长沙市一中高三第一次模拟考试(文科数学)
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1 / 19 某某市一中高三第一次模拟考试
文科数学
命题：某某市一中高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．若|1Mxx，则下列选项中正确的是（B）
A．0M B．0M C．M D．0M
2．已知函数2()sinlogfxxx，则函数()fx（D）
A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数
C．是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
3．已知非零实数，,ab满足ab，则下列不等式成立的是（A）
A．22abba B．11ab C．22ababD．22ab
4．已知等比数列na的前n项和为nS，且3113Sa，则数列na的公比q的值为（C）
A．3 B．4 C．3或4 D．2或3
5．方程224250xymxym表示圆的充要条件是（B）
A．114m B．14m或1m
C．14mD．1m
6．若一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，则称为“双重对称曲线”。下列曲线不是．．“双重对称曲线”的是（D）
A．1yxB．22143xy
C．221xy D．21yx
7．、为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①//a、b；②a、//b；③a、b；④//a、//b且a与的距离等于b与的距离，其中是ab的充分条件的有（C）
A．①④B．①C．③D．②③ word
2 / 19 8．直线0AxByC过一、二、四象限，坐标原点(0,0)O与点(,)Mmm同在直线l的左下方，则AmbmC的值（D）
A．与A同号，与B同号B．与A同号，与B异号
C．与A异号，与B同号D．与A异号，与B异号
9．已知0a，函数3()fxxax在[1,)上是单调函数，则a的取值X围是（A）
A．[3,0) B．[3,2) C．(,3] D．
10．设,,abm为整数(0)m，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作(mod)abm，已知12220202020201222aCCC，且(mod8)ab，则b的值可为（C）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B D C D A C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）
11．函数3sin4cos()yxxxR的最大值为 5 。
12．在ABC中，若4, 5ACBCABBC，则||BC的值为 3 。
13．在一次“支持奥运，反对某某独立”的爱国集合会上，组织者最后决定在原有8个节目中添加3个新节目，但是新节目恰有两个相邻且不排在第一个也不排在最后一个，已经排好的8个节目的相对顺序不变，则该集会的节目单的编排总数为 252 种。（用数字作答）
14．已知球面面积为16，A、B、C为球面上三点，且2, 1, 3ABBCAC，则球的半径为 2 ；球心O到平面ABC的距离为3。
15．同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一个在听音乐。
（1）A不在修指甲，也不在看书；（2）B不在听音乐，也不在修指甲；（3）如果A不在听音乐，那么C不在修指甲；（4）D既不在看书，也不在修指甲；（5）C既不在看书，也不在听音乐。若上面的命题都是真命题，问她们各在做什么？
A在听音乐；B在看书；C在修指甲；D在梳头发。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16．（本小题满分12分）
已知函数2()cos(),0,0,,()22fxAxAyfx最大值为2，其图象两相邻对称轴间的距离为4，并且过点（2，2）。
（1）求函数()fx的解析式； word
3 / 19 （2）求函数()fx的最小值及对应的x的集合。
解：（1）()cos(22)22AAfxx，
()yfx的最大值为2，0A，
2,222AAA（3）分
图象两相邻对称轴间的距离为4，0
28, 8, .28T（4）分
()cos(2)14xfx，由()fx过点(2,2)，
cos(2)12, cos(2)122
即sin21, 22()2kkZ
(4kkZ),（6分）
, , ()cos()1sin()1224424fxxx；（8分）
（2）由（1）知()sin()14fxx，故函数()fx的最小值为0，
此时2()42xkkZ，故82()xkkZ（11分）
故函数()fx的最小值为0，对应x的集合为|82()xxkkZ（12分）
17．（本小题满分12分）
某班教室共5组，每组坐6人，4男2女，现王老师对每组采用简单随机抽样的方法抽查作业，规定：每组抽3人，抽到2名男生1名女生为最佳抽查。
（1）若甲坐第一组，乙坐第二组，丙坐第三组，求他们中恰有两人被抽查的要概率；
（2）求第一组为最佳抽查的概率；
（3）全班5组恰有3组为最佳抽查的概率。
解：（1）简单随机抽样是等可能抽样，甲、乙、丙三人被抽查的概率均为3162，故他们中恰有两人被抽查的概率为223113()()228C；（4分）
（2）简单随机抽样是等可能抽样，故第一组为最佳抽查的概率为
21423635CCPC （8分）
（3）每组为最佳抽查的概率相同，抽查5组可以看成做5次独立重复试验，故全班5组恰有3组为最佳抽查的概率为 word 4 / 19 332532216()()55625PC （12分）
18．（本小题满分12分）
如图，PC平面ABC，90ACB，D为AB中点，
2ACBCPC。
（1）求证：AB平面PCD；
（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（3）求点C到平面PAD的距离。
解：解法一：（1）因为PC平面ABC，AB平面ABC，所以PCAB（2分）
ABC中，ACBC，且D为AB中点，所以CDAB。
又PCCDC，所以AB平面PCD（4分）
（2）如图，取AC中点E，连结DE、PE，则//DEBC，
所以PDE（或其补角）为异面直线PD与BC所成的角。（5分）
因为//,BCDEACBC，所以ACDE；
又PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE，
因为ACPCC，所以DE平面PAC，
因为PE平面PAC，所以.DEPE（6分）
在RtABC中，因为2ACBC，所以22AB，
在RtABC中，因为12,22PCCDAB，
所以6PD。
在RtPDE中，因为112DEBC。所以6cos6DEPDEPD。
即异面直线PD与BC所成的角的余弦值为66。（8分）
（3）如图，过C作CFPD交PD于F，
因为AB平面PCD，CF平面PCD，所以ADCF。
因为ADPDD，
所以CF平面PAD（10分）
在RtPCD中，23.3PCCDCFPD。
所以点C到平面PAD的距离是233。
解法二：如图，以C为原点，分别以直线CA、CB、CP为x、y、z轴建立空间直角坐标系。（1分）
则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)CABP word 5 / 19 所以AB中点(1,1,0).D
（1）因为(2,2,0), (1,1,0), (0,0,2).ABCDCP（2分）
所以2121000,ABCD
2020020ABCP
所以, ABCDABCP，又CDCPC，
所以AB平面PCD。（4分）
（2）(1,1,2),(0,2,0)PDCB（6分）
所以26cos,.6||||62PDCBPDCBPDCB
即异面直线PD与BC所成的角的余弦值为66（8分）
（3）设平面PAD的法向量(,,)xyzn=，因为(2,0,2)PA
则由00PAPDnn， 得220,
20.xzxyz
取1x，得(1,1,1)n是平面PAD的一个法向量（10分）
又(0,0,2)CP，
所以点C到平面PAD的距离||223||33CPhnn（12分）
解法三：（1）、（2）同解法一。
（3）设点C到平面PAD的距离为h，
由（1）AB平面PCD，
因为CDAD，由三垂线定理，可得ADPD，
又2,6,2ADPDCD，
所以132PADSADPD，
112ACDSADCD。（10分）
由CPADPACDVV，得1133PADACDhSPCS word
6 / 19 即1132133h，
解得233h
所以点C到平面PAD的距离是233（12分）
19．（本小题满分13分）
如图，已知E、F为平面上的两个定点，G为动点，
||6, ||10EFFG且2, 0EHEGHPGE（P是HP和GF的交点）。
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，证明：9||5OC（O为EF的中点）。
解：（1）如图1，以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系
由题设2, 0, ||||EHEGHPGEPGPE，而||||||106PFPEFG
点P是以E、F为焦点，长轴长为10的椭圆，
故点P的轨迹方程为2212516xy（6分）
（2）解法一：如图2，设11220(,),(,),(,0)AxyBxyCx，12xx，且||||CACB，
即2222101202()()xxyxxy，又A、B在轨迹上，
222211221, 1,25162516xyxy即22221122161616,162525yxyx
代入整理得：2212210211209()92()(), , 2550xxxxxxxxxx （10分）
1212121255, 55, 1010, , 1010xxxxxxxx
099,55x即9||5OC （13分）
