人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 学案 (2)

学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

知识点 生活中的优化问题

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路是：

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.

类型一 面积、容积的最值问题

例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm，高为2(30－x) cm，

所以包装盒侧面积为S＝42x×2(30－x)

＝8x(30－x)≤8×(x＋30－x2)2＝8×225，

当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，

所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x＝15.

(2)包装盒容积V＝2x2·2(30－x)

＝－22x3＋602x2(0

所以V′＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．

令V′>0，得0

所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒底面边长为202 cm，高为102 cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.

反思与感悟 1.这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了．

2．这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域．

跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)． (1)将S表示为θ的函数；

(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．

解 (1)由题干图知BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，则S＝12MB·AB＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．

(2)S′＝5 000(2cos2 θ＋cos θ－1)

＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．

令S′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.

当θ＝π3时，S取得最大值，

Smax＝3 7503 m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.

类型二 利润最大问题

例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ 10.8－130x2，010.

(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．

解 (1)当0

当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－1 0003x－2.7x，

所以W＝ 8.1x－x330－10，010.

(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元． 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：

(1)利润＝收入－成本；

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，

所以a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y＝2x－3＋10(x－6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (3,4) 4 (4,6)

f′(x) ＋ 0 －

f(x) 单调递增 极大值42 单调递减

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

类型三 费用(用材)最省问题 例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8

解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，

则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，

∴720＝k·122，得k＝5.

设全程燃料费为y，由题意，得

y＝y1·200v－8＝1 000v2v－8，

∴y′＝2 000vv－8－1 000v2v－82＝1 000v2－16 000vv－82.

令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，

即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；

当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，

即y在(8，v0]上为减函数，

∴当v＝v0时，ymin＝1 000v20v0－8(元)．

综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，

为32 000元；

当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为1 000v20v0－8元．

反思与感悟 1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．

跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm，

由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，

而建造费用为C1(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．

(2)f′(x)＝6－2 4003x＋52，

令f′(x)＝0，即2 4003x＋52＝6.

解得x＝5，x＝－253(舍去)，

当00，

故x＝5时，为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )

A．4 B．6

C．4.5 D．8

答案 A

解析 设底面边长为x，高为h，

则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256x2，

∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256x2＝x2＋4×256x，

∴S′(x)＝2x－4×256x2.

令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4. 2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )

A．9千台 B．8千台 C．6千台 D．3千台

答案 C

解析 构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．

3．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.

答案 100π4＋π

解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x，

设正方形与圆形的面积之和为S，

则正方形的边长a＝100－x4，圆的半径r＝x2π.

故S＝π(x2π)2＋(100－x4)2(0

因此S′＝x2π－252＋x8＝x2π－100－x8，

令S′＝0，则x＝100π4＋π.

由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝100π4＋π cm时，面积之和最小．

4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

解 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有

f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．

由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.

所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．

(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432