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凯特摆测量重力加速度实验报告

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实验报告214系 09级 卢焘 2010-12-01 PB09214047 得分：实验题目：用凯特摆测量重力加速度实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确地测量重力加速度的方法。

实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、VAFN 多用数字测试仪。

实验原理：设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：mghI T π2= (1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有I=I G +mh 2(2)代入式（1）得：mghmh I T G 22+=π(3)对比单摆周期的公式gl T π2= 可得mhmh I l G 2+=(4)称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

上图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π(5)22222mgh mh I T G +=π(6)其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l 即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：()l h T T l T T g --++=12221222122224π =a+b(7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

但当T 1=T 2以及 |2h 1-l | 的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验内容：1，仪器调节：固定刀口（使两刀口对称且平行），测量亮刀口间距即等效摆长l （用米尺测三次），由此粗略估计出T 作为调节T 1=T 2的依据。

将摆杆悬挂到支架上水平的V 形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒过来悬挂也是如此。

将光电探头放在摆杆下方，调整它的位置和高度，让摆针在摆动时经过光电探测器，接通电源。

2，测量摆动周期T 1和T 2：调节四个摆球位置，使T 1,，T 2逐渐靠近直至二者差值小于0.001s ，然后测量10T 1和10T 2（分别测五次）。

3，计算重力加速度g 及其不确定度：将摆杆取下置于刀口上使其平衡以确定其重心，测量h 1长度（用米尺测三次）。

对测量数据进行处理并计算出g 及其不确定度。

4，改变下摆针与平衡位置的水平距离（使d=1,3,5,7cm ），测量10T 2（各测三次），定性探究凯特摆周期与振幅的关系。

测量记录及数据处理（置信概率P 取0.95）： （1）l 与hl cm cm cm cm l l l l 87.74380.7480.7400.753321=++=++=；()()()()()()cml l l l l l 12.0cm 287.7480.7487.7480.7487.7400.7513222232221=-+-+-=--+-+-=σcm cm n u A 07.0312.0===σcm C u B 033.0cm 31.0==∆=仪()()()()cm cm u u t u B pApl 31.0033.096.107.030.4k2222=⨯+⨯=+=h 1的处理：45.47cm cm 350.4540.4550.4531312111=++=++=h h h h ()()()()()()cmh h h h h h247.4550.4547.4540.4547.4550.4513222211321122111--+-=--+-+-=σ =0.06cmcm cm u A 035.0306.03===σcm cm C u B 033.031.0==∆=仪 ()()()()cm cm u t u t u BkAph 16.0033.096.1035.030.422221=⨯+⨯=+=1ss TT i2990.1752982.172998.172984.172989.172997.175101011=++++==∑()4)2990.172984.17()2990.172989.17()2990.172997.17(15101022211-+-+-=--=∑T Tiσss 0007.0)2990.172982.17()2990.172998.17(22=-+-s s u A 00031.050007.05===σs s C u B 000033.030001.0==∆=仪()()()()s s u t u t u BkApT 0009.0000033.096.100031.078.22222102=⨯+⨯=+=从而s s T T72990.1102990.17101011===s s u u T T 00009.0100009.0101110===10T 2的处理：ss Ti2922.1752930.172947.172902.172913.172917.17510T 1022=++++==∑()4)2922.172902.17()2922.172913.17()2922.172917.17(15101022222-+-+-=--=∑T Tiσss 0017.0)2922.172930.17()2922.172947.17(22=-+-s s u A 00076.050017.05===σs s C u B 000033.030001.0==∆=仪()()()()s s u t u t u BkApT 0021.0000033.096.100076.078.22222102=⨯+⨯=+=从而s s T 72922.1102990.171010T 22===s s u u T T 00021.0100021.0102210===（3）g 及其不确定度的计算： ()()l h T T l T T g l h T T l T T g --++=⇒--++=1222122212122212221222242224ππ()8628288786.9/7487.04547.0222922.172990.17487.0272922.172990.14222222=-⨯⨯-+⨯+=s m π推导误差传递公式：222128T T l g +≈π 取对数()2221222212ln ln 8ln 8ln ln T T l T T l g +++=+=ππ 求微分()2222121222112221222122dT T T T dT T T T l dlT T T T d l dl g dg ++++=+++= 系数取绝对值并改成不确定度符号212221222211221T T l gu T T T u T T T u l g u ++++= 最后写成标准差公式222212222212l 22221u 4u 4l u ）（T T T T g u T T g +++= 从而 5222222222221072.172922.172990.10.0002172922.140.0000972990.140.74870.0031-⨯=+⨯⨯+⨯⨯+=）（g u g 故 225/m 04.0/m 1072.186.9s s u g =⨯⨯=-g 的最终表达式为：22/04.0/86.9s m s m g ±= 95.0=P（4）定性探究凯特摆周期与振幅的关系：由上表中的数据可知随着d 增大，T 2也增大，即凯特摆的周期随着振幅的增大而增大。

误差分析：本次实验的主要误差来源有：1 测量仪器在正常使用过程中测量环境和仪器性能随机涨落的影响。

2 当摆倒置时，各个摆锤都有微小的移动，从而导致实验的误差。

3 无法完全保证支架的竖直，从而摆杆无法完全在铅锤面内自由摆动，引起的误差。

4 摆杆与支架的摩擦导致的误差。

5，凯特摆不是完全在竖直平面内摆动，有可能存在微小的转动。

6，凯特摆的周期与振幅有关。

7，仪器老化实验小结：本实验的原理较为简单，操作的主要难点是摆球的调节，数据处理较为复杂，主要考察了不确定度的计算。

从实验结果上看，g 的测量值与真实值的相对误差=007.079.979986.9g =--=-真真g g ，在误差允许的范围内。

通过本次实验，学习了凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握用凯特摆测量重力加速度的方法，并复习和巩固了不确定度的计算方法。

思考题1 凯特摆侧重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现？ 答：（1）特点：巧妙地利用物理摆的共轭点避免和减少了某些不易测准的物理量对实验结果的影响，提高了测量重力加速度的精度。

（2）避免了复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量I G 的测量。

（3）降低了重心G 到悬点O 的距离h 的测量精度。

（4）首先通过固定刀口确定了其距离l ，然后再在l 一定的基础上，通过调节摆锤来改变摆的重心，最后得到以l 为等效摆长的凯特摆。

2 结合误差计算，你认为影响凯特摆测g 精度的主要因素是什么？将所得的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较，你能得到什么结论？若有偏差，试分析之。

答：（1）通过误差计算，发现h 1对重力加速度的精度几乎没有影响，影响g 的测量精度的主要因素是等效摆长和周期，而周期的测量精度远高于长度的测量精度，所以限制g 的测量精度的主要因素是等效摆长的测量误差。

（2）已知合肥地区的重力加速度g=9.79m/s 2。

测量值略大于理论值。

测量值与理论值的相对误差为：%7.0%10079.979.986.9%10000=⨯-=⨯-=g g g E r误差在可接受范围内，原因详见上页误差分析。

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用凯特摆测量重力加速度实验报告

用凯特摆测量重力加速度实验报告

用凯特摆测量重力加速度实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理：1、当摆幅很小时，刚体绕O轴摆动的周期：刚体质量m，重心G到转轴O的距离h，绕O轴的转动惯量I，复。

摆绕通过重心G的转轴的转动惯量为IG当G轴与O轴平行时，有I=I+mh2G∴+mh2 )/mh∴复摆的等效摆长l=( IG2、利用复摆的共轭性：在复摆重心G旁，存在两点O和O´，可使该摆以O为悬点的摆动周期T₁与以O´为悬点的摆动周期T₂相同，可证得|OO´|=l，可精确求得l。

3、对于凯特摆，两刀口间距就是l，可通过调节A、B、C、D四摆锤得位置使正、倒悬挂时得摆动周期T₁≈T₂。

∴4π²/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用米尺测出l的值，粗略估算T值。

将摆杆悬挂到支架上水平的V形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒挂也如此。

将光电探头放在摆杆下方，让摆针在摆动时经过光电探测器。

让摆杆作小角度摆动，待稳定后，按下reset钮，则测试仪开始自动记录一个周期的时间。

2、测量摆动周期T₁和T₂调整四个摆锤的位置，使T₁和T₂逐渐靠近，差值小于0.001s，测量正、倒摆动10个周期的时间10T₁和10T₂各测5次取平均值。

3、计算重力加速度g及其标准误差σg。

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G。

测出|GO|即h₁，代入公式计算g。

推导误差传递公式计算σg。

实验数据处理：1、l的值l=⅓(l₁+l₂+l₃)=74.17cmσ＝0.03055cm，uA=σ/=0.01764cm，∴ΔA ＝tP·uA=1.32*0.01764=0.02328cmu B=ΔB/C=0.1/3=0.03333cm∴uL==0.04066cmTe==1.729s2、T₁和T₂的值T₁＝1.72746sσ＝2.525*10¯⁴s，uA=σ/=1.129*10¯⁴s∴ΔA ＝tP·uA=1.14*0.0001129=1.287*10¯⁴su B=ΔB/C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴uT1==1.329*10¯⁴sT₂=1.72751sσ＝1.469*10¯⁴s，uA=σ/=0.6570*10¯⁴s∴ΔA ＝tP·uA=1.14*0.00006570=0.7489*10¯⁴su B=ΔB/C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴uT2==0.8197*10¯⁴s3、重力加速度gh₁=44.46cm∴g=4π²/[(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l)]=4π²/{(1.72746²+1.72751²)/(2*74.17*10¯²)+(1.72746²-1.72751²)/[2*(2*44.46*10¯²-74.17*10¯²)]} =9.813m/s²∴ug0.68 =g·{l¯²* uL²+[2 T₁/(T₁²+T₂²)]²·uT1²+[2 T₂/(T₁²+T₂²)]²·uT2²}=9.813*{(74.17*10¯²)¯²*(0.04066*10¯²)²+[2*1.72746/(1.72746²+1.72751²)]²*(1.329*10¯⁴)²+[2*1.72751/(1.72746²+1.72751²)]²*(0.8197*10¯⁴)²}=0.00545m/s²∴ug0.95 =2* ug0.68=0.011 m/s²∴g=(9.813±0.011) m/s² P=0.95思考题：1、凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现?答：凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量，利用复摆上两点的共轭性，对难以精确测定的量，有些避免了对其的测量，不能避免的则降低了其测量精度。

用凯特摆测量重力加速度 (7)

用凯特摆测量重力加速度 (7)

实验题目:用凯特摆测量重力加速度实验目的:学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理:设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：mgh I T π2=(1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有I=I G +mh 2 (2)代入式（1）得：mgh mh I T G 22+=π (3)对比单摆周期的公式gl T π2= 可得 mhmh I l G 2+=(4)，称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

左图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π (5) 22222mgh mh I T G +=π (6)其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：()22222121214222T T T T a b g l h l π+-=+=+- (7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

但当T 1=T 2以及 |2h 1-l | 的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l ，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用米尺测出l 的值，粗略估算T 值。

用凯特摆测量重力加速度

用凯特摆测量重力加速度

实验题目：用凯特摆测量重力加速度实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺和VAFN多用数字测试仪。

实验原理：1，复摆。

质量为m的刚体，其重心G到转轴O的距离为h，绕O轴的转动惯量为I。

当摆幅很小时，刚体绕O转动的周期为(1)设复摆绕通过重心G的转动惯量为，当G轴与O轴平行时有：(2)代入(1)得：(3)对比单摆周期公式，可得：(4)l称为复摆的等效摆长，因此只要测出周期和等效摆长便可球的重力加速度。

2，凯特摆。

如左图对凯特摆而言，两刀口间距就是该摆的等效摆长l。

在实验种当两刀口位置确定后，通过调节A、B、C、D四摆锤的位置可以使正、倒悬挂时的摆动周期和基本相等，即。

由公式(3)：(5)(6)当时，即为等效摆长。

由公式(5)和(6)可得：(7)此式中，l、T1、T2都是可以精确测定的量，而h1则不易测准。

由此可知，a项可以精确求得，而b项则不易精确求得。

但当T1=T2以及|2h1-l| 的值较大时，b项的值相对a项是非常小的，这样b项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验步骤：1，仪器调节调节摆锤A、B、C、D到合适位置，是正，倒悬的摆动周期相等。

2，测量摆动周期测量凯特摆正，倒悬摆动10个周期的时间，等效摆长和转轴O到G的距离，记录如下：的A类不确定度：的B类不确定度：所以的展伸不确定度：同理，的展伸不确定度：同上，同上，将具体的数值代入一步写清楚3，计算重力加速度及其不确定度根据公式(7)：所以：g=以下求的合成不确定度。

已知：(8)对(8)式等号两边取对数：等号两边求导并合并同类项：所以的合成不确定度公式为：(9)将上述数据代入(9)：所以：注意单位由于，很小可以忽略，所以只合成g和的不确定度。

类似(8)到(9)的过程：所以：最后可得：不确定度取一到两位有效数字思考题：1，凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现？答：凯特摆测重力加速度设计特点是：减少一些量的测量，提高实验精度。

用凯特摆测量重力加速度 (4)

用凯特摆测量重力加速度 (4)

实验报告 87姓名:竺贵强 学号:PB07210017 系别：0706 实验题目:用凯特摆测量重力加速度实验目的:1．学习凯特摆的实验设计思想和技巧2．掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法实验内容:1. 仪器调节调平支架:让摆杆做小角度摆动，记录一个周期的时间，反复测量，并调节支架的底座，直到多次测量的一个周期误差在0.001秒之内。

2. 测量摆动周期1T 和2T求出平均值为 mm l 5.7443== 根据gl T π2=粗略估算出 s T 7318.18.97445.02=⨯⨯=π 调节四个摆锤的位置，使正挂的摆动周期1T 和倒挂的摆动周期2T 逐渐靠近，一般粗调用大摆锤，微调用小摆锤，当1T 和2T 接近估计值时，最好移动小摆锤，使1T 和2T 的差值小于0.001s.当周期的调节达到要求后,分别测量5次的101T 和10g (Ⅰ)计算l, 1h ,1T 和2T 的平均值和不确定度 (1)已求出l 的平均值 mm l 5.744=l 的A 类不确定度为 mm l l l u i i A 17.0)13(3)()(312=-⨯-=∑= 查表得 卷尺的仪∆=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪∆+=得mm l U 3.0)3/8.01()17.032.1()(22683.0=⨯+⨯=所以 mm l )3.05.744(±= P=0.683(2)求出1h 的平均值 mm h 5.45933.4598.4595.4591=++=1h 的A 类不确定度为 mm h h h u i i A 15.0)13(3)()(312111=-⨯-=∑=查表得 卷尺的仪∆=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪∆+=得 mm h U 3.0)3/8.01()15.032.1()(221683.0=⨯+⨯=所以 mm h )3.05.459(1±= P=0.683(3)求出1T 的平均值 s T T i 74055.11010515111==∑=1T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00014.0)15(5)()(512111=-⨯-=∑=取仪∆=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00016.000014.014.1)(1683.0=⨯=所以 s T )00016.074055.1(1±= P=0.683(4)求出2T 的平均值 s T T i 73990.11010515122==∑=2T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00011.0)15(5)()(512222=-⨯-=∑=取仪∆=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00012.000011.014.1)(2683.0=⨯=所以 s T )00012.073990.1(2±= P=0.683(Ⅱ)计算g 及其不确定度已知b a l h T T l T T g +=--++=)2(2241222122212π(1)由l T T a 22221+=得 21220677.47445.0273990.174055.1s m a -=⨯+=下面求a 的不确定度传递公式：两边取对数 2ln ln )ln(ln 2221--+=l T T a求微分 dl l dT T T T dT T T T da a 1221222212122211-+++= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 2222212222211)1()2()2(21l T T a U l U T T T U T T T a U ++++= 带入数值可求求得a 的不确定度为2222222683.0)0003.07445.01()00012.073990.174055.173990.12()00016.073990.174055.174055.12(0677.4)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=a U 2-10.0017m s =所以 2-10.0017)m 0677.4(s a ±= P=0.683(2)由)2(212221l h T T b --=得 21220065.0)7445.04595.02(273990.174055.1s m b -=-⨯-= (3)比较a 和b 的大小,%15.0%100=⨯ab ,可见b 与a 相比,b 项可以忽略不计,从而可由a lT T g =+=2422212π求得a g 24π= 229.708m/s 0677.44==πg 再求g 的不确定度传递公式两边取对数 a g ln 4ln ln 2-=π求微分 da adg g 11-= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 a g U ag U = 带入数值可求的g 的不确定度为 2683.0/004.00017.00677.4708.9)(s m g U =⨯= 所以 20.004)m /s 9.708(±=g P=0.683误差分析：1. 使用米尺测量长度,误差太大;2. 在实验过程中支架底座很难调平,从而造成每个周期之间会有偏差;3. 实验中的偶然因素(比如振动)会造成周期的变化;4. 实验中发现凯特摆的周期与振幅有一定关系,从而每次的振幅不同也会造成周期的不同5. 在实验过程中，可能会形成不易察觉的锥面摆6. 从数据果看出，测得的十个周期数据并不理想，在调节时，两个周期分别为1.74005和1.74003，但在测量十个周期时周期的偏差比较大，可能是由于等待稳定的时间选的不好，导致周期有偏差改进方法：先测量一个周期，当稳定后，再迅速调到十个周期的档测量（这样能保证摆动已经稳定）。