【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试文科数学试卷有答案
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数学（文科）参考答案第 1 页 共 10 页 长沙市2020届高三年级统一模拟考试
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．C
解析： {1,2}AB=I
，故选C.
2．D 解析：复数2
21
1iii
zi
ii++
===−
，故选D
3．D
解析：()
33f−=
,
则()()
()
333log31fff−===
，故选D
4． C
解析:由图可知，第一组3人，第二组7人，第三组27人，后四组成等差数列，和为
90，故频数依次为27,24,21,18，视力在4.8以上的频率为39％，故高三学生中视力在4.8
以下的人数约为195. 选C
5． B
解析：在△CEF中，EF→
＝EC→
＋CF→
.因为点E为DC的中点，所以EC→
＝1
2DC→
.
因为2CFFB=uuuruuur
，所以CF→
＝2
3CB→
. 所以EF→
＝1
2DC→
＋2
3CB→
＝1
2AB→
＋2
3DA→
＝1
2AB→
－2
3AD→
，
故选B.
6．D
解析：当0x≥时，函数2
xx
y
e=，由2
2
'
xxx
y
e−
=可知原函数有且只有一个极大值点是2x=，
故选D.
7． B
解析：设正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为
211
811124
42Sππ⎛⎞
=××−××=−
⎜⎟
⎝⎠，故所求恰好取自阴影部分的概率为24
1
42Pππ
−
==−，故选B
8． B
解析：由()
cos13tan101α
+=o可得00
03sin10cos10
cos1
cos10α+
=，即
0
02sin40
cos1
cos10α
=，所以0000
0
000cos10sin802sin40cos40
coscos40
2sin402sin402sin40α
====
，
8
数学（文科）参考答案第 2 页 共 10 页 又α
为锐角，故0
40α
=
，选B
9．C
解析：依题意三棱柱的外接球即为底面为正方形（边长为2）
、高为32
的长方体的外
接球，其直径为长方体的体对角线，设球的半径为R
，则有()()2
2
22
2223226R=++=，
故所求球体表面积为2
426Rππ
=
，故选C
10．C
解析：当2n≥
时，1
112n
nnaS−
−−+=
，则11
11()222nnn
nnnnaaSS−−
−−−+−=−=
，
即1
122n
nnaa−
−−=
，则1
2log21n
nbn+
==+，从而111
1
nnbnn=−
+， 故
129911111111199
11
29922399100100100bbb+++=−+−++−=−=LL
.选C
11．D
解析： 设直线()
:2lykx=−
，()()
1122,,,AxyBxy
，将直线方程代入抛物线方程得：
()
2222
4140kxkxk−++=，由韦达定理得
124xx⋅=
①，分别过点,AB
作准
线的垂线
11,AABB
，垂足分别为点
11,AB，
1
1
1212
15ACF
BCFACAAAF
Sx
SBCBBBFxΔ
Δ+
∴=====
+，即
125230xx−+=
②，
解得
121,4xx==
，5BF∴=
，故选D。
12．A
解析：由已知
21210,0xxxx>>∴−>Q,
1221
21lnln
2xxxx
xx−
∴<
−等价于
122121lnln2()xxxxxx−<−
，
即
121212ln2ln2xxxxxx+<+
，
8
数学（文科）参考答案第 3 页 共 10 页 ()()
21
1221
21ln2ln2
ln2ln2,xx
xxxx
xx++
∴+<+∴<
，
令()ln2x
fx
x+
=
，则()()
21fxfx<
，又()
21,xxmfx>>∴
在()
,m+∞
是减
函数，由()
'
2ln1
0x
fx
x−−
=<
，得1
x
e>
，即减区间为1
,
e⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠， 则1
m
e≥
.
故选A
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分..
13．3
解析：由y=1nx，得'1
y
x=
，∴'
31
3xy
==
，
∵曲线lnyx=
在x=3处的切线与直线10axy++=垂直，∴1
1
3a−×=−
，则3a=
．
14．1
2
解析：因为()
fx
是偶函数，故()()
fxfx−=
，
即()()
22log21cos()log21cosxx
axxaxx−
−−++−=−++
，
()()
22221
2log21log21log
21x
xx
xaxx−
−+
∴=+−+==
+，由x的任意性，可得1
2a=
15．3
解析：由题意可知等比数列的公比1q≠
，否则
3S
，
9S
，
6S
不成等差数列，
于是()()()
936
111
9362111
2
111aqaqaq
SSS
qqq−−−
=+⇒=+
−−−，解得63
210qq−−=
， 解得31
2q=−
，又由
256aa+=，得88
636aa
qq+=
，解得6
8
31
6
6
4
3
1
1
1
2q
a
q×
===
+
−
16．26
3
解析：圆B：1)1(22
=+−yx
，圆心)01(，B
,半径1=r
8
数学（文科）参考答案第 4 页 共 10 页 如图所示，不妨设切点D
在第一象限，则
33
tan==∠
ADBD
BAD
从而直线l
的斜率3
tan
3kBAD=∠=，因为l
与双曲线的一条渐近线平行，
从而双曲线的渐近线方程为3
3yx=±，可设双曲线方程为)0(9322
≠=−λλ
yx
… (*)
过点D
作DCx⊥
轴于点C
，RtBCDΔ
中，o30=∠=∠BADBDC
，所以
23
30cos,
21
30sin====ooBDCDBDBC
，所以
23
,
21
===−==CDyBCOBOCx
DD
，
将点)
23
,
21
(D
代入方程（*）得 6,
43
9
41
3−=∴=×−×λλ.
双曲线方程为69322
−=−yx
，即 1
22322
=−xy
所以所求双曲线实轴长为26
3
三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
第17～21题
为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由正弦定理sinsin2sinsin()sinsinACCACAπ=−=， （1分）
因为sin0A≠，所以sin2sinCC=， （2分）
即sin22sincossinCCCC==. （3分）
因为sin0C≠，所以1
cos
2C=， （4分）
因为0Cπ<<，所以
3Cπ
= （5分）
（Ⅱ）由1
sin3
2ABCSabC
Δ==，可得4ab=. （6分）
8
