教育统计学

第一章：概述一、教育统计学的含义（一）什么是统计学A统计学是研究随机现象的数量规律性的一门数学分支。

自然界中有两类现象：a.确定现象b.随机现象。

随机现象的规律性可用概率论来描述，起源于（法）帕斯卡对赌博现象的研究。

B数理统计学：以概率论为基础C应用统计学：是数理统计学理论在各个学科领域中的应用。

（二）什么是教育统计学探讨如何将统计学的原理和方法应用于研究教育现象中数量关系的科学。

根据不同功能可划分为：1.统计设计：研究如何科学全面地搜集统计数据以确保统计结论的可靠性。

如：如何进行随机抽样，如何设计实验等。

2.描述统计：研究如何对搜集到的统计数据进行分析整理，以显示数量关系，如：计算数据的集中度、离散度等。

3.推断统计：研究如何利用样本数据来推测和判断未知的总体特征，如总体参数估计、假设检验等。

二、几个基本概念（一）变量与变量值A变量：可以定量并能取不同数值的事物的某种特征。

B变量值：变量具体的数值如考试的分数、智力水平C变量的类型：①类别变量：只是用数字来代表事物或对事物进行分类，数字没有任何数值意义。

不能做量化分析，无大小意义，只表明类别。

如性别男1 女2②顺序变量：表明类别的大小或某种属性的多少。

主要用于分等论级和分类。

仅表示等级，不表示某种属性的真正量和绝对值。

无参照点（没有绝对零度）和相等单位。

如：五点评分：ABCDE③等距变量：存在大小关系，无绝对零点，但存在相对零点。

可进行数学运算、有相等单位。

如IQ④比率变量：有相等单位和绝对零点，可以知道事物之间的某种特点上相差多少及他们之间的倍数关系。

如长度（二）总体与样本A总体：具有某种特征的个体总和例如大学生、中学生、女性、男性，包括有限总体和无限总体。

总体的量化特征称为总体参数。

如总体平均数B样本：从总体中抽取的观察对象。

样本容量（>30称为大样本，<30称为小样本），样本的量化特征称为样本统计量，如样本平均数。

（研究分布关系越大越好；研究事物关系越小越好）第二章：原始数据的整理一、次数分布表（一）分类1.简单次数分布表：又称简单频叔分布表，根据不同组别数据出现频数编制而成。

2.相对次数分布表：又称相对频数分布表，根据不同组别数据出现相对频数编制而成。

3.累积次数分布表：又称累积频数分布表，根据不同组别数据出现累计频数编制而成。

4.累计相对次数分布表：又称累计相对频数分布表，根据不同组别数据出现累积相对频数编制而成。

表格一：某校大一新生英语测验得分次数分布表表格二：某校大一新生英语测验累计次数分（二）次数分布表的制作方法1.求全距：全距指的是全部观察值中最大值与最小值之差。

2.决定组数和组距：a 一般不少于5组，也不要超过15组，常见的是10组。

B 组距指的是每一个组内包含的距离（用i 表示）c 斯特奇斯（H.A.Sturges ）根据经验公式： i=Max-Min/1+3.322logN 3决定组限：组限是每一组的起点值和终点值。

4.登记次数。

（三线表） 二、次数分布图（一）将次数分布表中的数据以图的形式表现出来。

（二）分类：1.简单次数分布图——直方图2.简单次数分布图——折线图3.累积次数分布图 （S 形）4.累积相对次数分布图 图一样，纵坐标不一样第三章：集中量和差异量 一、集中量：是代表一组数据典型水平或集中趋势的量集中量包括：算数平均数、加权平均数、几何平均数、中位数、众数等。

（一）算数平均数1.算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。

①根据原始数据求平均数：nXX ni ∑==1i②根据相对次数分布表求平均数∑∑===k i iki fX fX 11iif i --- 频数xi----组中值例1：计算下表计算其算术平均值表格一：某校大一新生英语测验得分次数分布表2.算术平均数的优缺点：A 优点：反应灵敏；严密确定，简明易懂，计算方便；适合代数运算；总体平均数的最好估计值。

B 缺点：a 易受极端数值的影响 b 数据中某个数值的大小不够确切或缺失就无法计算。

（二）中位数1.中位数（Md ）是位于一定顺序排列的一组数据中央位置的数值，在这一数值的上、下各有一半的频数分布着。

2.根据次数分布表求中位数)N -(0.5N l ⨯+=fiL Md L:中位数所在组的下限 N ：总频数Nl ：小于中位数所在组下限的频数总和 I ：表示组距 F ：中位数所在组的频数例2：计算例1中数据的中位数中位数适用于以下情况： 一组数据中有极端数值； 一组数据中有个别数据不确切； 百分位数百分位数：一组从小到大排列的数据中某一百分位置所对应数值)N -(pN l ⨯+=pp p f iL P例3：同样是上表，求25%所对应的数值。

（三）众数众数（Mo ）是指一组数据中频数出现最多的那个数。

1.根据原始数据求众数 2.根据次数分布表求众数：i f f f L M lu uo ⨯++=L ：频数最多组的下限 fu:众数所在组上限后一组的频数 Fl ：众数所在组下限前一组的频数3.主要在以下情况下使用A 当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时B 分析一组频数分布的峰态算术平均数、中数、众数的关系 皮尔逊经验公式：M Md M 2-3o ≈例4：试求上表的众数。

（四）加权平均数加权平均数是不同权重数据的平均数。

Wi ： 权重∑∑===ni ini ii u WXW X 11例5：期末考试中，数学80，语文92，英语78，其中数学在总分中占40%，语文占40%，英语占20%，其总平均分是多少？（五）几何平均数几何平均数，是N 个数值连乘积的N 次方根，计算公式为：n n g X X X X .......21=例6：某工厂第一年产量为100，第二年产量为120，第三年为132，第四年为156，试求年增长率。

（六）调和平均数调和平均数：是N 个数值倒数平均数之倒数 计算公式为：∑==ni X 1ih )X 1(n 例7：某学生记30个单词，头十个单词用了五分钟，中间十个单词用了三分钟，最后十个单词用了四分钟，请问每分钟记单词多少个？二、差异量的计算差异量用来表示数据变异程度和离散程度，包括全距、平均差、方差、标准差和差异系数等。

（一）全距（=最大值—最小值）优点：概念清楚、意义明确、计算简单 缺点：易受极端数值的影响 （二）四分位距：一组依序排列的数据中间50%数据涵盖的数值范围的一半 QD=(Q3-Q1)/2 Q3=L+i/f*（0.75N-Nl ） Q1=L+i/f*（0.25N-Nl ）（三）平均差：每一个数据与该组数据中位数（或算术平均数）离差的绝对值的算术平均数。

nx x AD i ni -1∑==根据次数分布表Nxx fAD i ki i-1∑==例8：根据表格一，试求其平均值。

（四）方差（S ²）和标准差（S ） A 方差指离差平方的算术平均数22n1i i 1212i2)x (-)x -(xnnxnS ni ini ∑∑∑=====2211212i)(-)x -(xn x nxnS ni i ni ini ∑∑∑=====根据次数分布表求方差和标准差22121212)()(Nx f Nxf Nx x f S i ki i iki i iki i∑∑∑===-=-=2212121)()(N x f Nxf Nx x f S i ki i iki i iki i∑∑∑===-=-=例9：试求表格一的方差。

（五）差异系数：差异系数是标准差与其算术平均数的百分比。

一般在5%—35%之间。

%100x⨯=SCV 第四章：概率分布 一、概率和概率分布（一）随机现象和随机事件：随机现象是指存在多种肯能结果且事先无法预料哪种结果会出现的现象。

随机现象的每次发生可称为随机实验，例如：掷骰子。

随机现象的某些结果组合称为随机事件。

（二）概率：描述某个随机事件在若干次随机实验中出现可能性的数学概念。

可分为后验概率和先验概率 1.后验概率：设A 为某个随机事件，在N 次随机试验中发生Na 次，则A 的频率为NN (A)A=f 如果随着N 的无限增大，f （A ）趋近于某个常数P ，那么P 为随机事件A 的后验概率。

2.先验概率（古典概率）：在满足以下条件时通过理论计算获得的概率 （1）随机试验的结果数目有限 （2）每种结果出现的可能性相同假设A 为某个随机事件，随机实验的所有可能总数为N ，A 包含的结果数为Na ，则NN (A)A=f （三）概率分布①如果随机变量x 的可能取值为有限个且以各种确定的概率取这些不同的值，则称X 为离散型随机变量（如投掷硬币的结果）②如果随机变量x 的可能取值范围为某范围的任何数值，且在其取值范围内的任一区间中取值的，其概率是确定的，则称x 为连续型随机变量（如 某学生的考试成绩）③概率分布是对随机变量的取值与概率之间的关系的描述。

1.离散型随机变量的概率分布：如果我们将离散型随机变量X 的取值记作Xi(i=1,2,3，.....,n)对应的概率记作P ，则： P(a ＜X ＜b)=Pi (i=1,2,3，.....,n)称为X 的概率分布。

2.连续型随机变量的概率分布如果我们将连续型的随机变量X 的取值范围记作a ＜X ＜b ，对应的概率记作P ，则： P(a ＜X ＜b)= f （x ）dx 称为X 的概率分布。

二、常见概率分布 （一）二项分布问题：一个学生全凭猜测答两道是非题，则答对0、1、2题的概率是多大？解：2道是非题的情况：TT 、TF 、FT 、FF 3道是非题：TTT 、TFT 、TFF 、TTF 、FTT 、FTF 、FFT 、FFF1.二项试验：满足以下条件的试验称为二项试验： （1）一次试验只有两种可能的结果，即成功与失败。

（2）各次试验相互独立，互不影响 （3）各次试验中成功的概率相等。

2.二项分布函数①在n 次二项式验中成功事件出现不同次数（X=0，1,........，n ）的概率分布叫做二项分布。

②x n x xn x x nQ P x n QPC x P --x )!-(n !!)(== 1) 当P ＜Q ，且nP ≥5,或当P ＞Q 且nP ≥5时，二项分布接近正态分布。

2) 当n 趋于无穷大时，二项分布为正态分布。

3.二项分布的平均数和标准差当二项分布接近于正态分布时，在n 次二项试验中成功事件出现次数的平均数和标准差分别为：M=np 和 δ=npq =（二）正态分布1.正态分布是应用最广泛的一种连续型随机变量的概率分布① 函数表达式：222-21μμ）（πx e Y =② 函数图形： 2.标准正态分布① 标准正态分布函数：2-221z e Y π= 其中z=② 图形：3.正态分布的应用① 将原始分数转化成标准分数Z 值例10:2001② 确定录取分数线。