4.6抛物面
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第四章§6抛物面
§4.6 抛物面一、椭圆抛物面
椭圆抛物面2
2
222x y
z a b
+=(a , b 为正常数)
椭圆抛物面的标准方程.
x
y
z
o
椭圆抛物面
22
222x y
z a b
+=(a , b 为正常数)
顶点:对称性与坐标轴的交点x
y
z
o
抛物面是无心二次曲面. 当点(x, y, z )在曲面上时,
x, -y ,z ), 也都在曲面上.
(-x, -y , z (-x, y , z ),曲面的存在范围：在z ≥0的一侧
x
y
z
o
(4) 被坐标面截得的曲线:
0,
z ⎧⎨
=⎩⎧①一点(0, 0, 0)
xOz 坐标面上, 开口都向着z 轴的正向,都叫做椭圆抛物面的主抛物线.
椭圆抛物面22
222x
y
z a b
+=(a , b 为正常数) 2
2
220x y
a b +=22
2x a z =②
③
y
z
o
坐标平面的平行平面椭圆.
抛物线
平面x ＝m 的截痕:抛物线
h
t
x
椭圆抛物面22
222x
y
z a b
+=(a , b 为正常数)
⑤
(P 170)
x z
O
x
z
O
结论1：椭圆抛物面可看作由一个椭圆保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动形成
结论2：两条所在平面互相垂直抛物线，它们的顶点和轴都重合，且有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己且使其顶点在另一个抛物线上
x
截痕法:
用z = h 截曲面用y = t 截曲面
用x =m 截曲面
椭圆抛物面
二、双曲抛物面双曲抛物面2
2
222x y
z a b
-=(a , b 为正常数)
双曲抛物面的标准方程.
双曲抛物面22
222
x y
z
a b
-=(a, b为正常数)
对称性
与坐标轴的交点：
双曲抛物面是无心二次曲面.
22
222x y z a b
-=(a , b 为正常数) 双曲抛物面
被坐标面所截双曲抛物面的主抛物线相同的对称轴x
O
它们有着相同的顶点两条相交于原点的直线
⑥
⑦
(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：.
z h ⎧⎨
=⎩⑧的实轴与x 轴平行, 虚轴与y 轴平行,
双曲线
⑧
2,0,h 顶点()
2,0,b h h ±在主抛物线⑦上
平面z ＝h 的截痕:
当h >0时,2
2
2
2122x y
a h
b h -=x
z
O
⑥
被坐标面的平行平面所截得的曲线：x
O
),抛物线
2)2b
-(P 173)
O
x
z
y
结论：
如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己,且使其顶点在另一抛物线上滑动，那么前一
抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面。
x
O
x
O
马鞍面
平面x ＝t 的截痕:
⎧⎨
⑩
2,0,)抛物线
22
222x y z a b
-=(a , b 为正常数) 双曲抛物面
马鞍曲面.
z
x 2
22
22()2t y b z a =--⑥
22x y
a b
正椭圆抛物面
22双曲抛物面
22x y
a b
222211b
a 2211a b
--2211b
a -2211a b
-(2) A, B 异号表示双曲抛物面；(或Ax 2+Bz 2＝2y , 或Ay 2+Bz 2＝2x ,AB≠0. )
Ax 2+By 2＝2z , AB≠0. 小结(1) A, B 同号表示椭圆抛物面；
例1
z
o
x
y
z
o 424
A
D
B
C
P
Q。
