高中数学新课程创新教学设计案例(共50课时)

40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b ＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a 方向上）的投影．规定0与任一向量的数量积为０．由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解释应用［例题］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．［练习］1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a在b上的投影．2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）．证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．总之，（λa）·b＝λ（a·b）；同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？五、应用与深化［例题］1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完全平方和公式与平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．∴有类似结论．2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．解：（a＋2b）·（a－3b）＝a2－3a·b＋2b·a－6b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1××＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．［练习］1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．41 两角和与差的余弦教材分析这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性．这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的α，β角推广到任意角．教学目标1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．任务分析这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．教学过程一、问题情景我们已经学过诱导公式，如可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？出示一个实际问题：右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB ＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？由图可知BE＝asin（α＋β）．我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗？引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引导学生通过特例否定这一猜想．例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝，右边＝cos60°－cos30°＝－．显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．不妨设α，β，α－β均为锐角，则α－β＜α，则cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ．2. 分析讨论（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？3. 教师明晰通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．4. 提出问题，组织学生讨论（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化为锐角的余弦．因此，三、解释应用［例题］1. 求cos15°及cos105°的值．分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，分析：观察公式Cα＋βcosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．［练习］1. （1）求sin75°的值．（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2），逆向使用公式Cα-β，即可将原式化为cos30°．对于（3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα-β中的α角，用B角替换β角．2. （1）求证：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．3. 化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角，进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．分析：本题是一道综合题，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸1. 由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢？教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．由向量数量积的概念，有·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的数量积的坐标表示，有·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，对于任意角α，β都有2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用s inα，sinβ，cosα，cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．42 两角和与差的正弦教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．任务分析这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcos ｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．教学目标1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．教学过程一、问题情景如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A．在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？二、建立模型1. 探究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．3. 分析公式的结构特征Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．三、解释应用［例题一］已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［练习一］分析：1. （1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．2. 应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．3. 应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin （α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．已知向量＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）的坐标．解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到1，2的位置，求点P1，P2的坐标．［例题三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）．注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则［练习三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．四、拓展延伸出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt ＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．2. 已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：43 三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2. 能运用正、余弦定理解斜三角形．3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．教学设计一、问题情景1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1. 教师引导学生分析讨论在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD ＝AB·sinB．由此可得AC·sinC＝AB·sinB．又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC 的长度．教师明晰：（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知.设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsin（180°－A）．根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，∴asinB＝bsinA，即.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？2. 组织学生讨论问题情景（2）这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC 的长．组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．于是得到以下定理：余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？3. 进一步的问题勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？三、解释应用［例题］1. （1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．2. （1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．［练习］1. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．2. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸1. 在△ABC中，有正弦定理这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．2. 在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？3. 已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．。

48 不等式的性质教材分析这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．教学目标1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2. 理解并掌握比较两个实数大小的方法．3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．教学设计一、问题情境教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．1. 公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km ／h，用不等式表达即为v≤40km／h．2. 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？x·［80000－2000（x－25）］≥200000．3. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．二、建立模型1. 教师精讲，分析我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．一般地，设ａ，ｂ∈R，则ａ＞ｂａ－ｂ＞0，ａ＝ｂａ－ｂ＝0，ａ＜ｂａ－ｂ＜0．由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：定理1如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．定理2如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．定理3如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．定理4如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．3. 定理1～4的证明关于定理1～4的证明要注意：（1）定理为什么要证明？（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．4. 考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5定理5如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．三、解释应用［例题］1. 已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．［练习］1. 判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．四、拓展延伸1. 如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．2. 如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？3. 如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）49 一元二次不等式教材分析一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．教学目标1. 让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．教学设计一、问题情境1. 出示问题（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．引导学生建立一元二次不等式模型：由题意，得销售收入为25ｘ（万元），要使生产者不亏本，必须使3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．2. 引导学生建立一元二次不等式模型设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．由题意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．如何求解以上两个一元二次不等式呢？二、建立模型1. 对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．2. 教师明晰设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．（3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？三、解释应用［例题］1. 解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝．2. 解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．3. 已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围．解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．（3）当ｍ＞0时，须满足［练习］1. 解下列不等式．（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．4. 以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？四、拓展延伸一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：50 基本不等式：教材分析“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取…＝‟号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．教学目标1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．教学设计一、问题情境教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？二、建立模型1. 通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．2. 结论明晰定理1如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？三、解释应用［例题］1. 已知ｘ，ｙ都是正数，求证：小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．2. 设法解决本节课开始提出的问题．因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ2．2. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？答：当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．3. 用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？四、拓展延伸。

数列教材分析这一节课主要研究数列的有关定义，运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，是教学的重点，也是教学的难点。

教学目标1、知识与技能：理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式。

2.、过程与方法：了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项。

3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力。

教学设计一、问题情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数。

二、建立模型1.引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列。

数列的概念： 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别。

2.数列的记法数列的一般形式可以写成:,,,,21n a a a ,可简记为}{n a .其中n a 是数列的第n 项。

3.数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式)(n f a n =来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一。

如 ,0,1,0,1,0,1,0,1, 它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n 。

20 柱、锥、台体的体积教材分析这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积．其中柱体体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积．柱、锥、台体的体积是立体几何的重要内容，是历年高考的重点．通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的．三种几何体的体积公式的推导是教学的重中之重．教学目标1. 使学生掌握柱、锥、台体的体积公式及其初步应用．2. 通过对三种几何体体积公式的探索，使学生学会观察、类比、归纳、猜想等方法，培养学生分析、抽象、概括及逻辑推理能力．3. 通过三种几何体体积公式的探索，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索、创新的精神．任务分析对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式．但如何推导锥、台体体积是目前的重要任务．三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，教学时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法．柱、锥体体积公式推导的理论基础是祖原理．为此，必须将祖原理要求的三个条件务必要落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成．三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点．要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会割补变换这一数学思想．最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体体积．教学设计一、问题情景在多媒体屏幕上播出阿基米德利用水来辨别金王冠纯度高低的故事．通过这个故事教师指出，在古代，人们就对体积的求法进行了探索．接着指出我国古代在公元5世纪对体积曾进行过比较深入的研究，引出祖原理．二、建立模型（一）祖原理在屏幕上显示祖原理．教师强调这个原理在欧洲直到17世纪才被意大利的卡瓦列里提出，比祖之晚1100年以上，目的在于激发学生的爱国热情．1. 学生讨论教师启发能否根据原理的思想，利用手中的课本等道具把这个原理解释一下．2. 练习设有底面积与高都相等的长方体和六棱柱，思考这两个几何体的体积有何关系．说明：由于祖原理条件比较复杂，学生不易弄清，教师要把已知条件分析清：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间．（2）用平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得两个截面．（3）两个截面的面积相等．只有这三个条件都具备，才能得出两个几何体的体积相等．（二）柱体体积公式的推导［问题］设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱，一个圆柱，如何求这两个几何体的体积？为了把这个问题让学生水到渠成地想出来，可以提出以下几个阶梯性的问题．（1）柱体体积公式目前不知道，那么同学们会求什么特殊几何体的体积呢？（2）根据刚才对祖原理的研究发现，如果两个几何体满足祖原理中的三个条件，那么这两个几何体的体积就可以相互转化．柱体的体积公式目前不会求，能否利用祖原理把目标几何体的体积转化为长方体的体积呢？教师进一步引导：构造一长方体，使已知的棱柱、圆柱与构造的长方体满足祖原理的条件．（3）长方体如何出现呢？让学生讨论得出：已知棱柱、圆柱目前已经夹在两平行平面之间，并且底面积相等，所以只要在两平行平面之间放一个与前面两几何体底面积相等、高相等的长方体即可．根据祖原理这三个几何体的体积相等，而长方体体积可以利用底面积乘高求得，故两目标几何体的体积也就得出了．教师在大屏幕上显示推导过程：先把棱柱放在两平行平面之间，然后再让长方体出现，最后动态地显示三个几何体被平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得三个截面；三个截面的面积相等．教师明晰：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．［练习］已知一圆柱的底面半径r，高是h，求圆柱的体积．教师明晰：底面半径为r，高为h的圆柱的体积V圆柱＝Sh＝πr2h．（三）锥体体积公式的推导1. 等底面积等高的两个锥体的体积的关系［问题］（1）刚才我们利用祖原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（2）你们怎么知道它们的体积是相等的？（有的学生会说是估计的）（3）能证实你们估计的结论（猜想）吗？（有了前面连续两次用祖原理证明等底等高的两个柱体体积相等，学生的这个猜想就比较容易再次利用祖原理来证明）师生共同分析：用祖原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h （如图20-1）．（1）把这两个锥体的底面放在同一个平面α上．由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间．（2）用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点的距离是h1，体积分别为V1，V2，则由锥体平行于底面的截面性质，知．所以，故S1＝S2．由祖原理，知V1＝V2．（学生叙述，教师板书）结论：如果两个锥体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积相等．教师明晰：等底面积等高的两个锥体的体积相等．（由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生高层次的要求．当学生达不到这个层次时，可由教师提出问题，学生分析问题和解决问题．教师提出问题后要给学生观察、比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾提出：只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程）2. 锥体体积公式的推导教师启发：上述定理只是回答了具有等底面积、等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜．然而它给了我们一个求锥体体积的有益启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如果这个代表的体积求出来了，那么，根据等底面积等高的两个锥体的体积即可获得其他锥体的体积．［问题］（1）用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？（2）如何求这类锥体的体积呢？（此时学生思考受阻，可由教师启发）（3）任何新知识都是在已知旧知识的基础上发展起来的，现在我们已经能求出柱体的体积．那么三棱锥的体积能否借助柱体的体积公式来求呢？教师启发：可以尝试补成三棱柱，然后考虑三棱锥与三棱柱之间体积的关系．此时应该给学生留出充分的时间，让他们在练习本上把如图20-2三棱锥A′—ABC以底面△ABC为底面，AA′为侧棱补成一个三棱柱ABC—A′B′C′．教师利用多媒体把这个三棱柱补出来（在屏幕上动态地补出）．（4）在三棱柱中，除三棱锥A′—ABC外的几何体是不规则的，如能转化成规则的就好了，如何转化呢？教师启发：连接点B′，C，就可把这个不规则的几何体分割成两个三棱锥．教师利用屏幕动态显示分割过程［分割三棱柱ABC—A′B′C′得三棱锥（1），（2），（3）．如图20-3．（5）思考一下分割而得的三个三棱锥之间有何关系？学生讨论得出：体积相等．（6）为什么相等？试简要证明．（引导学生思考两个锥体等体积的依据———前面定理的条件：（1）等底面积．（2）等高）师生共同分析，同时教师板书：在三棱锥（2），（3）中，S△ABA′＝S△B′A′B，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V（2）＝V（3）．又在三棱锥（3），（4）中，S BCB′＝S△，它们有相同顶点A′，故高也相等，所以V（3）＝V（4），所以V（2）＝V（3）＝V B′C′C（4）＝V棱柱ABC—A′B′C′＝Sh．（7）一般锥体的体积又如何呢？设一般锥体的底面积为S，高为h．师生共同得出V锥体＝Sh（师板书）．（8）如何对这一结果进行证明？教师引导：构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积等高的锥体的体积相等，故V锥体＝V三棱锥＝Sh．三、应用与拓展台体体积公式的推导．已知棱台ABCDE—A1B1C1D1E1的上下底面积为S上，S下，高为h，求证V棱台＝（S上＋＋S下）．为了解决台体体积的求法可问学生下列阶梯性问题：（1）台体是如何定义的？（2）台体与被截的棱锥的体积有何关系？（3）要求的台体体积，只要求出棱锥与截后所得小棱锥的体积即可，要求棱锥的体积，有那些条件，还缺什么条件，如何求呢？随着问题的一个个解决，思路也就水到渠成了．（分析完思路后，解题过程在大屏幕上打出）教师明晰：台体体积公式：一般地，棱台的体积公式是V棱台＝h（S上＋＋S下），其中S上，S下和ｈ分别为棱台上底面积、下底面积和高．点评这篇案例重在教师启发下，让学生进行一定量的思维活动．在公式的推导过程中，由于教师的阶梯式提问，不断创设思维情景，使学生积极参与教学活动，从而使学生的思维品质得到了锻炼和提高．在锥体体积公式推导的过程中，教师不断渗透联系和转化等数学思想．在这篇案例中，体现了两次重要的转化，一次是利用祖原理将锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱之间的体积关系．其中，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实现的．这篇案例之所以突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．这篇案例使用了计算机辅助教学，特别是在体现三棱锥与三棱柱两种之间几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间割补变换显得直观，生动，形象，弥补了在黑板上画图动感差且又浪费时间的不足，也有利于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，发挥了计算机的良好辅助作用．美中不足的是，作为反映新理念的教学案例，如果能从学生可以直接操作的有关模型入手，通过多媒体的三维动态演示，使学生从直观思维上升到空间的想象和逻辑推导，教学效果会更好．。

诱导公式的应用教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．点评这篇案例从学生的实际出发，充分尊重学生的思维特点，通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神．在教学设计中，教师以学生活动为主，注意师生互动，体现学生的自主学习．实际的课堂教学表明，在教学过程中，教师对每名同学的发言都给以充分地鼓励，即使他的解法不完美，甚至不正确．这对保护学生大胆尝试、认真思考的积极性至关重要．只有这样，才能将教学效果落实到学生个体的学习行为上，进而实现预期的教学目标．总之，这篇案例的突出特点就是，注意通过问题驱动的方式，激发学生主动探究的热情，完成五组诱导公式的推导．缺陷是，在关注五组诱导公式推导的“一气呵成”的同时，巩固、强化工作显得单薄．这是一对棘手的矛盾！。

高中数学新课程创新教学设计案例50篇3539平面向量及其应用36 向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型1. 学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．2. 教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．3. 提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．解：都是单位向量．［练习］1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？36 向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．任务分析在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型1. 学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．2. 教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．3. 提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．解：都是单位向量．［练习］1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？37 向量加法运算及其几何意义教材分析引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．教学目标1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．任务分析这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．教学设计一、问题情境1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A 点直接到C 点的位移结果相同．2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．3. 提出问题，组织学生讨论（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．三、解释应用［例题］1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．注：要求写出作法，规范解题格式．2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．［练习］1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．3. 在△ABC中，求证.4. 在n边形A1A2…A n中，计算四、拓展延伸1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？38 平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．教学目标1. 了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．2. 通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．3. 通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．任务分析这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．教学设计一、问题情景1. 在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，，；（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2. 给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2．3. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？二、建立模型1. 学生回答（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知2. 师生总结以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量，估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量．3. 教师启发通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．4. 教师明晰如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使＝λ1e1，＝λ2e2．由于＝＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有平面向量的基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．三、解释应用［例题］1. 已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2．注：可按加法或减法运算进行．2. 如图38-4，，不共线，＝t（t∈R），用，表示．解：∵［练习］1. 已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．2. 已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．3. 已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a ＋2xb．4. 在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．5. 已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，＝ｂ，试用a，b表示向量．6. 已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有.四、拓展延伸39 平面向量的正交分解与坐标运算教材分析这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．教学目标1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．任务分析1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a ＝（x，y）．3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．教学设计一、问题情景1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、建立模型1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a 都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝xi＋yj，则的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．2. 学生思考讨论已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．三、解释应用［例题］1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．（1）求－的坐标．（2）求ABCD中D点的坐标．放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．解法2：－＝＝（－4，－1）．（2）解法1：设D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），∴x＝y＝2，D（2，2）．思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量＋的方向和长度．解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．由两点的距离公式，得设相对x轴正向的转角为α，则查表或使用计算器，得α＝80°32′．答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于，向量的方向偏离x 轴正向约为116°34′，长度等于2．［练习］。

37 向量加法运算及其几何意义教材分析引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．教学目标1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．任务分析这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．教学设计一、问题情境1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C 点的位移结果相同．2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．3. 提出问题，组织学生讨论（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．三、解释应用［例题］1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．注：要求写出作法，规范解题格式．2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．［练习］1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．3. 在△ABC中，求证.4. 在n边形A1A2…A n中，计算四、拓展延伸1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？点评向量的加法运算是向量的基本运算．为了正确认识理解向量加法的运算，案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成．在此基础上，使学生认识到：物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算，进而总结出向量加法的三角形法则，平行四边形法则，这样设计自然，流畅，全面．向量加法的运算律的教学，是引导学生通过类比方法发现的，并让学生自主探索，构造图形验证，这样不仅体现了学生的主体地位，同时还能培养学生科学的探究能力．例题与练习、“拓展延伸”的设计，有层次，有力度，深入浅出，能较好地培养学生的创新能力．这是一篇优秀的案例设计．。

47等比数列教学内容分析这节课是在等差数列的根底上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特别数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．教学目标1.熟练掌握等比数列的定义、通项公式等全然知识，并熟练加以运用．2.进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、回纳、推测能力．3.感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．任务分析这节内容由因此在等差数列的根底上，运用同样的方法和步骤，研究类似的咨询题，学生同意起来较为轻易，因此应多放手让学生考虑，并注重运用类比思想，如此不仅有利于学生分清等差和等比数列的区不，而且能够锻炼学生从多角度、多层次分析和解决咨询题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注重的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注重加以比立．教学设计一、咨询题情景在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会碰到下面的特别数列：1.在现实生活中，经常会碰到下面一类特别数列．以如下面图是某种细胞分裂的模型．细胞分裂个数能够组成下面的数列：1，2，4，8，…2.一种计算机病毒能够查寻计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．要是把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1，20，202，203，…〔3〕除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也确实是根基通常讲的“利滚利〞．按照复利计算本利和的公式是本利和＝本金×〔1＋利率〕存期例如，现在存进银行10000元钞票，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分不是〔计算时精确到小数点后2位〕：表47-1时间年初本金〔元〕年末本利和〔元〕第1年10000第2年2第3年23第4年9834第5年45各年末的本利和〔单位：元〕组成了下面的数列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．咨询题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？二、建立模型结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特别到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而回纳出等比数列的定义及符号表示：一般地，要是一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么那个数列喊作等比数列，那个常数喊作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示〔ｑ≠0〕．即［咨询题］1.ｑ能够为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？2.运用类比的思想能够发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差〞换成了“比〞，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？要是能得出，试用以上例子加以检验．关于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋〔ｎ－１〕ｄ，即ａ１与〔ｎ－１〕个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与〔ｎ－１〕个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．3.你如何论证上述公式的正确性．证法1：同等差数列———回纳法．证法2：类比等差数列，累乘可得，即各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．回纳特点：〔1〕ａn是关于ｎ的指数形式．〔2〕和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，明白其中三个量可求另一个量．三、解释应用［例题］1.某种放射性物质不断衰变为其他物质，每通过一年剩留的这种物质是原来的84%，咨询：这种物质的半衰期为多长？解：设这种物质最初的质量是1，通过ｎ年，剩留量是ａn．由条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ14．设ａn n＝0.5．两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．用计算器计算，得ｎ≈4．答：这种物质的半衰期大约为4年．2.一个等比数列的第3项和第4项分不是12和18，求它的第1项与第2项．解：设那个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么注：例1、例2表达了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．3.数列｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn b n｝是否为等比数列？要是是，证实你的结论；要是不是，讲明理由．解：能够得到：要是｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·b n｝也是等比数列．证实如下：设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛b n｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·b n｝的第n项与第n＋1项分不为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1〔ｐｑ〕n－1与ａ1ｂ1〔ｐｑ〕n．两项相比，得显然，它是一个与ｎ无关的常数，因此｛ａn·b n｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．特别地，要是｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．［练习］1.在等比数列｛ａn｝中，〔1〕ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．〔2〕ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．2.设｛ａn｝是正项等比数列，咨询：是等比数列吗？什么缘故？3.三个数成等比数列，同时它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．4.设等比数列｛ａn｝，｛b n｝的公比分不是ｐ，ｑ．〔1〕要是ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？〔2〕要是ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？四、拓展延伸引导学生分析考虑如下三个咨询题：〔1〕要是三个数ａ，G，ｂ成等比数列，那么G喊作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？那个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？〔2〕在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．比照一下，你发现了什么？〔3〕数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n〔ｎ≥2〕，数列｛b n｝满足，你会求它们的通项公式吗？五、回忆反思1.在这节课上，你有哪些收获？2.你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试瞧．点评这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法特不相似，但设计者从类比进手，让学生亲自往发现，推测，解决，不管从咨询题的提出，依旧在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生能够更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．美中缺乏的是，等比数列的现实模型比立多，而这篇案例在比照方面的运用略显薄弱．。

1 集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1. 在初中，我们学过哪些集合？2. 在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4. 请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5. 什么是集合？二、建立模型1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．2. 集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3. 常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4. 集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5. 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2. 用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2. 用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延伸把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．2 集合之间的关系教材分析集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．教学目标1. 通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力．2. 了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力．3. 通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法．任务分析这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．教学设计一、问题情境1. 元素与集合之间的关系是什么？元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为x A．2. 集合有哪些表示方法？列举法，描述法，Venn图法．数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？二、建立模型1. 引导学生分析讨论集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2. 与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A 包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A B（或B A），就说集合A是集合B的子集．用符号语言可表示为：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么A B．规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有A．3. 提出问题，组织学生讨论给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．（1）A是B的子集吗？B是A的子集吗？（2）A是C的子集吗？C是A的子集吗？4. 教师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即A B，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作A B或B A．A B的Venn图为两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即A B，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A 中的元素，即B A，那么就说集合A等于集合B，记作A ＝B．A＝B的Venn图为思考：设A，B是两个集合，A B，A B，A＝B三者之间的关系是怎样的？5. 子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：（1）对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C．（2）对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C．（3）A A．（4）空集是任何非空集合的真子集．三、解释应用［例题］1. 用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）3 ___________ ｛1，2，3｝．（2）5 ___________ ｛5｝．（3）4 ___________ ｛5｝．（4）｛a｝___________ ｛a，b，c｝．（5）0 ___________ ．（6）｛a，b，c｝___________ ｛b，c｝．（7）___________ ｛0｝．（8）___________ ｛｝．（9）｛1，2｝___________ ｛2，1｝．（10）G＝｛x｜x是能被3整除的数｝___________ H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．2. 写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3. 说出下列每对集合之间的关系．（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．（3）N，N*．（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［练习］1. 用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）a ___________ ｛a｝．（2）b ___________ ｛a｝．（3）___________ ｛1，2｝．（4）｛a，b｝___________ ｛b，a｝．（5）A＝｛1，2，4｝___________ B＝｛x｜x是8的正约数｝．2. 求下列集合之间的关系，并用Venn图表示．A＝｛x｜x是平行四边形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．拓展延伸填表表2-1（1）你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集的个数”之间关系吗？（2）如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗？（用n表达）点评这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程．具体地说就是，先结合实例研究两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明A B，包括A B，A＝B两种情况，再给出真子集、等集的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，注重数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力．值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小”关系实质上就是包含关系．3 逻辑联结词教材分析在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．教学目标1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．2. 能熟练判断一些复合命题的真假性．3. 通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．任务分析在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点．为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识的认识程度．教学设计一、问题情境生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．二、建立模型在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．（1）12＞5．（2）3是12的约数．（3）是整数．（4）是整数吗？（5）x＞．（6）10可以被2或5整除．（7）菱形的对角线互相垂直且平分．（8）不是整数．（可以让学生回答，教师给出点评）我们可以看出，（1）（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉及真假；（5）不能判断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像（1）（2）（3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（7）（8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．三、解释应用［例题］1. 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：2＋2＝5，q：3＞2．（2）p：9是质数，q：8是12的约数．（3）p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．（4）p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引导学生进一步熟悉真值表．2. 说出下列复合命题的形式，并判断其真假．（1）5≥5．（2）5≥1．解：（1）p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．（2）p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．［练习］1. 命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是（）．A. 没用使用逻辑联结词B. 使用逻辑联结词“且”C. 使用逻辑联结词“或”D. 使用逻辑联结词“非”（C）2. 由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（）．A. p：4＋4＝9，q：7＞4B. p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C. p：15是质数，q：4是12的约数D. p：2是偶数，q：2不是质数（B）四、拓展延伸在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．例：小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜测：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．例：曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．点评这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和掌握．如果在“建立模型”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．4 四种命题教材分析在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．这节课的重点是四种命题间的关系．学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．教学目标通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．任务分析在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．教学设计一、问题情境在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．二、问题解决首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，教师补充完整）例：如果原命题是（1）同位角相等，两直线平行．让学生说出它的逆命题．（2）两直线平行，同位角相等．再看下面的两个命题：（3）同位角不相等，两直线不平行．（4）两直线不平行，同位角不相等．在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．换句话说：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若非p则非q．逆否命题：若非q而非p．下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发现如下关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．三、解释应用［例题］1. 把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．（1）负数的平方是正数．（2）正方形的四条边相等．分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．2. 设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．［练习］1. 命题“若a＞b，则ac2＞bc2，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（）．A. 3B. 2C. 1D. 0（B）2. 在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（）．A. 三命题都真B. 三命题都假C. 否命题真D. 逆否命题真（D）四、拓展延伸在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“任意的”、“所有的”、“都是”和“全是”等．下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，显然“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“任意的”否定应是“某个”，“所有的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x2＋y2＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x2＋y2≠0，则x，y不全是0．点评这篇案例涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄．5 充分条件与必要条件教材分析充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容．学习数学需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用，而且它们也是认识问题、研究问题的工具．这节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤．教学的重点与难点是关于充要条件的判断．教学目标1. 结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2. 理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤．3. 通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．任务分析这节内容是学生在学习了“四种命题”、会判断一个命题的真假的基础上，主要根据“p q”给出了充分条件、必要条件及充要条件．虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特别是对必要条件的理解有一定困难．对于本节内容的学习，首先要分清谁是条件，谁是结论，其次要进行两次推理或判断．（1）若“条件结论”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件．（2）若“条件结论”，则条件是结论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件．。

9 函数的奇偶性教材分析函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析．教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．教学目标1. 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力．2. 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．3. 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．任务分析这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．教学设计一、问题情景1. 观察如下两图，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图像有什么共同特征？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此时，称函数y＝x2为偶函数．2. 观察函数f（x）＝x和f（x）＝的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f （－x）＝－f（x）．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．二、建立模型由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义1. 奇、偶函数的定义如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数．如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫作偶函数．2. 提出问题，组织学生讨论（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？（f（x）不一定是偶函数）（2）奇、偶函数的图像有什么特征？（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？（奇、偶函数的定义域关于原点对称）三、解释应用［例题］1. 判断下列函数的奇偶性．注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1］．2. 已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f （x）的表达式．解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．3. 已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明如下：任取x1＞x2＞0，则－x1＜－x2＜0．∵f（x）在（－∞，0）上是减函数，∴f（－x1）＞f（－x2）．又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？［练习］1. 已知：函数f（x）是奇函数，在［a，b］上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在［－b，－a］上的单调性如何．2. f（x）＝－x3｜x｜的大致图像可能是（）3. 函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．4. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．四、拓展延伸1. 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？2. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．3. 已知a∈R，f（x）＝a－，试确定a的值，使f（x）是奇函数．4. 一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？点评这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，符合学生的认知规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台．。

30 几何概型教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．教学设计一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、解释应用［例题］1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．四、拓展延伸1. “概率为数…0‟的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．。

31 角的概念的推广教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．教学设计一、问题情境［演示］1. 观览车的运动．2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．3. 钟表秒针的转动．4. 自行车轮子的滚动．［问题］1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．二、建立模型1. 正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．2. 象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．3. 终边相同的角在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即390°＝30°＋360°，（k＝1）；－330°＝30°－360°，（k＝－1）．设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．三、解释应用［例题］1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．（1）－150°．（2）650°．（3）－950°5′．2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′．3. 写出终边在y轴上的角的集合．解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．于是，终边在y轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k ∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．［练习］1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°．2. 辨析概念．（分别用集合表示出来）（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角．3. 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．四、拓展延伸1. 若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．2. 如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）32 任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．二、建立模型一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：那么，OP＝，记作r，（r＞0）．对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为对于定义，思考如下问题：1. 当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用［例题］1. 已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2. 求下列角的六个三角函数值．注：强化定义．［练习］1. 已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）．2. 计算．（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota 的值在各个象限的符号．3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．（2）cos45°，cos（－315°）．规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．五、应用与深化［例题］1. 确定下列三角函数值的符号．2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．从而结论成立．［练习］1. 设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？为什么？2. 函数的值域是____________ ．33 同角三角函数的基本关系式教材分析这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a ＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a ＝1与的推导及以下两类基本应用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．教学目标1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力．2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．3. 通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观．任务分析这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式：sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：（1）“同角”二字的含义．（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．教学设计一、问题情境教师出示问题：上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？你能得出它们之间的直接关系吗？二、建立模型1. 引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是2. 推导同角三角函数关系式引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．（1）平方关系：sin2a＋cos2a＝1．（2）商数关系：t：说明：①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：.教师点拨：这些关系式都很对，但最基本的还是（1）和（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住（1）和（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．教师启发：（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围限制？（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？三、解释应用［例题］1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．变式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？师生一起完成该题的解答过程．解：由题意和基本关系式，列方程组，得由②，得sinα＝－cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cosα＝－，代入②式，得；当α是第四象限角时，cosα＝，代入②式，得.小结：由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．变式2 把例2变为：已知tanα＝－，求的值．解法1：由tanα＝－及基本关系式可解得针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．学生得到如下解法：由此，引出变式3．已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．有了上一题的经验，学生会得到如下解法：教师归纳、启发：这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？学生得到如下解法：教师引导学生反思、总结：（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．［练习］当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？你是否发现了一些技巧？四、拓展延伸教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求t anα的值．解法1：由sinα－cosα＝－，得反思：（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α的范围变大了时，教师再点拨：怎样才能使平方变形是等价的呢？由学生得出如下正确答案：∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．强调：非等价变形是解法1出错的关键！34 诱导公式教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．。

16 直线与平面平行教材分析直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．教学目标1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．任务分析这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．教学设计一、问题情境教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？二、建立模型［问题一］1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？学生讨论，得出结论：直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？学生讨论，得出相关定义：若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？学生讨论，得出结论：方法1：按直线与平面公共点的个数分：［探索］直线与平面平行、相交的画法．教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-1．2. 画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．3. 画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．［问题二］1. 如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉．学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．已知：ａα，ｂα，ａ∥ｂ．求证：ａ∥α．分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．证明：假设ａ不平行于α，由ａα，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；若A b，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．2. 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线．师生共同归纳和总结，形成性质定理．定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．已知：l∥a，lβ，α∩β＝ｍ．求证：l∥m．证明：因为l∥α，所以l∩α＝，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β内，且没有公共点，所以l∥m．总结：此定理的条件有三个：（1）l∥α，即线面平行．（2）lβ，即过线作面．（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．三、解释应用［例题］1. 已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．证明：连接BD，在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD．又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD．2. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）．求证；mα．证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以mα．［练习］1. 已知：如图16-7，长方体A C′．求证：B′D′∥平面ABCD．2. 如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？四、拓展延伸1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？2. 已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N 满足什么条件时，MN∥平面BCE．3. 如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位置关系．点评这篇案例从学生身边的实例出发，引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义，又通过演示，总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理，整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，培养了学生的探索创新能力和实践能力，激发了学生的学习兴趣．。

50基本不等式：教材分析“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取‘＝’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．教学目标1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．任务分析这节内容从实际问题情境展开探讨，“如要围成面积为16ｍ2的一个矩形，所需绳子最短是多少？即设长为ｘ，宽为，则周长为l＝2ｘ＋2×，求当ｘ取何值时，l最小．”让学生去猜测，去思考，充分调动学生的积极性，激发学生的想象和猜想能力．当学生猜想它应为正方形这一结论时，教师适时引导如何去证明猜想的正确性，激发学生的求知欲望，从而达到由问题到结论的证明，开阔学生的思路，陶冶学生的情操．教学设计一、问题情境教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？二、建立模型1.通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．2.结论明晰定理1如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？三、解释应用［例题］1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．2.设法解决本节课开始提出的问题．因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ2．2.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？答：当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．3.用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？四、拓展延伸点评这篇案例由实际问题引入课题，既自然，又能引起学生的兴趣，激发起学生的求知欲望，为本节重点的突破打下良好的基础．由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理，使学生易于理解和接受．由典型例题的证明，归纳出一般结论，培养了学生的逻辑推理能力．由练习的变形培养了学生灵活处理问题的能力．对实际问题的解决体现了数学的应用价值．重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解，同时突破了对本节难点“等号成立的条件”的理解．“拓展延伸”给学生以发挥的空间，启发学生由已知到未知的探索能力．总之，关注基本不等式与现实的联系是这篇案例的突出特点，“问题驱动式”的设计是这篇案例成功的关键，而“从问题出发构建模型，反过来，又利用建立的模型解决开始的问题”的设计又可以使学生领略到学习数学的成功和胜利喜悦．。

函数的概念教材分析与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念．函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念．对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解．教学目标1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．3. 了解映射的概念．任务分析学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系．教学设计一、问题情景1. 一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）．2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．3. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．表6-1“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间（年）1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数（%）53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9问题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是否有值与之对应？若有，有几个？二、建立模型1. 在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点在三个实例中，变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的任一个ｘ，按照某个对应关系，在数集Ｂ中都有唯一确定的值与之对应．2. 教师明晰通过学生的讨论归纳出函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y叫作函数值，函数值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函数的值域．注意：（1）从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域三部分组成，它们称为函数定义的三要素．其中，y＝f（x）的意义是：对任一x∈A，按照对应法则f有唯一y与之对应．（2）在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系和定义域相同时，我们才认为这两个函数相同．思考：函数f（x）＝与g（x）＝是同一函数吗？三、解释应用［例题］1. 指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么？如何用集合与对应的观点描述它们？（1）y＝1，（x∈R）．（2）y＝ax＋b，（a≠0）．（3）y＝ax2＋bx＋c，（a＞0）．（4）y＝kx，（k≠0）．解：（3）定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝对应法则f：自变量→a （自变量）2＋b·（自变量）＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c（1），（2），（4）略．2. 已知：函数f（x）＝（1）求函数的定义域．（2）求f（－3），f（）的值．（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．目的：深化对函数概念的理解．3. 求下列函数的值域．（1）f（x）＝2x．（2）f（x）＝1－x＋x2，（x∈R）．（3）y＝3－x，（x∈N）．解：（1）｛y｜y≠0｝．（2）｛y｜y≥｝．（3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4. （1）已知：f（x）＝x2，求f（x－1）．（2）已知：f（x－1）＝x2，求f（x）．目的：深化对函数符号的理解．解：（1）f（x－1）＝（x－1）2．（2）f（x－1）＝x2＝［（x－1）＋1］2＝（x－1）2＋2（x－1）＋1．∴f（x）＝x2＋2x＋1．［练习］1. 求下列函数的定义域．2. 已知二次函数f（x）＝x2＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值．3. 函数f（x）＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：（1）f（3.5），（2）f（－3.5）．四、拓展延伸在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪几个？解：共有4个不同的映射．思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少个？点评这篇案例设计完整，条理清楚．案例从三个方面（实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔）各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得出函数概念，体现了由具体到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来．例题、练习由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延伸”的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材．在“问题情景”中的三个事例中，第一个例子中的“对应关系”比较明显，后两个例子则不太明显．如果能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更好．。

精心整理10二次函数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx ＋c21.2.3.与a1.2.（1）y（53.4.x）＝x（1（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量ｘ的值．（3）画出它的图像．（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？（5）确定函数的单调区间．1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．∵对任意x∈R，都有（x＋4）2≥0，∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．∴函数有最小值是－2，记作y min＝－2，此时x＝－4．（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-1描点，画图．（4）由上表及图像推测：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．（5）观察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函数．2.（1x2）．（2）＝x4．（3）把f x）＝（4x（5＋的形式，1.＝－，2.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝．（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max＝．思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？四、解释应用［例题］1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．注：可利用上面的性质直接写出答案．2.某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．∵t∈N，∴当t＝，不能使．［练1.2.3.4.抛物线1.2.3.＝－点评效果．。

第一部分高中数学新课程创新教学设计的基本观点新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，要实现数学课程改革的目标，教师是关键．教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用．教师不仅是课程的实施者，而且是课程的研究、建设和资源开发的重要力量．教师不仅是知识的传授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者．为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质．数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础．一、高中数学新课程实施的基本理念新的课程理念要求数学教师与时俱进，切实更新教育理念，在课程的实施、研究、建设上做出成绩，成为开发课程资源的生力军．（一）正确认识数学教学的本质，建立与新课程相适应的教育理念建立与新课程相适应的教育理念，首先是对新时期的教育要有正确的认识．教育本应是“心灵的导向和人格的塑造”的过程，也是促进人的健康成长的过程，但现代教育追逐物质效益而忽视精神文化的开创和弘扬，使人们陷于狭隘而片面的发展，这应是教育者值得深思的课题．从某种意义上来说，教育是一代人走向历史，历史进入下一代人的方式，同时教育解释历史，使历史意义彰显出来．教育使受教育者理解历史，使历史进入人的精神世界，使个体在历史中创造历史，使历史成为运动的，发展的．教育不仅是对生活的准备，而且是涵盖人生的．人类自从有生命开始，就在生活着，就在进行理解着，就在成长着，就在学习人类的语言，接纳社会的传统．教育不在生活之外，与其说教育是生活的准备，不如说教育是人展现自身的一种必然方式．数学教师要认识到新的时期人们对数学的理解有了新的进展．每一名数学教师都是按照自身对数学的理解来讲课的．我们应将数学理解为关于模式的严格而生动的科学，将数学作为探索性的、动态的、进展的科学，而不是作为僵死的、绝对的、封闭的一组组难以记住的定理去学习．也就是说，将数学看作一门科学，而不是教规．数学是研究关系的科学，是研究关于客观世界模式和秩序的科学．数、形、关系、可能性、最大值或最小值、数据处理等，是人类对客观世界进行数学把握的最基本的反映．数学对象没有任何实物和能量的特征，它们都处于一定的相互关系之中，处于数量关系、空间关系等类似于这些关系的关系之中．数学思想体现了对一定质的量和一定量的质以及相互转化关系的把握．数学作为普遍的技术，可以帮助人们在搜索、整理、描述、探索和创造中建立模型，研究模型，从而解决问题，作出判断，它为人们交流信息提供了一种有效的简洁手段．数学是研究方法的科学，它是在人们对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象，概括，形成模型、方法和理论的过程．这一过程充满着探索和创造．如今，观察、实验、猜测、调控等学习模式，已成为人们发展数学，应用数学的重要策略．数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程．数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动．从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动中，学生与教材及教师间产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感和思维能力．在数学教学过程中，教师与学生是人格平等的主体，教学过程是师生进行平等对话和交流的过程．教师与学生之间、学生与学生之间开展动态的交流对话活动，其内容包括知识信息、情感、态度、行为规范和价值观等方面．在这个活动中，学生应当成为学习活动的主体，而教师是学生参与学习活动的组织者和引导者，是共同的参与者．教师引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生掌握基本的数学知识和技能，产生学习数学的愿望和兴趣．在数学教学过程中，教师促进了学生的发展，本身也得到了完善．学生在新课程标准的指导下，在学校除了学习相应的知识之外，更重要的是要做到“成长、发展和完善”．首先学生要做到健康地“成长”，必需身体健康和心理健康（通常表现为认知功能正常、情绪反应适当、意志品质健全、自我意识正确、个性结构完整、人际关系协调、人生态度积极、社会适应能力良好、行为表现规范和行为与年龄相符等），特别是学习心理健康，这样才能学好他所需求的那一部分数学．数学不应成为学生学习的沉重负担，而应成为学生人生道路上成长的“泵”．其次是“发展”，学生在学校里学习，智力、能力、个性、特长和爱好都应得到全面和长期的发展．最后是人格得到“完善”，成为具有健全人格的人．同时，新课程标准对教师提出了明确的要求，要求教师做到“关注、尊重和理解”．“关注”即关注学生的成长，关注学生的感受，关注学生的需要，关注学生的学习方式，而不是只关心他的分数．也就是说，要关注学生们的全面和长期的发展．对学生的关注来源于“尊重”．“尊重”有着十分广泛的内容，即要求教师在实施新课程中做到尊重自己，强调自立自强；尊重他人，强调平等；尊重社会，强调规则；尊重自然，强调和谐；尊重知识，突出探索，突出应用（只有那些有用的、会用的知识才能成为力量）；尊重被教育的对象，突出以人为本，教师教的是人，塑造的是人才．“尊重”来源于“理解”，即教师自我对人生的理解、对教育事业的理解、对所教的这门学科的理解、对认知心理学和学生学习心理学的理解，以及对教学对象的理解．教学过程是实现课程目标的重要途径，必须突出对学生创新意识和实践能力的培养，优化教学过程．教师是教学过程的组织者和引导者．教师在设计教学目标、选择课程资源、组织教学活动、运用现代教育技术和参与研制开发学校课程等方面，都应以实施素质教育为己任，面向全体学生，因材施教，创造性地进行教学．教师应学习、探索和积极运用先进的教学方法，不断提高师德素养和专业水平．学生是教学过程的主体，学生的发展是教学活动的出发点和归宿，学习应是发展学生心智、形成健全人格的重要途径．在教学过程中，要根据不同学习内容，掌握和接受探究、模仿、体验等学习方式，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程．教材是教学内容的重要载体，教师在教学过程中应依据课程标准，灵活地、创造性地使用教材，充分利用包括教科书在内的多样化课程资源，拓展学生发展空间．加强师生相互沟通和交流是教学过程的核心要素，新的教育理念倡导教学民主，建立平等合作的师生关系，营造同学之间合作学习的良好氛围，为学生的全面发展和健康成长创造有利的条件．（二）以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划《数学课程标准》指出：为了体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展……教学中，要鼓励学生根据国家规定的课程方案和要求，以及各自的潜能和兴趣爱好，制定数学学习计划，自主选择数学课程；还要根据学生的基础、水平和发展方向，指导学生选择适合自己的学习内容，安排学习顺序．对不同系列的内容，应采用不同的教学方式．新课程为学生提供了若干模块的选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择．教师应适时依据学生的志向与自身条件的不同，帮助他们针对不同高校、不同专业对学生数学方面的要求的不同，指导学生选择不同的课程组合．以下提供课程组合的几种基本建议．（1）学生完成10学分的必修课，即可达到高中毕业的最低数学要求，他们还可以任意选修其他的数学课程．（2）学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课中任选1个模块获得2学分，即可达到多数高职、艺术、体育类的高等院校的最低数学要求．（3）学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课程中选修B1，B2，获得4学分，在其他选修课程中选修1个模块获得2学分，总共取得16个数学学分，即可达到人文社会科学类高等院校的最低数学要求．（4）在（3）的基础上，对数学有兴趣并希望获得较高数学素养的学生，在E，F中选修3个模块获得6学分，可以申请获得数学高级水准证书，成为升学或其他需要的依据和参考．（5）学生在完成10学分的必修课的基础上，在选修课程中选修C1，C2，C3，获得6学分，在其他选修课程中选修2个模块获得4学分（其中在D课程中只能获得2学分），总共取得20个数学学分，即可达到理工、经济类高等院校的最低数学要求．（6）在（5）的基础上，对数学有兴趣并希望获得较高数学素养的学生，在E，F中选修3个模块获得6学分，可以申请获得数学高级水准证书，成为升学或其他需要的依据和参考．课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换．学生作出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整．教师根据选修课模块的逻辑顺序，帮助他们进行调整和转换．（三）帮助学生打好基础，发展能力在新课程下，教师应帮助学生理解和掌握基本数学知识，基本技能，发展能力．数学能力包含于一般的能力之中，但又有着自身的特征，其核心部分是数学思维能力．它体现了数学思维中对客观事物一定质的量和一定量的质及其相互转化关系的把握．数学的思维意识具有独特的形态：它的思维对象力求形式化，思维意识力求抽象化，思维背景力求形象化，思维过程力求逻辑化，思维结果力求应用化，并以此体现数学特有的教育价值．数学思维技能的形成过程是智能与技术的统一体，是学生的数学能力在掌握数学知识的过程中进行数学活动的具体表现．要获得一定数量的知识，就必须具备相应的技术手段，否则学习这些知识就是没有用的．在技能和能力的关系上，可进行如下的分析：学生自动地完成最简单的基本活动就叫技巧，而借助技巧完成的活动自身也就变成了一个操作．技巧在形成时，它努力使自己成为一个自觉的自动化的活动，然后，它以一个完成活动的自动化方法来发挥作用．当学生要完成比较复杂的活动时，就应该掌握运用知识和技巧的本领，这种用主体具有的知识和技巧，掌握对于合理调节活动必须的心理活动，进而实施活动的能力，就叫技能，而能力是作为一个人区别于另一个人的个人心理特点，是与顺利完成某种活动有关的特点，决定某一活动或许多活动实现的可能性和成功的程度的特点．在分析能力时，指的是进行某一活动的人的品质和特点．在分析技能和技巧时，指的是人进行的活动的性质和特点．技能和技巧反映学生解决问题的实际可能性，而能力反映的是潜在的可能性，是迅速、灵活和深刻掌握解决新的类型习题的主要条件．任何一门科学的一个十分重要的特征，就是它的逻辑结构．通常认为，科学的逻辑结构的要素是：原理、法则、基本概念、理论和思想．在数学中，这些要素具有稍微特殊的形式，其中基本概念是数学逻辑结构的第一个要素；公理体系连同数学中运用的逻辑证明的法则，构成了数学的第二要素———数学基础，常采用定理、运算法则、公式等形式；数学的逻辑结构的一个最重要的要素是第三要素———数学思想．学校数学课程的整个结构基础应当是现代数学的思想和方法，如集合和映射的思想、比较和分类的思想、数形结合的思想等．学生对这种现代数学的思想和方法的接受和熏陶，是高中其他任何一门学科不能替代的．最好能让学生知道这些思想和方法，同时这些思想和方法应当以明显的形式列入教学内容，并且对它们的掌握应当成为学生学习活动的直接目的．思想和方法最初以不展开的形式教给学生，但是随着学生年龄的增长，随着教学向前推进，它们与学生一起增长．这些思想和方法组成数学全部教学内容的核心，学校数学课程的其他内容，应当是这些思想和方法的具体化和运用，是这些思想和方法的展开．这些思想和方法的形成和发展是学生由基本技能上升为基本能力的基础．《数学课程标准》对学生的能力目标是：提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断．（四）注重联系，提高对数学整体的认识在新课程中，数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．最近二三十年来，数学的性质及其应用的领域与途径发生了巨大变化，不仅发展了许多新的数学领域，而且应用数学的范围大大扩充了．最显著的是，计算机的发展和计算机应用的爆炸性增长，它们绝大多数都要求发展新的数学．同样，与广泛应用相联系的几个主要数学分支，产生了大量的思想财富．学生必须学习这些应用数学，进而利用应用数学解决实际问题．数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化．数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等科学方法在数学研究中有着重要的作用，尝试和纠错、假设和调研以及度量和分类是数学家常用的一些技巧，学校应当教．实验作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜的，而且是必须的．像生物是有机体的科学、物理是物和能的科学一样，数学是模式的科学．通过它们的所有表现形式———数，数据，形，序，甚至模式本身来划分、解释和描述模式，使数学在科学家遇到的任何模式中都可以在某处解释为数学实践的组成部分．数学也是一种交流形式．数学不仅是一门科学，而且是一种语言．数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础．由于计算机和世界范围内的数学式交流的支持，商业和工业都越来越依靠现代数学的分析方法．数学可以作为商业和科学的语言，是因为数学是描述模式的语言．数学语言是交流关系和描述模式的通用工具，是一种每人都必须学习、使用的语言．一个学习数学的人，他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想．数学是一种创造性的、活跃的过程，和被动地掌握概念与程序很不相同．事实、公式和信息有多大价值，只看它在多大程度上支持有效的数学活动．虽然有些基础的概念和程序所有学生都必须知道，但是学数学要追求理解和交流，而不仅仅是把它当作工具．（五）注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力《数学课程标准》指出：高中数学课程应讲清一些基本内容的实际背景和应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立一些反映数学应用的专题课程．即把数学应用教学当作数学教学的重要组成部分，把数学的应用自然地融合在平常的教学中．教学中应体现知识的来龙去脉，适当介绍数学学科与其他学科、日常生活的联系；通过数学学习、实验、研究性学习等活动引导学生亲自利用数学解决一些实际问题；拓宽学生的视野，增长见识．（六）关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成《数学课程标准》指出：数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力．教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，开阔视野，探寻数学发展的历史轨迹，受到优秀文化的熏陶，提高文化素养，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求真理精神．注重学生情感、态度、价值观的培养，这一点在传统数学教育中没有得到充分的重视．课程实施中应把情感、态度的培养作为一个基本理念融入到课程目标、内容与要求、说明与建议等中．数学和其他任何学科不同，它几乎是任何科学不可缺少的．克莱因指出：“数学是形成现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素．”首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识，是一种寻求公理的思想方式．数学使人全面地、完整地、合乎逻辑地、有条有理地认识事物，完善了自身的人格．进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求，实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成．数学作为人类文化组成部分的另一个特点，是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根据，它鼓励人们按照最深刻的内在规律来考虑事物．数学的另一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且研究它自己．在发挥自己力量的同时，研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思、不断批判自己，并以此开辟自己前进的道路．数学影响着人类的精神生活，它促进了人类思想解放，提高与丰富了人类的整个精神水平．从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力的人．齐民友先生在《数学与文化》一书中高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱封建迷信等方面的历史功绩，认为它最根本的特征是“表达了一种探索精神”，并把数学提高到文化兴衰、氏族兴亡的高度来认识．在课程实施中，应结合教学内容介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，用以反映数学在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时反映社会发展对数学发展的促进作用．此外，初等数学本身为学生人文精神的形成和发展提供了许多有趣的素材．数学曲线和几何图形具有平衡和对称的特点，它们像艺术品那样令人赏心悦目，从简单的直线到复杂的摆线，从黄金分割到钟摆模型，都具有平衡性和对称性，它们作为一种基本图形，广泛应用于艺术、建筑和商品广告等方面．在自然界的奇妙结构中，到处会碰到数学，从雪花的六角形对称结构到蜜蜂的六角形蜂房，从蜗牛壳的螺线、向日葵花盘的圆的渐开线到行星的椭圆形轨道，数学曲线和几何结构普遍存在于自然界中，教师应在适当的时候提醒学生注意，用以激发他们天赋的感官，从而引起学生学习数学的兴趣．数学的精髓在于探索和创新，在数学学习和研究的过程中，应该做到不断地发现新问题、获取新信息、提出新观点、探求新方法和得出新结构，关注数学的人文价值，促使学生科学观的形成，坚持“创新”的价值取向．教育的目标任务在于提高人的素质，而创新素质既是个体发展的最高表现，又是当今社会特别重视的素质．培养创新素质理当成为现代教育最重要、最明确的目标追求，成为教育成败得失的最高标准．现实教育的目标追求指向是知识学习和技能训练，创新素质的培养很少得到关注，正是由于教育目标上的偏差，导致整个教育格局中的“创新”的失落．因此，教育创新首先要调整目标，坚定创新的价值取向，把培养创新素质作为教育最重要、最根本的任务加以确认．针对目前过分注重知识和技能而忽视创新的状况，在实施中可考虑教材压缩一些、难度降低一些、教师少讲一些、学生多动一些、课程丰富一些和考试办法多样一些等方式．（七）改善教与学的方式，使学生主动地学习丰富学生的学习方式、改进学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动．高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战．在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式．1. 正确认识教师在课程改革中的作用和角色的转变在师生关系上，新课程要求教师应该从知识的传授者转变为学生学习的促进者，重心转化为促进学生个性和谐，身心健康，全面发展．教师应成为学生学习能力的培养者，成为学生学习的激发者，辅导者，帮助学生“学会学习”．教师应成为学生人生的引路人，不断地在他们成长的道路上设置不同的路标，引导他们不断地向更高目标前进．在教学与研究的关系上，新课程要求教师应该是教育教学的研究者．新课程增加了新的内容，对原有内容的编排和要求也有了新的变化，这给教师提出了挑战．新课程蕴涵的新理念，新方法，以及新课程实施过程中出现的各种新问题，都是过去的经验和理论难以解释和应付的，教师不能被动地等待着别人把研究成果和教学经验送上门，进而不假思索地应用到教学中去．教师应成为研究者，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，对自己的行为进行反思，对出现的问题进行探索，对积累的经验进行总结，使其形成规律性的认识．在教学与课程的关系上，新课程要求教师应该是课程的建设者和开发者．在传统的教学中，教师的任务只是教学，只要按照教科书、教学参考资料、考试试卷和标准答案去讲课就行了，而新课程倡导民主、开放、科学的课程理念，同时确立了国家课程、地方课程、校本课程的三级课程管理政策，这就要求课程必须与教学互相整合，教师必须在课程改革中发挥主体性作用．教师要不断提高课程的建设能力，使国家课程、地方课程在课堂教学实施中得到不断丰富和完善．2. “师生互动，共同参与”的教学方式学生学习的内在需要表现为学习兴趣．兴趣有直接和间接之分，直接兴趣指向过程本身，间接兴趣指向活动的结果．有了学生对学习活动的积极参与，对学生来说，学习就不再成为负担，学习的效果就会事半功倍．学生积极的参与获得了学习的体验，体验使学生学习进入生命领域．因为有了体验，知识的学习不再仅仅属于认知、理性范畴，它已扩展到情感、生理和人格等领域，从而使学习过程不仅是知识增长的过程，也是身心和人格健全与发展的过程．数学教学的过程是“师生互动、共同参与”的过程．在这个过程中，特别强调学生的参与，即强调活动、操作实践、考察、探究、交流等亲身经历的学习活动．通过这个“活动”，调动学生掌握的个人知识和直接经验，并把它们都看成重要的课程资源．3. 突出数学本质，避免过分形式化形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是，数学教学不能过度地形式化，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里．数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，在数学教学中应该“返璞归真”，努力揭示数学的本质．数学课程“要讲推理，更要讲道理”，即通过对典型例子的分析，使学生理解数学概念、结论、方法和思想，追寻数学发展的历史足迹，把形式化数学的学术形态适当地转化为学生易于接受的教育形态．4. 注重学生非智力因素的培养。

8函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直瞧性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的回纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的正确含义，明确指出函数的增减性是相关于某个区间来讲的．教材中判定函数的增减性，既有从图像上进行瞧瞧的直瞧方法，又有依据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成依据瞧瞧图像得出推测结论，进而用推理证实推测的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证实函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1.通过对增函数、减函数概念的回纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特不到一般的抽象概括能力．2.掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判定或证实一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3.通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、开展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的熟悉，即要紧依据瞧瞧图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生同意起来可能比立困难．在引进定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直瞧性，采纳由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．关于定义，要注重对区间上所取两点x1，x2的“任意性〞的理解，多给学生操作与考虑的时刻和空间．教学设计一、咨询题情境1.如图为某市一天内的气温变化图：〔1〕瞧瞧那个气温变化图，讲出气温在这一天内的变化情况．〔2〕如何样用数学语言刻画在这一天内“随着时刻的增大，气温逐渐升高或下落〞这一特征？2.分不作出以下函数的图像：〔1〕y＝2x．〔2〕y＝－x＋2．〔3〕y＝x2．依据三个函数图像，分不指出当x∈〔－∞，＋∞〕时，图像的变化趋势？二、建立模型1.首先引导学生对咨询题2进行探讨———瞧瞧分析瞧瞧函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，能够发现：y＝2x在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔０，＋∞〕上的图像由左向右根基上上升的；y＝－x＋2在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔－∞，０〕上的图像由左向右根基上下落的．函数图像的“上升〞或“下落〞反映了函数的一个全然性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升〞或“下落〞那个图像特征呢？以函数y＝x2，x∈〔－∞，０〕为例，图像由左向右下落，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f〔x〕反而减小〞，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f〔x1〕＞f〔x2〕，然而这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性〞．因此，在区间〔－∞，0〕上，任取两个x1，x2得到f〔x1〕＝，f〔x2〕＝．当x1＜x2时，都有f〔x1〕＞f〔x2〕．这时，我们就讲f〔x〕＝x2在区间〔－∞，0〕上是减函数．注重：在那个地点，要提示学生如何由直瞧图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的碍事．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、回纳和总结．那个地点的“都有〞是对应于“任意〞的．2.在学生讨论回纳函数单调性定义的根底上，教师明晰———抽象概括设函数f〔x〕的定义域为I：要是关于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f 〔x1〕＜f〔x2〕，那么我们就讲函数f〔x〕在区间Ｄ上是增函数［如图8-2〔1〕］．要是关于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f 〔x1〕＞f〔x2〕，那么我们就讲函数f〔x〕在区间Ｄ上是减函数［如图8-2〔2〕］．要是函数y＝f〔x〕在区间D上是增函数或减函数，那么我们就讲函数y＝f〔x〕在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间D喊作y＝f〔x〕的单调区间．3.提出咨询题，组织学生讨论〔1〕定义在R上的函数f〔x〕，满足f〔2〕＞f〔1〕，能否判定函数f〔x〕在R是增函数？〔2〕定义在R上函数f〔x〕在区间〔－∞，0］上是增函数，在区间〔0，＋∞〕上也是增函数，判定函数f〔s〕在R上是否为增函数．〔3〕瞧瞧咨询题情境1中气温变化图像，依据图像讲出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数依旧减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相关于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1.证实函数f〔x〕＝2x＋1，在〔－∞，＋∞〕是增函数．注：要标准解题格式．2.证实函数f〔x〕＝，在区间〔－∞，0〕和〔0，＋∞〕上根基上减函数．考虑：能否讲，函数f〔x〕＝在定义域〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕上是减函数？3.设函数y＝f〔x〕在区间D上保号〔恒正或恒负〕，且f〔x〕在区间D上为增函数，求证：f〔x〕＝在区间D上为减函数．证实：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f〔x〕在区间D上保号，∴f〔x1〕f〔x2〕＞0．又f〔x〕在区间D上为增函数，∴f〔x1〕－f〔x2〕＜0，从而g〔x1〕－g〔x2〕＞0，∴g〔x〕在D上为减函数．［练习］1.证实：〔1〕函数f〔x〕＝在〔0，＋∞〕上是增函数．〔2〕函数f〔x〕＝x2－x在〔－∞，］上是减函数．2.判定函数的单调性，并写出相应的单调区间．3.要是函数y＝f〔x〕是R上的增函数，判定g〔x〕＝kf〔x〕，〔k≠0〕在R上的单调性．四、拓展延伸1.依据图像，简要讲明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对今后100年能源结构的变化趋势作出推测．2.判定二次函数f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的单调性，并用定义加以证实．3.要是自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f〔x2〕－f〔x1〕＞0，那么函数f〔x〕在区间D上是增函数依旧减函数？4.函数值的改变量与自变量的改变量的比喊作函数f〔x〕在x1，x2之间的平均变化率．〔1〕依据函数的平均变化率判定y＝f〔x〕在区间D上是增函数依旧减函数．〔2〕比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，回纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分表达了数学教学的实质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅进深，完整，全面．“拓展延伸〞的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、制造能力的培养提供了平台．这篇案例的突出特点，表达在如下几个方面：1.强调对全然概念和全然思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重表达全然概念的来龙往脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的实质．2.注重联系，提高对数学整体的熟悉数学的开展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸〞中的第1个咨询题，能够大大提高了学生学习的积极性和主动性．3.注重数学知识与实际的联系，开展学生的应用意识和能力在数学教学中，应注重开展学生的应用意识；通过丰富的实例引进数学知识，引导学生应用数学知识解决实际咨询题，经历探究、解决咨询题的过程，体会数学的应用价值，关怀学生熟悉到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．。

高中数学新课程创新教学设计案例三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，同时应用正、余弦定理与三角形内角与定理，能够解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到通常的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，继而得出通常性的结论．余弦定理的推证使用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．关于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便懂得事实上质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，明白其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，与用正、余弦定懂得斜三角形，难点是发现定理、推证定理与用定懂得决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中使用了从特殊到通常的方法，逐层递进，学生易于同意，而余弦定理的证明使用了向量的方法．应用两个定懂得三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1. 懂得正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2. 能运用正、余弦定懂得斜三角形．3. 懂得并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．教学设计一、问题情景1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢使用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）问题：（1）图中涉及如何的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1. 教师引导学生分析讨论在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，同意有不一致的解法）结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD ＝AB·sinB．由此可得AC·sinC＝AB·sinB．又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC 的长度．教师明晰：（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD ＝asinB＝bsinA，因此，同理.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（全面给出解答过程）事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知.设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsin（180°－A）．根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，∴asinB＝bsinA，即.正弦定理在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．思考：正弦定理能够解决有关三角形的什么问题？2. 组织学生讨论问题情景（2）这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC 的长．组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不一致的解法）教师明晰：假如已知三角形的两边与夹角，这个三角形为确定的三角形，那么如何去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故能够考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．因此得到下列定理：余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的与减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理能够解决一些如何的解三角形问题？3. 进一步的问题勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了通常三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在如何的关系？如何利用余弦定理来推断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？三、解释应用［例题］1. （1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）分析：（1）本题为给出三角形的两角与一边解三角形问题，可由三角形内角与定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，因此可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．2. （1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，因此不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能明白一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A 的仰角，就能够计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．［练习］1. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．2. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸1. 在△ABC中，有正弦定理这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．2. 在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？3. 已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或者B≈149°，但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．由此题与例1中的（2）题的分析能够发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或者两解的情形，那么会不可能出现无解的情形呢？（1）当A为钝角或者直角，务必满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），同时由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或者ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角与一个钝角的值，如图43-14．思考：若已知三角形的两角与一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是如何的？点评这篇案例设计，思路清晰，突出现实．首先通过恰当的问题情景阐述三角形边角关系产生的背景，使学生体会到了数学在解决实际问题中的作用．然后通过探究、推导活动，使学生体会到了数学知识的发现与进展的历程．例题与练习的配备由浅入深，注重了教学与自然界的关系．拓展延伸有深度，为提高学生的思维能力与制造力提供了良好平台．总之，从现实出发建立正、余弦定理的模型，又在现实应用中升华有关正、余弦定理的懂得，是这篇案例的突出特点．。