专题一1教学文档
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函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.
(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).
(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.
解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH
中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=
32NH=2
1
32⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴
2362
1
21x OH MH -==
. 在Rt △MPH 中,
.
∴y =GP=
32MP=23363
1x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+23363
1
,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.
②GP=GH 时,
23363
1
2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH 时,2=x .
综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.
例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；
(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
222223362
1
419x x x MH PH MP +=-
+=+=H
M N
G
P
O
A
B
图1
x y
A
E
D
C
B 图2
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,
∴
11x y =, ∴x
y 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2
90α
-︒,
且函数关系式成立, ∴2
90α
-︒=αβ-, 整理得=-
2
αβ︒90. 当=-2
αβ︒90时,函数解析式x
y 1
=
成立.
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.
(1)求证: △ADE ∽△AEP.
(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP 的长.
(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线
214
10189
y x x =--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过
点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终
点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒)
(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜
9
2
时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程． 提示：第（3）问用相似比的代换，
得PF=OA （定值）。
第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 二、 直线上动点
8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B
、
3(1)
A
3(2)
y O x
C N
B
P
M A
两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．
（1）求实数a b c ，，的值；
（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
提示：第（2）问发现
特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形；
第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的
△BNQ ，再判断是否在对称轴上。
9、（2009眉山）如图，已知直线1
12
y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2
12
y x bx c =
++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。
提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE
为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。
