A =故选：ACD ．12．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆1O 2O 心，O 为球心，EF 为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）1O 2r =A ．球与圆柱的体积之比为2:3B ．四面体CDEF 的体积的取值范围为(]0,32C ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为 45πD ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为PE PF +2⎡+⎣【答案】AD【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A ；利用建立函数关12CDEF E O CD V V -=系判断B ；求出球心O 到平面DEF 距离的最大值判断C ；令点P 在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q ，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.QFE ∠θ=【详解】对于A ，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体34π32π33r V ==2π(2)16πV r r '=⨯=积之比为，A 正确；2:3对于B ，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，d E BCD 0d r <≤BCD EF 1O 四面体CDEF 的体积，B 错误； 11221163224433233C DEF E O DC O DC d V V S d d --==⋅=⨯⨯⨯⨯=≤ 对于C ，过作于，如图，而，则， O 1OH DO ⊥H 122O O DO ⊥21211sin DO OH DO O OO DO ∠==又，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为1DO ==OH =1r O DEF 1d，则 1d ≤又DEF 截球的截面圆面积，C 错误； 1r =≥=2116ππ5S r =≥对于D ，令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q ，连接，,QE QF 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上Q ,E F QFE ∠θ=4cos ,4sin QF QE θθ==Q ,E F 式也成立，因此，， 4cos ,4sin QF QE θθ==[0,)2πθ∈则，PE PF +==令，即， t =+26t =+02πθ≤<0sin 21θ≤≤因此，解得的取值范围为，D 正确. 2612t +≤≤1t ≤≤PE PF +[2+故选：AD【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.三、填空题13．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为nx ⎛ ⎝2x ___________【答案】70【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.n 2x 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.8n =∴通项公式， ()3882188C 1C r r r r rr r T x x --+⎛==- ⎝令，解得. 3822r -=4r =∴展开式中含项的系数为. 2x ()4481C =70-故答案为：.7014．已知，，则______．sin cos 2sin θθα+=2sin cos sin θθβ=224cos 2cos 2αβ-=【答案】0【分析】将平方，结合可得， sin cos 2sin θθα+=2sin cos sin θθβ=22124sin 0sin βα+=-利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案.224cos 2cos 2αβ-【详解】将平方得，sin cos 2sin θθα+=212sin cos 4sin θθα+=结合可得，即，2sin cos sin θθβ=221i s n 2i 4s n αβ+=22124sin 0sin βα+=-则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+，()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=故答案为：015．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（，为焦点）上一点，点P 处的切线平分．已知双曲线C ：1F 2F 12F PF ∠，O 为坐标原点，l 是点处的切线，过左焦点作l 的垂线，垂足为M ，则22142x y -=P ⎛ ⎝1F ______．OM =【答案】2【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到2PF 1F M N M 1F N 1PN PF =，再结合双曲线的定义即可求解． 212OM F N =【详解】如图，延长交延长线于点，2PF 1F M N 因为点是的角平分线上的一点，且，M 12F PF ∠1F M MP ⊥所以点为的中点，所以，M 1F N 1PN PF =又点为的中点，且，O 12F F 1224PF PF a -==所以． ()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=故答案为：2．16．已知函数在点处的切线方程为l ：，若对任意2()e 2e 2x x f x x =-+()()00,P x f x ()y g x =x ∈R ，都有成立，则______．()()0()()0x x f x g x --≥0x =【答案】/2ln -12ln 【分析】根据条件表示出，再令，求导分类研究函数单调性，进而求出()y g x =()()()h x f x g x =-结果.【详解】因为，2()e 2e 2x x f x x =-+所以，，2()2e 2e 2x x f x '=-+00200()e 2e 2x xf x x =-+所以，()()()00002200=2e 2e 2e 2e 2x x x xg x x x x -+-+-+令，()()()h x f x g x =-则， ()()000022200()e 2e 22e 2e 2e 2e 2x x x x x xh x x x x x ⎡⎤=-+--+-+-+⎣⎦则，0()0h x =，()0022()2e 2e 2e 2e x x x x h x =---'令，则， 2()2e 2e x x x ϕ=-2()4e 2e x x x ϕ=-'令，得，()0x ϕ'=ln 2x =-所以时，，单调递减，(),ln 2x ∈-∞-()0x ϕ'<()ϕx 时，，单调递增， ()ln 2,x ∈-+∞()0x ϕ'>()ϕx 当，时，， ()0ln 2,x ∞∈-+0x x ≥0()()x x ϕϕ>则，单调递增，()()0()0h x x x ϕϕ'=->()h x ，即，0()()0h x h x ≥=()()f x g x ≥所以当，时，成立， ()0ln 2,x ∞∈-+0x x ≥()()0()()0x x f x g x --≥当，时，， ()0,ln 2x ∞∈--0x x <0()()x x ϕϕ>则，单调递增，()()0()0h x x x ϕϕ'=->()h x ，即，0()()0h x h x <=()()f x g x <所以当，时，成立， ()0,ln 2x ∞∈--0x x <()()0()()0x x f x g x -->综上所述. 0ln 2x =-故答案为：.ln 2-【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC cos sin 02A CB ++=(1)求角B 的大小；(2)若，且AC ，求的周长． :3:5a c =ABC 【答案】(1) 2π3(2)15【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到sin cos 22A C B+=，解得，从而得到； 22cos cos 1022B B +-=1cos 22B =2π3B =（2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的,a c m 27b m =m 方程，解之即可得到，由此得解. ,,a b c 【详解】（1）因为， ππsin sin sin cos 22222AC B B B +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭所以由得， cos sin 02A CB ++=cos cos 02B B +=所以，解得或， 22coscos 1022B B +-=1cos 22B =cos 12B =-因为，所以，则，故，0πB <<π022B <<cos 02B >1cos 22B =则，故．π23B =2π3B =（2）因为，令，则，:5:3c a =()50c m m =>3a m =由三角形面积公式可得，故，11sin 22ac B b =2157715b ac m ==⨯27b m =由余弦定理可得，则，解得，2222cos b a c ac B =+-424949m m =1m =从而，，，故的周长为．3a =5c =7b =ABC 15a b c ++=18．设公差不为0的等差数列的前n 项和为，，．{}n a n S 520S =2325a a a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列满足，，求数列的前n 项和． {}n b 11b=1n a n n b b ++={}2n b n S 【答案】(1)，22n a n =-N n +∈(2) 24133n n ⎛⎫-⨯-⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；（2）列出通项公式，根据通项求出的前n 项和，再根据通项求出的前2n {}1n n b b ++{}1n n b b ++{}n b 项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n 项和. {}2n b {}2n b n S 【详解】（1），设公差为d ，首项为5335204S a a ==⇒=1a ，因为公差不为0，所以解得，()()223233352322a d a a a a a d a d d =-+=+-=2d =，数列的通项公式为，. 311240a a d a =+=⇒={}n a 22n a n =-N n +∈（2）12212n a n n n n b b -+-==+= ①()()()()123456212n n b b b b b b b b -++++++⋅⋅⋅++ 024222222n -=+++⋅⋅⋅+()11414n⨯-=-4133n=- ②()()()()122334212n n b b b b b b b b -++++++⋅⋅⋅++12222222n -=+++⋅⋅⋅+()2111212n -⨯-=-2121n -=-得，解得2⨯①-②211241=22133n n n b b -⎛⎫+⨯--+ ⎪⎝⎭21222=4233n n n b -⨯-- ()()81421428414122413214143333333nn n n n n n n S n --⎛⎫---=--=⨯-⨯-=⨯- ⎪--⎝⎭19．在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.S ABC -ABC 90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒(1)求证：；AC SB ⊥(2)若与平面夹角的余弦值. 2,AB SC ==SAC SBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，可证，即，从而证得面，即可得到结SCB SAB ≅ SA SC =AC ⊥SBE 果；（2）根据题意，过S 作面，垂足为D ，连接，以D 为原点，分别SD ⊥ABC ,AD CD ,,DA DC DS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可D xyz -得到结果.【详解】（1）证明：取的中点为E ，连结， AC ,SE BE ∵，∴，AB BC =BE AC ⊥在和中， SCB SAB △90,,SAB SCB AB BC SB SB ∠=∠=︒==∴，∴， SCB SAB ≅ SA SC =∵的中点为E ，∴， AC SE AC ⊥∵，∴面， SE BE E =∩AC ⊥SBE ∵面，∴SB ⊂SBE AC SB ⊥（2）过S 作面，垂足为D ，连接，∴ SD ⊥ABC ,AD CD SD AB ⊥∵，平面 ,,AB SA AB SD SA AD A ⊥⊥= AB ⊥SAD ∴，同理，AB AD ⊥BC CD ⊥∵底面为等腰直角三角形，ABC 2,AB SC ==∴四边形为正方形且边长为2.ABCD 以D 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则,,DA DC DS D xyz -()()()()2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0A S C B ，()()()0,2,2,2,2,0,2,0,0SC AC BC ∴=-=-=-设平面的法向量，则，解得，SAC ()111,,x n y z = 1111220220n SC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x y z ==取，则，∴，11x =111,1==y z (1,1,1)n =设平面的法向量，则，解得，SBC ()222,,m x y z = 22222020m SC y z m BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 0x y z =⎧⎨=⎩取，则，∴， 21y =110,1x z ==()0,1,1m =设平面与平面夹角为SAC SBC θcos cos ,m θ∴=<= 故平面与平面. SAC SBC 20．某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．【答案】(1)样本均值为1.2，样本方差为0.76 (2) 613【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）一班抽取人，二班抽取人，45201275⨯=3020875⨯=一班样本平均数为，样本方差为；二班样本的平均数为，样本方差为1x =211s = 1.5y =220.25s =；总样本的平均数为．1218 1.51.2128ω⨯+⨯==+记总样本的样本方差为， 2s 则．222121(1 1.2)80.25(1.5 1.2)0.7620s ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦==所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76． （2）设事件A 为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”， 事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”， 1B 事件为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题"， 2B 事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”， 3B 则、、，彼此互斥，且，1B 2B 3B 123B B B ⋃⋃=Ω，，， ()24126C 2C 5P B ==()1142226C C 8C 15P B ==()2236C 1C 15P B ==，，，()158P A B =()212P A B =()338P A B =()()()()()()()112233P A P B P A B P B P A B P B P A B =⨯+⨯+⨯ 258113135815215824=⨯+⨯+⨯=所求概率即是A 发生的条件下发生的概率：1B ．()()()()()()111125658131324P B P A B P B A P B A P A P A ⨯====21．已知椭圆，左、右顶点分别为、，点、为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A B P Q 上异于、的两点，面积的最大值为． A B PAB 2(1)求椭圆的方程；C (2)设直线、的斜率分别为、，且． AP BQ 1k 2k 1235k k =①求证：直线经过定点．PQ ②设和的面积分别为、，求的最大值．PQB △PQA△1S 2S 12S S -【答案】(1)2214x y +=(2)①证明见解析；【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方a b c C 程；（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点PQ y PQ x ty n =+2n ≠±、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求()11,P x y ()22,Q x y PQ C 1253k k =出的值，即可得出直线所过定点的坐标；n PQ ②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 12S S -t 12S S -【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， P CPAB 且最大值为， 112222AB b ab ab ⋅=⨯==由题意可得，解得，2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，椭圆的标准方程为.C 2214x y +=（2）解：①设点、.()11,P x y ()22,Q x y 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. PQ P Q y 12k k =-设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，PQ x ty n =+PQ C 2n ≠±联立可得， 2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩()2224240t y tny n +++-=，可得，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->224n t <+由韦达定理可得，，则，12224tn y y t +=-+212244n y y t -=+()2121242n ty y y y n -=+所以， ()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅===-++++++++，解得， ()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++12n =-即直线的方程为，故直线过定点.PQ 12x ty =-PQ 1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭②由韦达定理可得，，1224t y y t +=+()1221541y y t =-+所以，12121·2S S AM BM y y -=--=====20t≥因为函数在， ()1f x x x =+)+∞≥=所以，时，等号成立， 1S -=0=t 因此，的最大值为12S S -【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证()00,x y ()00y y k x x -=-y kx b =+明.22．已知函数．()e (R)xa f x a x =-∈(1)讨论函数零点个数；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围． ()ln f x a x a >-【答案】(1)答案见解析； (2). e 1(e ,)+∞-【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断()f x ()e xh x x =单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑0,0,0a a a =<>函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.【详解】（1）由，得, ()e 0xaf x x=-=e ,(0)x x a x =≠设，则，()e xh x x =()()1e xh x x '=+当时，，当时，，1x <-()0h x '<10,0x x -<<>()0h x '>所以在上单调递增；在上单调递减，()e xh x x =(1,0),(0,)-+∞(,1)-∞-所以，min 1()(1)eh x h =-=-据此可画出大致图象如图，()e xh x x =所以（i ）当或时，无零点：1e <-a 0a =()f x （ii ）当或时，有一个零点；1a e =-0a >()f x （iii)当时，有两个零点；10ea -<<()f x （2）①当时，即恒成立，符合题意；0a =()ln f x a x a >-e 0x >②当时，由可得，则， 0a <()ln f x a x a >-0x >e 0xax->则，即，e ln x a a x a x->-1(ln e 1)x x a x >+-设，则， 1()ln 1m x x x =+-22111()x m x x x x-'=-+=当时，，当时，， 01x <<()0m x '<1x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x (0,1)(1,+)∞所以，()()10m x m ≥=所以，当时，，0a <1e 0(ln 1)xx a x >≥+-即恒成立，即符合题意；()ln f x a x a >-0a <③当时，由（1）可知，，在上单调递增．0a >()e x h x a x a -=-(0,)+∞又，，()00h a a -=-<()e (0)1ah a a a -=->所以，使.0(0,)x a ∃∈000()e 0xh x a x a -=-=i ）当时，，即，0(0,)x x ∈e 0x x a -<e 0xa x-<设， ()e ln 0xa g x a x a x=--+>则，所以在上单调递减， 2()e 0x a ag x x x'=---<()g x 0(0,)x 所以时，；0(0,)x x ∈()()00ln g x g x a x a >=-+ii ）当时，，即， 0(,)x x ∈+∞e 0x x a ->e 0xax->设， ()e ln 0xat x a x a x=--+>因为，222e ()e x xa a x a axt x x x x +-'=+-=令，则，20()e ,,()xp x x a a x x x =+-+∈∞2()(2)e x p x x x a '=+-第 21 页 共 21 页又令，20()(2)e (),,x n x x x a x x =+∈+∞-则，得在上单调递增，2()(42)e 0x n x x x '=++>()n x 0(),x +∞有，020000()()()(2)e 0x p x n x n x x x a ax a '=≥=+-=+>得在上单调递增，有，()p x 0(),x +∞02000e ()()0x p x p x x a ax a =+-=>≥则，得在上单调递增， 2()()0p x t x x '=>()t x 0(,)x +∞则时，，0(,)x x ∈+∞()()00ln t x t x a x a ≥=-+又时，，0(0,)x x ∈()()00ln g x g x a x a >=-+得当时，时，，0a >()ln f x a x a >-00ln 00e a x a x -+>⇒<<由上可知，在上单调递增，则此时， 00e x a x =()e x h x x =(0,)+∞e+10e a <<综上可知，a 的范围是.e 1(e ,)+∞-【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a 的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此0a >求得参数a 的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.。
