高等流体力学1混沌-4

清华大学研究生课程
第一章 流体中的混沌（4）
朱克勤 彭杰
航天航空学院
2010年春季学期
2010-3-24
1
1.5 ABC 流和Lagrangian混沌
1.5.1 螺旋度密度 (Helicity density)
螺旋度(Moffatt 1969)
H
(t
)
=
G
∫∫∫V
⋅ωGdΩ
其中螺旋度密度场
h
(
G r,
速度分布代入Euler方程
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
u u
∂u
∂x ∂v
∂x
+ +
v v
∂u
∂y ∂v
∂y
+ +
w w
∂u
∂z ∂v
∂z
= =
− −
1
ρ
1
ρ
∂p
∂x ∂p
∂y
2010-3-24
⎪⎪⎩u
∂w ∂x
+
v
∂w ∂y
+
w ∂w ∂z
=
−
1
ρ
∂p ∂z
8
得到
⎧ ⎪ ⎪
∂p ∂x
=
ρ
(BC
sin
y
⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 2 5⎠
Z Z
2
1.5
z1
0.5
0 0
1 4
2 3
0.5
y1 Y
1.5
0
0.5
x1
1.5
2
2
X X
2
1.5
z1
5 6
8 7
0.5
0
0
0.5
y1 Y
1.5
0
0.5
x 1
1.5
2
2
2010-3-24
16
情况三、等边三角形 (A = B = C = 1)
驻点坐标满足 ⎧cosx = −siny = ± 2 / 2 ⎪⎪⎨cosy = −sinz = ± 2 / 2 ⎪⎩⎪cosz = −sinx = ± 2 / 2
情况三、等边三角形 (A = B = C = 1)
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12
情况一、一边长为零 A = B、C = 0
驻点坐标满足
⎧ sinz = 0 ⎪⎨sinx + cosz = 0 ⎪⎩ cosx = 0
画流线图
⎧u = Asinz + Ccosy
⎪ ⎨
v
=
Bsinx
+
Acosz
⎪⎩w = Csiny + Bcosx
Galloway D and Frisch U, Dynamo action in a family of flows with chaotic streamlines, Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 1986 36(1):53-83.
ABC流动是三维不可压欧拉方程的定常解，也是特殊体力下的不可 压N-S方程的定常解。
ωG = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
Vx Vy Vz
ωx = 2 sin xsiny, ωy = 2 cos x cos y, ωz = −2sin x cos y
2）流线和涡线处处平行（螺旋度密度最大）
Beltrami流动 ωG ×V = 0
h
(
G r,
t
)
=
V ω cosθ
=
Vω
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=
±
⎪
⎪ ⎩
Acosz
=
−
Bsinx
=
±
( ) B2 + C2 − A2 / 2 ( ) C2 + A2 − B2 / 2 ( ) A2 + B2 − C2 / 2
在周期 ∈ [0,2π ]
先由第一式知
x 有两个解 x1 、x2
仍由第一式得到 y 再由第二式得到 z
用第三式检验
x1
=
π
2
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
sin
x
−
ABcosz
cos
x)
⎪ ⎨ ⎪
∂p ∂y
=
ρ
(CA sin
z
sin
y
−
BC
cos
x
cos
y)
⎪ ⎪⎩
∂p ∂z
=
ρ( AB
sin
x
sin
z
−
CA cos
y
cos
z)
积分 p = −ρ ( AB sin xcosz + BC sin y cos x + CAsin z cos y) + const
将紧靠物面的两个速度分量在物面处进行Taylor展开
u
=
⎜⎛ ⎝
∂u ∂z
⎟⎞ ⎠ z=0
z
+
1 2
⎜⎜⎛⎝
∂2u ∂2z
⎟⎟⎞⎠ z =0
z2
+"
v
=
⎜⎛ ⎝
∂v ∂z
⎟⎞ ⎠ z=0
z
+
1 2
⎜⎜⎛⎝
∂2v ∂2z
⎟⎟⎞⎠ z =0
z2
+"
代入流线方程 dx = dy uv
令 z → 0 ，略去高阶小量得到
S.Childress(1970)首先把这种具有最大螺旋度性质的流动与发电机联
系起20来10-3。-24
7
T.Dombre等人( 1986)称这族流动为ABC (Arnold- Beltrami- Childress) 流动。
Dombre T , Frisch U , Greene J M , Henon M, Mehr A and Soward A M, “Chaotic streamlines in the ABC flows”, JFM 1986,167:353-391
= =
π
4
3π
4
⎧ ⎪
z7
⎨
⎪ ⎩
z8
= =
5π
4
7π
4
用第三式检验
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只有四个解是正确的 z2、z3、z5、z8
( ) 1 A2 + B2 − C2 ≤ 1
2
11
⎧C 2 ≤ B 2 + A2
⎪ ⎨
A
2
≤
C2
+
B2
⎪ ⎩
B
2
≤
A2
+C2
上式表明，存在驻点的条件是三常数平方应满足三角形三边的关系
讨论三种特殊情况：一边长为零、面积为零、等边三角形
情况一、一边长为零 A = B、C = 0
( ) 情况二、面积为零 A = 3, B = 2 , C = 1
5
1.5.2 Beltrami流的若干特性
1）流线和涡线重合
( ) 利用恒等式 (V ⋅∇)V = ω ×V + ∇ V 2 / 2
2）对定常不可压缩Beltrami流的NS方程取旋度，涡量方程是线性
无粘的 Beltrami流满足
∇2ω = 0
∇P
=
∇
⎛ ⎜ ⎝
p
ρ
+
V2 2
⎞ ⎟ ⎠
=
0
P在整个空间都是常数，根据伯努利积分，流线沿P的等值面
G e1
+
1 h2
∂V3 ∂x2
G⎞ e3 ⎟
⎠
证毕
粘性绕流空间流场中流线和涡线的交角情况不管如何复杂，在逼近 到固壁面后，极限流线和涡线总是相互正交的。
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4
Vx = sin xsiny, Vy = cos x cos y, Vz = − 2 sin x cos y
求涡量
GGG ex ey ez
⎛⎜ π ,0,6π ⎞⎟
⎝2 5 ⎠
⎛⎜ π ,π ,4π ⎞⎟
⎝2 5 ⎠
⎛⎜ 3π ,0,9π ⎞⎟ ⎝2 5⎠
⎛⎜
3π
,π
π
,
⎞⎟
⎝ 2 515⎠
四个驻点分别位于块5左界面、块4左界面、块6左界面、块3左界面
⎜⎛ π ,0,6π ⎟⎞
⎝2 5 ⎠
⎜⎛ π ,π ,4π ⎟⎞
⎝2 5 ⎠
⎜⎛ 3π ,0,9π ⎟⎞ ⎜⎛ 3π ,π ,π ⎟⎞
x 有两个解 x1 、x2
仍由第一式得到 y 再由第二式得到 z
x1
=
π
4
⎧
⎪
⎪ y1
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪ ⎪
y2
⎪⎩
= =
5π
4
7π
4
⎧ ⎪
z1
⎨
⎪ ⎩
z2
⎧ ⎪
z3
⎨
⎪ ⎩
z4
= = = =
π
4
3π
4
5π
4
7π
4
x2
=
7π
4
⎧
⎪
⎪ y3
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪ ⎪
y4
⎪⎩
= =
5π
4
7π
4
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
z5 z6
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( ) 1 B2 + C2 − A2
2
( ) 1 C2 + A2 − B2
2
( ) 1 A2 + B2 − C2
2
⎧ ⎪ ⎪
cosx
=
1 B