Mathematica在大学物理教学当中的应用

Mathematica 在高中物理教学中的应用秦江川摘 要：本文从高中物理实验教学和课堂教学两方面着手研究,针对常用教学工具如Powerpoint 制作的教学课件难以演示的一些典型实例，借助Mathematica 的功能来实现。

将Mathematica 应用于一些物理实验数据的处理和物理模型的模拟，可以使高中物理教学更加形象、生动，从而取得更加良好的教学效果；同时进一步推动基础物理教学方法的现代化进程。

关键词：Mathematica ；演示；模拟；教学效果 引言在目前中学物理的课堂教学中，教学课件尤其是Powerpoint 的应用已经非常广泛并且能够取得比较好的教学效果，但是对于一些物理问题的最终结果不能给出形象的演示，基于此可以借助Mathematica 强大的函数分析能力、图象模拟能力，将其应用于多媒体教学当中，从而在高中物理课堂教学活动当中，能够更生动形象地向学生表达出抽象的物理含义、详细的物理过程。

此外，在实验教学当中，通过对Mathematica 软件的应用，借助它强大的数据处理能力，能够相对高精确度地对实验数据作出处理，从而使得Mathematica 在实验教学当中作为教学辅助工具而得到广泛的推广和应用。

在科技高速发展的今天，教师仅凭借讲解和板书的方式来给学生们灌输一些物理模型已显得捉襟见肘了，而我们应用Mathematica 和计算机多媒体的结合使用，充分弥补了这一不足。

1 Mathematica 在课堂教学中对物理模型的模拟 1.1 粒子在非匀强磁场中运动轨迹的描绘一根竖直放置的无限长载流直导线，使其通过Ｉ＝0.5Ａ电流，其方向向上。

现有一质子在距离其载流导线0r ＝10m 处沿平行于载流直导线的方向向上以初速sm v 1000 的速度开始运动。

对于质子在非匀强磁场中的运动轨迹，传统教学中我们只能靠想象来描绘，而应用Mathematica 的图象模拟功能，我们可以化抽象思维为形象思维，形象地展示出质子的运动轨迹。

首先根据题意，取载流导线与0r 的交点为坐标原点，建立坐标系（如图1.1所示），质子处于无限载流直导线所产生的非匀强磁场当中。

在质子的运动过程中，质子受到洛伦兹力j B qv i B qv B v v k j iq B v q F z x Z y zy x+-=-=⨯=000 （1.1）根据牛顿第二定律可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=xz y yz x v m qBdtdv v m qB dt dv 即： 图1.1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=dt dx m qB dt y d dtdym qB dt x d z z 2222 （1.2） 再有无限长载流直导线周围的磁场分布情况为：xIB z πμ20=（1.3） 对以上公式、数据，应用Mathematica 对其进行编程如下： ;][2B (-27);10^*1.67m (-19);10^*1.6q ^4;5.00z 0t x ii ===(-7);10*==πμπμj=x''[t]== -q z B /m*y'[t]; k=y''[t]==q z B /m*x'[t]; r=x[0]==10; s=y[0]==0; p=x'[0]==0; n=y'[0]==100;f=NDSolve[{j,k,r,p,s,n},{x[t],y[t]},{t,0,3}];图1.2ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}/.f],{t,0,3},PlotRange →All,Frame →True] 应用程序，可得到质子在非匀强磁场中的运动轨迹图形，如图1.2所示。

此图形象地演示出了粒子在无限载流直导线所产生的非匀强磁场中的运动轨迹。

可见，借助Mathematica ，可以直观形象地给出粒子的运动情况，将其运用于课堂教学中，能够更形象直观地向学生讲解物理过程。

1.2 静止点电荷系所产生的电场线的图象描绘现有三个点电荷所组成的静止点电荷系统。

三个 点电荷所带的电量分别为-q 、-q 、+2q ，对其适当选 取坐标，三个点电荷在其坐标平面上的位置如图1.3 所示，其中一个点电荷-q 位于坐标原点，另一个点 电荷-q 位于y 轴上的a 点处，最后一个点电荷＋2q 位于y 轴的-a 点处。

对于点电荷系周围的电场分布情况，一般的教学软件是难以将其图象模拟出来的。

对此，我们应用Mathematica 来对其图象作出模拟。

因在x-o-y 平面内，任一点的电场强度为:[][]i x a y qx x y qx x a y qx y x E⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-++=232202322023220)(4)(4)(42),(πεπεπε j x a y a y q x y qy x a y a y q ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---+-++++232202322023220])[(4)()(4])[(4)(2πεπεπε 其中任意一条电场线应满足：),(),(y x E y x E dx dy x y =（1.4） 求解（1.4）式可得：C x a y a y x y y x a y a y =+---+-+++212221222122])[()(])[()(2 （1.5）此式即是电场线应满足的方程，常数C 取不同值时将会得到不同的电场线，上式是一个超越方程，由此式直接解出)(x f y =的表达式再编程作图是很困难的。

为此我们将各式的分子、分母同除a 可得：图1.3C a x a y aya x a y aya x a y a y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++212221222122111)1(2 (1.6)对（1.6）作代换：y ayx a x ⇒⇒, 应用Mathematica 对其进行编程如下： <<Graphics`ImplicitPlot` m =;)1()1()1()1(2222222xy y xy y xy y +---+-+++k=Table[m==c,{c,0,3,0.1}];ImplicitPlot[k,{x,-5,5},{y,-5,5},Frame →True] 系统将自动生成如下：图1.4此图形象地展示出了点电荷系周围的磁场分布情况，此图形用Powerpoint 是难以完成的。

而应用Mathematica 却能够方便、简单地模拟出其图形情况，从而使物理课堂教学更加的直观、形象。

1.3 电偶极子振荡辐射过程中，所产生电场线的图象的描绘电偶极子振荡在电磁波辐射理论中有着重要的作用,对此我们要清楚了解其振荡辐射的电场线的规律。

注：电偶极子的电偶极矩为：z wt e e p p10=对其采用球面坐标、可得到任意时刻t 、任意空间处r 的辐射电场：30320211cos cos()cos()4()()2r p k E wt kr wt kr kr kr πθπε⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)2cos()(1)cos(1)(1sin 423030πθπεθkr wt kr kr wt kr kr k p E 0=ϕE辐射的电场线应满足方程： θθE E rd drr =（1.7） 解(1.7)式可得:C kr kr wt kr =+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)]arctan(cos[sin 1)(12212θ （1.8）此式即为辐射电场线所满足的方程,C 取不同值时就会得到不同的辐射电场线。

将kr 写成:212222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==λλπλπz x r kr（1.9） 而 22sin yx x rx+==θ （1.10）对(1.8)式的变量r 、t 作无量纲化处理、并将(1.9)、(1.10)式代入(1.8)式得:Cz x z x T t z x x z x =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛222122222212222arctan 22cos 141λλπλλππλλλλλπ (1.11) 对（1.11）式作代换：y z x x ⇒⇒λλ,,1⇒T t应用Mathematica 对以上数据进行编程如下：<<Graphics`ImplicitPlot`m=]];2[22[**1)(412222222222y x ArcTan y x Cos y x x y x +++-+++ππππ k=Table[m==c,{c,-1,1,0.2}];ImplicitPlot[k,{x,-1,1},{y,-1,1},Frame →True] 系统将自动生成如下：图1.5图 1.5形象地模拟出电偶极子振荡所辐射的电场线的情况，应用Mathematica ，任意一条电场线在辐射过程中随时间演化的进程都能够形象地展示出来。

至于电场线的演化进程，我们可以在（1.11）式中，取C=0.4，Ttr =分别取0，0.25，0.50，0.75，1.00，就可以得到这条电场线的辐射进程。

应用Mathematica 编程如下： <<Graphics`ImplicitPlot` m=5}];{r,0,1,0.2,4.0]]2[2*2[**1)(41[2222222222==+++-+++y x ArcTan y x r Cos y x x y x Table ππππ ImplicitPlot[m,{x,-1,1},{y,-1,1},Frame →True] 则系统会自动生成如下：图1.6形象地展示出了一条电场线的辐射进程。

将图1.5、图1.6引入课堂教学当中，从而更形象地向学生们展示出电偶极子振荡所辐射的电场线分布情况。

2 Mathematica在实验教学中对实验数据的处理在传统物理实验教学中，我们在对实验数据的图形化处理中，误差相对来说比较大，而通过Mathematica软件的应用，它能对实验数据作出较精确的拟合。

2.1＂载流圆线圈中心轴线上的磁场＂实验数据的处理通过亥姆霍兹线圈仪，利用95A型集成霍尔传感器测量半径为10㎝, 相距为5㎝或10cm的两个完全相同的载流圆线圈中心轴线上的磁感应强度值B。

实验时取电流值I=400mA。

相距每厘米记录一磁感应强度。

实验数据记录如下: R为5cm时的数据记录：{-9,0.834},{-8,0.960},{-7,1.095},{-6,1.245},{-5,1.378},{-4,1.512},{-3,1.626},{-2,1. 712},{-1,1.781},{0,1.806},{1,1.796},{2,1.752},{3,1.675},{4,1.563},{5,1.435},{6,1.2 99},{7,1.154},{8,1.013},{9,0.881}R为10cm时的数据记录：{-9,0.970},{-8,1.087},{-7,1.183},{-6,1.271},{-5,1.340},{-4,1.385},{-3,1.410},{-2,1. 421},{-1,1.423},{0,1.423},{1,1.422},{2,1.420},{3,1.413},{4,1.392},{5,1.355},{6,1.2 94},{7,1.212},{8,1.111},{9,1.005}应用Mathematica对以上数据进行编程如下：j={{-9,0.834},{-8,0.960},{-7,1.095},{-6,1.245},{-5,1.378},{-4,1.512},{-3,1.626},{-2,1.712},{-1,1.781},{0,1.806},{1,1.796},{2,1.752},{3,1.675},{4,1.563},{5,1.435},{6, 1.299},{7,1.154},{8,1.013},{9,0.881}};k={{-9,0.970},{-8,1.087},{-7,1.183},{-6,1.271},{-5,1.340},{-4,1.385},{-3,1.410},{-2,1.421},{-1,1.423},{0,1.423},{1,1.422},{2,1.420},{3,1.413},{4,1.392},{5,1.355},{6 ,1.294},{7,1.212},{8,1.111},{9,1.005}};r=ListPlot[j,Frame →True];s=ListPlot[k,Frame →True];u=ListPlot[j,PlotJoined →True,Frame →True];v=ListPlot[k,PlotJoined →True,Frame →True];Show[r,s,u,v]系统自动生成如下：图2.1图2.1中，（a ）（b ）两图分别是R 为5cm 时和R 为10cm 时的实验数据在坐标图中的记录点，（c ）（d ）两图是用Mathematica 语句将各点连线，（e ）图是将两种情况置于同一幅图中以便对照比较。