人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 学案

1.4 生活中的优化问题举例

[学习目标]

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

[知识链接]

设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a＋b2≥ab(a，b＞0)?

答 设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为

f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.

令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝c2.

故当x＝c2时，f(x)有最大值fc2＝c24，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14.

若设这两个正数分别为a，b，则有a＋b24≥ab(a＞0，b＞0)，即a＋b2≥ab(a，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．

[预习导引]

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路是

优化问题→用函数表示的数学问题 优化问题的答案←用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

要点一 用料最省问题

例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解

如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0

∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．

规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

解 设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝6103＝0.006，于是有p＝0.006v3.

又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v小时，所以，航行1海里的总费用为：

q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v.

q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8 000)，

令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0；

当v>20时，q′>0，

∴当v＝20时，q取得最小值，

即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．

要点二 面积、容积的最值问题

例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为x－20 cm，y－252 cm， 其中x>20，y>25.

两栏面积之和为2(x－20)·y－252＝18 000，

由此得y＝18 000x－20＋25.

广告的面积S＝xy＝x18 000x－20＋25＝18 000xx－20＋25x，

∴S′＝18 000[x－20－x]x－202＋25＝－360 000x－202＋25.

令S′>0得x>140，令S′<0得20

∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．

当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．

规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤

①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．

跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解

如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S＝2πRh＋2πR2，

由V＝πR2h，得h＝VπR2，

则S(R)＝2πRVπR2＋2πR2＝2VR＋2πR2，

令S′(R)＝－2VR2＋4πR＝0，解得R＝3V2π，

从而h＝VπR2＝Vπ 3V2π2＝ 34Vπ＝2 3V2π，即h＝2R.

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．

所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．

要点三 成本最省，利润最大问题

例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv，全程运输成本为 y＝a·sv＋bv2·sv＝sav＋bv，

∴所求函数及其定义域为y＝sav＋bv，v∈(0，c]

(2)由题意s、a、b、v均为正数．

y′＝sb－av2＝0得v＝ ab.但v∈(0，c]．

①若ab≤c，则当v＝ ab时，全程运输成本y最小；

②若 ab>c，则v∈(0，c]，

此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．

所以当v＝c时，y最小．

综上可知，为使全程运输成本y最小，

当 ab≤c时，行驶速度v＝ ab；

当 ab>c时，行驶速度v＝c.

规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：

①合理选择变量，正确给出函数关系式．

②与实际问题相联系．

③必要时注意分类讨论思想的应用．

跟踪演练3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－18q.求产量q为何值时，利润L最大？

解 收入R＝q·p＝q25－18q＝25q－18q2， 利润L＝R－C＝25q－18q2－(100＋4q)

＝－18q2＋21q－100(0

L′＝－14q＋21

令L′＝0，即－14q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.

所以产量为84时，利润L最大．

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )

A．8 B．203

C．－1 D．－8

答案 C

解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )

A.3V B．32V

C．34V D．23V

答案 C

解析 设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43xV(x>0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0，得x＝34V.

3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解 设箱底边长为x cm，则箱高h＝60－x2 cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．

V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0，

解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.

由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答 当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.

4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0

解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝1128 000x3－380x＋8×100x＝11 280x2＋800x－154(0

h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0

令h′(x)＝0，得x＝80.

因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；

x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，

所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．

因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．

2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．

一、基础达标

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )

A．4 B．6

C．4.5 D．8

答案 A