高等土力学教材 第六章 土工数值分析(一)土体稳定的极限平衡和极限分析

土工数值分析（一）土体稳定的极限平衡和极限分析目录1 前言 (2)2 理论基础－塑性力学的上、下限定理 (4)2.1 一般提法 (4)2.2 塑性力学的上、下限定理 (5)2.3 边坡稳定分析的条分法 (7)3 土体稳定问题的下限解－垂直条分法 (9)3.1 垂直条分法的静力平衡方程及其解 (9)3.2 数值分析方法 (11)3.3 垂直条分法的有关理论问题 (15)3.4 垂直条分法在主动土压力领域中的应用 (19)4 土体稳定分析的上限解－斜条分法 (23)4.1 求解上限解的基本方程式 (23)4.2 上限解和滑移线法的关系 (24)4.3 边坡稳定分析的上限解 (27)4.4 地基承载力的上限解 (27)5 确定临界滑动模式的最优化方法 (30)5.1 确定土体的临界失稳模式的数值分析方法 (30)5.2 确定最小安全系数的最优化方法 (31)6 程序设计和应用 (39)6.1 概述 (39)6.2 计算垂直条分法安全系数的程序S.FOR (39)6.3 计算斜条分法安全系数的程序E.FOR (53)1土工数值分析（一）：土体稳定的极限平衡和极限分析法1前言边坡稳定、土压力和地基承载力是土力学的三个经典问题。

很多学者认为这三个领域的分析方法属于同一理论体系，即极限平衡分析和极限分析方法，因此，应该建立一个统一的数值分析方法。

Janbu 曾在1957年提出过土坡通用分析方法。

Sokolovski(1954)应用偏微分方程的滑移线理论提出了地基承载力、土压力和边坡稳定的统一的求解方法。

W. F. Chen (1975) 在其专著中全面阐述了在塑性力学上限和下限定理基础上建立的土体稳定分析一般方法。

但是，上述这些方法只能对少数具有简单几何形状、介质均匀的问题提供解答，故没有在实践中获得广泛的应用。

下面分析这三个领域分析方法的现状以及建立一个统一的体系的可能性。

有关边坡稳定分析的理论的研究工作，从早期的瑞典法，到适用的园弧滑裂面的Bishop简化法，到适用于任意形状、全面满足静力平衡条件的Morgenstern - Price法(1965)，其理论体系逐渐趋于严格。

近代计算技术的发展，使自动搜索临界滑裂面成为可能(Celestino and Duncan, 1981; Chen and Shao, 1988)。

作用于支挡结构上的土压力问题实际上是一个具有垂直表面并且在此表面作用有外荷的边坡稳定问题。

传统的库伦主动土压力理论使用的分析方法和边坡稳定方法也是类似的。

图1.1是在任何一本土力学教科书中可以看到的按库伦理论计算主动土压力的方法。

假定墙后土体一部分沿一个直线滑裂面滑动，通过分析由墙土结合面、滑裂面和土体顶部直线构成的三角形的土体的力的平衡，可以计算土体作用在墙上的主动土压力P。

不断变动直线滑裂面，可以找得使P获得极大的临界滑裂面。

这一极大值就是按库伦土压力理论获得的主动土压力。

2图1. 1应用库伦理论计算主动土压力的方法,摘自Terzaghi & Peck (1967), (a) 作用于一滑动土体上的力；(b) 静力平衡条件; (c) 确定临界滑裂面。

一般认为，传统的库仑主动土压力理论在柔性支挡结构领域是不适用的。

Casagrade (1973) 在调查了德国和巴拿马运河的一系列锚拉墙破坏实例后指出，作用在各种柔性支挡结构上的土压力通常要比按传统的库伦方法确定的主动土压力大，其数值接近土的静止土压力。

Terzaghi和Peck(1967)曾使用大量篇幅对这一问题作出解释。

在回顾土压力理论发展50年的历史后，Peck(1990)教授曾作过以下这一样总结：“我们现在已经知道，土压力的分布是和变形特征相关联的。

我们高度赞赏Terzaghi在这一问题上作出的杰出贡献。

这一极有意义的发现是他在Robert大学所作的香烟盒试验和麻省理工学院所作的大型模型试验中得到的。

他通过这些试验说明，土压力的合力的作用点可以在上三分点和下三分点之间的任何一个位置。

”Terzaghi和Peck采用如图1.2所示的方法，试图通过加入力矩平衡条件后采用边坡稳定分析的方法获得柔性支挡结构的土压力，据此提出了一套经验系数，已在当前工程界广泛使用。

我们将在3.4节中讨论。

上述论述说明，土压力和边坡稳定分析具有相同之处。

34图1. 2 Terzaghi 和Peck 建议的计算柔性支挡结构的土压力的方法，(a) 对数螺旋线滑裂面, (b) 作用在滑体上的力，(c) 与库伦理论的比较，实线为本法，虚线为库伦理论。

摘自Terzaghi 和Peck(1967)地基承载力分析是另一种类型边坡稳定问题。

这个边坡具有一个水平的表面。

但是，这一领域和传统的垂直条分法存在一个重大的区别，那就是假定滑裂面所包含的不稳定土体全部达到了极限平衡。

边坡稳定的垂直条分法由于不要求在条块的垂直界面也达到极限平衡，故一般不推广到地基承载力分析中。

传统的地基承载力理论，是以在均匀、无重量的条件下推导出的Prandtl 解为基础的。

但当遇到土体具有自重，两侧具有表面荷载，以及基础具有埋深、偏心荷载等情况时，无法获得理论解，则引入了各种经验修正系数。

但这些修正，仍然没有考虑倾斜荷载、地下水，地基分层等多种复杂的因素。

Prandtl 解属于塑性力学上限解的范畴。

近期，Donald 和Chen (1997) 提出了建立在对土条进行斜分条的塑性力学上限解法，并使用最优化方法来求解临界破坏模式。

由于这一方法与Prandtl 解具有相同的理论基础，故可以很好地收敛到现有的一系列已知的闭合解。

这样，在地基承载力领域，我们也获得了一个可以适用于各种复杂情况的数值分析方法。

在塑性力上、下限定理以及条分法基础上，有条件建立求解土力学经典问题的统一的、实用的数值解法。

2 理论基础 － 塑性力学的上、下限定理2.1 一般提法土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是一致的，即在一个确定的荷载条件下，寻找一个应力场ij σ、相应的位移场u i ，以及应变场ij ε，它们满足下列条件（以张量形式表达）。

(1) 静力平衡i ij W =σ(2.1)其力学边界条件是 i j ij T n =σ (2.2)其中 W i 为体积力, T i 为作用于表面S 上的边界力，n j 为S 面法线的方向导数。

静力平衡的另一个表达形式是虚功原理，即相应任一协调的位移场增量 u，有 ⎰⎰⎰+⋅=⋅s i i v i i v j i ij ds u T dv u W dv u ,σ(2.3)5(2) 变形协调2,,ij j i ij u u +=ε (2.4)(3) 本构关系kl ijkl ij C εσ=(2.5) 0)(≤ij f σ (2.6)式(2.5)和(2.6)分别反映了材料必须遵守的应力应变关系和强度准则，有时二者合一。

其中 C ijkl 为反映弹性或弹塑性的本构关系刚度矩阵的张量表达式。

式(2.6)通常采用摩尔－库仑准则，即0)()(≤+-=c tg f n ij φστσ (2.7)其)(ij f σ为屈服面函数，n σ和τ为破坏面上的法向和剪切应力，c 和φ为抗剪强度指标。

在一般的岩土材料中，还需有不容许出现拉应力的限制条件，03≥σ (2.8)σ3为土体内任一点的小主应力，定义后为正。

2.2 塑性力学的上、下限定理全面满足上述条件的解答，即是反映实际情况的真实解。

但是，岩土材料的不连续性，不均匀性，各向异性和非线性的本构关系以及结构在破坏时呈现的剪胀和软化、大变形、应力引起的各向异性等特性，使求解岩土材料应力和变形的问题变得十分困难和复杂。

在工程实践中寻找能基本反映上述条件的简化方法，始终是人们长期探索的一条途径。

下限定理从构筑一个静力许可的应力场入手，认定凡是满足式(2.1)、(2.2)和(2.7)、(2.8)的应力场所相应的外荷载T i *一定比真实的极限荷载小。

上限定理从构筑一个处于塑性区Ω*内和滑裂面Γ上的协调的塑性位移场u ij *出发，认定凡是满足式(2.3)和(2.7)中的等式所相应的外荷载一定比相应真实的塑性区Ω的真实的极限荷载大(参见图2.1(a))。

由于弹性变形通常相对塑性变形小许多，所以在应用上限定理通过式(2.3)确定外荷载时，还可以将其中的u 仅理解为塑性变形。

式(2.3)左端的内能耗散包括两项，即塑性区域Ω内和沿滑面Γ上的内能耗散。

用塑性力学上、下限定理分析边坡稳定问题，就是从下限和上限两个方向逼近真实解。

这一求解方法最大的好处是回避了在工程中最不易弄清的本构关系表达式(2.5)，而同样获得了理论上十分严格的计算结果。

在实际工程中我们分析的对象往往是一个具有一定安全储备的结构，分析这样一个结构的稳定性的提法往往是这样的：对某一处于稳定的结构, 需要一个多大的外部干扰因素, 方可将其过渡到极限状态。

在塑性力学和边坡稳定领域, 通常有以下三种处理方案。

(1) 方案1。

如果边坡表面作用有荷载T o , 那么, 可以将这个荷载增加到直至破坏，此时的荷载为T , 定义加载系数为T T T t 0-==ηη (2.9)这一定义在地基承载能力问题中可得到广泛的应用。

图2. 1边坡稳定塑性力学上限解。

(a) 连续界质破坏模式(b) 多楔体破坏模式(c) 分段连续多块休破坏模式(2)方案2。

极限状态是通过施加一个假想的水平体积力ηb W（如水平地震惯性力）实现的。

其中W为滑坡体的自重。

Sarma (1979) 首先提出这一思路，并称ηb为临界加速度系数。

这一方案在边坡问题中较适用, 因为大多数的边坡问题中不存在表面荷载。

67采用(1)，(2)两种处理方案，ηt 或ηb 通常可以直接通过一个公式求得，不需迭代。

同时，这两种处理与塑性力学上、下限定理中的加载概念一致，因此，可以获得较坚实的理论基础。

(3) 方案3。

定义安全系数F 是这样的一个数值, 如果材料的抗剪强度指标c '和φ'按下式降低为c 'e 和φ'e ，那么, 边坡处于极限状态。

F c c e /=(2.10) F e /tan tan φφ'=' (2.11)采用这一方法时, F 常以隐式出现在求解的方程式中, 需要进行迭代。

通常的作法是，先假设一系列的F 值，分别求得相应的ηt 或ηb ，然后找到使ηt 或ηb 为零时相应的F 值。

为了表达方便,在以下的叙述中, 我们为这三种方案提供统一的计算公式。

对出现下标e 的量，如相应方案1和2，则意味着式(2.10)和(2.11)中的F 值为1。

2.3 边坡稳定分析的条分法按照2.2节的理论框架进行二维土体的极限分析，有两种途径：(1) 有限单元法在这方面具有代表性的工作当属澳大利亚学者Sloan(1988,1989)，他提出了将土体划分为三角形单元，并对各几何量和物理量作线性离散化的模式，分别从上限和下限寻找土体失稳的临界模式。