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流体力学 第四章 量纲分析

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流体力学4-1.2量纲分析.

流体力学4-1.2量纲分析.
1、定理内容
若某一物理过程包含n个物理量 f (q1 q 2 q3 q n ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量）则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项 所表达的关系式来描述
2、解题步骤
F ( 1 n m ) 0
1）确定关系式 根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各 个物理量及其关系式
对于不可压缩流体运动， 任一物理量 q的量纲 [q］都 可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M L T
分 类

几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0 面积［A]= 速度 ［v] =LT –1 加速度 ［a] = LT –2 运动粘滞系数[ν]= L2T-1 L2
q1 q2 q3
1 1 1
qnБайду номын сангаас
a n 3 bn 3 cn 3 q1 q2 q3
q1 q2 q3
2 2
2
4）满足π为无量纲项， 定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci 5）整理方程式
1、简单表述：
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成 立。
2、重要性
一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方 程或经验公式的正确性和完整性 根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数 可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验 过程、整理实验成果提供理论指导
C RJ
1 1/ 6 C R n
[C ] L T
0.5
1
m /s
n作为无量纲量处理P106
6
0.5
[n] L1/ 3T 1

流体力学第四章量纲分析与相似理论

流体力学第四章量纲分析与相似理论
a a a y = Kx1a1 x2 2 x3 3 ...xn n
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2

《流体力学》第4章 相似原理和量纲分析

《流体力学》第4章 相似原理和量纲分析

∆p′ ∆p = 2 ρ′v′2 ρv
过程装备与控制工程教研室
16
第4章 相似原理和量纲分析
4.2 动力相似准则
任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma
原型 F = m = ρ a a V
′ ′ 模型 F′ = ma′ = ρ′Va′
3 ρ l
′ ′ F′ ma′ ρ′Va′ = = F m a ρV a
2 kv 2 kF = kρk ka = k k = kρkl2kv V kl
kω =
角速度比例尺
ω′ v′ / l′ kv = = ω v / l kl
过程装备与控制工程教研室
10
第4章 相似原理和量纲分析 4.1.3 动力相似
模型与原型的流场对应点作用在流体微团上的各类力 模型与原型的流场对应点作用在流体微团上的各类力中同类力的 方向相同、大小的比例彼此相等，即它们的动力场相似。 方向相同、大小的比例彼此相等，即它们的动力场相似。 动力场相似
第4章 相似原理和量纲分析 4.1.2 运动相似
长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺
体积流量比例尺
q′ l′3 / t′ kl3 kqV = V = 3 = = kl2kv q l /t kt V
运动粘度比例尺
ν′ l′2 / t′ kl2 k = = 2 = = kl kv ν ν l / t kt
第4章 相似原理和量纲分析
第 4章
相似原理和量纲分析
过程装备与控制工程教研室
1
第4章 相似原理和量纲分析
流体力学的研究方法：理论分析方法，实验研究方法，数值计算方法。 流体力学的研究方法：理论分析方法，实验研究方法，数值计算方法。 结合工程需要的流体力学实验一般很难在实物（原型）上进行， 结合工程需要的流体力学实验一般很难在实物（原型）上进行，而是 很难在实物 利用有关实验装置在按一定比例尺制作的模型上进行。 利用有关实验装置在按一定比例尺制作的模型上进行。 模型上进行

流体力学相似原理和量纲分析

流体力学相似原理和量纲分析

称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。

流体力学-相似原理与量纲分析

流体力学-相似原理与量纲分析

F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm

[工程流体力学(水力学)]4-5章习题解答

[工程流体力学(水力学)]4-5章习题解答

即
2
d
对于 3 ，
M 0 L0T 0 L3 T 3 L3 M 3 L3 3 ML3
L : 0 3 3 3 3 3 T : 0 3
即
M : 0 3 1
3 0 3 0 1 3
3
p

p
故(
gd

2
,

d
,
) =0
化简整理，解出
11
2
gd
(
p

, Re )
p
又 与 p 成正比，将

提出，则
2
gd

p

2 ( Re )
p
gd

3 ( Re ) gd (
1 1)3 ( Re )
4-8 设螺旋浆推进器的牵引力 F 取决于它的直径 D、前进速度 、流体密度 、粘度 和 螺旋浆转速度 n 。证明牵引力可用下式表示：
所以在管壁处：
RJ 9800 0.05 0.008 3.92 N / m2
r 0.05 1.96 N / m2 r 0.9 3.92
r 0.05 m 处：
水头损失： h f Jl 0.008 100 0.8 m
5-5 输油管管径 d 150mm, 输送油量 Q 15.5t / h ，求油管管轴上的流速 umax 和 1 km 长 的沿程水头损失。已知 油 8.43kN / m3 ， 油 0.2cm2 / s 。 解： （1）判别流态 将油量 Q 换成体积流量 Q
L : 0 3 3 3 3 T : 0 3 1

流体力学量纲分析(课堂PPT)

流体力学量纲分析(课堂PPT)
如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV

流体力学4-1.2量纲分析

流体力学4-1.2量纲分析
由定理，选v、d、ρ为基本量，组成各π项
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T

1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
16
进行量纲分析，则有 a1 = 0 ， a2 = 1 ， a3 = 0 ， a4 = 2 ， b1= 0， b2= 1， b3 = 1， b4 = - 1， c1 = 0 c2 = 1 c3 = 0 c4 = 0
1 h f / L
ks gd F ( , Re, , 2 ) 0 L d
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
1 b1

量纲分析法

量纲分析法

L T
3
1
(M L T ) (L) (M L T )
b 1
1 c
（5）根据量纲和谐求量纲指数 0ac [M]: 3 2a b c [L]: [T]: 1 2a c 得：a 1 ， b 4 ， c 1
(6) 整理方程式:
[T]:
a 得： 1
3 2a b
b ， 1
c ， 1
N (6) 整理方程式： KQH K为由实验确定的系数。 [例5—2] 求圆管层流的流量关系式。 [解] 圆管层流运动将在下一章详述，这里仅作为量纲 分析的方法来讨论。 (1) 找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的 压强差 p 、管段长 l 、半径 r0、流体的粘度 。根据经 验和已有实验资料的分析，得知流量 Q 与压强差 p 成正 l 比，与管段长 l 成反比。因此，可将 p 、 归并为 项 p l ，得到： f (Q, p l , r0 , ) 0
由于无量纲项用 表示， 定理由此得名。 定理可用数学 方法证明，这里从略。 定理的应用步骤如下： （1）找出物理过程有关的物理量:
f (q1 , q2 ,qn ) 0
（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运 动，一般取m=3。设 q1、q2 、q3为所选基本量，由量纲 公式（5—1）
（5—1）
式（5—1）称为量纲公式。物理量q的性质由量纲指数 、 、 决定
当 0 ， 0 ， 0，q为几何量； 当 0， 0 ， 0 ，q为运动学量； 当 0 ， 0， 0 ，q为动力学量。
工程单位制普遍采用力[F ]、长度[L]、时间[T ]、 温度[ 基本量纲系。 ]
1

工程流体力学-第4章-M

工程流体力学-第4章-M

运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。

流体力学第4章相似原理和量纲分析

流体力学第4章相似原理和量纲分析

对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF

Fit' Fit

V
'

v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。

量纲分析流体力学PPT

量纲分析流体力学PPT
F A h
轴承润滑
• 哈里森轴承数
量纲为1
对于 如果求载重W,则 若求摩擦阻力F，则其求法与载重一样即 F /( P0 R ) f 1 ( , h / R , )
2
轴承润滑
• 单位载重的摩擦力: • 模型试验相似准数：
模型与原型具 有相同的 v
水波
• 1.水波
• 水波的运动情况及影响因素？
水波
• 控制参数：惯性（用 来表征 ）、恢复力（用g来表征）、表面张 力 T s ，水深H • 波形的特征参数：波长 和振幅 a • 在不考虑表面张力的情况下 • 易得到
• •
1.水波波速与波长相关，故为色散波 2.波速与密度无关
水波
• （1）深水短波
？ 在这里对于 但是在这里， 个的组合， 拟合 ，就是指的对于深水短波，本来 = k (a / ) 本身就是量纲为一，函数参数只有一个而不是几 而且 a / 很小时候，只有取 为0，才能与实验
轴承润滑
• 1.轴承润滑
• 系统所受到的力：惯性力、粘性力、压力 • 由偏心引起 • 各参数之间的函数关系 • 问题：忽略惯性力的理由？ 相对运动引起 轴承担负载引起
轴承润滑
• 取 作为基本量，对各个参数进行无量纲化得到
•
或
•
代表粘性力与环境压力之比？
压强乘以面积
轴承润滑
• 粘度系数的意义：
• 我们知道弄擦阻力F与速度成正比，与两个板件之间的距离成反比， 与面积也是正比关系即 U
管流
• 摩擦系数 C
d
• 由前面的公式 也就是说摩擦系数和前面对单 位长度压差无量纲化的结果都是雷诺数的函数 或 下面有两个概念：层流和湍流 问题：层流中为什么惯性不重要？

第四章相似和量纲分析

第四章相似和量纲分析

v2 惯性力
Fr gl
重力
； v2 v '2 gl g 'l '
1
； v


2 l
基本比例尺为：
密度比例尺 和长度比例尺l 。
弗劳德模型法在水利工程上应用广泛。
图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1） δρ=1, δl=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、 收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下， 求各实物上的量。

dux dt
则与其运动相似的实物流体中必与模型中各物理量存在着 一定的比例尺关系。故实际运动的方程式可表示为：
g
fx

p l
1

p x

v l2
2ux
v2 l
dux dt
方程中每一项的比例尺都是加速度的比例尺，所以各项都相等。

g
fx

p l
1

p x
； vl v 'l '
'
； v

l
基本比例尺为：
长度、密度、运动粘度比例尺 l , ,
雷诺模型法的应用广泛，管道流动、液压技术、水利机械 多采用。
例2 欲用一文丘里流量计测量空气（运动粘度）流量为qvt=2.78m3/s， 该 流量计的尺寸为Dt=450mm，dt=225mm， 现设计模型文丘里流量计用t=10 度水作试验，测得流量qvm=0.1028m3/s，这时水与空气和流动动力相似。 度确定模型文丘里流量计的尺寸。
量纲[ ] ：基本物理量的度量单位 ，是代表物理量单位种类的一种符号，从
符号可以看出物理量的属性。 如小时、分、秒是不同的时间测量单位，但这些单位属于同一时间种类。将

(4)量纲分析和相似原理

(4)量纲分析和相似原理

φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2

据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为

工程流体力学课件 第04章 相似原理与量纲分析

工程流体力学课件 第04章 相似原理与量纲分析
F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' 2 带入式(4-15)得： C k Cl Fe dpA KA dV V
C Cv2 Ck 1
（4-29） （4-30） （4-31） 称为柯西数，它是 Ca 惯性力与弹性力的 比值。
或: 令:
' v' 2
K'

v 2
K
v 2
（4-5）
v'
加速度比例尺:
（4-6）
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
体积流量比例尺:
C qV
q' C 2 V 3 t ' l Cl CV qV Ct l t
l '3
3
（4-7）
运动粘度比例尺:
v' t ' Cl C C Cv 2 l v v l Ct t
C v Cl C v 1
（4-21）
（4-22） （4-23）
或: 令:
' v' l ' vl '
vl vl Re
v' l ' vl '
Re 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。 模型与原型用同一种流体时，C
（4-32） （4-33） （4-34）
Ma称为马赫数，它
或: 令:
v' v c' c v Ma c
是惯性力与弹性力 的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。 Ma' Ma

流体力学 量纲分析

流体力学 量纲分析

Pm Pp
mlm2vm2 plp2v2p
PpApl2
pmlm2
p
pl
2 p
mlm2 vm2
pl
v2 2
pp
pm pp
mvm2
p
v
2 p
Eu p v2
Eum Eup 代表压力与惯性力比，称为欧拉数。
a
江苏大学
Jiangsu Universu University
由基本量纲导出来的量纲称为导出量纲，对任一物理量A，量纲可表示为：
[A][LTM]
a
23
江苏大学
Jiangsu University
二、量纲和谐
一个正确的物理方程，其各项的量纲必须一致，这个基本性质称为量纲和 谐。它是量纲分析法的理论基础。
z1pg 12 1v g1 2z2 pg 22 2g v2 2hw
Re3106
Re v m lm m
vmRlm m e3160 1 l.m 14 15 6 03 l.m 4
a
17
江苏大学
Jiangsu University
（1）管内流动主要考虑粘性力用雷诺相似准则： （2）管内流动造成压降，未知数中存在压力要考虑欧拉相似准则：
a
18
江苏大学
Jiangsu University
各项的量纲都为[L]，量纲是和谐的。
三、瑞利法 yk1 x1x2 2 xn n
a
24
江苏大学
Jiangsu University
a
25
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Jiangsu University
四、 定理
f(x1,x2， ...x.n.)..0
f(1,2， ....n .m ). .0

流体力学 第四章 cn

流体力学 第四章 cn
Ip = = = = = Tm Gm Pm E m S m I m 即λT = λG = λ P = λ E = λ S = λ I Tp Gp Pp Ep Sp
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
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v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm

up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl

雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007106 m2 / s
空气 15.7 106 m2 / s
v pl p vmlm
p
m
201.007106 vm v p 300 385km / h 6 lm p 115.7 10
FE El 2
FI l 2v 2
改成
FIP FIm FEP FEm
E——弹性模量
Pv2 p
Ep

2 m vm
Em
（*）
无量纲数
Ca
v 2
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a
E
v P vm a P am
无量纲数

代入（*）式，得
v M a
马赫数——弹性力的相似准数
p l f1 , , 2 v vd d d
p l f1 , , 2 v vd d d
实验结果表明：压力损失与相对管长成正比
p 1 l f2 , 2 v Re d d
2 l l v p f 2 Re, v 2 d d d 2
1
2
LT

1 a1
L ML
比较两边系数
1 c1 1 a1 b1 3c1 2 a1
得a1=2，b1=0，c1=1 同理 2
p 1 2 v
4 d

vd
l 3 d
e.整理方程式
p l F 1 , 2 , 3 , 4 F v 2 , vd , d , d 0
k f 2 Re, d
（2）瑞利法 有关物理量少于5个
f q1 , q2 , q3 , q4 0
3个基本量，只有一个π项 小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
谢谢!
成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似 流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
dv FT A lv lv dy
FI ma l 2v 2
v pl p
p

vmlm
m
无量纲数
第四章 相似原理和量纲分析
§4-1相似原理
1.力学相似的基本概念 （1）几何相似
lp lm

dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am

2 lp
l
2 m

2 l
vp vm

l l
3 p 3 m
3 l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m
原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd

3 107
属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
vm 0.12 Re 50000 vm 6.5m / s 6 15.7 10
FT FG FP FE FI 0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
动力粘度的比例尺
l v
无量纲系数的比例尺
C 1
相同介质重力加速度的比例尺
g 1
2.相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组
基本量独立条件：指数行列式不等于零
m=3
dim v LT 1
dim d L
a1 0，b1 1 ，c1 1
a2 0，b2 1 ，c2 0
dim ML3
a3 1 ，b3 3，c3 0
0
1
1 0 1 0 0
0 1 1 3
c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个
如 dim Re dim
vd

LT L M
1
0 0
L2T 1
L T 0 1
无量纲物理量的意义： （1）客观性；
（2）不受运动规模的影响；
（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；
（4）可进行超越函数的运算
3. 量纲分析法
（1）π定理（布金汉法）
f q1 , q2 ,, qn 0
Q vA vl 2
Q vl2
佛劳德准则： v l
2 Q 5 l 2 52 3 Qp Qm5 300 20 537000 L / s 537 m /s l
F ma v2l 2
2 F 2 v l
密度不变的水： 1 由佛劳德准则
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
2
FP l
FI l v
2 2
Pm PP 2 2 P v P m vm
p 无量纲数 Eu 2 v
p v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
（5）其它准数
W
v 2l

惯性力 表面张力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时变惯性力 位变惯性力
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
gd0 T0 Ar 2 v0 Te
浮力与重力之差（有效 重力） 惯性力
此时 v 8 1.23 6.5
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
v pl p vmlm
l pm
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
vl Re pvl
p p v pl p pmvmlm
20 1 vm v p 300 200km / h lm Pm 1 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
l3 p tp
l v
v l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的 （3）动力相似
p 密度比例尺 m
pVp 质量比例尺 m 3 l mm mVm
mp
力的比尺
F
Fp Fm
ma l22 v
力多边形法则：
§4-2 量 纲 分 析
1.量纲 量纲的和谐性 基本量纲——相互独立的 不可压缩流体的基本量纲——M、L、T
a b c dim A M LT 物理量A的量纲
2 dim F MLT 如
a0 a0 a0
b0
c0 c0
——几何学量 ——运动学量 ——动力学量
2.无量纲的物理量
abc0
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择 很难实现同时满足两个以上准数相等 例：若同时满足Re数相等和Fr数相等 （1）同种介质（υp=υm） Re：v pl p vmlm
2 v Fr（gp=gm）： m l p lm
v
1
l
v2 p
v l

1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
v pl p vmlm Re：
p
m
v l
v l
Fr：