5.2 中心极限定理——概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社

再如:
测量一件物体的长度，由于仪器或观测 者受到环境的影响，每次测量的结果可能有 差异，但多次测量结果的平均值随着测量次 数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数越远的测量值 出现的可能性越小。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象具有偶然性一面，也有必然性一 面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观 测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必 然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观 测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律 性”。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次 试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值—— 概率。
特别地，称Ω-A为 A 的对 立事件(或 A的逆事件、补 事件)等，记成 A 。
A就是 A不发生。
例1(续)：A1={1}, B ={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同)
交换律: A∪B=B∪A，AB=BA； 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，
随机现象的特点
• 对随机现象进行观察 、观测或测量，每次 出现的结果是多个可能结果中的一个， “每次结果都是 不可预知的”； 但“所有 可能的结果是已知的”。
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观 测后就会发现：随机现象的发生具有统计 规律性。
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)， 但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。 如：命中率等。

5.1 大 数 定 律 作为上述定理得特殊情况，可以得到如下重要定 理： 定理 5.3 （伯努利大数定律）设 nA 是 n 重伯努利试 验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率，则对于任意正数，有
nA P nA 即 (5.4) p ( n ) limP p 1 n n n
第五章 大数定律和中心极限定理 【吸烟率调查问题】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将 被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在 要保证有 90% 以上的把握，使得调查对象吸烟者的
频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于
5%，问至少要调查多少对象？
5.1
大 数定 律
对某个随机变量 X进行大量的重复观测，所得到 的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于 这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的 条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时 出现的规律统称为大数定律．
即对于任意正数，有
1 n limP X i 1 n n i 1
1 n P X (n ) 也即 (5.3) i n i 1 n n 1 1 1 证：因为 E ( X i ) E ( X i ) n n n i 1 n i 1 1 n 1 D( X i ) 2 n i 1 n
nA p 实际上几乎是必定要发生的，即对于给 n
用事件发生的频率来近似地代替事件发生的概率．
5.1 大 数 定 律 上 述 契 比 谢 夫 大 数 定 律 中 要 求 随 机 变 量 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 的方差存在，实际上，在高等概率
论中已经证明了在不要求D(Xi)（i = 1，2，…）存在

( (2)=0.977, 其中 (x)是标准正态分布函数. )
解 设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解 因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,

Ch5-35
*补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化
是均值为0，方差为 2 = 2的随机变量，即
Yn Yn1 X n (n 1)
其中 Y n 是第 n 天该商品的价格。如果今天的价格 为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的 概率。
19000 28500 47500
1.376 43.589 0.9162
Ch5-33
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看作是 有相互独立的大量随机变量综合作用的结 果，每一个因素在总的影响中的作用都很 微小，则综合作用的结果服从正态分布.
Ch5-34
作业 P166习题五 8、10、11
x t2
e 2 dt
2
Yn
n
Xk 的标准化随机变量
k 1
上式指Yn以标准正态 分布为极限
Ch5-23
例如:
P(a
n k 1
Xk
b)
(b n ) (a n
n ) n
重点：
n
Xk
k 1
近似服从
的均值
N (n, n 2 ).
的方差
定理 DeMoivre-Laplace 中心极限定理
Ch5-24
0
120 48
0
120 48
(17.32)
0
a r
120 48
反查标准正态函数分布表，得 3.09 99.9%
令
解得
a 120
a (3.09 48 120)r
r
3.09
48
141r
Ch5-29
例 检查员逐个地检查某种产品，每检查一只 产品 需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检 查一次，再 用去10秒钟. 假设产品需要重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.