上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第十四讲 排列

沪教版数学高二下春季班第十四讲课题 排列单元第章学科数学年级十一学习 目标 1．使学生切实学会用排列数公式计算和解决较复杂的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解；2．掌握排列中的一些常用方法：例如直接法，间接法，捆绑法，插空法，元素优先法，位置优先法等； 重点 1．了解排列数的求法，对于一个给定的排列会按照公式进行展开运算；2．掌握排列中的一些常用方法：例如直接法，间接法，捆绑法，插空法，元素优先法，位置优先法等； 难点 掌握排列中的一些常用方法：例如直接法，间接法，捆绑法，插空法，元素优先法，位置优先法等；1、排列：一般地，从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

老师在给学生讲解排列概念时，一定要注意强调以下几点：（1）元素不能重复。

n 个中不能重复，m 个中也不能重复；（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

2、排列数：从n 个不同的元素中取出m (n m ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

用符号m n P 表示。

教学安排版块时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30知识梳理“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m 个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列。

3、排列数公式：!(1)(2)(1)(,*,)()!m n n P n n n n m m n N m n n m =---+=∈≤-L当n m =时，(1)(2)321nn P n n n =--⋅⋅L ，正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示。

规定0！=1。

对于m n ≤这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。

4、附有限制条件的排列（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置. （2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置，从该元素入手； 元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素； 元素不相邻——插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.一、排列数及其性质【例1】解方程：50212=+-n n P P ．【难度】★★ 【答案】6【解析】()()()50211=--+-n n n n ，()()50221=--n n ，∴()2512=-n ，51±=-n ，∴6=n 或4-=n （负舍）。

23例题解析A ．321n n P P >+B ．321n n P P <+C ．321n n P P =+ D ．大小关系不确定【难度】★★ 【答案】D【解析】()()()()142112321-+-=---+=-+n n n n n n n n P P n n ，()*∈≥N n n ,3知当3=n 时，21+n P 大于3n P ，当4≥n 时，21+n P 小于3n P ，故选D【例3】满足2886-<x x P P 的=x ____．【难度】★★ 【答案】8【解析】()()6910288<--=-x x P P x x 得127<<x ，又*∈≤≤N x x ,82，故8=x【巩固训练】1．对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（ ）A ．712-n P B ．75-n P C ．85-n P D ．125-n P 【难度】★★ 【答案】C【解析】根据组合数公式可得或者取特殊值均可。

2.求证：111m m mn n nP mP P ---+=【难度】★★ 【答案】见解析【解析】()())1()2(1)()2(1111+-⋅⋅⋅--+-⋅⋅⋅--=+---m n n n m m n n n mP P m n m n =()()()()mn P m n n n m m n =+-⋅⋅⋅--⋅+-121得证。

二、常见排列问题的解题策略 1、特殊元素特殊位置优先考虑【例7】用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数____个． 【难度】★★ 【答案】156【解析】主要采用特殊元素或特殊位置优先考虑的原则进行分类；当各位数字为0的时候共有603个偶数，当各位数字不是0，个位数有2种选择，千位数有4种选择，故一共有964224=⨯⨯P 个偶数，故共有156个偶数满足条件。

【例8】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）A ．288种B ．72种C ．42种D ．36种【难度】★★【答案】D【解析】甲有2种安排，甲排好后，乙有3种，然后剩下的3人有33P 种，共363233=⨯⨯P 种【例9】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60【难度】★★ 【答案】C【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位．i ） 当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为12233=P ；ii ） 当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为24433=P ．iii ） 当甲位于4号位时，情形与i ）相同．排法总数为12233=P ．综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48． 2、捆绑法【例10】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有 种排法。

【难度】★★ 【答案】1440【解析】捆绑法；1440552233=⋅⋅P P P【例11】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 【难度】★★ 【答案】576【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44P 种排法， 而男生之间又有44P 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：5764444=⋅P P ．【例12】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种． 【难度】★★ 【答案】362880【解析】先将8辆车全排有88P 种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有9种方法，故所求的方法为362880988=P ．3、插空法【例13】7个人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法有 种。

【难度】★★ 【答案】3600【解析】插空法；36002655=⋅P P【例14】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A.12 B ．16 C ．24 D ．32【难度】★★ 【答案】24【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有2434=P 种排法．【例15】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【难度】★★ 【答案】20【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有2025=P 种不同的结果．【例16】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种． 【难度】★★★ 【答案】604800【解析】6个歌唱节目排列有66P 种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有4P 种方法．因此，由计数原理总方法有6048004766=⋅P P 种．4、定序问题【例17】7个人站成一排，甲在乙的左边的排法有多少种？ 【难度】★ 【答案】2520【解析】定序问题；因为甲在乙的左边和甲在乙的右边一样多，所以所有的可能性为2520277=P ．【例18】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【难度】★ 【答案】360【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率 相等，均为21，故本例所求的排法种数就是所有排法的21，即3602166=P 种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为3602266=P P ．【例19】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法。

【难度】★★ 【答案】72【解析】可考虑按照定序问题来解决725355=P ；也可采用分类讨论、排除法等。

【例20】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中， ⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【难度】★★【答案】（1）840；（2）35【解析】⑴3377P P ；⑵443377P P P ⋅5、直接法【例21】某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为____．【解析】直接法或枚举法；当数字较小限制条件较多的时候，可考虑采用枚举法。

【例22】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 【难度】★【答案】24；12【解析】四辆车全排有2444=P 种排法；若其中的一辆车必须停放在两边，则先选择一个停车位停放这辆车，其它3辆车全排，共有123312=⋅P P 种停法．【例23】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字1不排在个位和千位⑵数字1不在个位，数字6不在千位． 【难度】★★【答案】240；252【解析】⑴个位和千位有5个数字可供选择25P ，其余2位有四个可供选择24P ，由乘法原理：2402425=⋅P P ．⑵当1在千位时余下三位有6035=P ，1不在千位时，千位有14P 种选法，个位有14P 种，余下的有24P ，共有192241414=⋅⋅P P P ．所以总共有19260252+=种．【例24】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） A ．48个 B ．36个 C ．24个 D ．18个 【难度】★★ 【答案】B【解析】①若首位为2或4，则先选择首位与末位有22P 种方法，再选择中间的三位有33P 种方法，共有123322=⋅P P 种方法；②若首位为3或5，则首位有12P 种选法，末位从2与4中选择，有12P 种选法，剩下的三位全排，有33P 种排法，共有24331212=⋅⋅P P P 种排法；故满足条件的数共有122436+=个．6、间接法【例25】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【难度】★ 【答案】119【解析】119155=-P【例26】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个． 【难度】★ 【答案】72【解析】用间接法，总的4位数有344P ⨯个，被5整除即个位为0的4位数有34P 个， 因此不能被5整除的数有7243434=-⨯P P 个．【例27】从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．60种 【难度】★ 【答案】C【解析】从中任选3人全排，除去甲从事翻译工作的情况，共有方案：482435=-P P （种）．【例28】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 【难度】★★ 【答案】432【解析】此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352P C ⋅⋅个，其中0在百位的有222242P C ⋅⋅个，这是不合题意的．故共可组成不同的三位数333352P C ⋅⋅-222242P C ⋅⋅=432（个）【巩固训练】1．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为____． 【难度】★★ 【答案】2880【解析】捆绑法；28805544=⋅P P2．不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种商品必须排在一起，而c ，d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？ 【难度】★★ 【答案】24.【解析】a ，b 捆在一起与e 进行排列有22P ；此时留下三个空，将c ,d 两种商品排进去一共有23P ；最后将a ，b “松绑”有22P ．所以一共有22P 23P 22P ＝24种方法．3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？【难度】★★ 【答案】72【解析】若第一个为老师则有33P 33P ；若第一个为学生则有33P 33P ，所以一共有233P 33P ＝72种方法．4．，，，，a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）A ．20B ．16C ．10D ．6 【难度】★ 【答案】B【解析】不考虑限制条件有25P ，若a 偏偏要当副组长有14P ，161425=-P P 为所求5．若直线Ax +By =0的系数A 、B 可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是________ 【难度】★★ 【答案】18【解析】若A =0，表示直线y =0；若B =0，表示直线x =0；若A 、B 从集合中任取两个非零值有25P 种， 其中2x +4y =0与3x +6y =0，4x +2y =0与6x +3y =0，2x +3y =0与4x +6y =0，3x +2y =0与6x +4y =0同。