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全国卷1导数题一题多解，深度解析
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析
已知函数2
()e x
f x ax x =+-.
（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥
12
x 3
+1，求a 的取值范围.。
2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析
已知函数()(2)x
f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。
3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题
已知函数1
()e
ln ln x f x a x a -=-+
（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析
已知函数2
()e x
f x ax x =+-.
（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12
x 3
+1，求a 的取值范围.。 解析：
（1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。若一次求导不见底，则可
二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。通常二次求导的为多。
（2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。常常是把恒成立化成最值
问题。由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。这里介绍了两种方法。
解：
（1） 当a=1时， 2
()e x
f x x x =+-，定义域为R ，
'()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。
而f ’(0)=0，
∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0
∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。
（2）
解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥
+ ，即231
()e 12
x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。
当x ＞0时，上式等价于 3
2
112x
x x e a x ++-≥ 恒成立。
令 32112()x x x e g x x ++-=，则 23
1(2)(1)
2'()x x x x e g x x -++-= 再令21
()12
x h x x x e =++-
到了这里发现，由（1）可得的 2
1(0)x
e x x x +->> ，不能引用。 所以求导，
'()1x h x x e =+-
令j(x)=h ’(x) (x>0)
'()10x j x e =-<，j(x)单调递减。
∴j(x) 1102 x x x e ++-<。 当x ∈（0,2）时，g ’(x)＞0；当x ∈(2,+∞)时，g ’(x)＜0。 ∴g(x)max=g(2)=2 74e - ∴a 的取值范围是2 7[,)4 e -+∞ 。 解法二：综合法，让x e 玩倒立游戏，变成x e - 。 当x≥0时，31()12f x x ≥ + ，即231 ()e 12x f x ax x x =+≥+- 等价于2311(1)02 x ax x x e -+---≥ 。 令 231()1(1)2x g x ax x x e -=+---，则 1'()(2)[(21)]2x g x x x x a e -=--+ （1）若2a+1≤0，即1 2 a ≤- ，当x ∈（0,2）时，g ’(x)＜0，即g(x)单调递减，而 g(0)=0，故当x ∈（0,2）时， g(x)＜0，因此不合题意（不必研究x ∈（2，+∞）的情况，否则是多余且无功，很可能出错）。 （2）若0＜2a+1＜2，即11 22 a - << ，当x ∈（0，2a+1）∪(2，+∞)时，g ’(x)>0；当x ∈（2a+1，2）时，g ’(x)＜0。 所以g(x)在（0,2a-1），（2，+∞）单调递增，在（2a+1,2）单调递减。 由于g(0)=0，g(x)≥0，所以g(2)=2 1(47)0a e -+-≥ ，即 2 74 e a -≥ 。 所以 当271 42 e a -≤< 时，g(x)≥0。 （3）若2a+1≥2，即1 2 a ≥ ，当x ∈(0,2)∪(2a+1,+∞)时，g ’(x)>0；当x ∈(2,2a+1)时，g ’(x)<0。 所以 g(x)在（0,2），（2a+1，+∞）单调递增；在（2，2a+1）单调递减。 又g(0)=0，g(x)≥0，所以g(2a+1)=≥0必须成立。 221 1 (21)1[(21)(21)1]2a g a a a e --+=+-+-+- 综上，a 的取值范围是2 7[,)4 e -+∞ 。 注：方框里内容的处理很灵活，也很关键。 注意： （1）分离参数法中遇到2 1()12 x h x x x e = ++-的正负判断，多次求导。若用x e 的倒插花方式，即考察21 ()(1)12 x i x x x e -=++-，可一次解决问题。 （2）综合法处理第二小题，遇第三种情况不是解出a ，a 是解不出来的，而是看限定条件下是否满足。 （3）有参数时，把参数叙述成“若”，把变量成“当”，若两者都叙述成“当”，那就让人看起来不舒服。 2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析
