2016年全国高考导数压轴题汇编

2016全国各地导数压轴题汇编 1、（2016年全国卷Ｉ理数）

已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x

有两个零点 （I ）求a 的取值范围

（II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x

2、（2016年全国卷Ｉ文数） 已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x

（I ）讨论)(x f 的单调性

（II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围

3、（2016年全国卷II 理数） (I )讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II )证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（

） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

4、（2016年全国卷II 文数）

已知函数.

（I ）当时，求曲线在处的切线方程； (II)若当时，，求的取值范围.

5、（2016年全国卷III 理数）

设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A （Ⅰ）求)(x f '； （Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明A x f 2)(≤'

()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a

6、（2016年全国卷III 文数） 设函数()ln 1f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，1

1ln x x x

-<

<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x

c x c +->.

设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3

其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间；

(Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ，且)()(01x f x f =其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =,求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4

1

设函数x a ax x f ln )(2

--=其中R a ∈ （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；

（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得x

e x

x f -->11)(在区间（1，+∞）内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数)。

9、（2016年山东理数） 已知()2

21

()ln ,x f x a x x a R x -=-+

∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1a =时，证明()3

()'2

f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立

2、(I)

(i)设，则当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).

①若，则，所以在单调递增.

②若，则ln(-2a)<1,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b<0且，

则，所以有两个零点.

(ii)设a=0，则所以有一个零点.

(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.

又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点. 综上，a的取值范围为.

3、试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.

222

(1)(2)(2)'()0,(2)(2)

x x x

x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x

x

x e x x e x ->-+-++>

（II ）2

2(2)(2)2

()(()),x x e a x x g x f x a x x

-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为

000

000022000(1)+()(1)().2

x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+

于是0

0h()2

x e a x =+，由2

(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得0022

01().2022224

x e e e e h a x =<=≤=+++

因为2x

e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a

f x =∈

使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2

1(,],24

e

综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是2

1(,].24

e

考点： 函数的单调性、极值与最值.