高考复习专题素质测试题__三角函数(文科)

高三文科数学《三角函数》第一阶段性测试测试时间： 年 月 日 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、cos(－15°)等于 （ ） A.226- B.226+ C.426-D.426+2、sin 12π－3cos 12π的值是 （ ）A.0B.－2C.2D.23、若tan(α+β)=52,tan(β－4π)=41,则tan(α+4π)等于 （ ） A.1813B.2213C.223D.1834、已知sin(π+α)=54,且α是第四象限角，则cos （α－2π）的值是 （ ） A.－53B.53C.±53D.54 5、已知角α终边上有一点P （3a ，4a ）（a ≠0），则sin （450°－α）的值是 （ ）A.－54B.－53C.±53D.±546、已知sin α=54，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） A.34B.－34C.43D.－437、已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为 （ ）A.23B.43C.－23D.±238、化简8sin 1-的结果是 （ ） A.sin4+cos4B.sin4－cos4C.cos4－sin4D.－sin4－cos49、若tan α=31,π<α<23π,则sin α·cos α的值为 （ ） A.±103B.103C.103D.±10310、在半径为10 cm 的圆中，34π的圆心角所对弧长为 （ ） A.340π B.320π C.3200πD.3400π11、若α是第四象限的角，则180°－α是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角12、下列各组角中，终边相同的角是 （ ）A.2πk 与k π+2π(k ∈Z)B.k π±3π与3πk (k ∈Z)C.(2k+1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)D.k π+6π与2k π±6π(k ∈Z)13、已知0sin sin sin =++γβα，0cos cos cos =++γβα，则)cos(βα-的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．21D ．21-14、ααπαcos sin )4cos(+-的值是 （ ）A ．2B ．2-C ．22D ．22-15、已知)90,60(∈α，53)30sin(=- α，则αcos 的值是 （ ） A ．10334+- B ．10334-- C ．10334- D ．10334+16、8cot8tanππ-的值是 （ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．217、下列各式，值为21的是 （ ）A ．15cos 15sin B ．112cos 22-πC ．230cos 1+ D ．5.22tan 15.22tan 2-18、函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．4π-=x B ．2π-=x C ．8π=x D ．45π=x19、若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．9720、已知0tan sin <x x ，化简x 2cos 1+的结果是 （ ） A ．x cos 2 B ．x cos 2 C ．x sin 2 D ．x sin 2- 选择题答案：二、填空题：本大题共10小题；每小题5分，50分.把答案填在题中横线上.21、4弧度角的终边在第 象限.22、设α,β满足－2π＜α＜β＜2π，则α－β的范围是 。

xx文科数学三角函数专题测试题1．在△ABC中，已知＝，则 B 的大小为 ( )A．30° B．45° C．60° D．90°2．在△ABC中，已知 A＝75°，B＝45°，b＝4，则 c＝( )A.B．2 C．4 D．23．在△ABC中，若∠ A＝60°，∠ B＝45°，BC＝ 3，则 AC＝() A．4 B．2 C. D.在△ ABC中，＝，∴ AC＝＝＝ 2.4．在△ABC中，若∠ A＝30°，∠ B＝60°，则 a∶b∶c＝() A．1∶∶ 2 B．1∶2∶4C．2∶3∶ 4D．1∶∶ 25．在△ABC中，若 sin A>sin B，则 A 与 B 的大小关系为 ( ) A．A>B B．A<B C．A≥ B D．A、B 的大小关系不可以确立6．在△ABC中，∠ ABC＝， AB＝， BC＝3，则 sin∠BAC＝( ) A. B. C. D.7．在△ABC中， a＝1，b＝， c＝2，则 B 等于 ( )A．30° B．45°C．60° D．120°8．边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和是( ) A．90° B．120°C．135° D． 150°9．在△ABC中， b2＋c2－a2＝－ bc，则 A 等于 ( )A．60° B．135°C．120° D．90°0．在△ABC中，∠ B＝60°，b2＝ac，则△ABC必定是 ( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形1．三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程 5x2－7x－6＝0 的根，则三角形的另一边长为 ( )A．52B．2C．16D．42．在△ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 (a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠ B＝( )A. B.或 C.或 D.3．在△ABC中， asin Asin B＋ bcos2A＝a，则＝ ( )A．2 B．2 C. D.4．在△ABC中， a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝( )A．－ B. C. D.或－二．填空题5．已知△ABC中， AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________．6．在△ABC中， A＝45°，a＝2，b＝，则角 B 的大小为 ________．7．在△ABC中， c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则 b＝________，c＝________．8．在△ABC中，若 a＝3，b＝，∠ A＝，则∠ C的大小为 ________．9．(2013 上·海卷 )已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则 cos C＝__________________.0．在△ABC中，若 AB＝， AC＝5，且 cos C＝，则 BC＝________．1．在△ABC中，化简 b·cos C＋c·cos B＝ ________．2．在△ABC中， a＝1，b＝， A＋C＝2B，则 sin C＝________．3．已知△ABC的三边 a，b，c，且面积 S＝，则角 C＝________．三、解答题4．在△ABC中， a＝， b＝， B＝45°，解这个三角形．5．设△ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝1，b＝2，cos C＝.(1)求△ABC的周长；(2)求 cos(A－C)的值．6．在△ABC中， acos＝bcos，判断△ABC的形状．7．在△ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＋C＝2B.(1)求 cos B的值；(2)若 b2＝ac，求 sin Asin C的值．8．在△ABC中， B＝120°，若 b＝， a＋c＝4，求△ABC的面积．参照答案：1.B 分析：由正弦定理＝得＝，∴＝，即 sin B＝cos B，∴ B＝45°.2.B 分析：由正弦定理得＝，即c＝2.3.B 分析：利用正弦定理解三角形．4.A 分析：由正弦定理得a∶ b∶ c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶ 2.5.A 分析： sin A＞sin B?2Rsin A＞2Rsin B?a＞b?A＞B(大角对大边 )．6.C 分析：由余弦定理得 AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴ AC＝.再由正弦定理＝，可得 sin∠BAC＝.7.C 分析： cos B＝＝＝ .∴B＝60°.8.B 分析：设边长为7 的边所对的角为θ，则由余弦定理得：cosθ＝，∴＝θ＝60°.∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.9.C 分析： cos A＝＝－，∴ A＝120°.10.D 分析：由 b2＝ac 及余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝a2＋ c2－ac，∴ (a－c)2＝0.∴a＝c.又 B＝60°，∴△ ABC为等边三角形．11.B 分析：设夹角为α，所对的边长为m，则由 5x2－7x－6＝0，得 (5x＋3)(x－2)＝0，故得 x＝－或 x＝2，所以 cos＝α－，于是m2＝52＋32－2× 5×＝3×52，∴ m＝2.12.B 分析：由 (a2＋c2－b2)tan B＝ac 得 a2＋c2－b2＝，再由余弦定理得：cos B＝＝，即 tan Bcos B＝，即 sin B＝，∴ B＝或 .13.D 分析：∵ asin Asin B＋bcos2A＝a.由正弦定理可得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即 sin B＝sin A，∴＝＝ .14.C 分析：由正弦定理得＝，∴sin B＝＝ .∵a＞b，∴ A＞B，即 B 为锐角．∴ cos B＝＝＝ .15.分析：由正弦定理得＝，解得BC＝6，∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×6×6＝×9.答案： 916.分析：由＝得sin B＝，由 a＞b 知 A＞B，∴ B＝30°.答案： 30°17.分析：由正弦定理知＝，即b＝c，又 b＋c＝ 12，解得 b＝4，c＝8.答案：4 818.分析：在△ABC中，由正弦定理知＝，即 sin B＝＝＝ .又∵ a>b，∴∠ B＝.∴∠ C＝π－∠ A－∠B＝.答案：19.分析：由 3a2＋2ab＋ 3b2－3c2＝0 得 a2＋b2－c2＝－ ab，进而 cos C＝＝－.答案：－20.分析：由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即： 5＝25＋BC2－9BC，解得： BC＝4 或 5.答案：4或 521.分析：由余弦定理得：原式＝ b·＋c·＝＋＝ a.答案： a22.分析：在△ABC中， A＋B＋C＝π，又 A＋C＝2B，故 B＝，由正弦定理知sin A＝＝，又 a＜b，所以 A＝，进而 C＝，即 sin C＝1.答案： 123.分析：由 absin C＝得 a2＋ b2－c2＝2absin C，再由余弦定理 cos C＝得 sin C＝cos C，∴C＝.答案：24.分析：由正弦定理得＝，得sin A＝.∵a＞b，∴ A＞B＝45°，∴ A＝60°或 120°.当 A＝60°时， C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝ .当 A＝120°时， C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝ .综上可得 A＝60°， C＝75°，c＝或 A＝120°，C＝15°，c＝.25.分析： (1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4，∴ c＝2.∴△ ABC的周长为 1＋2＋2＝5.(2)∵cos C＝，∴ sin C＝＝，cos A＝＝＝ .∴sin A＝＝ .∴cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝×＋×＝.26.分析：∵ acos＝bcos，∴asin A＝bsin B.由正弦定理可得： a·＝b·，∴a2＝b2.∴a＝b.∴△ ABC为等腰三角形．27.分析： (1)由 2B＝A＋C 和 A＋B＋ C＝180°，得 B＝60°，∴ cos B＝.(2)由已知 b2＝ac 及正弦定理得 sin Asin C＝sin2B＝ sin260 ＝°.28.分析：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac ·cos B，即 b2＝(a＋c)2－2ac－2ac·，∴ac＝3.故 S△ ABC＝acsin B＝×3×＝.。

三角函数 历年高考文科题1、 （全国Ⅰ卷文1）cos 300︒=（ ）A ．2-B ．-12C ．12D ．22、 （福建卷文2）计算12sin 22.5- 的结果等于( )A ．12B ．2C 3D 23、 （全国Ⅱ卷文3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=（ ）A ．3- B ．19- C ．19D 34、 （陕西卷文3）函数f (x)=2sinxcosx 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数5、 （浙江卷理4文6）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、 （江西卷文6）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．[1,1]-B ．5[,1]4-- C ．5[,1]4-D ．5[1,]4-7、 （辽宁卷理5文6）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A ．23B ．43C ．32D ．38、 （重庆卷文6）下列函数中，周期为π，且在42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数的是（ ） A ．sin(2)2y x π=+ B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+9、 （四川卷理6文7）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-（天津卷文8）5y A sin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ． 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10、（福建卷文10）将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。

高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(20155，且α为第四象限角，则 tan α的值等于 ()福·建， 6)若 sin α＝－1312 1255A. 5B.－5C.12D.－ 12 2.(2014 大·纲全国， 2)已知角α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ( )4 3 3 4 A. 5B. 5C.－5D.－53.(2014 新·课标全国Ⅰ， 2)若 tan α＞ 0，则 ( )A.sin α＞0B.cos α＞ 0C.sin 2α＞ 0D.cos 2α＞ 0 4.(2016 新·课标全国Ⅰ， 14)已知θ是第四象限角，且 sin θ＋π＝3，则 tan θ－π＝ ________.4 5 4 5.(2016 四·川， 11)sin 750 ＝° .6.(2015 四·川， 13)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－ cos 2α的值是 ________．B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1a)若点 (4， a)在yx 2图象上，则tan1.(2016 济·南一中高三期中 6π的值为 ()3A.0B. 3C.1D. 3ππα＝ ()2.(2016 贵·州 4 月适应性考试 )若 sin ＋ α＝－ 3，且 α∈，π，则 sin π－ 225 2()24 12 1224A. 25B. 25C.－25D. －25sin α－ cos α性考试)已知角α的终边经过点 P(2 ，－ 1)，则 ＝ ( ) sin α＋ cos α1 1A.3B. 3C.－3D.－ 310π4.(2015 乐·山市调研 )若点 P 在－3角的终边上，且 P 的坐标为 ( －1， y)，则 y 等于 ()3 3 A.－3B. 3C.－ 3D. 3π 5.(2015 石·家庄一模 )已知 cos α＝ k ， k ∈R ，α∈2，π，则 sin( π＋ α)＝ ( )A. － 1－ k 2B. 1－k 2C.－ kD. ± 1－ k 26.(2015 洛·阳市统考 )已知△ABC 为锐角三角形 ,且 A 为最小角 ,则点 P(sin A-cos B,3cos A-1)位于 () A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限π4，则 cos α＝ ________.7.(2016 山·东日照第一次模拟 )已知角α为第二象限角， cos － α＝258.(2015 湖·南长沙一模 )在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A( 3，1)绕原点 O 逆时针旋转 90°到点 B ，那么点 B 坐标为 ________，若直线 OB 的倾斜角为α，则 tan 2α的值为 ________.专题二 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）π的图象向右平移 1个周期后，所得图象对应的函数为()1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 6)若将函数 y ＝2sin 2x ＋64π π ππA. y ＝ 2sin 2x ＋4B.y ＝ 2sin 2x ＋3C.y ＝2sin 2x －4D.y ＝ 2sin 2x －32.(2016 新·课标全国卷Ⅱ， 3)函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的部分图象如图所示，则()ππA. y ＝ 2sin 2x －6B. y ＝ 2sin 2x －3C.y ＝ 2sin x ＋ πD. y ＝ 2sin x ＋ π633.(2016 四·川， 4)为了得到函数 y ＝ sin x ＋π的图象，只需把函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点3()πB.向右平行移动πA. 向左平行移动 个单位长度个单位长度33πD.向下平行移动 πC.向上平行移动 3个单位长度3个单位长度4． (2015 新·课标全国Ⅰ， 8)函数 f( x)＝ cos(ωx＋ φ)的部分图象如图所示，则f(x) 的单调递减区间为 ()A. k π－1，k π＋ 3 ，k ∈Z B. 2k π－1， 2k π＋3， k ∈Z C.k －1， k ＋3， k ∈ZD. 2k －1， 2k ＋ 3 ， k ∈Z444 4444 45.(2015 山·东， 4)要得到函数 y ＝ sin 4x －π的图象，只需将函数 y ＝sin 4x 的图象 ()3πB ．向右平移 πA ．向左平移12个单位12个单位πD ．向右平移 π个单位个单位C ．向左平移336.(2014 天·津， 8)已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋ cos ωx (ω＞ 0)， x ∈R .在曲线 y ＝ f(x) 与直线 y ＝ 1 的交点中，若相邻交π 点距离的最小值为，则 f( x)的最小正周期为()3π 2πA. 2B. 3C. πD.2 ππ的最小正周期是 ()7.(2014 陕·西， 2)函数 f(x)＝ cos 2x ＋428.(2014 四·川， 3)为了得到函数 y ＝ sin(x ＋1)的图象，只需把函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点 ( )A ．向左平行移动 1 个单位长度B ．向右平行移动 1 个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度9.(2014 浙·江， 4)为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 ()πB. 向右平移πC.向左平移πD.向左平移π个单位个单位个单位个单位A. 向右平移12 4 124 10.(2014 安·徽， 7)若将函数 f(x)＝ sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于 y 轴对称，则φ的最小正值是 ()ππ 3π 3πA. 8B.4C. 8D. 411.(2014 新·课标全国Ⅰ， 7)在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝|cos x|，③ y ＝ cos 2x ＋ π，6 ④ y ＝ tan π 中，最小正周期为π的所有函数为 ( )2x －4A. ①②③B. ①③④C.②④D. ①③π)12.(2014个单位，得到函数 y ＝ f(x)的图象，则下列说法正确的是 (福·建， 7)将函数 y ＝sin x 的图象向左平移2 A. y ＝ f(x)是奇函数B.y ＝ f(x)的周期为πππC.y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝2对称D.y ＝ f(x)的图象关于点－2， 0 对称13.(2016 新·课标全国Ⅲ， 14)函数 y ＝ sin x － 3cos x 的图象可由函数 y ＝ 2sin x 的图象至少向右平移 ________个单位长度得到 .14.(2015 天·津， 11)已知函数 f( x)＝ sin ωx＋ cos ωx (ω＞ 0)，x ∈R .若函数 f(x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ω对称，则 ω的值为 ________．15.(2015 陕·西， 14)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数πy ＝ 3sin 6x ＋φ＋ k ，据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 ________．16.(2015 湖·南， 15)已知ω>0 ，在函数 y ＝2sin ωx 与 y ＝ 2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则ω＝ ________.π π17.(2014 重·庆， 13)将函数 f(x)＝ sin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，－2≤φ＜2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 π y ＝ sin x 的图象，则 π＝ ________. 个单位长度得到f 6618.(2015 湖·北， 18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)ω>0， |φ|<π在某一个周期内的图象时，列表并2填入部分数据，如下表：ωx＋φ0ππ3π2π22x π5π36Asin( ωx＋φ)05－ 50(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；π(2) 将 y＝ f(x)图象上所有点向左平移6个单位长度，得到y＝g( x)的图象，求 y＝ g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心．19.(2014 湖·北， 18)某实验室一天的温度( 单位：℃ )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系：ππf(t)＝10－3cos12t－ sin 12t， t∈ [0,24) ．(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．π20.(2014 四·川， 17)已知函数 f(x)＝ sin 3x＋4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；α＝4π(2)若α是第二象限角， f 35cos α＋4 cos 2α，求 cos α－ sin α的值．21.(2014 福·建， 18)已知函数f(x)＝ 2cos x(sin x ＋ cos x)．5π(1) 求 f 4的值；(2)求函数 f( x)的最小正周期及单调递增区间．π22.(2014 北·京， 16)函数 f(x)＝ 3sin 2x ＋6的部分图象如图所示．(1) 写出 f(x)的最小正周期及图中 x 0， y 0的值；(2) 求 f(x)在区间π π － ，－ 上的最大值和最小值．2 12B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 四·川成都第二次诊断 )将函数 f(x)＝ cos x ＋ π 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变， 得6 2到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为 ()ππ x πx πA. g(x)＝ cos 2x ＋3B.g(x)＝ cos 2x ＋6C.g(x)＝ cos 2＋ 3D. g(x)＝ cos 2＋6 2.(2016 山·西四校联考 )已知函数 f(x)＝ cos ωx＋ φ－π ω>0， |φ|<π的部分图象如图所示，2 2则 y ＝ f π x 的集合为 ( ) x ＋6 取得最小值时A. x|x ＝ k π－ πππ π ， k ∈Z B. x|x ＝ k π－， k ∈ZC. x|x ＝ 2k π－，k ∈ZD. x|x ＝ 2k π－， k ∈Z6363πy 轴对称，则φ的 3.(2015 石·家庄模拟 )将函数 f(x)＝sin(2 x ＋φ)的图象向左平移 8个单位，所得到的函数图象关于 一个可能取值为 ()3π ππA. 4B.4C.0D.－4π y ＝ f3π )4.(2015 黄·冈模拟 ) 当 x ＝ 时，函数 f(x) ＝ Asin(x ＋φ)(A ＞ 0)取得最小值，则函数－ x 是(44A. 奇函数且图象关于点 π对称B.偶函数且图象关于点 ( π， 0)对称， 02π D.偶函数且图象关于点π 对称C.奇函数且图象关于直线x ＝ 对称， 0225.(2015 河·南焦作市统考 )函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ) ω＞0， |φ|＜π的最小正周期为π，且其图象向右平移π个单位后212得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象 ()π5π5ππA. 关于点 ， 0对称B. 关于直线 x ＝ 12 对称C.关于点 ， 0对称D.关于直线 x ＝ 12 对称212π6.(2015 怀·化市监测 )函数 y ＝ 2sin 3－ 2x 的单调增区间为 ________.3 37.(2015 辽·宁五校联考 )已知函数 f(x)＝ 2 sin ωx＋ 2cos ωx (ω＞0) 的周期为 4.(1) 求 f(x)的解析式；2个单位得到函数 g(x)的图象，P ，Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图 )，(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移3求∠ OQP 的大小 .专题三 三角恒等变换A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅲ， 6)若 tan θ＝－ 1，则 cos 2θ＝ ()34 1 1 4 A. －5B.－5C.5D. 5π2.(2016 新·课标全国Ⅱ， 11)函数 f(x)＝ cos 2x ＋ 6cos 2－x的最大值为 ()A.4B.5C.6D.73.(2015 重·庆， 6)若 tan α＝ 1， tan(α＋ β)＝1，则 tan β＝ ()3 21 1 5 5 A. 7B. 6C.7D.64.(2016 浙·江， 11)已知 2cos 2x ＋ sin 2x ＝Asin( ωx＋φ)＋ b(A ＞ 0)，则 A ＝ ________， b ＝ ________.2 5.(2016 山·东， 17)设 f(x)＝ 23sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x) .(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 )，再把得到的图象向左平移π个单位，得到3π函数 y＝ g(x)的图象，求g 6的值 .6.(2016 北·京， 16)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求 f(x) 的单调递增区间 .7.(2015 广·东，16)已知 tan α＝ 2.(1) 求 tan α＋π(2) 求sin 2 α的值．4的值；2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1sin2x8.(2015 北·京， 15)已知函数 f(x)＝ sin x－23sin 2.2π(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在区间0，3上的最小值．x x 2x.9.(2015 福·建， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin cos2＋ 10cos22(1) 求函数 f(x)的最小正周期；πa( a ＞ 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，(2) 将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，再向下平移6 且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x 0，使得 g(x 0 )＞ 0.π ， x ∈R ，且 f 5π＝ 3 210.(2014 广·东， 16)已知函数 f(x)＝ Asin x ＋3 12 2 .(1) 求 A 的值； (2) 若 f(θ)－ f(－ θ)＝ 3，θ∈ 0， π ，求 f π2 6 － θ.11.(2014 浙·江 ,18)在△ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 4sin2A－B＋ 4sin Asin ＝ 2＋ 2.2(1) 求角 C 的大小； (2) 已知 b ＝ 4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值．B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 江·西九校联考 )已知α∈ π，3π， cos α＝－4，则 tan π－ α等于 ()2 5 41 1 A.7B. 7C.－7D.－72.(2016 洛·阳统考 ) 若α∈[0， 2π)，则满足 1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α的 α的取值范围是 ()πB.[3π3π7π0，π∪， 2πA. 0，2 C.0，4 D. 0，4 4]1 3 2tan 14 ° 1－ cos 50 °)3.(2016 河·南六市联考 )设 a ＝2cos 2 －°2 sin 2，c ＝ 2，则有 (，°b ＝1－ tan 214° A. a<c<b B. a<b<c C.b<c<a D.c<a<b4.(20155，则 sin 22 )大·庆市质检二 )已知 sin α＝4α－cos α的值为 (1 3 1 3 A. －8B.－8C.8D.85.(2015 烟·台模拟 ) 已知 cos α＝3， cos(α＋ β)＝－5，α，β都是锐角，则 cos β等于 ()5 1363 33 33 63 A. －65B.－65C.65D.656.(2015 河·北唐山模拟 )已知 2sin 2α＝ 1＋cos 2α，则 tan 2α＝ ( )A.4B.－ 4C. 4或0 D.－4或 03333sin αcos α 11 ，则 tan β＝________.7.(2015 巴·蜀中学一模 )已知＝ ， tan(α－β)＝1－ cos 2α 224 138.(2015 河·南洛阳统考 )已知向量a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos β， sin β)， |a －b |＝13 .(1) 求 cos(α－ β)的值； (2)若 0＜α＜ π π 且 sin β＝－4，求 sin α的值 .，－ ＜β＜02 2 5专题四 解三角形A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 4)△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c.已知 a ＝ 5， c ＝ 2， cos A ＝ 2，3则 b ＝ ( ) A. 2B. 3C.2D.32.(2016 山·东， 8)△ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别是a ，b ，c ，已知 b ＝ c ， a 2＝ 2b 2 (1－ sin A)，则 A ＝ ()3π π π πA. 4B. 3C.4D. 6394.(2014 四·川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度 BC 等于 ( )A ． 240( 3－ 1)mB ． 180( 2－ 1)mC ． 120( 3－ 1)mD ． 30( 3＋ 1)m5.(2016 新·课标全国Ⅱ， 15)△ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 cos A ＝45， cos C ＝135， a ＝ 1，则 b ＝ ________.2πb＝ ________.6.(2016 北·京， 13) ， a ＝ 3c ，则c 在△ABC 中，∠ A ＝32π 7.(2015 北·京， 11)在△ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 6，∠ A ＝ 3 ，则∠ B ＝ ________.8.(2015 重·庆， 13) 设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a ＝ 2， cos C ＝－14， 3sin A ＝ 2sin B ，则 c ＝ ________.9.(2015 安·徽， 12)在△ABC 中， AB ＝6，∠ A ＝ 75°，∠ B ＝ 45°，则 AC ＝________.10.(2015 湖·北， 15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD ＝ ________m.11.(2014 新·课标全国Ⅰ， 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点．从 A 点测得 M点的仰角∠ MAN ＝60°，C 点的仰角∠ CAB ＝ 45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝ 60°，已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m.π12.(2014 湖·北， 13)在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 ， a ＝ 1，a ，b ， c.已知 A ＝6 b ＝ 3，则 B ＝________.13.(2014 福·建， 14)在△ABC 中， A ＝60°， AC ＝ 2， BC ＝ 3，则 AB 等于 ________．14.(2014 1，则 c ＝ ________； sin A ＝ ________.北·京， 12)在△ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝415.(2016 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c.已知 b ＋ c ＝ 2acos B.(1)证明： A ＝ 2B ；(2)若 cos B ＝2，求 cos C 的值 . 3cos A ＋ cos B ＝sin C16.(2016 四·川， 18)在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且 abc.10(1) 证明： sin Asin B ＝ sin C ；2 2 26 (2)若 b ＋ c－ a ＝ bc ，求 tan B.517.(2015 江·苏， 15)在△ABC 中，已知 AB ＝2， AC ＝ 3， A ＝ 60°. (1) 求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值．18.(2015 新·课标全国Ⅱ， 17)在△ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ， BD ＝ 2DC . sin ∠ B ；(2) 若∠ BAC ＝ 60°，求∠ B.(1)求sin ∠ C19.(2015 天·津， 16)在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ， c.已知△ABC 的面积为 31 15， b － c ＝2， cos A ＝－ .4 (1) 求 a 和 sin C 的值；(2) 求 cos 2A ＋π的值．620.(2015 山·东， 17)在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c.已知 cos B ＝ 3，3sin (A ＋ B)＝ 6， ac ＝ 2 3， 求 sin A 和 c 的值．921.(2015 湖·南， 17)设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ， a ＝ btan A.3(1) 证明： sin B ＝ cos A ；(2) 若 sin C － sin Acos B ＝4，且 B 为钝角，求 A ， B ，C.π22.(2015 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ， c.已知 tan 4＋A ＝ 2.sin 2A 的值； π2 (2)若 B ＝ ， a ＝ 3，求△ABC 的面积．(1)求sin 2A ＋cos A 423.(2015 新·课标全国Ⅰ,17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边 ,sin 2B ＝ 2sin Asin C.(1) 若 a ＝b,求 cos B ；(2) 设 B ＝ 90°,且 a ＝2,求△ABC 的面积．1124.(2014 重·庆， 18)在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 a ＋ b ＋ c ＝8. (1) 若 a ＝2， b ＝5，求 cos C 的值；2 2B 2A9 (2) 若 sin Acos ＋ sin Bcos＝ 2sin C ，且△ABC 的面积 S ＝ sin C ，求 a 和 b 的值．2 2225.(2014 山·东， 17)△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a ＝3， cos A ＝π 6，B ＝ A ＋.32(1) 求 b 的值； (2) 求△ABC 的面积．26.(2014 陕·西， 16)△ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c. (1) 若 a ，b ， c 成等差数列，证明： sin A ＋sin C ＝ 2sin(A ＋ C)； (2) 若 a ，b ， c 成等比数列，且 c ＝ 2a ，求 cos B 的值．27.(2014 湖·南， 19)如图，在平面四边形 ABCD 中， DA ⊥ AB ，DE ＝1， EC ＝ 7， EA ＝ 2，∠ADC ＝ 2π π (1)求 sin ∠ CED 的值； (2) 求 BE 的长．，∠ BEC ＝ .3 3B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 湖·南四校联考 )在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (a 2＋ b 2－ c 2)tan C ＝ ab,则角 C 为 ()π 5π π 2π C. π D. 2πA. 或 6B. 或 3 6 36 32.(2016 河·南三市调研 )△ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为22π a ， b ， c ，若 c＝ (a － b) ＋ 6， C ＝ ，则△ABC 的3面积为 ()A.3B. 9 3C. 3 3D.3 3223.(2016 济·南一中检测 )在△ABC 中，内角 A ，B ， C 对边的边长分别为 a ， b ， c ， A 为锐角，1 lg b ＋ lg c ＝ lg sin A ＝－ lg 2，则△ABC 为 ( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015 山·东省实验中学三诊 )在△ABC 中，若 (a 2＋ b 2) ·sin(A －B)＝ (a 2－ b 2)sin C ，则△ABC 是 ()A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形5.(2015 江·西赣州摸底 )为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A ，B(如图 )，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得 BC ＝ 50 m ，∠ ABC ＝105°，∠ BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距12离为()A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 m25 2D.2m6.(2015 湖·南十二校联考 )在△ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 tan A ＝ 7tan B ， a 2－ b 2＝ 3，则 c ＝ ()cA.4B.3C.7D.67.(20161，则 sin A ＝ ________.湖·南株洲 3 月模拟 )在△ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝48.(2015 太·原模拟 ) 在△ABC 中，已知 (sin A ＋ sin B ＋ sin C) ·(sin B ＋ sin C － sin A)＝ 3sin Bsin C.(1) 求角A 的值；(2) 求 3sin B －cos C 的最大值13高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）5 ，且 α为第四象限角， ∴ cos α＝ 12，∴ tan α＝ sin α 5，故选 D. 答案 D13 ＝－121.解析∵ sin α＝－13cos α2.解析 记 P(－ 4， 3)，则 x ＝－ 4， y ＝3， r ＝ |OP|＝ （－ 4）2＋ 32＝5，－ 44，故选 D.故 cos α＝x＝＝－r55 3.解析 由 tan α＞ 0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，故 sin 2α＝2sin αcos α＞ 0，故选 C. 答案 C4.解析由题意，得 cos π4，∴ tan π 3 π π π1＝－ 4. 答案 －4θ＋＝ θ＋ ＝ .∴ tan θ－＝ tan θ＋ －＝－π 3345 44442tan θ＋45.解析∵ sin θ＝ sin(k ·360 °＋ θ)，( k ∈Z )， ∴ sin 750 ＝°sin(2 360× °＋ 30°)＝ sin 301 答案1＝° .226.解析∵ sin α＋ 2cos α＝ 0， ∴ sin α＝－ 2cos α，∴ tan α＝－ 2，又∵ 2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－ cos 2α 2tan α－ 12×（－ 2）－ 1sin 2α＋ cos 2α ＝tan 2α＋1，∴原式＝（－ 2）2＋ 1＝－ 1. 答案－1B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1 a1.解析∵a ＝ 42＝ 2，∴ tan 6π＝ 3. 答案Dπ 3 3π42.解析由 sin 2＋α＝－5得 cos α＝－5，又 α∈2，π，则 sin α＝ 5，所以 sin( π－2α)＝ sin 2α＝ 2sin αcos α＝－ 24答案 D25.3.解析因为角α终边经过点 P(2 ，－ 1)，所以 tan α＝－ 1， sin α－ cos α tan α－ 1 ＝ ＝2 sin α＋ cos α tan α＋ 1－12－ 1＝－ 3，故选 D.－ 1＋ 1210π2π10π 2π2π答案 D 4.解析＝－ 4π＋，所以－ 与的终边相同，所以 tan＝－ 3＝－ y ，则 y ＝ 3.－ 33 3 33πα>0，则 sin (π＋α225.解析因为 α∈， π，所以 sin1－ cos α＝－ 1－ k ，故选 A. 答案A2)＝－sin α＝－π ππ π6.解析由题意得， A ＋ B ＞ 即 A ＞－B ，且 A ∈0， 3，－B ＞0，222π1 1 在第一象限 . 答案A故 sin A ＞ sin － B ＝ cos B ，即 sin A － cos B ＞ 0， 3cos A － 1＞ 3× － 1＝ ， 故点 P2227.解析sin α＝ cosπ 4 ， 又 α为第二象限角， 所以 cos α＝－23 －3－ α＝51－sinα＝－ . 答案5258.解析 设点 A( 3， 1)为角θ终边上一点，如图所示， |OA |＝2，141 3π则 A(2cos θ， 2sin θ)，由三角函数的定义可知： sin θ＝，cos θ＝，则θ＝ 2k π＋ 6 (k ∈Z )，2 2 设 B(x ， y)，由已知得 x ＝ 2cos θ＋ π＝2cos 2k π＋2π＝－ 1， y ＝2sin θ＋π＝ 2sin 2k π＋2π＝ 3， 2 3 2 3所以 B(－ 1， 3) ，且 tan α＝－ 3，所以 tan 2α＝2tanα2＝ 3. 答案 (－ 1， 3) 31－ tan α专题二 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（ 2016 ～2014 年） 答案精析1.解析函数 y ＝ 2sin 2x ＋π2x ＋π1个周期即π6 的周期为π，将函数 y ＝ 2sin 的图象向右平移个单位， 所得函数为644πππy ＝ 2sin 2 x －4 ＋6＝ 2sin2x －3，故选 D. 答案 D2.解析由题图可知， T ＝ 2 π π ＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知π ππ－ － 62×＋φ＝ ，所以φ＝－，3 326π所以函数的解析式为 y ＝ 2sin 2x －6 ，故选 A.答案 A3.解析由 y ＝ sin x 得到 y ＝sin(x ±a)的图象，只需记住“左加右减 ”的规则即可 . 答案 A4.解析 由图象知 T ＝5－1＝ 1，∴ T ＝ 2.由选项知 D 正确．答案 D2 4 45.解析∵ y ＝ sin 4x － π＝ sin 4 x － π ，312∴要得到函数 y ＝ sin π的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移π答案 B4x －3 12个单位．6.解析 由题意得函数 f(x)＝ 2sin π(ω＞ 0)， 又曲线 y ＝ f(x)与直线 y ＝1 相邻交点距离的最小值是 πωx＋ 3 ， 6由正弦函数的图象知， π π π 5π π 即 2π πωx＋ ＝ 和 ωx＋ ＝ 对应的 x 的值相差 ， ＝ ，解得ω＝ 2，6 6 6 6 3 3ω 32π 所以 f(x)的最小正周期是 T ＝ω＝π.答案 C2π7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得＝π. 答案 BT ＝2 8.解析 由图象平移的规律“左加右减 ”，可知选 A. 答案 A9.解析 因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝ 2cos 3x －π，所以将 y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移π个单位后可得到412y ＝ 2cos 3x －π的图象．答案 A 10.解析 方法一f(x)＝ 2sin 2x ＋ π，4 4将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝ 2sin π2x ＋ － 2φ，由该函数为偶函数4π πk π 3π所以 φ的最小正值为3π可知 2φ－＝ k π＋，k ∈Z ， 即φ＝2 ＋， k ∈Z ，8.428π方法二f(x)＝ 2cos 2x －4 ，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为ππ3πy ＝ 2cos 2x －4－ 2φ，且该函数为偶函数， 故 2φ＋4＝ k π， k ∈Z ， 所以φ的最小正值为 8.答案 C1511.解析 ① y ＝ cos|2x|，最小正周期为 π；② y ＝ |cos x|，最小正周期为 π；③ y ＝ cos 2x ＋π，最小正周期为 π；6④ y ＝ tan π ，最小正周期为 π π的所有函数为①②③，故选 A. 答案 A2x －4，所以最小正周期为2ππ12.解析 函数 y ＝ sin x 的图象向左平移2个单位后， 得到函数 f(x)＝sinx ＋2 ＝ cos x 的图象， f(x)＝ cos x 为偶函数，πππ 排除 A ； f(x)＝ cos x 的周期为 2π，排除 B ；因为 f＝ cos＝ 0，所以 f(x)＝ cos x 不关于直线x ＝ 对称，排除 C ；222故选 D. 答案 D13.解析 y ＝ sin x － 3cos x ＝2sin x － ππ答案π，由 y ＝ 2sin x 的图象至少向右平移 个单位长度得到 .33 314.解析 f(x)＝ sin ωx＋cos ωx＝ 2sin π π π πωx＋ ， 由－ ＋ 2k π≤ωx＋ ≤＋ 2k π， k ∈Z ，4 24 23π π 由题意 f( x)在区间 (－ ω， ω)内单调递增，可知 π得－ ＋ 2k π≤ωx≤＋ 2k π，k ＝ 0，ω≥，442又函数 y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ω对称，2π2π π π 答案π所以 sin( ω＋)＝1，ω ＋ ＝ ， 所以ω＝2 . 244215.解析 由题干图易得 y min ＝ k － 3＝ 2，则 k ＝ 5，∴ y max ＝k ＋ 3＝ 8.答案 816.解析 y ＝ 2sin ωx，ωx－π＝ 0，由知 sin ωx＝cos ωx，即 sin ωx－ cos ωx＝ 0，∴ 2siny ＝ 2cos ωx，4π 1 π1 π∴ ωx＝4＋ k π， x ＝ω 4＋ k π (k ∈Z )，∴两函数交点坐标为ω4＋ k π， 2 (k ＝0， 2， 4，⋯)，1 π 2或 ( k ＝⋯，－ 3，－ 1， 1，3，⋯) ∴最短距离为 （ 2 2） 2＋π2＋ k π，－ 23，ω 4 ω＝ 22 π π∴ π 答案2＝4，∴ ω＝ . 2ω 2π y ＝ sin x ＋ π17.解析 把函数 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，6 6y ＝ sin π 2 倍，纵坐标不变， 再把函数 x ＋6图象上每一点的横坐标伸长为原来的得到函数 1 π所以 f π 1 π π π 22f(x)＝ sin x ＋ 的图象， ＝ sin × ＋ ＝sin ＝22662 6 64 2.答案π18.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝ 5，ω＝ 2，φ＝－6.数据补全如下表：ωx＋ φππ3π2π22xπ π 7π 5π13 π12 3 12 612 Asin(ωx＋ φ)5－ 5f(x) ＝5sin π且函数表达式为2x －6 .ππππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝5sin 2x －6 ， 因此 g(x)＝ 5sin 2 x ＋6－6＝ 5sin2x ＋6 .16π因为 y ＝ sin x 的对称中心为 ( k π，0) ，k ∈Z .令 2x ＋ ＝ k π，解得 6x ＝ k π π－，k ∈Z .2 12即 y ＝ g(x)图象的对称中心为k π π， k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π2 －， 0－，0.1212ππ2π 2π－1312×8－ sin 12×8 19.解 (1)f(8) ＝ 10－ 3cos ＝ 10－ 3cos 3 － sin 3＝10－3×2－2＝10.故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃ .3π 1 ππ ππ π π 7π(2) 因为 f(t)＝10－ 22 cos12t ＋2sin 12t＝ 10－ 2sin 12 t ＋3，又 0≤t ＜ 24， 所以≤＜ ，3 12t ＋ 3 3－ 1≤sinππ当 t ＝ 2 时， sin ππ＝ 1；当 t ＝14 时， sinπ π＝－ 1.12t ＋3≤ 1. 12t ＋312t ＋ 3于是 f(t)在 [0， 24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为4 ℃ .ππ ππ 2k ππ 2k π20.解 (1)由－ ＋2k π≤3x ＋≤＋ 2k π，k ∈Z ， 得－ ＋3≤x ≤＋ ， k ∈Z .24 24123所以函数 f(x)的单调递增区间为π 2k π π 2k π－ ＋，＋3， k ∈Z .4 312π 4π22(2) 由已知，有 sin α＋4＝ 5cos α＋4 (cos α－ sin α)，π π 4 ππ 22所以 sin αcos 4＋ cos αsin 4＝5 cos αcos － sin αsin4 (cosα－ sin α)，44 2(sin α＋cos α)．即 sin α＋ cos α＝ (cos α－ sin α)53π当 sin α＋ cos α＝ 0 时，由α是第二象限角，知 α＝4 ＋2k π， k ∈Z ，此时 cos α－ sin α＝－2.2 5当 sin α＋ cos α≠0时，有 (cos α－ sin α) ＝ .4由 α是第二象限角，知cos α－sin α＜ 0，此时 cos α－ sin α＝－ 52.综上所述， cos α－ sin α＝－ 2或 cos α－sin α＝－ 52 .2 π 21.解 f( x)＝ 2sin xcos x ＋2cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x ＋ 1＝ 2sin 2x ＋ ＋ 1.45π ＝ 2sin 11π 1＝ π(1) f 4 ＋ 2sin ＋ 1＝ 2.44(2)T ＝ 2πππ π 3π π ＝π. 由 2k π－ ≤2x ＋≤2k π＋， k ∈Z ， 得 k π－8 ≤x ≤k π＋ ， k ∈Z .22 4283ππ所以 f(x)的单调递增区间为， k π＋8， k ∈Z .k π－87π22.解(1) f(x)的最小正周期为π， x 0＝，y 0 ＝ 3.6ππ π 5π π π 0；(2) 因为 x ∈－，－12，所以 2x ＋∈ －， 0 . 于是当 2x ＋ ＝ 0，即 x ＝－时， f( x)取得最大值26661217πππ 当 2x ＋ ＝－，即 x ＝－时， f(x)取得最小值－ 3.623B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1g(x)＝ cosπ1.解析 横坐标缩短为原来的 2倍，纵坐标不变，则有 2x ＋6 .答案 B2π 7π π π π2.解析 依题意得 T ＝ω＝ 4－3＝ cos φ＋6＝ 1，123＝π，ω＝2， fπ π2π .又 |φ|< ，因此φ＝－，所以 f(x)＝ cos2x － 326 当 f x ＋ππ取得最小值时，ππ＝ cos 2x － 2x －＝ 2k π－π， k ∈Z ，即 x ＝k π－， k ∈Z ， 答案 B6 33 3π得 g(x)＝ sinπ＋φ＝ sinπ3.解析 函数 f(x)＝ sin(2x ＋φ)的图象向左平移 个单位，2 x ＋8 ＋ φ的图象，82x ＋4又 g(x)的函数图象关于y 轴对称，所以 g(x)为偶函数，πππ所以 ＋φ＝ k π＋ 2 (k ∈Z )，即φ＝ k π＋ (k ∈Z )，4 4π答案 B当 k ＝ 0 时，φ＝，故选 B.4πππ3π4.解析 当 x ＝4时，函数 f( x)＝Asin(x ＋φ)( A ＞ 0)取得最小值， 即4＋φ＝－2＋ 2k π，k ∈Z ，即φ＝－4＋ 2k π，k ∈Z ，所以 f(x)＝ Asin x － 3π (A ＞ 0)， 所以 y ＝ f( 3π 3π 3π4 － x)＝ Asin －x ＋ ＝－ Acos x ，4 4 4所以函数为偶函数且图象关于点 π 对称，选 D. 答案 D， 02π π π 5.解析 f(x)＝ 2sin 3－ 2x ＝ 2cos 2x ＋6， π＋ 2k π≤2x ＋6≤ 2＋π2k π， k ∈Z ，5π11π 答案 5π 11π即 ＋ k π≤x ≤＋ k π， k ∈Z . 12 ＋k π， ＋ k π(k ∈Z )12 12 126.解析 由于函数 f(x) ＝sin( ωx＋ φ) ω＞ 0， |φ|＜ π 的最小正周期为 π， 故 2π2 ＝π， ω＝ 2.ω把其图象向右平移π个单位后得到函数的解析式为y ＝ sin 2 x － π π＋φ＝ sin 2x －＋φ，为奇函数，12 126 π π π π∴－＋φ＝ k π，∴ φ＝ k π＋， k ∈Z ，∴ φ＝，∴函数 f(x)＝ sin 2x ＋6 .666πk π πk π π令 2x ＋6＝k π， k ∈Z ，可得 x ＝ 2－12， k ∈Z ， 故函数的对称中心为2 －12， 0 (k ∈Z ).5π故点 12 ， 0 是函数的一个对称中心 . 答案 C3 3 1 3πππ7.解 (1) f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx＝ 3 2sin ωx＋2 cos ωx＝ 3 sin ωx cos 3＋ cos ωx sin 3＝ 3sinωx＋3 .∵ T ＝ 4，ω＞0，∴ω＝ 2π π ∴ f(x)＝ 3sin π π .＝ . 2 x ＋ 34 2(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 2个单位得到函数 g(x)＝ π3sin x.3 2 ∵ P ， Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴ P(1， 3)， Q(3，－ 3).18∴ OP ＝ 2， PQ ＝ 4， OQ ＝ 12，∴cos ∠OQP ＝ OQ 2＋ PQ 2－ OP2＝32OQ ·QP2.∵∠ OQP 是△OPQ 的一个内角，π∴∠ OQP ＝ .6专题三 三角恒等变换 答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1，则 cos 2θ＝ cos 2θ－ sin 2θ＝ cos 2θ－ sin 2θ 1－ tan 2θ22 ＝2＝ 41.解析 tan θ＝－3cos θ＋ sin θ 1＋ tan θ5.答案Dπ22.解析 因为 f(x)＝ cos 2x ＋6cosx ＋6sin x ＝－ 2 sin x － 3 ＋11， － x ＝1－ 2sin 222 2 所以当 sin x ＝ 1 时函数的最大值为 5，故选 B.答案tan （α＋β）－ tan α3.解析 tan β＝ tan[(α＋β)－ α]＝＝ B1－ 123＝1.答案A1 171＋×2 32224.解析∵ 2cos x ＋ sin 2x ＝ cos 2x ＋ 1＋ sin 2x ＝2 2 cos 2x ＋2 sin 2x ＋ 1π＝2sin 2x ＋4＋ 1＝ Asin( ωx＋φ)＋ b(A ＞ 0)，∴ A ＝ 2， b ＝1. 答案215.解 (1) 由 f( x)＝ 2 3sin( －πx)sin x － (sin x － cos x) 2＝ 2 3sin 2x － (1－ 2sin xcos x)＝ 3(1－ cos 2x)＋ sin 2x － 1＝ sin 2x － 3cos 2x ＋ 3－ 1＝ 2sin 2x － π＋ 3－ 1.3 由 2k π－ππ π π 5π2≤2x －3≤2k π＋2(k ∈Z )，得 k π－12≤x ≤k π＋12(k ∈Z ).所以 f(x)的单调递增区间是k π－π， k π＋5π (k ∈Z )或 k π－π， k π＋5π（k ∈Z ） .12121212(2) 由 (1)知 f(x) ＝2sin 2x －π＋ 3－ 1，3把 y ＝ f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )，π得到 y ＝ 2sin x －3＋ 3－1 的图象 .再把得到的图象向左平移 πy ＝ 2sin x ＋ 3－ 1 的图象，个单位，得到3π π 即 g(x)＝ 2sin x ＋ 3－1.所以 g6＝ 2sin 6＋ 3－ 1＝ 3.6.解 (1) f(x)＝ 2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ 222＝ 2sin 2ωx＋ π42 sin 2ωx＋2 cos 2ωx由ω＞ 0， f(x)最小正周期为 2π 解得ω＝1.π得 2ω＝ π，19(2) 由 (1)得 f(x) ＝ 2sin 2x ＋ πππ π， 解得－3π π4 ，令－ ＋2k π≤2x ＋≤＋ 2k π，k ∈Z8 ＋ k π≤x ≤＋ k π， k ∈Z ，2 4 28即 f(x)的单调递增区间为 － 3π π8 ＋k π，＋ k π(k ∈Z ).8(1)tan α＋π＝tan α＋tanπ 7.解4 ＝ tan α＋ 1＝ 2＋ 1＝－3.4π 1－ tan α 1－ 21－ tan αtan 4sin 2α2sin αcos α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1＝sin 2α＋ sin αcos α－（ 2cos 2α－ 1）－ 12sin αcos α 2tan α 2×2＝ sin 2α＋ sin αcos α－2cos 2α＝tan 2α＋ tan α－2＝ 22＋ 2－2＝1.8.解 (1) 因为 f(x)＝ sin x ＋ 3cos x －π－ 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2π.3.＝2sin x ＋32π π π π2π时，所以3≤x ＋3≤π＝π，即 x ＝ 3 时， f(x)取得最小值．(2) 因为 0≤x ≤3.当 x ＋3所以 f(x)在区间0，2π上的最小值为 f2π＝－ 3.339.(1) 解 因为 f(x)＝ 103sin x cos x＋ 10cos 2x＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5＝ 10sin x ＋ π＋ 5，2 2 2 6所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝2π.πy ＝10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a个单位长度后得到(2) 证明①将 f(x)的图象向右平移6 (a ＞0) 个单位长度后得到 g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x) 的最大值为 2，所以 10＋ 5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13. 所以 g(x)＝ 10sin x － 8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得 g(x 0)＞ 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得 10sin x －8＞ 0，即 sin x ＞ 44＜ 3知，存在π0＜α＜，使得 sin α＝45.由5235.由正弦函数的性质可知，当x ∈ (α， π－ α4因为 y ＝ sin x 的周期为 2π，0)时，均有sin x ＞5. 所以当 x ∈ (2k π＋α， 2k π＋ π－ α40 )(k ∈Z )时，均有 sin x ＞5.因为对任意的整数πk ， (2k π＋ π－ α0)－(2k π＋ α0)＝π－2α0＞ ＞1，3所以对任意的正整数k ，都存在正整数x ∈ (2k π＋ α，2k π＋ π－ α＞40)，使得sin x k5.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得 g(x 0)＞ 0.10.解 (1)∵ f(x)＝ Asin x ＋ π5π ＝ 3 2， ∴ Asin 5π π ＝ 3 2Asin 3π 3 23 ，且 f2 ＋ ? 4 ＝ ? A ＝3.1212 3 2 2π π π(2) 由 (1)知 f(x) ＝3sin x ＋3，∵ f(θ)－ f(－ θ)＝ 3，∴ 3sin(θ＋ 3)－ 3sin － θ＋ 3 ＝3，展开得313313， 化简得 sin θ＝ 32sin θ＋2 cos θ－ 3 2 cos θ－2sin θ＝3.20π 6 π πππ∵ θ∈ 0，2 ，∴ cos θ＝3 .－ θ－ θ＋3＝ 3sin － θ＝ 3cos θ＝ 6.∴ f 6＝ 3sin 6211.解 (1) 由已知得 2[1 －cos(A － B)] ＋ 4sin Asin B ＝2＋ 2，化简得－ 2cos Acos B ＋2sin Asin B ＝ 2，故 cos(A ＋ B)＝－2 所以 A ＋ B ＝3π π2.，从而 C ＝ .44(2) 因为 S △ABC ＝1absin C ，π2，由 S △ABC ＝ 6， b ＝ 4， C ＝ ，得 a ＝324由余弦定理 c 2＝a 2＋ b 2－ 2abcos C ，得 c ＝ 10.B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1.解析∵ α∈ π，3π， cos α＝－ 4，∴ sin α＝－ 3，2 55∴ tan α＝ sin α 3＝ ， cos α 4∴ tan π 1－ tan α 1 .答案B－ α＝ ＝ 4 1＋ tan α 7 2.解析 由 1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α得 sin α＋ cos α＝ 2sinπα＋ 4 ≥0，3π 7π又因为α∈ [0， 2π)，所以α的取值范围为0，4∪， 2π，故选 D. 答案D41 33.解析 利用三角公式化简得 a ＝2cos 2 －°2 sin 2 ＝°cos(60 ＋°2°)＝cos 62 ＝°sin 28 ，°b ＝ tan 28 ，°c ＝ sin 225 °＝ sin 25 . °因为 sin 25 <sin ° 28 °<tan 28 °，所以 c<a<b ，故选 D. 答案D22234.解析 sin α－cosα＝－ cos 2α＝ 2sin α－ 1＝－8. 答案 B5＜ 0， cos α＝3，5.解析∵ α， β是锐角，∴ 0＜α＋ β＜π，又 cos(α＋ β)＝－135π ∴ sin(α＋β)＝12， sin α＝4.∴ ＜ α＋ β＜ π，2 13 5又 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝cos(α＋ β)cos α＋ sin(α＋ β)sin α＝－ 5 3 12 433. 答案 C× ＋ 13 × ＝6513 5 56.解析 因为 2sin 2α＝ 1＋ cos 2α，所以 2sin 2α＝ 2cos 2α，所以 2cos α·(2sin α－ cos α)＝ 0，解得 cos α＝ 0 或 tan α＝1.2π若 cos α＝ 0，则α＝ k π＋2， k ∈Z ， 2α＝ 2k π＋ π， k ∈Z ，所以 tan 2α＝0；若 tan α＝1，则 tan 2α＝2tan α2＝ 4. 综上所述，故选 C. 答案 C2 1－ tan α 3sin αcos α sin αcos α cos α 1＝ 2sin 2 α ＝ ＝ ，∴ tan α＝ 1.7.解析∵1－ cos 2α 2sin α 2∵ tan(α－ β)＝tan α－tan β＝1，∴ tan β＝1. 答案11＋ tan αtan β 2338.解 (1) ∵a －b ＝(cos α－ cos β， sin α－ sin β)，∴ |a －b |2＝ (cos α－cos β)2＋(sin α－ sin β)2＝2－ 2cos(α－ β)，21。