福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学文试题 Word版含答案

2017年泉州市普通高中毕业班质量检查文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()(){}0,1,2,|120A B x x x ==+-<，则A B 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.已知()()(),11z ai a R z i =∈++是实数，则2z += （ ） A ．B．3 D ．53.某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x （吨）与生产能耗y （吨）的下列对应数据：根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程ˆˆ 1.5ybx =+.那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（ ）A ．4.625吨B ．4.9375吨C ．5吨D ． 5.25吨4.已知直线,a b ，平面,,,a b αβαα⊂⊂，则//,//a b ββ是//αβ的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知实数,x y 满足201x x yy x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则()0z ax y a =+>的最小值为（ ）A ．0B ．a C. 21a + D ．-16.双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴上，则该双曲线的离心率等于 （ ） A B C. 2 D ．37. 函数()()()ln 1ln 1cos f x x x x =++-+的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）A ．8πB ．18π C. 24π D ．86π9.执行如图所示程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p 的可能性有（ ）A ．6种B ． 7种 C. 8种 D ．9种10.已知函数()2,03,0x x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞ C. ()(),11,-∞-+∞ D ．()(),22,-∞-+∞11.已知函数()()()sin 01,f x x ωϕωϕπ=+<<<.若对任意()()(),16x R f f x f ∈≤≤，则（ ）A ．()()201420170f f -<B ．()()201420170f f -= C. ()()201420170f f +< D ．()()201420170f f +=12.函数()()()321201f x ax a x x x =+--+≤≤在1x =处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 0a ≤B ．305a ≤≤C. 35a ≤ D ．1a ≤ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.设向量()()1,3,2,2a b x ==+，且//a b ，则x = ． 14.已知10,,sin 222a πα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 15.过点()()3,1,,0P Q a -的光线经x 轴反射后与圆221x y +=相切，则a 的值为 ． 16. ABC ∆中，D 是BC 上的点，2,1DA DB DC ===，则AB AC 的最大值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 中，22a =，数列{}n b 中，4224n an b b b ==．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-++-≤，求n 的最大值．18.在如图所示的多面体中，DE ⊥平面0,//,//,,60ABCD AF DE AD BC AB CD ABC =∠=，244BC AD DE ===．（1）在AC 上求作点P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A CDE -的高．19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示. 等级 不及格 及格良好优秀得分 [)70,90 [)90,110 [)110,130 []130,150频数6a24 b（1）求,,a b c 的值；（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率；20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点A 在C 上．若32AO AF ==．（1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于,P Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求OPQ ∆的面积的最大值． 21.函数()()()()21211,,1x f x f x x n x eg x n R x -⎡⎤=-++=∈⎣⎦+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 在R 上单调递增时，证明：对任意12,x x R ∈且()()()()21211221,2g x g x g x g x x x x x +-≠>-． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．试卷答案一、选择题1-5: CBCBD 6-10: AACBD 11、12：AC 二、填空题53-16. 2三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由题意，可得4242422,2,242aaa ab b ===，整理，得4224a a -=，即224d =，解得1d =，又21a a d =+，故121a a d =-=， 所以()11n a a n d n =+-=.2n n b =.（2）()()()21113222121132211122222212n n n n n n nn n n a b a b a b a b a b a b a a b a a b a a b b b b +++-+-++-=-+-++--=+++==--故2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-++-≤，可化为1222017n +-≤，即122019n +≤，即201922n ≤， 因为()2xf x =在R 上为增函数，且()()2019204820199512,10222f f =<=>， 所以n 的最大值为9.18.解：（1）取BC 的中点G ，连结DG ，交AC 于P ，连结PE .此时P 为所求作的点（如图所示）. 下面给出证明：∵2BC AD =，∴BG AD =，又//BC AD ，∴四边形BGDA 是平行四边形，故//DG AB 即//DP AB .又AB ⊂平面,ABF DP ⊄平面ABF ，∴//DP 平面ABF ；∵//,AF DE AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ，∴//DE 平面ABF . 又∵DP ⊂平面,PDE DE ⊂平面,PDE PD DE D =，∴平面//ABF 平面PDE ，又∵PE ⊂平面PDE ，∴//PE 平面ABF .（2）在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，ACD ∆的面积为122⨯=∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE 是三棱锥E ACD -的高. 设三棱锥A CDE -的高为h .由A CDE E ACD V V --=，可得1133CDE ACD S h S DE ∆∆⨯⨯=⨯，即1212h ⨯⨯⨯=h =故三棱锥A CDE -19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)70,90的频率为0.005200.1⨯=， 再由[)70,90内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人， 则62460a b +++=，得30a b +=；又由频率分布直方图可知，得分在[]130,150的频率为0.2，即0.260b=， 解得12,18b a ==. 进而求得180.0156020c ==⨯.（2）由频率分布直方图可知，得分在[]130,150的频率为0.2，由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2， 设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n ，则0.23000n=，解得600n =， 所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600. （3）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1， 故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，“良好”抽取4人，记为,,,a b c d ，“优秀”抽取2 人，记为,A B ， 则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15个，事件A :“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件， 所以所求概率()815P A =. 20.（1）抛物线C 的焦点F 的坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为32AO AF ==，所以可求得A 点坐标为4p ⎛⎫±⎪⎝⎭.将A 点坐标代入22x py =得()21362164p p p -=⨯， 解得2p =，故抛物线方程为24x y =.（2）依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y kx b =+， 并设()()()11220,,,,,1,P x y Q x y M x PQ 的中点()0,1M x . 联立方程组24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440x kx b --=， 所以12124,4x x k x x b +==-. 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以()212122422y y k x x b k b +=++=+=，即212b k =-.因为直线l 与C 交于,P Q ，所以216160k b ∆=+>，得20k b +>， 故()[)2222120,0,1k b k kk +=+->∈.由y kx b =+，令0x =得212y b k ==-，故212111222OPQS b x x k ∆=-=-=设212t k =-，则(]1,1t ∈-， 设()()()2222321112122t y k k t t t +=--==+， 令()2132320223y t t t t ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭得0t =或23t =-， 由0y '>得()21,0,13t ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，由0y '<得2,03t ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以()3212y t t =+的单调增区间为()21,,0,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减区间为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当23t =-时，227y =；当1t =时，2127y =>，故max 1y =， 所以OPQ S ∆的最大值是2.注：面积也可通过求弦长PQ 和点O 到直线PQ 的距离建立，可参照上述类似给分.21.解：（1）()()()1212111x x f x x n e x n x e --'⎡⎤=-++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()()21111x x x n x n e x x n e --⎡⎤=+--=+-⎣⎦， 令()0f x '=得121,x x n =-=.① 当12x x =，即1n =-时，()()2110x f x x e -'=+≥，故()f x 在R 上单调递增，② 当12x x >，即1n <-时，令()0f x '<，得1n x <<-，所以()f x 在(),1n -上单调递减；同理，可得()f x 在()(),,1,n -∞-+∞上单调递增.③ 当12x x <，即1n >-时，令()0f x '<，得1x n -<<，所以()f x 在()1,n -上单调递减；同理，可得()f x 在()(),1,,n -∞+∞上单调递增.综上可知，当1n <-时，()f x 在(),1n -上单调递减，在()(),,1,n -∞-+∞上单调递增， 当1n =-时，()f x 在R 上单调递增，当1n >-时，()f x 在()1,n -上单调递减，在()(),1,,n -∞-+∞上单调递增.（2）由（1）知，当()f x 在R 上单调递增时，1n =-，故()()121x f x g x e x -==+. 不妨设21x x >，则要证()()()()2121212g x g x g x g x x x +->-， 只需证()()()()()()2121212g x g x x x g x g x +->-⎡⎤⎣⎦， 即证()()()21211111212x x x x ee x x e e ----+->-， 只需证()()()222121121x x x x ex x e --+->-，令21t x x =-， 则0t >，不等式()()()222121121x x x x ex x e --+->-可化为()()121t t e t e +>-.下面证明：对任意()()0,121t t t e t e >+>-，令()()()()1210x x h x e x e x =+--≥，即()()()220xh x x e x x =-++≥，则()()11xh x x e '=-+，令()()()()110xx h x x e x ϕ'==-+≥，则()0xx xe ϕ'=≥，所以()x ϕ在[)0,+∞上单调递增，又()00ϕ=，所以当0x ≥时，()()00x ϕϕ≥=即()0h x '≥， 故()h x 在[)0,+∞上单调递增, 又()00h =，所以当0t >时，()()00h t h >=， 故对任意0t >，()()121tte t e +>-， 所以对任意12,x x R ∈且12x x ≠，()()()()2121212g x g x g x g x x x +->-. 22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=，由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=， ()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以1223PQ t t =-==+=， 因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈，所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ，当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小.此时()223212CM =-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三：（1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d 取得最大值2. 又222224PQ r d d =-=-，所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值22. 23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-.此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <，此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<.综上可得原不等式的解集为()2,4-.（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6.【注：范围正确，不倒扣】且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。