系统工程 系统决策分析

决策树
A1 A2 A3
S1 S2 S3
1级决策
2级决策
决策树举例
有一钻探队做石油钻探，可以先做地震试验，
费用为0.3万元/次，然后决定钻井与否，钻 井费用为1万元，出油收入为4万元。根据历 史资料，试验结果好的概率为0.6，不好的概 率为0.4；结果好钻井出油的概率为0.85，不 出油的概率为0.15；结果不好钻井出油的概 率为0.1，不出油的概率为0.9。也可不做试 验而直接凭经验决定是否钻井，这时出油的 概率为0.55，不出油的概率为0.45，试用决 策树进行决策。
P(O U ) P(O) P(U O) P(U )
P( D F )
0.05 1 0.45 9
做地震试验不好的条件下无油的概率
P( D U ) P( D) P(U D) P(U ) 0.40 8 0.45 9
以上计算可在下图上进行。
例 某厂生产电子元件，每批的次品率的概率分布 见下表。该厂不进行100%的检验，现抽样20件，次 品为1件，试修订事前概率.
决策分析框架

灵敏度分析：由于后果值和概率的主观性和不确定 性，确定决策模型中参数的变化范围
收集信息：对灵敏度高的参数需收集更多信息进行 研究，但考虑信息价值问题 选择方案

二、不确定型问题的决策

决策者根据自己的主观倾向进行决策，根据决策者 主观态度不同有以下四种常用的决策准则和方法： 悲观主义准则 乐观主义准则 最小机会损失准则 等可能性准则

修正概率的方法——贝叶斯公式的应用
决策者常常碰到的问题是没有掌握充分的信息，于是决策者 通过调查及做试验等途径去获得更多的更确切的信息，以便 掌握各事件发生的概率，这可以利用贝叶斯公式来实现，它 体现了最大限度的利用现有信息，并加以连续观察和重新估 计。
其步骤为：
① 先由过去的经验或专家估计获得将发生事件的事前（先验） 概率。 ② 根据调查或试验计算得到条件概率，利用贝叶斯公式：
P( S i

k)
P( S i ) P( k P( k )
S)
i
P(Si/θk) 无油(S1) 0.7317 构造差(θ1) 0.4286 一般(θ2) 0.2083 良好(θ3)
少油(S2) 0.2195 0.3428 0.3750

A1 A2 A3
S1 200 300 425
S2 125 200 210
S3 45 -50 -75
S4 -25 -175 -200
最小机会损失准则
决策者一般易于接受某状态下收益最大的方案，
但由于无法预知那一状态一定出现，当决策者没 有采纳收益最大的方案，就会感到后悔，最大收 益值与其他收益值之差作为后悔值或机会损失值， 然后按悲观主义准则决策。 例如：
P( Bi A)
P(B )P( A B )
i i
P( Bi ) P( A Bi )
i 1,2,, n
计算出各事件的事后（后验）概率。
例：
某钻探大队在某地区进行石油勘探，主观估计 该地区有油的概率为P(O)=0.5；无油的概率为 P(D)=0.5。为了提高钻探的效果，先做地震试 验。根据积累的资料得知：凡有油地区做试验 结果亦好的概率为 P(F ｜ O)=0.9 ；做试验结果 不好的概率为 P(U ｜ O)=0.1 。凡无油地区做试 验结果好的概率为 P(F ｜ D)=0.2 ；做试验结果 不好的概率为 P(U ｜ D)=0.8 。问在该地区做试 验后，有油与无油的概率各是多少? 即求：做地震试验好与不好的条件下有油或无 油的概率各是多少。
决策树计算
2.4 1.44 1.2 试验 -0.3 不试验 1.2
钻井 -1
好 0.6
钻井 -1 不
钻井 -1
3.4
0.85
不出油
4 0 0
0.15
不好 0 0.4
0.4
0.1
0.9
4 0
0
2.2
0.55 0.45
4
0 0
结论：不试验直接钻井，期望收入为1.2万元。
讨论练习
某企业对产品生产工艺进行改进，提出两个方案：一 是从国外引进生产线，另一是自行设计生产线。引进 投资较大，但产品质量好成本低，成功率为80%；自行 设计投资相对较小，产品质量也有一定保证成本也较 低，只是成功率低些为60%。进一步考虑到无论引进还 是自行设计，生产能力都能得到提高。因此企业又制 订了两个生产方案：一是产量与过去保持相同，一是 产量增大。为此又需要决策，最后若引进与自行设计 不成功，则企业只能采用原工艺生产，产量保持不变。 企业打算该产品生产五年，根据市场预测，五年内产 品价格下跌的概率为0.1，不变的概率为0.5，上涨的 概率为0.4，通过估算各种方案在不同价格状态下的益 损值如表所示，试用决策树进行决策。
悲观主义准则
从各方案的最小益损值中选择最大的，也称“小
中取大”法，是一种万无一失的保守型决策者的 选择准则。 例如： S1 200 300 425 S2 125 200 210 S3 45 -50 -75 S4 -25 -175 -200

A1 A2 A3
乐观主义准则
决策者对客观情况总是抱乐观态度，从各方案最大益损值 中选择最大的，也称“大中取大”。是一种偏于冒进的决 策准则。 例如：
决策分析是为解决风险型和不确定型问题提供
一套推理方法和逻辑步骤。
决策分析框架
确定结构
评定后果
评定不确定因素
评价方案 灵敏度分析 收集信息
选择方案
决策分析框架
确定决策模型结构：确定决策过程的阶段、
相应的环境信息、各阶段的状态和备选方案 以及他们间的层次结构关系 评定后果：估计备选方案在不同环境状态下 所付出的代价和取得的收益后果值 评定不确定因素：估计未来环境中各种状态 出现的概率 评价方案：按估计的后果和概率计算备选方 案的效益（效用）指标，按照效益（效用） 最大者为最优方案

甲 乙 丙 丁
S1 (0.1) S2 (0.8) S3 (0.1) 40 60 15 50 40 30 60 40 10 50 30 5
EMV和EOL

决策目标考虑的是收益值，计算各方案的期望收益 值，从中选择期望收益最大的。 决策目标考虑的是损失值，计算各方案的期望损失 值，从中选取期望损失最小的。
(3) 条件概率 P(x=1｜20，p) 0.2725 0.3774 0.2701 0.1368 0.0577
(4)联合概率 P(x=1∩p) 0.10900 0.11319 0.04052 0.01368 0.00288 P(x=1) =0.27927
(5)事后概率 P(p｜x=1) 0.39030 0.40531 0.14509 0.04899 0.01031 1.0000
A1
S1 225 125 0
S2 85 10 0
S3 0 95 120
S4 0 150 175
A2 A3
等可能性准则
决策者不能肯定那种状态会出现，采取一视同仁
的态度，认为出现的可能性相等，有n个状态，其 出现的概率均为1/n，计算各方案的期望最大收益 值，从中选取最大的。 例如： S1 200 300 425 S2 125 200 210 S3 45 -50 -75 S4 -25 -175 -200 ER 86.25 68.75 90
状 态 概 率 按原工艺生产的益损值
引进 （成功0.8）
价跌 0.1 -100
价平 0.5 0
价涨 0.4 125
产量不变
产量增加
-250
-400 -250 -350
80
100 0 -250
200
300 250 650
产量不变 自行设计 （成功0.6） 产量增加
贝叶斯决策（条件概率）
多级决策中，各种状态之间是相关的，其出现的概 率是条件概率。 为了准确预测各种状态出现的概率，一般需要将某 状态看成独立于其他状态，将条件概率简化为非条 件概率，给出最后一级决策可能出现状态的概率， 称为先验概率，然后通过试验或其他手段获取新信 息，用贝叶斯定理修正先验概率，从而转化为后验 概率（条件概率）。
P(θk/Si) 无油(S1) 少油(S2) 富油(S3)
构造差(θ1) 一般(θ2) 0.6 0.3 0.3 0.4 0.1 0.4
良好(θ3) 0.1 0.3 0.5

根据全概率公式有：
P( k ) P( S i ) P( k
i 1
3
S)
i

P(θ 1)=0.41 ，P(θ 2)=0.35 ，P(θ 3)=0.24 根据贝叶斯公式有：
用贝叶斯公式计算各事件的事后(后验)概率
做地震试验好的条件下有油的概率 P(O F )
P(O) P( F O) P( F )
P ( D) P ( F D) P( F )
0.45 9 0.55 11
0.10 2 0.55 11
做地震试验好的条件下无油的概率 做地震试验不好的条件下有油的概率
次品率 p 事前概率 p0 (p)
0.02 0.4
0.05 0.3
0.10 0.15
0.15 0.10
0.20 0.05
解： 为了便于计算，将上表的数据填 入下表的(1)、(2)列中。
(1) 次品率 p 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20 合计
(2) 事前概率 P０(p) 0.4 0.3 0.15 0.10 0.05 1.00
第(4)列的数字是按(4)=(2)×(3)求得的。 然后求
P( x 1) P( x 1 pi ) 0.27927
事后概率按(5)=(4)/0.27927求得。